Крутильные колебания оболочки вращения со сложной формой меридиана Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ СО СЛОЖНОЙ ФОРМОЙ МЕРИДИАНА*

© 2015 г. С. С. Макаров, Ю.А. Устинов

Макаров Сергей Сергеевич - аспирант, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: makarov-sergey-rostov@mail. ru

Устинов Юрий Анатольевич - доктор физико-математических наук, профессор, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027; кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: ustinov_rsu@mail.ru

Makarov Sergei Sergeevich - Post-Graduate Student, Department of Theory of Elasticity, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: makarov-sergey-rostov@mail. ru

Ustinov Yurii Anatolevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia; Department of Theory of Elasticity, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: ustinov_rsu@mail.ru

Для оболочек вращения со сложной формой меридиана и переменной толщиной разработаны методы исследования собственных крутильных колебаний. На основе полученных алгоритмов для цилиндрической оболочки исследовано влияние параметров, характеризующих переменную толщину по оси оболочки, на собственные частоты и формы колебаний. Для оболочек с выпуклым и вогнутым меридианом построены зависимости первой и второй собственных частот от амплитуды выпуклости (вогнутости).

Ключевые слова: оболочка вращения, крутильные колебания, переменная толщина.

Developed the research methods of natural torsional oscillation for revolution shells with complicated shape of meridian and variable thickness. Investigated influence ofparameters describing a variable thickness along the axis of the shell, on the natural frequencies and mode shapes for cylindrical shell on the basis of the developed algorithms. Constructed dependences to the first and second naturalfrequencies on the amplitude of the convexity (concave) for shells with convex and concave meridian.

Keywords: shell of revolution, torsional oscillation, variable thickness.

Для оболочек вращения со сложной формой меридиана и переменной толщиной разработаны методы исследования собственных крутильных колебаний. На основе полученных алгоритмов для цилиндрической оболочки исследовано влияние параметров, характеризующих переменность толщины оболочки, на собственные частоты и формы колебаний. Для оболочек с выпуклой и вогнутой формой меридиана построены зависимости первой и второй собственных частот от геометрических параметров.

Исследованию динамического поведения оболочек с переменной толщиной посвящено значительное число работ. В их числе как вынужденные [1, 2], так и собственные колебания оболочек [3, 4]. Колебаниям оболочек вращения со сложной формой меридиана уделено не так много внимания, как оболочкам с каноническими формами срединной поверхности; [5] - одна из последних работ для таких оболочек.

Настоящая работа посвящена исследованию задач как для цилиндрических оболочек переменной толщины, так и для оболочек вращения с неканонической формой срединной поверхности.

Постановка задачи

Рассмотрим оболочку вращения, у которой И = И(2), г = г(2), 7 е [0, X], где к — толщина оболочки; г — радиус срединной поверхности; г - продольная координата; Ь — линейный осевой размер оболочки. Все основные полевые характеристики (смещения, деформации, усилия) будем рассматривать в гауссовой системе координат, связанной со срединной поверхностью оболочки, как функции цилиндрических координат (ф, 2). В этом случае коэффициенты Ляме и главные кривизны гауссовых координат срединной поверхности определяются формулами: А1 = г (г),

А = л

+ r

К =

i

А1А2

К = А '

r = -

dr dz

Пусть ei, e2, e3 - базис Френе срединной поверхности оболочки, где e1 - орт, направленный по касательной к линии z=const; e2 - к линии ф = const; e3 - по нормали к срединной поверхности.

Обозначим через u=(u1,u2,u3) вектор смещений точек срединной поверхности, где ui — его координаты в базисе Френе. При этом компоненты тензо-

*Работа выполнена в рамках проектной части государственного задания № 9.665.2014.К в сфере научной деятельности, в рамках программы Президиума РАН №1 «Фундаментальные проблемы математического моделирования».

