CC BY
99
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТОРООБРАЗНОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ НИТЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ*
Е. В. Полякова1, П. Е. Товстик2, С. Б. Филиппов3, В. А. Чайкин4
1. С.-Петербургский государственный университет технологии и дизайна, д-р техн. наук, профессор, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
3. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
4. С.-Петербургский государственный университет технологии и дизайна, д-р техн. наук, профессор, [email protected]
1. Введение
Тороидальные оболочки получили широкое распространение при создании транспортных средств, плавсредств, различного рода надувных конструкций, используемых для крепления сооружений и подъема тяжестей. Однако теоретическая база для проектирования, изготовления и расчета таких оболочек развита недостаточно, и их практическое производство в значительной степени основано на информации, получаемой в результате осмысления промышленного опыта [1—3]. Недостаточное развитие теории тороидальных оболочек и мягких оболочек в целом обусловлено сложностью математических моделей, разрабатываемых для решения задач их проектирования и расчета. Задача проектирования тороидальной мягкой оболочки, имеющей заданные эксплуатационные свойства, состоит в определении характеристик (материала и геометрической формы) недеформированной оболочки, обеспечивающих ее последующий переход в требуемое рабочее состояние. Решение этой задачи неоднозначно, так как указанный переход может быть осуществлен как за счет подбора используемых материалов, так и за счет выбора геометрических параметров изготавливаемой оболочки. Некорректностью этой обратной задачи обусловлено то, что в настоящее время имеются заметные достижения только в области решения прямых задач [4]. Как прямые, так и обратные задачи теории тороидальных оболочках исследованы далеко не достаточно. В частности, не были получены решения задач о расчете ортотропных мягких тороидальных оболочек, обсуждаемые в настоящей работе.
Рассматривается осесимметричная деформация торобразной оболочки, образованной сетью из двух систем нитей, расположенных по параллелям и меридианам. В нерастянутом положении длины Ь всех нитей, расположенных по параллелям, одинаковы. Пусть I — длины нитей, расположенных по меридианам, в ненатянутом состоянии. То-робразная оболочка находится под действием внутреннего давления, которое удерживается податливой оболочкой, помещенной внутри сети из нитей. Учитывается лишь жесткость растяжения нитей, жесткостью оболочки, предназначенной для создания
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07.01.00250а) и Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)» Федерального агентства по образованию Минобрнауки РФ и РФФИ (грант № 2.1.2./3270).
© Е. В. Полякова, П. Е. Товстик, С. Б. Филиппов, В. А. Чайкин, 2009
внутреннего давления, пренебрегаем. Считаем, что нити расположены достаточно часто, поэтому после осреднения получаем двухмерную упругую среду, которая является мягкой оболочкой. Теория мягких оболочек описана в работах [5, 6], в обзоре [7] рассматриваются мягкие оболочки, образованные системами нитей.
Основная особенность мягкой оболочки заключается в том, что она не выдерживает сжимающих напряжений. В связи с этим при ее деформации могут появляться зоны с одноосным напряженным состоянием. В частности, в рассматриваемых ниже задачах в равновесном положении все нити, идущие по меридианам, натянуты, а часть нитей, идущих по параллелям, может быть не натянутой.
Ниже рассмотрены две задачи. В первой из них исследуется деформация описанной выше торобразной оболочки, а во второй — вводится дополнительная связь, состоящая в том, что одна из нитей, идущих по параллели, нерастяжима. Для обеих задач разработан метод численного решения, а также метод асимптотического интегрирования в предположении, что радиус окружности меридиана тора существенно меньше радиуса его параллели. Во второй задаче имеется несколько положений равновесия. Исследована их устойчивость. Установлено, что устойчивыми являются лишь те положения равновесия, для которых форма меридиана после деформации является выпуклой кривой.
2. Основные уравнения. Введем обозначения: sо —длина дуги меридиана до деформации, отсчитываемая от крайнего правого положения O (основная независимая переменная), 0 < so < l; s(sо) —длина дуги после деформации; r(so) —радиус параллели; z(so) —высота параллели над точкой O; £i(so), £2(so) —деформации меридианов и параллелей.
Имеют место геометрические соотношения
L
2тг’
(2.1)
dfi 1 cos в
ds ’ R2 r ’
где Ri, R2 — радиусы кривизны поверхности, в — угол между касательной к меридиану и вертикальным направлением (рис. 1).
