CC BY
18
УДК 519.87:539.3 М.Н. Калимолдаев,
д.ф.-м.н., профессор, директор Института проблем информатики и управления МОН
Республики Казахстан, e-mail: mnk@ipic.kz.
Т.Ж. Мазаков,
д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник Института проблем информатики и управления МОН Республики Казахстан, e-mail: mtj61@mail.ru.
С.А. Тусупова,
к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой университета «Туран», e-mail: Saule.Tusupov@mail.ru
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК ПРИ РАЗЛИЧНЫХ _КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ_
M.N. Kalimoldayev, T.J. Mazakov, S.A. Tussupova
RESEARCH NON - AXISYMMETRIC VIBRATIONS OF SHELLS UNDER VARIOUS BOUNDARY CONDITIONS
Аннотация. Рассмотрена задача о влиянии краевых условий на частоты неосесимметричных колебаний цилиндрических оболочек в зависимости от длины и толщины оболочки. Показано, что краевые условия оказывают наибольшее влияние на частоты тонких и коротких оболочек. Так же установлено, что условие, налагаемое на продольное перемещение, во многих случаях оказывает большее влияние, чем условия, которые налагаются на наклон или момент.
Ключевые слова: неосесимметричные колебания, цилиндрические оболочки, краевые условия, частота.
Abstract. The problem about of effect of boundary conditions on frequencies of non - axisymmetric vibrations of cylindrical shells depending on length and thickness of shell is considered. It is shown that boundary conditions make the greatest impact on frequencies of thin and short of shell. Also it is established that a condition imposed on longitudinal displacement in many cases renders a greater effect, then conditions which are impose on an inclination or the moment.
Keywords: non-axisymmetric vibrations, cylindrical shells, boundary conditions, frequency.
Пусть дана упрощенная система уравнений колебаний тонкой оболочки
ô 2u 1 — vô2u 1 + v д 2v ôw Tô2u - +--- +--+ v— = L-
ôt2
ôÇ2 2 ôç2 2 ôÇôç ôÇ 1 + v д2u 1 — vô 2v ô2v ôw r д2v
- + -
- + -
2 ôÇôç 2 ôÇ2 ' ôç2 + ôq> L ôt2 ' ^
ôu ôv ™-t2vt2 T д2w v— + — + w + BV V 2 w = —L-,
ôÇ ôç ôt2
Данную систему уравнений колебаний тонкой оболочки можно привести к более удобному виду [1]:
B V2 V2 V 2V2 w + — =--^l^[—V2V2w +
1 — v
ôÇ4 1 — v2 ôt2
ô2 w „ 4ô2 w 3 — v
+ — + (3 + 2v) —w + 3-BV2 V 2V2 w +
ôç ôÇ 1 — v
L ô2
+ 2(1 + v)-- — (—w — BV2 V2 w +
1 — v2 ôt2 w
2 ô?
3 — v 2 T ô2 w
+-V2 w — L—- )],
Постановка задачи. Рассмотрим влияние краевых условий на частоты неосесимметричных колебаний цилиндрических оболочек в зависимости от длины и толщины оболочки.
1 С!2
V2 V2 u--— L
1 — v ôt2
ô . ô2 w
:--(v—~
ôÇ ' ôÇ2
3 — v 2 T д2 u V u — L-
2
ôt2
ô2w
2v ô 2 w
L ~ Л
ôç2 1 — v ôt
(2)
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
1 С!2
V 2У 2 V--— Ь —
1 - к дt2
д г,„ ч 52 ^ = -—[(2 + к) —-др д£
2V -Ь^ 2 дГ2
д2 w
2к д 2 w Ь ~
др 1 - к дt
ь,-
= Быв 1 Бт Пф)сО$Ш,
п=0 1=1
Ю Ю х
= С1пе 1 008 пф)со$,М.
(3)
Произвольные постоянные Апп, В п и С,п
должны определяться из условий на каждом краю оболочки.