ра конечных деформаций срединной поверхности saß и тензора изменения её кривизн Kaß в этом же

базисе определяются формулами [6, 7]

1 2 1 2 1

s11 = e11 +-6>1 , s22 = e22 + ^в2, s12 = e12 +~в1в2 ,

KU = Af1^ + A2-1ÖAA), K- = ß2 + ÄyldvÄ2ei), ^12 = 1 A2Ä-1)+ AÄ^ z (a^ä-1 )] ,

e11 = Ä1-1 (d^u1 + Ä;-15 zÄ1u2 )+ k1u3 , e- = Ä2-1(5zu2 + )+ k2u3 ,

e12 = 1 [ä2 Ä 4 (U2 Ä2-1)+ Ä^Ä215 z (U^Ä-1)],

A1 = - Ä1-15^U3 + k1U1, = -Ä;-19 zu3 + k2u2 ,

где A1, - углы поворота нормали; дф, 3 z - частные производные по ф, z соответственно.

В силу гипотезы Кирхгофа - Лява (<13, <т23, (г33 <<<, <г12, <г22) закон Гука для усилий и моментов можно записать в виде

Тц = B( z)(su + vs—), T— = B(z)(s— + vsu), T12 = B(z)(1 - v)s12, Mu = D( z)(K11 + VK22), M- = D(z)(K— + VKn) , M12 = D(z)(1 - v)k12 ,

F2( z) =

B( z) =

Eh( z)

D( z) =

Eh3(z)

F( z) ■-T-2L + F (z)+ F3 (z)u3 + F4 (z)u =

dz

А А , d2u,

= ДА2 hp—r1,

12 d/2

(2)

Fj(z) = Ä V -1)(B(z) + k2D(z)), F3(z) =1 А^4B(z) , 2 Ä-

1 -v

2 ä2

(b(z) + k2D(z))ää^ - ä2ä; ) - ÄÄ2 (b(z) + £2D(z))

Ft(z) =

v-1

2 Ä,

(B( z) + k? D( z)|ä{

I Ä Ä

' J ÄL _ Ä

Ä1

- äL

- A1 (ß'(z) + k2 D'( z))+ ÄjkjD( z)

Vkj'i-AL- A2+DM ^

1 1| A Ä2 D(z)

1 -И 121

где Е , ^ - модуль Юнга и коэффициент Пуассона.

На основе вариационного принципа Гамильтона получаем следующие уравнения движения:

д, (А2Т11) + Д-1дг (А2тп ) - 5,4722 + А = А А2Ар9?«1,

дж (АТ22) + АЛ (А2Тп) - дгА1711 + А,АК& — АА^рд"'

д,(А,е; )+дг (а&)- (1)

А ^71 ^ А| .^А -Т2 — А йрдг и ,

где р - плотность; д - производная по времени; б*, 2* — полные поперечные силы,

й — б1 - Т116)1 - Т126)2 , 02 — б2 - Т22^2 - Т12^1, б — АГ^А2-1[д^(А2Ми) - д рА^М22 + А1-1д , (¿М)],

02 — А"1 А-1 [д г (АМ22)- д г А1М11 + А-др (а^М^)] .

Ограничимся исследованием крутильных колебаний. Учитывая, что в этом случае м1=м1(г,?), м2=м3=0, интегрирование системы (1) сведём к интегрированию уравнения А1-1дг (а12Т2)+ А1_А2^1б* — А1.А2йрд2м1, которое после преобразований принимает вид д2^ , г? г \ ди\

После линеаризации уравнения (2) получаем

д\ _ F2(г) дм1 ГА(¿) А^Нр д2М1

-Т" —-----"1 +---Т" . (3)

дг2 Е1(г) дг Е1(г) 1 Е1(г) д/2

Решение уравнения (3) будем отыскивать в виде "1( г, г) — . (4)