1 + e 1 ds r R
dso ’ fi’
dr - sin в, dz 1
ds — = cos 0, ds Ж
Переходя к формулировке соотношений упругости, обозначим через £1(во) и £2(^0) натяжение нитей и через П1 и П2 —число нитей (на единицу длины в поперечном направлении) в положении до деформации для меридианов и параллелей соответственно. Примем, что натяжения нитей зависят только от соответствующих деформаций
tk = /fc(£fc) (£fc > 0), tk = 0 (ek < 0), k = 1, 2,
или в рассматриваемом ниже линейном приближении
fk = Ckek, Ck = EkSk, k = 1, 2, (2.2)
где Ek, Sk — модули Юнга и площади сечений нитей.
Уравнения равновесия в проекции на касательную к меридиану и нормаль дают
d(rT1) Ti T2 , ,
ЛТ11+Т2 sintf = 0, + = (2-3)
ds Ri R2
где
Tl = T2 = (2'4)
1 + £2 1 + £i
Здесь q — внутреннее давление, а усилия Ti и T2 отнесены к единице длины после деформации.
Соотношения (2.1)—(2.4) полностью описывают задачу. Приведем их к виду, удобному для численного интегрирования. Приходим к системе четырех уравнений относительно неизвестных 9,ti,r, z:
dO qr(1 + £1) — n2t2(s2)cos в dso Rniti ’
dti n2t2 sin в
dso Rni
dr dz
—— = — (1 + Єї) sin9, —— = (1 + єі) cos#.
dso dso
Приведем эту систему к безразмерному виду:
de f qRy(1 + є1) n2t2(є2)cos в
dip ^ \ n\t\ n\t\
dti n2t2 sin в , ,
~r~ = --------------> (2-5)
dp ni
-У- = — [1,(1 + Єї) sin в, —!1 = [l(l + Єї) COS в, dip dp
где
l p l r z
«=«>, Р=Тж, C=R=r V=g. *1=R, 52 = S' - 1
В линейном приближении (2.2) первые два уравнения системы (2.5) упрощаются:
‘j- = —(Qy( 1 + ei) ~Vg(y) cos 6»), d(f £ i
ds
-r- = ~mg{y) sin в, g(y) = max{y -1,0}, (2.6)
dp dy_
dp 1 ’ dp
dy dz1
— = — /x(l + Єї) sin в, ——= [l(l + Єї) cos в.
где
0 _ qR _ n2E2S2
niEiSi ^ niEiSi
Система (2.6) содержит три задаваемых произвольно параметра: геометрический параметр р, параметр давления Q и параметр отношения жесткостей нитей п.
Для случая нерастяжимых нитей первой серии система (2.6) неприменима. Следует воспользоваться системой (2.5), в которой положить £i = 0. Тогда эта система примет вид
dO f qRy n2t2 cos O'
(1(£ ^ \n\tl
и2г2 Бт в
-у- = -М-----------> *2 = Ь2ь2д(у
ар и\
&У ■ а аг1 о
— = —/лвтО, —— = /л сов 0.
ар ар
Впрочем, к случаю нерастяжимых нитей первой серии можно приблизиться, задавая П С 1.
3. Численное решение. Систему (2.6) интегрируем численно в отрицательном направлении с начальными условиями
в(п) = п, £1 (п) = £10, г1(п)=0, у(п) = уо, (3.1)
причем величины у о и £10 подбираем методом пристрелки в сочетании с методом дви-
жения по параметру [8] таким образом, чтобы было
в(0)=0, 2^(0) = 0. (3.2)
При этом использована симметрия решения относительно горизонтальной плоскости,
делящей тор на две равные части.
В качестве примера рассмотрим торобразную оболочку с параметрами р = 0.3, п =1 при изменении параметра давления от весьма малых значений = 0.1 до значений
разрушения = 1.083. Результаты помещены в таблице 1.
Таблица 1
Q ею £11 Уо У1
0.1 0.0203 0.0231 0.539 1.075 0.290
0.2 0.0436 0.0522 0.572 1.134 0.351
0.3 0.0704 0.0871 0.605 1.190 0.401
0.5 0.137 0.178 0.671 1.307 0.488
0.7 0.231 0.310 0.795 1.450 0.578
0.9 0.314 0.535 0.851 1.563 0.699
1.0 0.526 0.746 0.916 1.879 0.813
1.047 0.616 0.926 1.000 2.001 1.000
1.05 0.655 0.939 1.004 2.011 1.000
1.08 0.835 1.207 1.090 2.229 1.000
1.083 0.913 1.323 1.123 2.234 1.000
В столбцах таблицы 1 последовательно приведены значения параметра нагрузки , минимальное (£10) и максимальное (£11) значения деформации меридиана (£1), минимальное (уо) и максимальное (у1) значения переменной у и доля £ меридиана, свободная от сморщивания.