Любое из краевых условий может быть задано в виде зависимости, которая в общем случае содержит произвольную функцию окружной координаты р. Эту функцию можно разложить в
где и - проекция вектора перемещения точки срединной поверхности на ось Х, V - проекция вектора перемещения точки срединной поверхности на ось У, w - проекция вектора перемещения точки срединной поверхности на ось Z, к - коэффициент Пуассона, / - параметр толщины оболочки, £ - безразмерная осевая координата £ = —, х
а
- осевая координата, а - радиус срединной поверхности, Е - модуль упругости материала оболочки, р - плотность материала оболочки,
, 1 -К2 2 Ь =-ра .
Е
Уравнения системы (2) получены в несвязанной форме. Первое уравнение включает только одну зависимую переменную w, а два остальных -связывают компоненты перемещений и и V с w.
Уравнения в форме (2) используются для прямого и удобного способа анализа свободных колебаний оболочек конечной длины с различными условиями на краях.
Общее решение замкнутой цилиндрической оболочки может быть представлено в виде следующих разложений по формам
Ю Ю х
= Апе 1 008пр)оо8Ш,
ряд Фурье. Таким образом, в случае неоднородных краевых условий частота какой-либо моды колебаний будет зависеть от всех гармоник п.
В частных случаях, когда краевые условия зависят только от одной гармоники или же являются однородными (и = 0 или N = 0 и ^ дw
w = 0,-= 0), собственная частота зависит от
дх
одного значения п, и суммирование по п в соотношениях (3) можно не производить. Разложение будет иметь вид
^ 4— = ^ Ае 1 008 прооБШ,
2
^ 4 — = ^ Вге 1 Бт прооБШ,
2
^ 4 — > = ^ Се 1 00Б прООБШЛ
(4)
Величины 4 определяются из характеристического уравнения, получаемого из уравнений колебания. Если использовать систему уравнений (2), то для получения характеристического уравнения достаточно одного первого уравнения относительно перемещений w. Так как это уравнение восьмого порядка, то характеристическое уравнение имеет восемь корней, а каждая из сумм (4), очевидно, должна содержать восемь слагаемых.
В отличие от соответствующей статической задачи, где в общем случае все корни характеристического уравнения
4 + 4 А +Ч24 +а,-0 = 0
И
(5)
а
являются комплексными, решение для задачи о колебаниях обычно имеет вид
4 =± р; ±я; ±(г ± я),
(6)
где р, д, г и 5 - действительные числа.
Для оболочки конечной длины всегда должно существовать, по крайней мере, два корня вида
± я.
и
п=0 1=1
ЮЮ
Современные технологии. Механика и машиностроение
В работе [2] предложен приближенный метод вычисления корней характеристического уравнения для коротких оболочек. Однако, в области границ перехода комплексных корней в мнимые и действительные, а также мнимых - в действительные, приближенные методы могут приводить к большим ошибкам.
Как и во всех задачах малых колебаний, если отношения между коэффициентами Д, Д и
С могут быть установлены, то их абсолютные
значения неопределенны.
Для оболочки с заданными размерами и физическими свойствами при фиксированном п задача заключается теперь в определении компонент перемещения как функции x и получении уравнения частот.
Влияние краевых условий на собственные частоты колебаний цилиндрических оболочек обсуждалось в ряде теоретических [3, 4, 5, 6, 7] и экспериментальных [8, 9, 3, 10] исследований.
Особенно удобным базисом для оценки этого влияния может служить упрощение Юаня [7] в виде
О3 -
1 + — п2 + рп 4
О2 +
+
п2 (п2 +1) + 3-^рп6
1 -V
2
рп8 -
3-V 2
(1 ^)(1 -V2)
О-
(7)
2
ли
(т + с)~
= 0,
где с=0 соответствует опертым краям; с=0,50 соответствует защемленным краям; с=0,25 соответствует одному опертому, а другому защемленному краям и т.д.