Функцию, характеризующую изменение толщины оболочки, представим в виде й(х) — (х), где Н0 — й(0), х — . Введём характеристики неоднородности а — шах(Н^Н0 , ¡3 — шт(Н)/Н0 . Вводя 71 — йо , на основании формул (3), (4) получаем 7/— ^(х,^)71 + С(х)7/ , (5)

где О. — у1р/ЕН0ю — безразмерный частотный параметр, а функции Г(х, О), G(х) имеют вид Е (х, О) —

—-ГО2 + А1+ А1 ^ - [(£52 + (х) + 3^'Н'(х)],

О(х) = -, К — 24(1 + , 5 —12 +£12й12(х), S 5

51 — 52 + [4 + £2Н2(х)], 52 — А1 - А2. (6) 1 2 5Н1(х)1 ^^ 2 А А2

Здесь А1, — безразмерные величины, отнесенные к И0.

Будем считать, что на торцах оболочки выполняются граничные условия, отвечающие жесткой заделке:

71 (х) !х=0,Ьо — 0, (7)

где Ь0 — Ь/й, .

Для интегрирования поставленн^1х краевых задач и определения собственных частот крутильных колебаний оболочки вращения уравнение (5) сведём к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка (Шх (х)

dx dY2( x) dx

= Y2(x),

= F (x, Q)Y1 (x) + G( x)Y2 (x),

(8)

краевая задача для которой может быть проанализирована методом пристрелки.

Цилиндрическая оболочка

В случае цилиндрической оболочки

r = R = const, A1 = R , A2 = 1, k1 = R-, k2 = 0 ,

F (x, Q) = -

24(1 + v)RQ ^2 12R02 + h12( x) :

3h1(x) 4Ro2 + h2(x) G( x) = --

где R0 = R/A0 .

Ио\ р "' " Хо-Ко М 24(1 + у) Численные исследования для оболочек переменной толщины проводились при фиксированных значениях: И0 = 0,002 м, Я = 0,1 м, у = 0,3 для следующих законов изменения И (х):

И1( х) = оИ ^ ; И1( х) = 1 + ;

h (x) = 1 + a2 sin ~~ ; h (x) = 2 - ch ; (9)

a, x

2L0 L0

h1( x) = 1--—; h1(x) = 1 -a2sin-;

L

2Ln

h(x) = 1 + a3 sin-, n = 1,2,9,10,

L0

hj(x) = 1 + a3sin2-— , n = 1,2,7,

... ,, . mx r h (x) = 1 ± a4 sin-e 0

n = 5,6,11,12.

7QC о 7DC

только для hl(x) = 1 ±0,2sin— и h1(x) = 1 ±0,2sin

И1( х) 12—02 + И12( X) Замечание. Цилиндрической оболочке постоянной толщины отвечает И (х) = 1, что позволяет строить точные аналитические решения краевой задачи (5)—(7), которые могут служить своеобразными тестами для различных полевых характеристик оболочек переменной толщины, которые определялись на основе численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (8) с граничными условиями (7). Приведем здесь аналитическую формулу для расчета безразмерных собственных частот цилиндрической оболочки постоянной толщины

1 , о /12—о +1

(рис. 1а). В остальных случаях частоты неоднородной цилиндрической оболочки отличались от частот однородной не более чем на 6 %. Заметим, что все законы монотонного возрастания (убывания) показывали довольно близкие результаты: соответствующие частоты отличались не более чем на 4 %.

3. При а е [1,4; 1,5], ¡3 е [0,5; 0,6], в частности,

когда в выражениях (9) а^1, а2=0,5, а3=0,4, а4=0,2, полученные результаты позволяют сделать вывод, что влияние неоднородности на значения частоты крутильных колебаний увеличилось. На рис. 1б представлены некоторые результаты для указанного случая.