Схема деформации торобразной оболочки с ростом Q показана на рис. 2. При = 1.047 (см. рис. 2, а) в части тора при у < 1 напряженное состояние одноосно
т.
А
У 1 Ы .V
В
т /А
і \ І 1
1
Рис. 2. Схема деформаций торобразной оболочки с ростом давления.
(имеется сморщивание нитей, идущих в окружном направлении), а при у > 1 напряженное состояние двухосно. При ^ на всей поверхности тора у > 1 и напряженное
состояние двухосно (см. рис. 2, с). Случай ^ является граничным (см. рис. 2, Ь).
С ростом ^ деформации нитей возрастают, причем при ^ ^ 1.08308 возрастание деформаций неограниченно, что говорит о разрушении оболочки при этих и больших давлениях.
Найдем границы области параметров р^,ц, отделяющей случаи наличия и отсутствия сморщивания. Интегрируем систему (9) в отрицательном направлении, задав начальные условия
0(п) = П, £х(п) = £10, 21 (п) = 0, у(п) = 1
и значения параметров р,п- Параметры Q*,£lo определяем из условий (3.1).
Таблица 2
V <5* £10 £11 У1
0.01 1.958 0.0201 0.0202 1.020
0.02 1.917 0.0402 0.0410 1.042
0.05 1.721 0.1012 0.1067 1.110
0.1 1.671 0.205 0.239 1.239
0.2 1.304 0.410 0.529 1.567
0.3 1.047 0.645 0.926 2.001
0.4 0.838 0.886 1.451 2.565
0.5 0.667 1.143 2.137 3.291
В таблице 2 приведены значения функции Q*(р) для п =1. Для р = 0.3 значение Q* = 1.047 приведено также в таблице 1.
4. Приближенное решение для полностью растянутой торобразной оболочки. Предположим, что £2 = у — 1 ^ 0 при р € [0, п] (см. рис. 2, с). Введем новые переменные по формулам
є і = ра, у = 1 + ^7, г\ = р£.
Система (2.6) примет вид
г!а . а0 1 г , , . ,
— = —ріг/втО, — = — [<У(1 + /гу)(1 + ра) — /177700 в0\,
ар ар а
а
— = (1 + ца) соэ0, —- = — (1 + ца) 8ІП0.
ар ар
Из граничных условий (3.1), (3.2) следует, что
0(0) = С (0) = С(п) = 0,
(п) = п.
(4.1)
(4.2)
Рассмотрим случай р ^ 1. Подставим в (4.1) и (4.2) асимптотические разложения в = во + рвь а = ао + раь 7 = 70 + pYi, Z = Zo + mCi- (4.3)
В нулевом приближении из первого и второго уравнений (4.1) следует, что
Q
ао = const, во = —р.
а0
Из последнего условия (4.2) вытекает равенство ао = Q. Принимая во внимание, что
во = р, из двух последних уравнений (4.1) с учетом граничных условий (4.2) получаем
Yo = cos р + ао, Zo = sin р, (4.4)
где ао — произвольная постоянная, которая находится при построении первого приближения.
Решение системы уравнений первого приближения
dai dei ai
-3— = -Vlo sin р, — = Q + 70 - — - C70 cos ip,
dp dp Q
dZi ^ a ■ dYi ^ • a
—— = Q cos (f — 0\ sin <£>, —— = — Q sin (f — 0\ cos <£>,
dp dp
(4.5)
где c = n/Q, удовлетворяет граничным условиям
ei(0) = Zi(0) = ei(n) = Zi(n)=0. (4.6)
Из первого уравнения системы (4.5) с учетом (4.4) получаем формулу
а\ = rjao cos р + ^ cos2 р + aiQ, (4-7)
где ai —произвольная постоянная. Подставляя выражение для ai во второе уравнение (4.5), с учетом первого условия (4.6) находим
3c 3c
в\= —-- J <р + В sin ip —— sin 2 р, (4-8)
где
A = Q + ао — ai, B = 1 — 2сао.
Равенство ei(n) = 0 будет выполняться, если
3c
А = Q ао — а\ = (4-9)
Из третьего уравнения (4.5) и граничного условия Zi(0) = 0 следует, что
B B с 3
Ci = Q sin р - —р + — sin 2р + - sin р.
Принимая во внимание граничное условие Zi(n) = 0, получаем равенство B = 0, из
которого вытекает, что ао = 1/(2с). Подстановка выражения для ао в формулу (4.9)
позволяет найти а!:
1 3c
с*1 — Q + — —.
Интегрирование четвертого уравнения (4.5) дает формулу
71 = <5 соэ <р — - соэ (р + а 2.
