CC BY
15
УДК 539.3:624.074.4
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ГЕОМЕТРИИ НА НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
© 2011 г Т.В. Сигаева1, А.С. Юдин2
1Южный федеральный университет, 1Southern Federal University,
ул. Мильчакова, 8, г. Ростов-на-Дону, 344090 Milchakov St., 8, Rostov-on-Don, 344090
2Научно-исследовательский институт механики и прикладной 2Scientific Research Institute of Mechanics and Applied математики Южного федерального университета, Mathematics of Southern Federal University,
пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090 Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090
Анализируются альтернативные варианты геометрии осесимметричных оболочек, моделирующих устройства для создания распорных усилий. К ним относятся, в частности, плоские домкраты, применяемые для выравнивания сооружений. Сравниваются напряженные состояния оболочек разных форм на начальных стадиях нагружения в предположении линейно-упругого поведения материала.
Ключевые слова: оболочки вращения, варианты формы, внутреннее давление, напряженное состояние, сравнительный анализ.
Alternative geometry variants of axisymmetric shells modelling the devices for creation of outward efforts are analyzed. The flat jacks applied to alignment of constructions cover them, in particular. Shells stress intensity of different forms at initial stages of loading within the scope of linearly-elastic theory are compared.
Keywords: shells of revolution, variants of the forms, internal pressure, stress state, comparative research.
1. При радиальном осесимметричном деформиро-
вании оболочки все функции зависят только от меридиональной координаты а!. Для решения таких крае-
вых задач воспользуемся уравнениями осесиммет-ричного напряжённо-деформированного состояния тонких упругих оболочек вращения в рамках геомет-
рически-нелинейной теории квадратичного приближения [1]. В общей теории оболочек в качестве специальной системы отсчета используется триэдр срединной поверхности. Связи компонент деформаций с перемещениями в этой системе имеют вид еп(аь z) = £11(0,1) + z • ^п(а1) , 622 (01, z) = £22 (01) + z • К22 (01) ,
Ец = u' + k^w + /2; E22 = yu + k^w fy = —w' + k1u , K11 = —&1, K22 ,
(1)
у=^2/^2, (...) = с1(...)/(Аса.1). Здесь и, w - смещения срединной поверхности; ^ -угол поворота нормали; А1, А2 - коэффициенты Ля-мэ; ¿1, ¿2 - главные кривизны. Положительное направление нормали считается внешним к оболочке.
Уравнения равновесия в усилиях и моментах следуют из принципа Лагранжа на основе кинематики (1): Т'1 + у(Т„ -Т22) + ¿1611 + д1 = 0, 01 + У011 - ¿1Т11 - ¿2Т22 + 43 = 0 , М'п+У(МП -М22) - 011 - ад = 0. Соотношения упругости для изотропных оболочек имеют вид
Г11 = В(Еп +У£22) , Г22 = В(£22 +У£ц) , М11 = Б(Кп +УК22) , М22 = 0(К22 + уКц) , В = ЕН/(1 -V2) , Б = ЕН3 /[12(1 -V2)],
где ^и Б - эффективные жесткости оболочки на растяжение-сжатие и изгиб соответственно; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.
Напряжения и интенсивность напряжений определяются формулами:
ст11 = £v (611 + V622) , ^22 = £v (622 + V6ll) ,
£v= £/(1 -V2), (2)
а = (ап +СТ22~СпС22) .
Краевые условия следуют из требования обращения в нуль контурных интегралов функционала Ла-гранжа. В случае однородных краевых условий в концевых точках рассматриваемой части конструкции приравниваются к нулю или обобщенные перемещения, или обобщенные усилия:
и(1 У1) + У1?11 = 0 , ^(1 - У2) + У2011 = 0,
&1(1 -У3)+УэМ11 = 0, а1 =аи;
и(1 -У4) + У4Т11 = 0 , ^(1 -У5) + У5011 = 0 ,
&1(1 -У6) + У6М11 = 0 , а1 = а12 , где переключатели yJ принимают значения 0 или 1 и позволяют задавать разные варианты краевых условий.
Введём основные функции: >>1 = Гц , >>2 = 011 , >>3 = Мц , >4 = и , >5 = W , >6 =^1 . Для них формируется каноническая система обыкновенных дифференциальных уравнений 6-го порядка: У' = /(а1, у) + Р1(а1) = 0, У = СУь.^>6), 1 = Оь..-/6), р = (-4Ь - 43,0,0,0,0). Правые части /.■ даются формулами:
/1 = У(Т22 - >1) - к1У2 , /2 = + к1У1 + к2Т22 ,
/3 = ^(М22 - >3 ) + >2 + >1>6 ,
/4 = £11 - >1 - ¿1>5 - 0,5>6 , /5 = ¿1>4 - >6, /6 = К11 , где £22 = уи + k2W, К22 = ^>6,
Кц= >3/Б - vK 22 , £11 = >1/В ^£22 ,
Т22 = В(£22 +vЕll) , М22 = Б(К22 +vKll).
