CC BY
35
МЕХАНИКА
УДК 539.3
Л. С. Елисеева, С. Б. Филиппов
УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ КРАЕМ*
1. Введение. Асимптотическим методом решаются задачи о потере устойчивости под действием равномерного внешнего давления и низкочастотных колебаниях тонких цилиндрических оболочек переменной толщины. Характерной особенностью рассматриваемых краевых задач является локализация форм потери устойчивости и форм колебаний вблизи образующих цилиндрических оболочек.
Предполагается, что цилиндрическая оболочка с криволинейным краем замкнута в окружном направлении. Выберем за единицу длины ее радиус R и введем на срединной поверхности оболочки ортогональную систему безразмерных криволинейных координат s Е [0,l(p)], ¥ Е (—п,п], где l(p) — длина образующей. В частности, при l(p) = lc — tg в cos ^ оболочка имеет косой край с углом наклона в (рис. 1).
Рис. 1. Цилиндрическая оболочка с косым краем.
Предположим, что безразмерная толщина оболочки к зависит только от координаты
ф:
к = ко д (ф),
где к0 — малый параметр, д ~ 1.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01-00327).
© Л. С. Елисеева, С. Б. Филиппов, 2003
Безразмерная система уравнений, описывающая колебания и устойчивость цилиндрической оболочки, имеет вид [1]:
д2Ф
е4А(д3Aw) - — +\Z = 0
ds2 (i)
d2w (1)
е4Д(5-1ДФ) + ^= 0.
Здесь w(s, ф) — нормальный прогиб, Ф^, ф) — функция напряжений,
d2 d2 8 h0
А = -
дв2 дф2' 12(1 — V2) ’
V — коэффициент Пуассона.
В задаче о потере устойчивости безмоментного напряженного состояния под действием равномерного внешнего давления р
2 = г-*Л, а- р
Эф2’ Eh0e6
где E — модуль Юнга.
В задаче о свободных колебаниях
22
Z = —gw, X =
pRuj
е4Е
где ш — частота колебаний, р — плотность материала.
Предполагается, что на краях оболочки s = 0 и s = ¡(ф) задано по четыре однородных граничных условия.
В работах [1], [2] предложен эффективный метод построения асимптотических разложений решений системы (1) для задачи о потере устойчивости. В качестве примеров в [2] рассмотрены случаи l = lc, h = h(ф) и l = ¡ф), h = ho. В первом случае формы потери устойчивости локализуются в окрестности образующей, на которой функция h(¥) имеет строгий минимум. Во втором случае локализация форм происходит вблизи наиболее длинной образующей цилиндрической оболочки. Использование того же асимптотического метода в задаче о низкочастотных колебаниях описано в статье [1].
В данной работе метод [1], [2] применяется в случае l = ¡(ф), h = hfy), т.е. исследуется влияние на локализацию форм потери устойчивости и форм колебаний одновременного действия двух факторов: криволинейного края и переменной толщины оболочки.
2. Асимптотические разложения решений. При потере устойчивости под действием внешнего давления и низкочастотных колебаниях напряженное состояние цилиндрической оболочки складывается из основного полубезмоментного состояния и простого краевого эффекта. Ограничимся определением X с точностью до величин
0(е2). В этом случае достаточно построить основное состояние, удовлетворив на каждом краю оболочки только двум главным граничным условиям [2].
Решение системы (1) ищем в виде
/ i Г V \ ^ ^
w(s, ip, е) = exp ( - ) Vefcwfc(s,^), A = VefcAfc. (2)
Wvo ) t=o t=o
Выполнение условий
Іпід(фо) = О, ІП1 { } > о
обеспечивает экспоненциальное затухание решения при удалении от наиболее слабой образующей ф = фо. Функция Ф имеет такое же асимптотическое разложение как и и>.
Подстановка (2) в (1) и граничные условия дает последовательность уравнений для определения неизвестных функций д(ф),1М1~(в,ф), Ф 1~(в,ф) и чисел Л . Система уравнений нулевого приближения имеет вид
¿2Фо 4 3 „ „ сР^^о я4,
^2-------19 и>0 + \oNwq = 0, ^2-1“ ~д =
где N = я2 в задаче устойчивости, N = д в случае колебаний.
