CC BY
7
УДК 539.3
З.Г. Ершова, В.И. Ершов
Тутаевский филиал ГОУ ВПО «Рыбинская государственная авиационная технологическая
академия имени П.А. Соловьева»
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УТОЧНЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ
Исследуются низкочастотные колебания тонкой цилиндрической панели. Произведено асимптотическое интегрирование системы уравнений. Построены полубезмоментное (основное) решение и интегралы краевого эффекта в окрестности криволинейных краев цилиндрической панели. Решена краевая задача в первом приближении, в результате чего получена формула для асимптотической главной поправки к частоте колебаний цилиндрической панели при различных условиях закрепления прямолинейных и криволинейных краев. Рассмотрен частный случай шарнирного закрепления криволинейных краев цилиндрической панели.
Цилиндрическая панель, низкочастотные колебания, асимптотическое интегрирование, полубезмоментное решение, интегралы краевого эффекта, первое приближение
Введение
Конструктивные формы современных машин и сооружений чрезвычайно разнообразны. В основу многих из них положены оболочки, применяемые в машиностроении, ракетостроении, атомной энергетике, судостроении и т.д. Так как облочечные конструкции очень часто находятся под воздействием динамических нагрузок, очень важным является определение частот и форм собственных колебаний оболочек, так как знание этих характеристик позволит избежать явления резонанса, который может привести к разрушению конструкций.
В настоящей статье рассматриваются свободные низкочастотные колебания тонкой цилиндрической панели. В качестве уравнений взяты уточненные уравнения колебаний, в которых учитывается влияние членов, не входящих в уравнения колебаний пологих оболочек, что позволяет помимо второстепенных членов в этих уравнениях учесть влияние различных граничных условий на частоту колебаний.
1. Уточненные уравнения колебаний
В качестве уравнений движения в этом параграфе возьмем следующие уравнения, записанные в безразмерном виде [1]:
ЭХ. 98 „ 4 2.
—1 + — + 2е4р21и = 0
Эх Эф '
ЭХ2 Э(8 + И) ^ „ 4 2„
—2 + ^-'--02 + 2е 4р21у = 0
Эф Эх
^ + + х2 + 2е 4р2^ = 0 Эх Эф
(1)
ЭМ ЭИ 0 0 ЭМ2 ЭИ 0 0 -+ — + О] = 0 —-+— + о2 = 0
У, У, » У, У. V. •
Эх Эф Эф Эх
Соотношение упругости и кинематические соотношения имеют вид:
Мх = е8 (к + пк2 ) , М2 = е8 (к2 +пкх), И = е8 (1 -п)х ,
к1 ="
Э 2w
Эх2
ду 2
Эф
ЭУ 2 Эх
Эw
У2 = ^ + у , Эф
Х = е1 + пе2 Х = Х = "-Г" , Х2 =
1 -V
Эи
Эх
е2 + пе>
1 -V 2
8=
2(1 + п)
, (2)
Эу Эф
Эи + Эу Эф Эх
е8 =-
12(1 -V2) Я2
где Н — изгибающие и крутящий моменты; е > 0 — новый малый параметр тонкостенно-
сти (е2 = т), по целым степеням которого будет разложено решение;
х, ф — безразмерные ортогональные криволинейные координаты на срединной поверхности оболочки;
Х;, О; — нормальные, касательное, поперечные усилия;
и, V, w — составляющие перемещений;
© З.Г. Ершова, В.И. Ершов, 2010
- 114 -
к=
X =
2
со
2
Ь
1 — параметр частоты колебаний. Таким образом, в уравнениях (1) учитывается влияние тех членов, которые не входят в уравнения колебаний теории пологих оболочек [2] и
имеют порядок е2 по сравнению с главными членами. Это позволит учесть влияние различных граничных условий на частоту колебаний [3].
Граничные условия на краях х = 0 и х = 1 :
и = 0 или Т = 0 , у = 0 или 8 + Н = 0 , (3)
ЭН
w = 0 или О1* = -_Эф = 0 , У1 = 0 или М1 = 0 .
Граничные условия на краю ф = 0 :
У = 0 или Т2 = 0 , и = 0 или 8 = 0, (4)
ЭН
W = 0 или О2* = О2 —I-= 0 , У2 = 0 или
сХ 2
М2 = 0 .