При реализации алгоритма уравнения приводятся к безразмерному виду по формулам:
{и, W, и, w, Н, z}U = {...}Б /Н*,
{Аь А2}и = {...}б / Я*,
{къ Kll, К22}и = Я*{...}Б ,
61Ь 622, Е11, £22}и = {...}Б /6* ,
{СТП, СТ22, с}и = {...^ / (Е«6« ) ,
{Т11, Т22, бц}и = {...БЯ* / А*, (3)
{М11,М22}и = {...}бЯ* /Б* ,
{41, 43}и = {...}дЯ*/А*, Ви = Вд /В*,
Е>и = Бд / Б*, Еи = Ед / Е*, где 6*= Н* /Я* , В* = Е*Н* /(1 - V2), А* = В*Н*, Б* = В*Н*2. Нормирующие параметры £* , V* , Я* , Н* имеют смысл и размерность характерных модуля Юнга, коэффициента Пуассона, радиуса кривизны или линейного размера, толщины. Безразмерные величины объединены в группы фигурными скобками с индексом и в левых частях равенств. Их размерные аналоги подразумеваются в скобках с индексом Б в правых частях формул (3). После перехода к безразмерным величинам система разрешающих уравнений принимает вид
фу /ёа1 = А£(а1, у), ■ = 1, ...,6 ;
F1 = V(T22 — л)— к1У2 — 41, F2 = —W2 + к1У1 + k2T22 — 43 > F3 = V<^22 — У3) + У2 /s* + У1У6 > F4 = Е11 — У1 — к1 У5 — 0,5е*y6, f5 = к1У4 — Уб> F6 = Ku/ S*; Е22 = vu + k^w, K22 = е*ЖУб, Кц= Уз / ^ — VK22 , E11 = У1/в — vE
(4)
•22 >
(5)
Т22 = В(Е22 + vЕll) , М22 = Б(К22 + К ) . Для упрощения записи далее индекс и опущен. В замкнутой форме правые части (5) системы (4), выраженные полностью через независимые функции >у ,
для изотропной оболочки имеют вид 2
Р1 = у[(V -1)>1 + В(1 - V )(+ ¿2>5)] - ¿1>2 - 41 ,
£2 = + (¿1 +■^2)>1 + ¿2В(1- V2)(^>4 + ¿2>5) - 43 , 2
£3 =У[(V 1)>3 + Б(1 -V )б*у>6] + >2/ 6* + >1>6 , (6)
2
£4 = >1 /В - ^>4 - (¿1 + >5 - 0,56*>6 ,
£5 = ¿1>4 - >6 , = У3 / (6*Б) - ^6 .
2. Рассматриваются оболочки вращения составной геометрии, образованные соосными круглыми пластинами (возможно, слабо искривлёнными), которые соединены на внешних контурах торовой оболочкой. Кроме осевой симметрии, оболочка обладает симметрией
относительно плоскости, эквидистантной пластинам, поэтому можно рассматривать лишь половину конструкции (например, верхнюю часть). Такую конструкцию, представленную в качестве прототипа, можно найти в [2]. В прототипе меридиан верхней половины оболочки составлен из 3 участков: отрезка прямой, вогнутой и выпуклой дуг окружностей разных радиусов.
Введем координаты характерных точек на радиальной оси: г0 - радиус цилиндрического штифта; г -радиус пластины; ^ - точка сопряжения дуг окружностей; гт - точка максимума ординаты тора; гъ -внешний радиус срединной поверхности оболочки. Тогда для прототипа участками меридиана являются: отрезок прямой при г е [го, ^ ], вогнутая дуга окружности радиуса Я} при г е[гь Г2], выпуклая дуга окружности радиуса Я 2 при г е [г2, Г3]. Не очень желательным свойством такой формы является скачок кривизны со сменой знака, что приводит к концентрации напряжений в окрестности стыка дуг окружностей при нагружении внутренним давлением.
В качестве альтернативы рассмотрим варианты, в которых меридиан образован элементами известных кривых [3]:
1. Отрезок прямой при г е[го, г] , овал Кассини при г е [г}, Г3].
2. Экспонента в сегменте г е[го, гт] , выпуклая дуга окружности радиуса Я 2 при г е[гт, гз].