Постоянная а2 находится при построении второго приближения.
Подставив полученные выражения для функций нулевого и первого приближений в формулы (4.3), получим следующие приближенные выражения для исходных переменных:
£1 = лФ
^1 = Л 81П ю
У
в = ю — л
3п 8ІП 2ю
Условие у ^ 1, которое является необходимым для корректности полученного решения, в первом приближении выполняется при
О > О* = 2п.
В таблице 3 приведены значения О*, £ю = £1(п), £ц = £1(0) и ух = у(0) для п =1 и различных значений ^, полученные по асимптотическим формулам.
Таблица 3
м <3* ею СИ У1
0.01 0.02 0.05 0.1 2.0 2.0 2.0 2.0 0.0205 0.0419 0.112 0.247 0.0207 0.0427 0.117 0.268 1.020 1.040 1.100 1.200
Сравнение результатов из таблиц 2 и 3 показывает, что погрешность асимптотических формул уменьшается с уменьшением параметра ^.
5. Приближенное решение для частично растянутой торобразной оболочки. Пусть £2 = у — 1 > 0 при р € [0, р*], р* < п (см. рис. 2, а). Тогда в области
р € [0, р*] идущие по параллелям нити будут растянуты. Предположим, что у — 1 < 0
при р € [р*, п]. Для таких значений р деформация параллелей £2 равна нулю. При сделанных предположениях имеют место равенства
у(р*) = 1 7(р*) = 0 (5.1)
При р € [0, р*] осесимметричную деформацию торобразной оболочки описывает система уравнений (4.1). В случае р € [р*,п] эта система принимает вид
аа О, ... ..
— = 0, — = —(1+/Х7 )(1+/ха ),
ар ар а
^ а ^
= (1 + /хс/) соэ 0', = — (1 + ца!) эт в'.
ар ар
Решения систем (4.1) и (5.2), удовлетворяющие граничным условиям
0(0)= С (0) = 0, 0'(п) = п, С'(п)=0, (5.3)
(5.2)
а(р*) = а7(р*), в(р* )= в7(р*), y(p*) = y'(p*), C (р*) = С'(р*), (5-4)
ищем в виде (4.3). Для приближенного определения неизвестного параметра р* используем асимптотическое разложение р* = ро + ррi.
В нулевом приближении получаем те же результаты, что и в случае полностью растянутой торобразной оболочки:
ао = Q, 0о = р, Со = sin р, yo = cos р + ао.
Из второго равенства (5.1) вытекает, что ао = — cos ро. Величина ро определяется при построении первого приближения.
При р ^ ро система уравнений первого приближения совпадает с системой (4.5). Для р ^ ро она принимает вид
da 1 d0 7 „ а 1
-г1 = °, ~r = Q + l0 - -pf,
dP dP Q /с ^
dz7 dY7 ( 5)
—- = Q cos ¥ — Q'i sin p, —— = — Q sin p — в[ cos p. dр dр
Решения систем (4.5) и (5.5) удовлетворяют граничным условиям
в 1 (0) = Zi (0)= в[ (п) = Z7 (п) = 0, (5.6)
a 1 (ро) = a i (P0), в i (ро) = в 1 (Pо), Ci (ро) = Cl (Pо), Y1 (ро) = Yi (ро). (5.7)
В рассматриваемом случае для определения функций a i (р) и в i (р) годятся формулы (4.7) и (4.8).
Принимая во внимание первое уравнение (5.5), первое условие (5.7) и формулу (4.7), получаем
а2
2
Из второго уравнения (5.5), третьего условия (5.6) и формулы (5.8) следует, что
а\ = ai(po) = ^a° + a\Q- (5.8)
ca(
d'i — ( A -\—— I (p — 7r) + sinp. (5.9)
2
Подстановка выражений (4.8) и (5.9) во второе условие (5.7) дает формулу Ал с 2^ 3с 5с с 2
(^4+ -а0J 7г = —ро + —a0smp0 + -роао- (5.10)
Ввиду того, что для частично растянутой торобразной оболочки равенство (4.9) не выполняется, выражение для функции C (р) отличается от полученного в предыдущем разделе:
Ci = Q sinp + ^ (pcos р — sin р) ——у? + — sin 2р + - sin3 р. (5-11)
Решение C1 (р) третьего уравнения (5.5), удовлетворяющее последнему граничному условию (5.6), имеет вид
f с \ 11 п
Ci = Qsinp + (^4 + -aoj [(р - 7г) cosр - sinp] - -р + - sin 2р + -. (5-12)
1 1 п
-р+ -sm2p+ -.