Исключив из системы (3) функцию Фо, получим уравнение
^0 4 п 4 л Я4М 2 8 ,лЛ
——-а->л0 = 0, а = Л0--------------дд, (4)
ав^ д
совпадающее по форме с уравнением колебаний балки.
При шарнирном опирании краев оболочки граничные условия для уравнения (4) имеют вид
т = = о, в = о, з = 1(ф).
В этом случае
пп
шоп = вт апв, ап = —, п= 1,2,...
В общем случае решение уравнения (4) можно искать в виде линейной комбинации балочных функций, причем ап(ф) = хп/\(ф), где числа гп зависят только от граничных условий (0 < г\ < Х2 < ...).
Из второй формулы (4) следует, что величина Ло является функцией параметров я и ф:
4 4 3
\ п \ а У , 4 9
Ло = /(<?^) = ^у + 1\Г' (5)
Следуя [2], в качестве нулевого приближения для собственного значения Л возьмем
Ло = шш I(я, ф) = I(яо,фо). Я,(Р
Числа яо и фо являются корнями системы уравнений
Поправка первого приближения определяется по формуле [2]:
ТУЪ ~\~ 1 /
Аі = --- у А ддХрр-Х2^, то = 0,1,2... (7)
где частные производные
Л _&± А л _ &±_ /04
т - дд2 ’ ^ " дф2 ’ д1р - дддф [ >
вычисляются при q = д0, ф = ф0 • Образующая ф = ф0 является наиболее слабой, если д0, ф0 — решение системы (6), для которого Хдд> 0.
3. Закон изменения толщины оболочки. Предположим, что поперечное сечение оболочки представляет собой круг радиуса Я = 1 с центром в точке О, из которого вырезан круг радиуса г < 1 (рис. 2).
О R
Рис. 2. Поперечное сечение оболочки.
Если расстояние e между центрами кругов не равно нулю, то оболочка имеет переменную безразмерную толщину h(p). Справедливы равенства
a2 + e2 — 2ae cos p = r2, h(p) = 1 — a, (9)
определяющие точный закон изменения толщины оболочки. Ввиду того, что в данной работе находятся приближенные решения краевых задач, целесообразно воспользоваться более простым приближенным выражением для функции h(p).
Принимая во внимание равенство (9), получаем, что наименьшее ho и наибольшее hm значения толщины оболочки определяются по формулам
ho = h(0) = 1 — r — e, hm = h(n) = 1 — r + e.
Следовательно,
e = Yho, r = 1 — (y + 1)ho, Y = (n — 1)/2, n = hm/ho. (10)
Функцию a ищем в виде
a = ao + a\ho + ... (11)
Подстановка (10) и (11) в (9), дает равенства
ao = 1, a\ = y cos p — y — 1.
С учетом второй формулы (9) получаем
h(p) ^ hog(p), g(p) = 1 + y(1 — cosp). (12)
4. Устойчивость. Рассмотрим задачу об устойчивости безмоментного напряженного состояния цилиндрической оболочки переменной толщины с криволинейным краем под действием равномерного внешнего бокового давления. Для определения верхнего критического давления следует найти наименьшее значение параметра нагрузки Л. Этому значению соответствуют n = 1, m = 0. Формула (5) для задачи устойчивости принимает вид
4
f(q,p) = + я2д3-
Система уравнений (6) эквивалентна системе
q8 = =г = —, (13)
За4 2V _ 5д'
92 ’ / 9
где l' = dl/dp, g' = dg/dp. При выводе системы (13) использовано тождество а'/а = -l'/l. С учетом формул (8) и (13) получаем
Agg = 16gd, Xw = 24qg’g2, Xvv = ^ + 10дд" + ТЗд'2 ) . (14)
,/„2 \ _ <1_9 (43 «
3
Подставив (14) в (7) и воспользовавшись равенством а!'¡а = 21'2/I2 — V/I, найдем поправку первого приближения:
з /ЛГ л _ Юд" А1" 15д'2
X i = 2qgá\—, Ai = —2----- +
2
3 gig'
В качестве примера рассмотрим задачу о потере устойчивости оболочки с косым краем, толщина которой меняется по закону (12). Второе уравнение системы (13) в этом случае принимает вид
А(ф)^тф = 0, А(р) = 5y/g — 2t/l, (15)
где
g =1+ — cos р), l = lc — t cos р, t = tg ß, lc > t,
ß — угол наклона косого края (см. рис. 1). Множество корней уравнения (15), лежащих в интервале (—п, п], состоит из чисел 0, п и корней уравнения А(р) = 0, эквивалентного уравнению
5y¿c —2í(1+y) cos cp = c(y), c(y) = -----—--------,
которое при
2t 2t 7.<7< 72, TI 15 = 5^ (16)
в интервале (—п, п) имеет два решения
р = р*, р = —р*, р* = arccos c(y). (17)
Следовательно, при y ^ Y1 и Y ^ Y2 уравнение (15) имеет два корня: 0 и п, а при Yi < y < Y2 — четыре корня: 0, п, р*, —р*. Корню ро соответствует наиболее слабая образующая, если
Л1(ро) = 2А(ро)cospo + 15y2 sin2 po/g2(po) > 0.