Две высокие частоты 02 и О обычно определяют из уравнения (7), в котором пренебрегают свободным членом, так как для тонких оболочек весьма близко к нулю. Оставшиеся три члена не содержат параметра с. Поэтому можно сделать заключение, что частоты 02 и 03, соответствующие максимальным перемещениям в ок-
ружном и продольном направлениях, практически не зависят от вида краевых условий.
Л /
\ 7 V г
\ А А // / V у
Г/ / ■Л
/ / V /
/
А /
1/ /
к
2 4 6 8 10 12 14 16
Рис. 1
При приближенном определении низшего корня О, в уравнении (7) удерживают лишь свободный член и коэффициент при О. Выражение для частоты в явном виде позволяет в данном случае сделать следующие выводы:
• наименьшая частота соответствует опертой оболочке, наибольшая - оболочке, защемленной по обоим краям;
• с увеличением толщины оболочки влияние второго слагаемого в свободном члене ослабевает, то есть влияние краевых условий уменьшается;
• с увеличением длины оболочки при прочих равных условиях второе слагаемое свободного члена быстро убывает, то есть частоты длинных оболочек практически не зависят от вида краевых условий;
• при возрастании числа окружных волн п первое слагаемое свободного члена быстро увеличивается, что приводит к ослаблению влияния краевых условий (рис. 1);
4
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
• аналогичное действие оказывает увеличение числа продольных полуволн деформаций т, особенно для длинных оболочек, когда удовлетворяется условие Юаня.
Таким образом, краевые условия оказывают наибольшее влияние на частоты тонких и коротких оболочек, колеблющихся с небольшим числом узловых окружностей и прямых.
Также установлено, что в противоположность довольно распространенному мнению, условие, налагаемое на продольное перемещение и, во многих случаях оказывает большее влияние, чем
дw
условия, которые налагаются на наклон - или
д£
момент
д2 w д?
. Так, например, для очень длинных
оболочек с относительной длиной оболочки 1/а (I -длина оболочки, а - радиус срединной поверхности) порядка 40 и даже выше, минимальная (основная) частота собственных колебаний может различаться более чем на 50% в зависимости от того, задано ли на обоих концах условие и = 0 или условие равенства осевой силы [6].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Никулин М.В. Собственные колебания цилиндрических оболочек, предварительно нагруженных крутящими моментами / Сб. «Прочность цилиндрических оболочек». - ЦИАМ, 1959.
2. Кирин Е.Я. Колебания цилиндрической оболочки / c6. «Исследования по упругости и пластичности», № 3, изд. Ленинг. унив., 1964, с. 265-270.
3. Ефимов В.Е. Колебания замкнутых цилиндрических оболочек при некоторых граничных условиях / Изв. ВУЗов, Машиностроение, 1962, № 2, с. 96-104.
4. Малкина Р.Л. Свободные колебания цилиндрических оболочек, Тр. Уральского политехн. института им. С.М.Кирова, 1960, в.99.
5. Рапопорт Л.Д. Расчет собственных колебаний предварительно ненагруженных круговых цилиндрических оболочек. - Изв. ВУЗов, Авиационная техника, 1960, № 3, с. 43-50.
6. Форсберг. Влияние граничных условий на характеристики форм колебаний тонких цилиндрических оболочек. - Ракетная техника и космонавтика, 1964, № 12.
7. Юань. Колебания тонких цилиндрических оболочек конечной длины со свободно опертыми и защемленными краями / c6. «Прочность цилиндрических оболочек», Оборонгиз, 1960.
8. Бреславский В.Е. О колебаниях цилиндрических оболочек, Инженерный сборник, 1953, 16, c. 109-118.
9. Вейнгартен. Свободные колебания тонких цилиндрических оболочек, Ракетная техника и космонавтика, 1964, 2, №4, с. 167-173.
10.Arnold R.N., Warburton B.B. The flexural vibrations of thin cylinders, Proc. of the Inst. of Mech. Engrs., (A), 1953, v. 167, # 1.