Подставим равенства (5.11) и (5.12) в третье граничное условие (5.7). После преобразований с учетом формулы (5.10) получим уравнение для определения ро:
пЯ
БШ у>0 - ¥>0 сое у>0 = Р, Р = "7> • (5.13)
Уравнение (5.13) не имеет аналитического решения, однако его корень ро € [0, п] зависит только от одного параметра р € [0, п], поэтому для приближенного вычисления этого корня можно воспользоваться таблицей 4.
Таблица 4
р 0.010 0.079 0.256 0.562 1.000 1.538 2.100 2.619 2.997
<ро 0.314 0.628 0.942 1.256 1.571 1.884 2.198 2.512 2.826
В случае p ^ 1 получаем приближенную формулу
P0 = (3p)i /3. (5.14)
Из формулы (5.10) следует, что
1
а\ = — п
Для определения функций yi и y 1 необходимо рассмотреть второе приближение.
В первом приближении выражения для исходных переменных имеют вид
£i = p(Q + ра i), в = р + рв i, z i = p(sinр + pCi) при р < ро,
£ i = p(Q + pai), в = р + рв'ь z i = p(sinр + pCi) при р > ро,
у = 1 + p(cos р — cos ро),
где функции а , а , в , в , C и C вычисляются по формулам (4.7), (5.8), (4.8), (5.9),
(5.11) и (5.12).
Рисунок 3 иллюстрирует изменение угла ро — р* в зависимости от величины параметра нагрузки Q для п = 1. Две кривые получены с использованием численного метода при р = 0.3 и р = 0.1. Третья кривая построена путем решения уравнения (5.13).
Для небольших значений Q асимптотический метод дает удовлетворительные результаты. Применение численного метода при малых Q затруднено из-за медленной сходимости итерационного процесса. Асимптотический метод, наоборот, удобно использовать в области малых Q, так как при этом параметр p тоже будет малым, и для вычисления ро можно использовать простую приближенную формулу (5.14).
6. Деформация торобразной оболочки, несущей нерастяжимую нить по параллели. Пусть одна из нитей, идущих по параллели, нерастяжима, причем ее длина равна длине L остальных нитей по параллели в их ненатянутом положении. Возможные равновесные формы меридиана показаны на рис. 4, причем жирной точкой показано положение нерастяжимой нити.
3с 5с с
Qtt - — tpo + I 7г - — sm ро I a0 + - (7г - р0)с
2
о
Рис. 3. Зависимость <^о от Q для п = 1.
Начало отсчета дуги р совместим с точкой пересечения меридиана с нерастяжимой нитью и решим систему (2.6) с начальными условиями
0(0)= 0°, е 1 (0)= £ 1 1, у(0) = 1, г 1 (0) = 0, (6.1)
причем параметры р, п и Q должны быть заданы.
Четыре равновесных положения, показанных на рис. 4, а, 6, с и ! имеют участки с одноосным (при у < 1) и двухосным напряженным состоянием. Рис. 4, 6 и 4, с фактически повторяют рис. 2, а, ибо точкам А и В на нем соответствуют нерастянутые параллели. Рис. 4, е соответствует граничному давлению Q = Q*, а рис. 4, / —давлениям Q > Q* при расположении нерастяжимой нити во внутренней части торобразной оболочки. Форма меридиана на рис. 4, а, ! и / имеет угловую точку, причем рис. 4, а соответствует любому давлению Q, рис. 4, ! — давлению Q < Q*, а рис. 4, / — давлению
Q > Q*.
Для вычисления формы меридиана может быть использована та же система уравнений (2.6), однако граничные условия следует изменить. Формы рис. 4, а, !, е и f симметричны относительно диаметральной плоскости и можно ограничиться интегрированием по половине дуги меридиана. В случаях рис. 4, 6 и с необходимо интегрировать по всей дуге меридиана. Впрочем, интегрирование но всей дуге возможно и в остальных случаях.
Для построения симметричных форм на рис. 4, а, !, е и / параметры 0° и £ 11 определяются из условий 0(п) = г 1 (п) = 0.
Для построения форм на рис. 4, 6 или с (а также при желании и при построении симметричных форм) берем начальные условия (6.1), а параметры 0° и £ 11 находим из условий у(2п) = 1, г 1 (2п) = 0.
В качестве примера рассмотрим торобразную оболочку с параметрами р = 0.3, п =1 и будем менять давление Q. Кроме ранее введенных величин будем определять объем V тора, вычисляемый по формуле
V = пД3У, V = / у2!г ь (6.2)
■)€
где интегрирование осуществляется во всему контуру меридиана.
Рис. 4- Возможные равновесные формы меридиана при наличии нерастяжимой нити.