2. Асимптотическое интегрирование системы (1)
Решение системы уравнений (1) представим в виде
w(х, ф) = w0 (х,ф) + wk (х, ф), (5)
так как напряженное состояние складывается из основного напряженного состояния и краевого эффекта.
Основное (главное) решение имеет изменяемость е-1 по ф и нулевой показатель изменяемости по х , то есть
интегралы представим приближенно в виде
0 Эw0 1
Эw 0
--w
сх
' Эф е
(6)
Эwk 1 к Эwk 1 к - ^---w
Эх е2 'Эф
(7)
Эw0 Эwk
так как —— и
Эф Эф
W0 (х,у) = w0 (х,у) + вМ (х,у), У =- , (8)
где wo (х,у), w2 (х,у) — нулевое и первое приближения основных интегралов.
Здесь влиянием закрепления второго края
ф = ф0 пренебрегаем, считая, что при приближении к нему решение затухает. Поэтому рассмотрим колебания цилиндрической панели, занимающей область -1 < х < 0 , -¥< у < 0, причем 1~1.
Параметр частоты 1 ищем в виде
1 = 10 +е212 +1
2
(9)
Величина 10 , одинаковая для одной группы граничных условий на криволинейных краях, была определена в [2]. Через 1я обозначен остаточный член.
Будем определять величину 12. Она зависит от младших членов в уравнениях равновесия (1) и от граничных условий при ф = 0 и х = 0 , х = -1.
Для того, чтобы рассматривать различные варианты граничных условий, необходимо иметь выражение всех функций, определяющих напряженно-деформированное состояние цилиндрической панели. Ниже получены перемещения и, V,
углы поворота у1 , у2 , тангенциальные усилия Т, 8, Т2, моменты М1, Н, М2 и перерезывающие силы Оц, в нулевом и первом приближениях. Индексы опускаем.
Колебания будут низкочастотными, если точно или приближенно выполняются следующие соотношения:
Соответствующее напряженное состояние принято называть полубезмоментным.
Краевой эффект вблизи краев х = 0 , х = -1
имеет изменяемость е-2 по х и е-1 по ф, то есть
то есть
е 2 =0, ю =0 ,
Эу Эи Эу
--w = 0 , — + — = 0 .
Эф Эф Эх
(10)
(11)
Поэтому при построении основного решения в нулевом приближении в системах уравнений
должны иметь одинаковую
(1) и (2) слагаемые н, О2, у ,
ЭО. ЭН Т
Эх Эф 2
изменяемость по ф, поскольку при удовлетворении граничных условий их необходимо приравнивать при х = 0 , х = -1 и при всех ф. Основные
е2 , ю следует заменить нулями. Тогда, учитывая характер изменяемости (2), из уравнения (11) получаем перемещения (в дальнейшем перехо-
0
е
дим к переменной у по формуле (8))
{ , и = -е 2 {{IV. (12)
Эх
Из соотношений (2) находим последовательно
яП
ЯП Э
Э zw °-, П > 0
2 Э2 П >0
Э-1w °{wdz , ЭПw °Э-1Эп, п <-1 (16)
Э V
у я2
2 С ГЭ W 2 61• К1=1?
1 Э^
К2 =
1 Э V х = —-
6 ЭхЭу
62 Эу2
(13)
Э V
Л,Т 6 Э^ 6 Э^ 7/ 4 1
М, =66 V—- М2 =б6—- Н = б7 (1 -V)-1 Эу2 ' 2 Эу2 ' У ЭхЭу
01*=-б6 (2 -п)
Эу2Эх
02* = -6
5 Э^
Из уравнений равновесия (1) определяем уси-
лия
у2
х. =-б2 {{Э^ dy2 , 8 = 63 {{&3 ,
У я3 3 г г г Э w
Эх
Эх3
где п — переменная, по которой проводится дифференцирование или интегрирование.