Оболочка вращения с переменным радиусом срединной поверхности

Будем считать, что толщина оболочки постоянна, а радиус срединной поверхности г = г(х). В этом случае система (8) принимает вид

^ = У2(х) , ^^ = Р(х,0)ВД + О(хШх),

ах ах

где функции F(х, О), О(х) получаются из (6) при к1(х)=1.

Для численных расчетов выбраны оболочки со следующими законами изменения радиуса срединной поверхности:

Tlx

r( x) = R0 + H0 sin—

L0

r(x) = R0 - H0 sinmx

Ln

(10)

(11)

Численное интегрирование системы (8) осуществлялось методом пристрелки [8].

Приведём некоторые результаты проведенных исследований.

1. При исследовании зависимости первой О1 и второй О2 собственных частот крутильных колебаний от длины оболочки Ь0 установлено, что неоднородность толщины наиболее сильно проявляется для длинных оболочек (Х0 е [300,500]).

2. В случае ае [1,1;1,2], ¡е[0,8;0,9] в выражениях (9): а1=0,5, а2=0,125, а3=0,2, а4=0,5, неоднородность существенно влияла на значение О1, О2

а сами расчеты проведены при следующих значениях параметров: И0 = 0,002 м, X = 0,1 м, Я = 0,1 м, у = 0,3 , причем для выбранных параметров законы изменения радиусов можно условно разделить на выпуклые для Н0 > 0 и вогнутые для Н0 < 0.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы (рис. 2):

1. Для выпуклой оболочки при увеличении амплитуды формы поверхности Н 0 величина первой собственной частоты О1 уменьшается; при этом параметр О1 для вида (11) меньше, чем для вида (10).

2. Для вогнутой оболочки график функции О:(Н0) для обоих законов изменения меридиана (10), (11) имеет немонотонный характер.

3. Вторая собственная частота О2 как выпуклой, так и вогнутой оболочек вращения для обоих законов (10), (11) уменьшается при увеличении амплитудного параметра Н0. Стоит отметить, что для оболочки (11) при Н0 и 6,3 происходит резкое

уменьшение значения О2 в 2 раза.

x

h = 0,002 ; ООО - h = 0,0021 1 + 0,2 sin

h = 0,002 ; ООО - h = 0,002 1 —— I ;

+++ - h = 0,0021 1 + 0,2sin2— I; □□□ - h = 0,00211 -0,2sin—

ooo - h = 0,0021 1-0,2 sin2 —

L

+++ - h = 0,002l 1--I; □□□ - h = 0,002

2L„

8L„

1 - 0,05sin—

(

ООО - h = 0,002

1 - 0,2sin—eL L

Рис. 1. Зависимости безразмерных частотных параметров О , О от безразмерной длины Ь0 для цилиндрической оболочки с постоянной и переменной толщиной: а — при слабой неоднородности (а е [1,1; 1,2], 3 е [0,8; 0,9]); б — при увеличении параметра неоднородности (ае [1,4; 1,5], 3 е [0,5; 0,6])

б

nx

, nx

r(x) = R + Я0sin—; °°° - r(x) = Ä0+^0sin2— ; .......- r(x) = R-H^in—; ооо - r(x) = R-H0sin2—

L0 L0 L0 L0

Рис. 2. Зависимости безразмерных частотных параметров выпуклой и вогнутой оболочек вращения от безразмерной амплитуды формы И0: а — О1; б — О2

б

а

x

L

0

а

Выводы

На основе проведенных исследований установлено, что для цилиндрических оболочек с монотонно изменяющейся толщиной значения первых двух собственных частот крутильных колебаний Qj, Q2 слабо отличаются от аналогичных значений для цилиндрической оболочки с h = const, а при некоторых немонотонных законах изменения толщины это влияние значительно сильнее.

Анализ первой частоты для оболочек вращения с постоянной толщиной и переменным радиусом выявил, что для вогнутой оболочки функция Q (H0) имеет немонотонный характер, для выпуклой — убывающий.