В случае 0 ^ y < Yi справедливы неравенства
Л1(0) = 2А(0) < 0, Л1(п) = —2А(п) > 0,
поэтому ро = п, т.е. наиболее слабой является нижняя образующая.
Если выполнено неравенство (16), то
Л1(0) < 0, Л1(п) < 0, Л1(±р*) = 15y sin р*/g (р*) > 0,
и на оболочке имеются две наиболее слабых образующих: ро = ±р*.
При y > 72 наиболее слабой образующей соответствует ро = 0, так как
Л1(0) > 0, Л1М < 0.
Ввиду того, что AqqAvv — A?qv = 0 при y = 7k, k = 1, 2, полученными асимптотическими формулами можно пользоваться только при 7 = 7k.
Предположим, что длина оси оболочки lc и угол наклона косого края ß фиксированы, а отношение максимальной толщины оболочки к минимальной п = hm/ho = 1+ 27 увеличивается. Как и в случае оболочки постоянной толщины (п = 1), при п < П1 = 1 + 2yi влияние косого края приводит к локализации формы потери устойчивости вблизи нижней, наиболее длинной образующей. Дальнейшее увеличение величины п вызывает появление на оболочке двух наиболее слабых образующих, которые постепенно поднимаются вверх, до тех пор пока отношение п не достигнет значения п2 = 1 + 272. В этот момент две наиболее слабые образующие сливаются друг с другом, превращаясь в образующую ро = 0. При последующем увеличении отношения п образующая ро = 0 остается наиболее слабой. Это свидетельствует о том, что при п > п2 переменность толщины оказывает определяющее воздействие на положение наиболее слабой образующей, так как образующая ро = 0 является наиболее слабой и для оболочки с прямыми краями (ß = 0).
В таблице 1 для шарнирной опертой оболочки с параметрами lc = 3, h-о = 0.01, ß = п/4, v = 0.3 приведены значения до, ро, Ао, Ai и А = Ао + eAi при различных значениях п. В рассматриваемом случае п1 = 1.25, п2 = 1.4.
Таблица 1
V до <Р0 Ао Ai Л
1.00 1.02 3.14 1.34 1.17 1.65
1.10 0.99 3.14 1.74 1.13 2.01
1.20 0.97 3.14 2.17 0.79 2.36
1.30 1.11 1.68 2.60 1.01 2.84
1.35 1.27 1.02 2.72 0.99 2.95
1.45 1.44 0.00 2.76 0.83 2.95
1.50 1.44 0.00 2.76 1.17 3.03
Параметр нагрузки А увеличивается с увеличением г/. При п > П2 параметры до и Ао не зависят от п, и увеличение А происходит за счет роста поправки А1.
5. Колебания. Рассмотрим свободные колебания цилиндрической оболочки переменной толщины с криволинейным краем. В этом случае формула (5) приобретает вид
4
Ч>) = ^ + Ч492,
д4
а система уравнений (6) эквивалентна системе
^ ^ - 91
9 ’ / 9
Из формул (8) и (18) следует, что
Xqq — 32g2 д2, Xqlp — 1 ßg^gg', Xvv — дА -Ь 2дд" + 5g/2^j . (19)
Поправку первого приближения находим с помощью формул (7) и (19):
____ о Пп Л]П пП
Al = 2(т + í)q3g2 л/2А~и Ai =------------------
д l g2
Определим положения наиболее слабых образующих на цилиндрической оболочке
с косым краем, толщина которой меняется по закону (12). Значения угла р, которым
могут соответствовать слабые образующие, являются корнями второго уравнения системы (18). В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид
А(р^тр = 0, А(р) = Y¡g — 2t/l. (20)
Пусть ро € (—п, п) — корень уравнения А(р) = 0. Тогда
Л1(ро) = 2А(ро) cosро — Y2 sin2 ро/д2(ро) = —Y2 sin2 ро/д2(ро) < 0.