Интегралы краевого эффекта при х = 0 в нулевом приближении имеют вид [4]
wk = ОГ(у)ег1^+ С^к, £=1
(17)
где С и С2 _ произвольные постоянные, а
1 +1
1 -1
Г1 =72, 12 =72 ■
(18)
Используя те же соотношения, что и при нахождении основных интегралов, и выражения (16), получаем интегралы краевого эффекта при х = 0 для всех функций, входящих в формулировку граничных условий на криволинейных краях
У я4
х^=-б4 яяЭЭ^у4 ■
(14)
Для того, чтобы получить основные интегралы в первом приближении, возьмем 6 2 ^ 0, ю ^ 0 ■ Тогда
у у э 2
V = б{^у + 64{{-^у3 ■ (15) -¥ -¥ Эх
Аналогичным способом определяем остальные неизвестные. Результаты поместим в таблицу 1, используя для краткости обозначения для производных и повторных интегралов
Таблица 1
f Основные интегралы
и -г2дхд-2уу°+е4{2 + ч)д1д-4^
V Я-1 0 , 3 Я2Я-3 0 еду \у +£ чдхду \у
У\ я о
Т1 — 8 дхду +8 25х5у w
8 3Д33-3 0 5ля53-5 0 е дхду w -8 2дхду w
М!
о,*
= 62 V.wk „к =63 (2 + v)ЭwJ
и =6 — W; V; =6
62 Эм
тк 6 х1 = -
WI 8к 62 ЭWJ 2~, 8 = — ~, (19)
г2 Эу2 , ; Г; Эу
0к*=-62г^к , Мк;=64г^к .
у)
Как и для основных интегралов, для интегралов краевого эффекта приведем таблицу 2 с использованием тех же обозначений (16).
Таблица 2
f Интегралы краевого эффекта
и
V -£2(2 + у)<Э2Эу\¥к
т, 2д2я2 к
8
М,
-г2а3^к
у
V = 8
При х = -1 интегралы краевого эффекта в нулевом приближении имеют вид
х+1
wk = С^к (у)^1 + С^4е-Г2?1 , = ^ . (20)
Для остальных функций, входящих в граничные условия, интегралы краевого эффекта при х = -1 будут иметь тот же вид, что и в формулах (19) и в таблице 2, с той лишь разницей, что у функций и, у1, 8, Н, 01Ф изменится знак.
3. Решение краевой задачи в первом приближении
Займемся краевой задачей. Подставим в третье уравнение равновесия (1) выражения для Т2, Р1, Р2, из таблицы 1 и
4 0
ЯЭ-^ - 2р21 ow02 + {{{1^ Эу
У ^4 0 ---Э w2
Эу
= Я 1Ш
Эх4
w0dxdy
Wodxdy =
(25)
В результате интеграл по площади полуполосы в левой части (25) обратится в нуль и мы
получим выражение для 12 в виде
12 = :1 + :2 + :3
х = 0 х = -1!
где
(26)
0 0 , 2 0 Л Л , 2л
w = Wo +е W2 , 1 = 10 +е 1
02
(21)
Затем продифференцируем полученное уравнение четыре раза по у и, приравнивая нулю сумму слагаемых одного порядка по е , получим два уравнения:
Эу8
- 2р21,
Э 4w0 Э4w0
эу4 эу4
=0
(22)
и
80
Э V Эу8
. Э 4w2 Э 4w0
л 9а и уу о и уу 9 \
- Л^Г + ^Г = ?(Х,У) , (23)
Эу Эу
где
Ц Но Э ^10
11 =-^Ло* ^
т Г0 I 0^3 0 я 0Я2 0 ,
:2 = 2р3/21 1 ^0ЭУW2 - ЭyW0Эу w2 +
|Я2 ^ 0 д3 0 0 , я-1 0д4д-4 0 , + ЭyWoЭyW2 -ЭyWoW2 +Эу WoЭхЭу W2 +
, я я-2 0Я3Я-3 0 -3 0Я я-2 0
+ ЭхЭу W0ЭхЭу w2 -ЭхЭу W0ЭхЭу ^ -
-ЭхЭу W0Эу
!3 = ^I-0¥(-Э>0ЭхЭУМ -
-2 0 2 -2 0 2 -2 0 -2 0 -Э х Э у WoЭ хЭ у Ш2 + Э х Э у WoЭ х Э у Ш2 +
3 -3 0 -1 0 + ЭхЭу у ^^У.