В таблице 5 для ряда давлений Q приведены начальный угол наклона 9°, начальная деформация меридиана £ц и безразмерный объем тора V. Левая часть таблицы 5 при Q < Q* соответствует рис. 4, 6, при Q = Q* = 1.047 — рис. 4, е. Данные для рис. 4, с получаются из приведенных заменой 9° на -9°. В правой части таблицы 5 приведены данные для формы с угловой точкой, соответствующие рис. 4, ! и /. Из точки у = 1, г = 0 при Q < Q* выходят три решения, а при Q > Q* —одно. Решение в правой части таблицы 5 при Q < 0.26 не может быть построено, исходя из системы (2.6), ибо 9° < п/2, и части меридиана входят в контакт. При Q ^ 1.132 наблюдается неограниченное раздувание торобразной оболочки и ее разрушение.
Таблица 5
<9 ЕЦ У ЕЦ У
0.1 0.721 0.020 1.476
0.2 1.000 0.044 1.641
0.3 1.212 0.070 1.824 1.737 0.048 1.511
0.5 1.566 0.137 2.357 2.291 0.107 2.291
0.8 2.090 0.296 3.644 2.825 0.282 4.059
1.0 2.651 0.526 6.324 3.079 0.537 6.676
1.047 3.142 0.645 8.093 3.142 0.645 8.093
1.1 3.335 0.841 10.856
1.13 3.309 1.127 15.722
1.132 3.327 1.200 17.167
Равновесные формы, соответствующие рис. 4, а, отделены от остальных случаев, которые переходят друг в друга. В таблице 6 для ряда давлений Q приведены начальный угол наклона 9°, начальная деформация меридиана £ц, минимальное расстояние у° от оси вращения и безразмерный объем тора V. Решение при Q > 2.7 не может быть построено, исходя из системы (2.6), ибо 9° < -п/2, и части меридиана входят в контакт. В случае рис. 4, а тор занимает существенно меньший объем и выдерживает большее давление.
Видим, что одому и тому же давлению может соответствовать несколько положений равновесия, показанных на рис. 4. В п. 8 исследуется их устойчивость.
7. Приближенное решение для торообразной оболочки с нерастяжимой
нитью. Предположим, что р ^ 1. Для приближенного вычисления форм меридиана, изображенных на рис. 4, 6 и с, можно использовать формулы, полученные в разделе 5. Найдем первые члены асимптотического разложения решения системы уравнений (2.6)
Q £11 Уо У
0.1 -0.508 0.020 0.517 1.377
0.5 -0.721 0.105 0.511 1.594
1.0 -0.864 0.230 0.492 1.925
2.0 -1.186 0.570 0.465 2.984
2.7 -1.558 1.015 0.488 4.799
для случая полностью растянутой торообразной оболочки с нерастяжимой нитью, соответствующего рис. 4, e и f.
Решение системы (4.1) ищем в виде (4.3), однако вместо граничных условий (4.2) следует взять условия
9(0) = Z (0) = Z(n) = Y(n)=0. (7.1)
В нулевом приближении
а a A sin(/3p) Q
во — pip, Со —-----т.--, Р——•
в ао
Из равенства Со(п) = 0 следует, что в — натуральное число. Выбрав в =1, получим
ао = Q, 9о = р, Со = sin р, Yo = 1+cos р. (7.2)
Решение системы уравнений первого приближения (4.5), удовлетворяющее граничным условиям
01 (0) = Zi (0) = Zi(n) = Yi(n) = 0,
имеет вид
n f 1 c \ 3c
0.1 = 1] cos (p + - cos2 p + Q [Q + - + - , 9i = B(p + 2sinp) - — sin2p,
2 \ 2 4 J 8
<, = Q sin у + В (y cos у - sin у - у + i sin 2y) + j sin3 (7.3)
B c
71 = Q(1 + cosp) + — (cos2p — 2psinp — 2 cosp — 3) — ^(cos3 p + 1),
где
n _ 1 _ ^
2 _ C’ C~Q-
При Q = Q* = 2n получаем B = 0, 0i(n) = 0, 0(п) = п, что соответствует форме
меридиана, изображенной на рис. 4, e.
8. Исследование устойчивости. Потенциальная энергия П, накопленная в торо-бразной оболочке, складывается из энергии растянутых нитей Щ и энергии сжатого воздуха П2:
П-Щ+ П2, П1 — — / (LniCie\ 1 т " r'- "2
f (LniCiei + Ln2C2g2(y)) йво. (8.1)
Jo
При исследовании устойчивости примем адиабатический закон расширения воздуха
рт“=р°«а, (8.2)
где р и v — текущие значения давления и объема, po — атмосферное давление, vo — объем, который занял бы заключенный в торе воздух при атмосферном давлении, а — показатель адиабаты (при изотермическом расширении а =1). Тогда
П = fV qdv = р vF(Z) F(Z) = I 1 + (Za - aZ)/(a - 1)j a> 1
П2 = ~L q = P0 K)’ F(Z)^1 - C + Z log Z, a = 1,
где q = p - po, Z = vo/v =(1 + q/po)i/a.