3. Локон (верзиера, или верзьера) Аньези при г е[го, гт ] , выпуклая дуга окружности радиуса Я} при . г е [гт, гз].
4. Локон Аньези в сегменте г е[го, гт] , улитка
Паскаля при ге [гт, г3].
5. Варианты единой кривой, образованной степенной, дробно-рациональной, экспоненциальной и логарифмической функциями, г е [го, гз].
Естественно, уравнения кривых используются не в классическом, а в модифицированном виде с коэффициентами, управляющими формой и масштабами по координатам. Подбор параметров выполняется таким образом, чтобы сохранить основные габаритные размеры оболочки по диаметру О = 2(гз +1,5) = 52о и высоте торовой части ИТ = 39 , мм. Другие параметры прототипа имеют значения: го = 8 , г} = 2о4,3 , гт = 239, г3 = 258,5 , Я} = 24,4, Я2 = Ш,5 , к} = 3 , где к} - толщина оболочки.
Цель анализа - поиск вариантов, оптимальными характеристиками которых являются: а) уменьшение числа составляющих участков; б) более сглаженное поведение кривизны меридиана; б) снижение напряженности в торовой части оболочки.
Основное внимание к торовой части определяется сложностью её рабочего цикла деформирования по сравнению с центральной. Последняя играет роль прижатой к жёсткому вкладышу платформы и в основной стадии подъёма деформируется в своей плоскости как мембрана. Торовая часть испытывает и тангенциальные, и изгибные напряжения.
Рассмотрим вариант 1, исходя из уравнения
(кхх2 + куу2)2 - 2е2к^хх2 - gyy2) - Ас = о, (7)
где Ас = ак4 - с^ . Левая часть - чётная функция по переменным х и у, т.е. имеет симметрию относительно осей координат. В центре (при х = о) касательная к кривой (7) горизонтальна, что дает возможность обеспечить плавное сопряжение тора с пластиной.
Получим уравнение кривой в явном виде, разрешённом относительно вертикальной ординаты. Полагая У = у2 и вводя обозначения
2 2 2 Акш (х) = С gy + кхкух 2)/к; ,
2 2 2 4 2 Скж (х) = (Ас + 2ск gxX - кх х )/ку, , на основе (7)
2
получим уравнение У + 2Аказ (х)У - Са (х) = о. Нужное решение имеет вид
УК}(х) = -АКа* (х) + ^[АКаз (х)]2 + СКаз (х) . Перейдём к цилиндрическим координатам (г, ,
выполним масштабирование и сдвиг кривой по оси г . Получим функцию
Z0K (r) = KMz■
K1
fr - ^
K
Mr
(8)
Условие габаритной эквивалентности выполняется при следующем наборе значений параметров: КМг = }5,9, КМг = }8,8, ск = 1,4k967kk , ак = ^445,
кх = },о, к у = о,5, gx = 2,о2, gy = },8.
Вид кривой (8) показан на рис. 1 сплошной линией, в то время как пунктир соответствует прототипу.
Рис. 1. Меридианы торовых участков прототипа (пунктир) и варианта 1
Аналогично строятся и другие кривые. Для вариантов 2-4 соответствующие графики представлены на рис. 2, где номера кривых соответствуют номеру варианта, а «0» обозначает прототип.
Рис. 2. Варианты меридиананов 2-4 и исходной оболочки 0
В вариантах типа 5 подобраны кривые, 2 из которых представлены формулами:
fl(r) = 4z
л
х 1оя
rt1c - r V A1r У
Л
С
r - r1c
V A1r У
+а.
•exp[(Г1с - r)] X
(9)
A1z = 1,1, X10 = 10, Xu = 4,8, A1r = 20, r1c = 230, B1z = 3, X1e = 0,05 .
f2(r) =
- A2z r - r2c
r2c - r
A
-X
20
2r
r2c - r
A
-X
20
2r
+ B'
'2 Z :
• exp[-X21(r2c - r)"e ] x (10)
А2г = о,48, Х2о = 2,о, = оД2, А2г = о,8 , г2с = 264, Б2г = 2,5, пе = о,95, пс = 2,65 .
Графики кривых показаны на рис. 3, где сплошная линия соответствует формуле (9), штрих-пунктир -формуле (10), а пунктир - прототипу.
Рис. 3. Меридианы типа 5 и оболочки прототипа 0
Сходный с рис. 3 вид имеют кривые, которые получаются из (9), (10) удалением логарифмических функций и некоторой перенастройкой параметров.