у=01
0 -1 0 3 -3 0
(27)
Г (х,у ) = 2р21
я4 0
2, Э w
,8 0 ,6 0
0 - 4 Э w2 - 2 Э w0 +
Эу (
Эх2Эу6
Эу6
+ 2р210
я4 0
' Эх2Эу2
2 0 ^
Э 2w
Эу2
. (24)
Множитель перед интегралами связан с вводимой ниже нормировкой функции wo .
При последующем вычислении интегралов вместо х и у удобно перейти к новым переменным X и л по формулам
Вместе с граничными условиями они образуют краевую задачу в нулевом и первом приближениях.
Рассмотрим краевую задачу в первом приближении. Условие существования решения этой неоднородной задачи служит для определения
поправки 12 , входящей в правую часть уравнения (23). Для того, чтобы получить это условие, проинтегрируем уравнение (23) по у от -¥ до у
четыре раза, затем умножим его на w0 и проинтегрируем его теперь уже по полуполосе
О = {-1 < х < 0,-¥< у < 0}:
Х = х/1, -1 <Х< 0 , л= ^л/р. (28)
Тогда
w0 (х,у) = Х(Х)У(Л), (29)
причем
Х(4) - а4Х = 0 , У(8) - 210У(4) + У = 0. (30)
Функция х(х) зависит от главных граничных условий на криволинейных краях, а функция У(л) — от всех граничных условий на прямоли-
4
о
-да
о
¥
нейном крае ф = 0 . Величина 10 для соответствующих граничных условий на слабо закрепленном крае х = 0 совпадает со значением 10 , полученным для задачи устойчивости при осевом сжатии.
Будем считать функции Х(Х) и У(л) нормированными
I0 Х^Х = 1, |0 У^Л = 1. (31)
•1-1 •!-да
В результате замен (28) при вычислении интегралов в (27) безразмерная длина 1 входит множителем.
Величины 11 и 12 в (27) зависят от граничных условий на краю у = 0 и от главных граничных условий на криволинейных краях.
Величины 1з зависят, кроме всего прочего, от дополнительных граничных условий на криволинейных краях, причем каждый криволинейный край дает, независимо от другого, свой вклад.
Вычисляя двойной интеграл в 11 находим
¡1 =~1г(10Ъ-2,0 (12 - 2а20 )+ Ь20 (2а20 + 12)), (32) 1р
где имеющие порядок единицы безразмерные коэффициенты а^ и Ъ^ равны
0 dkX dnX
акп=-^ ^ ЭХ Ъкп=-¥ ^л^^лп-Эл (33)
С учетом уравнения (30), которому удовлетворяет функция Х(Х), находим сумму
¡1 + ¡2 =
а20 (пЪ20 + Ъ-4,-2 - (1 - п)Ъ11)
р12
(а 20 + ап )Э-1У0Э-6У0 3Ъ-1,3 + Ъ-5,-1 (34)
р12
2р
Х(х) = л/2 8т рх,
(35)
где независимые переменные X и л введены по формулам (28) при а = р . При этом краевой эффект в окрестности криволинейных краев не возникает и обращается в нуль зависящий от интегралов краевого эффекта интеграл 13. В силу формул (21), (26), (34) при
р = р /1, а = р,
41
2
20
2
(36)
получаем выражение для параметра частоты 1 в виде
где
1 = 10 +е 212 + о(е 4 )
12 = р(ъ-4,-2 + (1 -п)ъ11 -пЪ20 )-
- 3Ъ-1,3 + Ъ-5,-1 2р .
(37)
(38)
Рассматриваемый здесь случай точного разделения переменных дает возможность проверить правильность формулы (38) путем сопоставления с результатами численного интегрирования одномерной системы, получающейся после разделения переменных (35).
Исходная система уравнений (1) может быть записана в векторной форме.
— = А(1, е)г, dh
(39)
Приведенная выше величина 11 +12 зависит лишь от главных граничных условий на криволинейных краях. При построении слагаемого 13 в рассмотрение включаются и дополнительные граничные условия, а вместе с ними и интегралы краевого эффекта.