В безразмерных переменных энергия (8.1) записывается в виде
П = сП, П=/ м(е1 + ng2(y))dp + PoF(Z)V, (8.3)
Jo
где
с = 7гi?2C’1n1, Ро = 77“—, V = [ y2dzi.
Cini Jo
При последующем варьировании постоянный множитель с может быть опущен. Запишем первую вариацию:
Ш=2/" ^(eiJei + ng(y)Jy)dp - QJV, (8.4)
o
где Q то же, что и в (2.6), причем последнее слагаемое не зависит от показателя адиабаты а. При вычислении ^П удобно перейти от независимых вариаций Jy и Jzi к связанным с ними по формулам
Jy = cos 0Jw — sin 0Ju, Jzi = cos 0Ju + sin 0Jw (8.5)
вариациям Ju и Jw. Тогда
fei = — (5v! + 9'Sw), ( У = ——, JV = [ 2цу(\-\-£i)5w dp (8-6)
M Jo
и вариация (8.4) функционала (8.3) принимает вид
Jri = 2 / ([ei0/ — MQy(1 + ei) + Mng(y) cos 0]Jw — [ei + Mng(y) sin 0]Ju) dp. (8.7)
o
При выводе соотношений (8.6) и (8.7) проводилось интегрирование по частям, причем внеинтегральные члены равны нулю в силу равенств Ju = Jw = 0 в точке контакта с нерастяжимой нитью.
Приравнивая первую вариацию (8.7) нулю, в силу произвольности Ju и Jw приходим к первым двум уравнениям (2.6), что служит проверкой вычислений. Устойчивым положениям равновесия соответствует положительная определенность второй вариации функционала (8.3). Однако в связи с техническими трудностями ее вычисления начнем с решения более простой задачи. В положениях равновесия будем вычислять функции II(Vo), где Vo = VZ — безразмерный объем закачанного воздуха при атмосферном давлении. Глобально устойчивым будет то из положений равновесия, для которого при данном Vo значение функции H(Vo) является наименьшим.
В качестве примера рассмотрим устойчивость положений равновесия, приведенных в таблицах 3 и 4. В дополнение к значениям параметров м = 0.3, п =1 положим Po = 2, a =1 (т. е. рассмотрим изотермическое расширение).
1 2 3 4 5 6 7
У П Я П Я П Я
0.5 0.037 0.263 0.004 0.109 0.008 0.199
1.0 0.224 0.540 0.169 0.554 0.304 1.117
2.0 0.831 0.840 0.804 0.882 1.502 2.067
3.0 1.585 0.979 1.581 0.998 3.044 2.536
3.5 1.992 1.021 1.991 1.029 3.880 2.697
3.92 2.343 1.047 2.343 1.047
4.0 2.410 1.051
5.0 3.260 1.091
6.0 4.150 1.113
8.56 6.430 1.132
В таблице 7 для ряда значений закачанного объема воздуха V) при атмосферном давлении для положений равновесия, показанных на рис. 4, приведены значения накопленной энергии П и давления воздуха Я. Значения в столбцах 2 и 3 при Я < Я* = 1.047 соответствуют рис. 4, й, при критическом давлении Я = Я* — рис. 4, е и при Я > Я* — рис. 4, а; значения в столбцах 4 и 5 при Я < Я* соответствуют рис. 4, Ь и с, а при Я = Я* —рис. 4, е; наконец, значения в столбцах 6 и 7 соответствуют рис. 4, /. Пропуски в нижних частях столбцов 4-7 указывают на то, что соответствующих положений равновесия нет.
Приведенные в таблице 5 данные говорят о том, что при Я < Я* (или при V) < 3.92) энергия П минимальна в положениях, показанных на рис. 4, Ь и с, а при Я > Я* —на рис. 4, f. Следовательно, для рассмотренных значений параметров глобально устойчивыми являются положения равновесия, для которых меридиональное сечение оболочки после деформации является выпуклой кривой. Весьма вероятно, что последнее утверждение, численно проверенное для ряда примеров, справедливо и в общем случае.