Если ордината меридиана задана функцией 2 (г), тогда коэффициент Лямэ А}, угол наклона нормали к оси вращения Фо, главные кривизны к}, к2 и функция у определяются формулами:
А} (г) = ^ + (С2 (г) / Сг )2 , Фо (г) = -аг^(С2 (г) / Сг), к} (г) = [СФо (г) / Сг] / А} (г), к2 (г) = 8ш[Фо (г)] / г, у(г) = ео8[Фо(г)]/г . (11)
Некоторые из рассмотренных кривых на правом краю могут иметь касательные, близкие к вертикальным. Поэтому от полярного радиуса в качестве независимой координаты целесообразно перейти к отсчёту по длине дуги 5, записав уравнение меридиана и все параметры оболочки как функции от 5 . В аналитическом виде это относительно легко выполняется для исходной оболочки, образуемой дугами окружностей. В случае более сложных кривых необходимо использовать численный подход.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом, который определяет длину дуги как функцию полярного радиуса:
s(r) = 1 + Z,r (r)dr .
(12)
На сетке значений г, / = о,...,N вычислим соответствующие значения я по формуле (12). Далее, рассматривая я как значения независимой переменной, с помощью локальной линейной или сплайн-интерполяции можно получить функцию г(з) . Заменяя г на г(з) , приходим к уравнению меридиана как функции аргумента 5 : г(я) = 2(г(з)) (замена аргумента г на г(з) выполняется также в геометрических функциях (11)).
Материал оболочки однородный (сталь) с модулями Е и V. При переходе к безразмерным величинам в (3) в качестве характерных параметров принимались Е* = Е, И* = И, Я* = г}, к* = й.
Краевые задачи для системы уравнений с правой частью (6) рассматривались с граничными условиями: на левом (в окрестности центра оболочки) - подвижное защемление с разрешённым вертикальным перемещением; на правом краю (внешний контур) - неподвижное защемление (заделка). Краевая задача решалась алгоритмом метода погружения в задачи Ко-ши (методом пристрелки).
Задавались 2 варианта нагружения внутренним давлением (д = о, ^3 ф о). Вариант А - давление интенсивности 0,1 МПа (безразмерное ^3 = о,оо2) действует на всю поверхность оболочки; Б - давление интенсивности 0, МПа (безразмерное ^3 = о,о}2 ) действует только на торовую часть при г} < г < г3. Варианты моделируют начальный этап выборки зазора между грузом и оболочкой и в какой-то мере стадию плотного контакта оболочки с вкладышем при наличии сопротивления от сооружения, компенсирующего внутреннее давление в зоне платформы. Поэтому в варианте нагружения Б центральная часть оболочки (с жестким вкладышем) работает практически без изгиба.
В качестве примера на рис. 4 представлена интенсивность напряжений ст (2) для торовой части оболочки типа 1 с овалам Кассини (сплошные кривые) в сравнении с оболочкой-прототипом (пунктир) при нагружении типа Б для срединной поверхности (рис. 4а) и лицевых: б - внешней, в - внутренней.
Для оболочек типа 1 расположение опасных точек примерно такое же, что и у прототипа, но заметно меньшие уровни напряжений. Аналогичными свойствами обладает вариант 2. Поэтому исследование форм разных типов актуально с целью поиска резервов прочности. Понятно, что рассматриваемые оболочки работают при больших перемещениях и деформациях с выходом за пределы упругости. Учёт этих факторов при более сложном моделировании ставится целью дальнейшего развития задачи. Однако наблюдения за работой прототипной оболочки во всём диапазоне перемещений показывают, что зоны, обнаруживаемые в упругом расчете как наиболее напряжённые, остаются таковыми и при дальнейшем росте нагрузок. При цикличной работе конструкции, когда после работы на подъём производится принудительное возвращение конструкции к номинально исходной форме и повторение этих процессов, в зонах максимумов напряжений накапливается малоцикловая усталость материала (микротрещины), приводящая к постепен-
n
с
Г
0
ному разрушению конструкции. Таким образом, относительно простой упругий расчёт уже дает информацию о вероятных зонах разрушения.
0,01
1.32
Рис. 4. Интенсивность напряжений для оболочек 0 и 1
Работа выполнена при поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 гг.
Литература
1. Юдин А.С. Эффективные модели для составных оболо-
чек вращения // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 184-188.
2. Юдин А.С., Юдин С.А., Кутасов И.А. Оболочка враще-
ния типа «тор-пластина» при больших перемещениях // Соврем. проблемы механики сплошн. среды: тр. XIII междунар. конф. Т. 2. Ростов н/Д, 2009. С. 201-205.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по матема-
тике для инженеров и учащихся втузов. М., 1980. 976 с.
Поступила в редакцию
20 апреля 2011 г.
в
а
б