Следовательно, образующая р = ро не является наиболее слабой. Наиболее слабыми могут быть только образующие р = 0 и р = п, причем первая из них будет наиболее слабой при
Л1(0) = 2А(0) > 0, (21)
а вторая — при
Введем обозначения:
Лі(п) = -2A(n) > 0. (22)
2t 2t
7i = ---------------т, 72 =
lc — Vй 3lc — t
Неравенство (21) справедливо при y > 71, а неравенство (22) при 0 ^ 7 < 72 в случае
lc > 3t и при любых y ^ 0 в случае lc ^ 3t.
Зафиксировав длину оси оболочки lc и угол наклона косого края в, будем увеличивать отношение ц максимальной толщины оболочки к минимальной. При 1 ^ ц < П1 = 1 + 2yi формы колебаний локализованы вблизи наиболее длинной образующей р = п. Дальнейшее увеличение ц приводит к появлению на оболочке второй наиболее слабой образующей р = 0. Если lc > 3tg в, то при достижении ц величины Ц2 = 1 + 272 образующая р = п перестает быть наиболее слабой, и при ц > Ц2 на оболочке имеется только одна наиболее слабая образующая р = 0. В противном случае при всех ц > Ц1 на оболочке имеются две наиболее слабые образующие р = п и р = 0.
Алгоритмы приближенного решения краевых задач теории колебаний и теории устойчивости практически совпадают, однако решения этих задач при 1(р) = lc — t cos р, Н(р] = ho[1 + y(1 — cos р)] различаются не только количественно, но и качественно. В задаче устойчивости при изменении параметра y в интервале (71, 72) две наиболее слабые образующие р = ро и р = —ро перемещаются по поверхности оболочки (0 < ро < п). В задаче колебаний тоже имеется область изменения 7, которой соответствуют две наиболее слабые образующие р = 0 и р = п, однако положение этих образующих не зависит от y .
Найдем приближенные значения наименьшего параметра частоты А для шарнирно опертой оболочки с параметрами lc = 3, ho = 0.01, в = п/4, v = 0.3. В таблице 2 приведены значения qo, ро, Ао, Ai и А = Ао + eAi при различных значениях ц.
В рассматриваемом примере ц1 = 3. Из тех значений А, которые при ц1 > 3 соответствуют двум наиболее слабым образующим р = 0 и р = п, в таблице 2 приведено
V до <ро Ао Ai Л
1.00 0.89 3.14 1.23 1.97 1.69
1.50 0.80 3.14 1.85 2.67 2.48
2.00 0.74 3.14 2.47 3.31 3.24
2.50 0.70 3.14 3.08 3.91 4.00
3.50 0.65 3.14 4.32 5.04 5.50
4.00 0.63 3.14 4.93 5.57 6.24
4.50 1.25 0.00 4.93 6.82 6.53
наименьшее. При ц = 4 образующим р = 0 и р = п соответствуют одинаковые наименьшие значения Ао и А1, однако параметры qo, характеризующие скорость затухания форм колебаний, различаются. В таблице приведено значение qo = 0.63 для образующей р = п. Для образующей р = 0 эта величина в два раза больше, поэтому в окрестности р = 0 форма колебаний затухает быстрее, чем вблизи р = п.
Summary
Eliseeva L. S., Filippov S. B. Buckling and vibrations of a cylindrical shell of variable thickness with a curvilinear edge.
Buckling under the uniform external pressure and low-frequency vibrations of a thin circular closed cylindrical shell are considered. The shell has variable thickness and a curvilinear edge. Asypmtotic expansions of the localized buckling and vibration modes are derived and analyzed. Approximate explicit formulae for the critical external pressure and the fundamental vibration frequency are obtained.
Литература
1. Товстик П. Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 815-822.
2. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М., 1995.
Статья поступила в редакцию 26 декабря 2002 г.