4. Шарнирно опертые криволинейные края
На краях х =0 и у=—1 возьмем граничные условия шарнирной опоры 0110, при которых возможно точное разделение переменных. Тогда решение можно искать в безразмерном виде
w(X, л) = (у0 (л) + е 2У2 (л) + о(е4 ))х(х),
где матрица А получена в [4]. Будем искать ее решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям, в виде
4
w(ле)=Ескехр(Як(е)й Яеяк >0, (40) к=1
где Ск — произвольные постоянные;
qk — корни характеристического уравнения системы (39)
|А(1, е)- яЕ = 0. (41)
Остальные неизвестные функции имеют тот же вид (40). Искомый параметр частоты 1 определяем в результате подстановки решения (40) в граничные условия (4).
Будем сравнивать значения частоты колебаний ю , найденные различными способами. Представим ю в виде
рЯ2
(42)
и будем сравнивать безразмерные величины □ .
В качестве примера возьмем 1=1, п = 0.3 и три значения и* И/Я = 0.01, 0.002. Результаты
+
+
Е
ю =
сравнения помещены в таблице 5. Приведены значения параметра О.0 в нулевом приближении, найденные по формуле (42) при 1 — 1 о , значения параметра ^(а), полученные с помощью асимптотической формулы (37), а также значения параметра ^(т), найденные с использованием точного решения (40).
Видим, что с уменьшением толщины оболочки точность асимптотической формулы (37) возрастает для всех рассмотренных вариантов граничных условий, что является косвенной проверкой ее правильности.
Таблица 5
Заключение
Для вычисления частот получена двухчленная асимптотическая формула, учитывающая влияние как главных, так и дополнительных граничных условий на частоту колебаний.
Перечень ссылок
1. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Тов-стик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. - М.: Наука, 1979. - 383 с.
2. Ершова З.Г., Ершов В.И. Колебания цилиндрических панелей//Вестник двигателестрое-ния. - Запорожье, 2009, №3 - с.42-45
3. Ершова З.Г., ЕршовВ.И. Устойчивость цилиндрических панелей//Авиационно-космическая техника и технология. - Харьков, 2005, №9 (25)
- с.102-105.
4. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек.
- М. : Наука. Физматлит., 1995. - 320 с.
Поступила в редакцию 31.05.2010 г.
гр. усл. 0000 0001 0100 0101 0010 1000
h* =0.01
Q0 0.0820 0.1153 0.1153 0.1582 0.2198 0.2198
Q(a) 0.1021 0.1262 0.1314 0.1620 0.2191 0.2238
QM 0.1004 0.1244 0.1315 0.1613 0.2202 0.2261
h* = 0.002
Q0 0.0367 0.0516 0.0516 0.0707 0.0983 0.0983
Q(a) 0.0407 0.0536 0.0549 0.0714 0.0983 0.0994
QM 0.0405 0.0534 0.0549 0.0714 0.0984 0.0996
Z.G. Ershova, V.I. Ershov
INTEGRATION OF HIGH PUNCTUAL EQUATION FOR CYLINDRICAL
PANEL'S FLUCTUATION
Досл1джуються низькочастотш коливання тонког цилтдричног панел1. Проведено асим-птотичне ттегрування системи р1внянь. Побудоваш натвмиттев1 (основш) ршення i ттеграли крайового ефекту в околищ криволтшних крагв цилтдричноь nанелi. Розв язана крайова задача в першому наближенш, в результатi чого, було отримана формула для асимптотичног головноь поправки, для частоти коливань цилтдричноь nанелi за рiзних умов закртлення прямолтшних i криволтшних крагв. Розглянуто поодинокий випадок шаршрного кр^ення криволтшних крагв цилтдричноь nанелi.
Цилтдрична панель, низькочастотш коливання, асимптотичне ттегрування, на-твмиттеве ршення, ттеграли крайового ефекту, перше наближення
Low frequency fluctuations of slim cylindrical panel has been analyzed. Asymptotical integration of equation's system for cylindrical panel was conducted. Semi-without moment (fundamental) equation and integrals of the border effect for environment of curvilinear borders of cylindrical panel were received. Border problem in the first approaching was determined, as a result formula for main asymptotical correction of cylindrical panel's frequency fluctuations by different conditions of rectilinear and curvilinear border's fastening was obtained. Particular case of hinge fixing of curvilinear borders of cylindrical panel was considered in the article.
Cylindrical panel, low frequency fluctuations, asymptotical integration, semi-without moment obtain, border effect, first approaching