Установим неустойчивость положений равновесия, показанных на рис. 4, а и й. Для этого найдем вторую вариацию, знак которой определяет устойчивость положения равновесия. Приведем ряд вспомогательных соотношений. Имеем
ов = ——----------—,
м(1 + єі)
Варьируя (8.2), получаем
^(у) = Н<5у, Н
У > 1, У < 1.
(8.8)
Щ =--------V-----Ро = ^ЕА’
После интегрирования по частям ряда слагаемых и упрощений находим вторую вариацию
(52П =—-—^ ^2уИ 2/(1 + єі)6и) скр^ П (1р>,
(8.9)
2П = ^(^Єі)2 — (єі^ш)'^ — ^ф(1 + Єі)^ш £у — ^^у ^Єі+
+^^Н(^у)2 — дап^і £0,
причем вариации £у, ^ех, £0 выражаются через независимые вариации £м, по формулам (8.5) и (8.8).
Ограничимся исследованием устойчивости симметричных относительно диаметральной плоскости форм равновесия, показанных на рис. 4, а, на рис. 4, й и на рис. 4, /. В силу симметрии функции у, ех, 0' являются четными, а функции 0, г — нечетными.
Для исследования устойчивости симметричных положений равновесия возьмем вариации, описывающие переход к несимметричным положениям: функцию ^ш(р) считаем нечетной, а ^м(р) —четной. Тогда обращается в нуль первое слагаемое в (8.9), что существенно упрощает вычисления. Будем рассматривать малые колебания около положения равновесия, положив
где ш — частота колебаний. Тогда функции и, Ш будут удовлетворять системе уравне-
Ищем решение однородной системы (8.10), удовлетворяющее граничным условиям
Существование ненулевого решения краевой задачи (8.10), (8.11) при Л < 0 говорит о неустойчивости положения равновесия. Константа сх > 0 в (8.10) зависит от поверхностной плотности оболочки, однако, для суждения об устойчивости рассматриваемого положения равновесия ее величина не имеет значения.
Запишем систему (8.10) в виде, удобном для численного интегрирования:
и' = - (0' - (1/2)^у)Ш
ехШ' = р(1 + ех)0 + (1/2)(ех0 — сов 0)и,
Е' = — ((ех0' — соя0)Ш' + 2^п^0'исов0) /(2р(1 + ех)) —
—рпН(Шсоя0 — ияш0) бш0 + (1/2)рЯ(1 + ех)Шят0 — Ли,
0' = 0'(и' + 0'Ш )/р + (Ш соя 0 — и ят 0)соя 0 — Яу((1/2)и' + 0'Ш ) —
—д^(1+ е!)(Ш соя 0 — (1/2)и 0) — ЛШ.
Неизвестными в системе (8.12) являются функции и, Ш, Е, 0, а коэффициенты определяются при решении системы (2.6).
Расчеты проводились при тех же, что и выше, значениях параметров р = 0.3, п = 1, и была установлена неустойчивость положений равновесия, показанных на рис. 4, а и й и соответствующих невыпуклым формам меридиана. Одновременно была проверена устойчивость положения равновесия, показанного на рис. 4, /.
Отметим, что система (8.12), а следовательно, и устойчивость симметричных положений равновесия не зависит от параметров ро и а, определяющих закон расширения воздуха.
ний
где после отделения времени £ функция П в (8.9) представлена в виде
П = П(и', и,Ш',№,<£>).
и (0) = Ш (0) = 0, и'(п) = Ш (п) = 0.
(8.11)
1. Шихирин В. Н., Ионова В. Ф., Шальнев О. В., Котляренко В. И. Эластичные механизмы и конструкции. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2006. 286 с.
2. Ермолов В. В. Прошлое, настоящее и будущее пневматических строительных конструкций // Пневматические строительные конструкции / Под ред. В. В. Ермолова. М.: Стройиздат, 1983. С. 3-47.
3. Методы расчета разверток геометрических элементов резинотканевых пневматических изделий / Под общ. ред. А. С. Миловидова, В. М. Щегловой, М.: ЦНИИТЭНефтехим, 1978. 93 с.
4. Кузьмина Р. П. Мягкие оболочки. М.: Факториал Пресс, 2005. 256 с.
5. Алексеев С. А. Основы общей теории мягких оболочек // Расчет пространственных конструкций. М.: Оборонгиз, Стройиздат. №11. 1969. С. 31-52.
6. Балабух Л. И., Усюкин В. И. Приближенная теория мягких оболочек вращения // Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. С. 230-235.
7. Бидерман В. Л., Бухин Б. Л. Расчет безмоментных сетчатых оболочек // Тр. VI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. С. 948-953.
8. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 232 с.
Статья поступила в редакцию 2 сентября 2009 г.