Заметим, что значения первой Q и второй Q2

собственных частот оболочек вращения с выпуклым меридианом выше, чем соответствующие значения , Q2 для оболочек с вогнутой формой срединной поверхности, как в случае переменной толщины и постоянного радиуса, так и в случае постоянной толщины и переменного радиуса.

Литература

1. Mohammad Zamani Nejad, Mehdi Jabbari, Mehdi Ghannad. Elastic analysis of axially functionally graded rotating thick cylinder with variable thickness under nonuniform arbitrarily pressure loading // Int. J. of Engineering Science. 2015. Vol. 89. Р. 86 — 99.

2. Мейш В.Ф., Шипицына Т.В. Осесимметричные колебания цилиндрических оболочек переменной толщины при действии нестационарной нагрузки // Проблеми обчислювально! мехашки i мщносл конструкцш. 2013. Вип. 21. С. 167 - 177.

3. Duan W.H., Koh C.G. Axisymmetric transverse vibrations of circular cylindrical shells with variable thickness // J. of Sound and Vibration. 2008. Vol. 317, №. 3—5. Р. 1035 — 1041.

4. Suzuki K., Kosawada T., Shikanai G. Vibrations of rotating circular cylindrical shells with varying thickness // J. of Sound and Vibration. 1993. Vol. 166, iss. 2. P. 267-282.

5. Пузырев С.В. О свободных колебаниях гофрированных цилиндрических оболочек переменной толщины // Науковi пращ. Комп'ютерш технологи, 2012. Вип. 179, т. 191. C. 46 — 48.

6. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М., 1989. 373 с.

7. Гетман И.П., Карякин М.И., Устинов Ю.А. Анализ нелинейного поведения круглых мембран с произвольным профилем по радиусу // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, вып. 6. C. 917 — 927.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., 1978. 512 с.

References

1. Mohammad Zamani Nejad, Mehdi Jabbari, Mehdi Ghannad. Elastic analysis of axially functionally graded rotating thick cylinder with variable thickness under nonuniform arbitrarily pressure loading. Int. J. of Engineering Science, 2015, vol. 89, pp. 86-99.

2. Meish V.F., Shipitsyna T.V. Osesimmetrichnye kolebaniya tsilindricheskikh obolochek peremennoi tolsh-chiny pri deistvii nestatsionarnoi nagruzki [Axisymmetric vibrations of cylindrical shells of varying thickness under the influence of unsteady loads]. Problemi obchislyu-val'noi mekhaniki i mitsnosti konstruktsii, 2013, vol. 21, pp. 167-177.

3. Duan W.H., Koh C.G. Axisymmetric transverse vibrations of circular cylindrical shells with variable thickness. J. of Sound and Vibration, 2008, vol. 317, no 3-5, pp. 1035-1041.

4. Suzuki K., Kosawada T., Shikanai G. Vibrations of rotating circular cylindrical shells with varying thickness. J. of Sound and Vibration, 1993, vol. 166, iss. 2, pp 267-282.

5. Puzyrev S.V. O svobodnykh kolebaniyakh gofri-rovannykh tsilindricheskikh obolochek peremennoi tolsh-chiny [About free vibration of corrugated cylindrical shells of variable thickness]. Naukovi pratsi. Komp'yu-terni tekhnologii, 2012, no 179, vol. 191, pp. 46-48.

6. Vorovich I.I. Matematicheskie problemy nelineinoi teorii pologikh obolochek [Mathematical problems of the nonlinear theory of shallow shells]. Moscow, 1989, 373 p.

7. Getman I.P., Karyakin M.I., Ustinov Yu.A. Analiz nelineinogo povedeniya kruglykh membran s proizvol''-nym profilem po radius [Analysis of the nonlinear behavior of a circular membrane with arbitrary profile along the radius]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2010, vol. 74, no 6, pp. 917-927.

8. Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow, 1978, 512 p.

Поступила в редакцию

12 февраля 2015 г.