О расчете эллиптических оболочек вращения, нагруженных внутренним давлением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:624.074.4

О РАСЧЕТЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ, НАГРУЖЕННЫХ ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ

© 2004 г. А. С. Юдин, Д.В. Щитов

The stress state of a shell generated by rotating of semi-ellipse around of a minor axis is analyzed. The shell is esteemed as the bottom of cylindrical capacitance with intrinsic pressure. Moment and non-moment theories are compared and the limitations on applying last one for estimations of hardness are become clear.

Эллипсоидальные оболочки достаточно широко используются в качестве емкостей или днищ емкостей. Так, для сжиженных углеводородных газов широко применяются баллоны цилиндрической формы с эллиптическими днищами. Требования к конструкции, правилам расчета и технологии их производства определяются техническими условиями и довольно давно разработанными ГОСТами [1].

Гостовские методики расчета основаны на оценках прочности отдельных элементов конструкции и используют простейшие формулы, полученные по упрощенной линейной теории оболочек- безмоментной. Однако известно, что при соединении эллиптической оболочки с цилиндрической условия без-моментности не могут быть удовлетворены в принципе [2]. Поэтому актуальны исследования на основе общей теории и по расчетным схемам, рассматривающим конструкцию поэлементно и как составную оболочку вращения с учетом условий сопряжения обечайки (цилиндрической части) и днищ. Целесообразна также проверка применимости линейной теории на основе геомет-рически-нелинейного расчета. Эго позволяет точнее определить особенности напряженно-деформированного состояния (НДС) баллонов, сделать выводы о степени достоверности гостовских расчетов, выполнять более адекватное проектирование и выбор рациональных вариантов. Повышение точности расчетов важно для обеспечения безопасности конструкций.

1. Уравнения общей теории. Уравнения статики для прямого математического моделирования оболочек вращения даны в [3, 4]. Рассмотрим радиально-симметричное деформирование, так что все функции зависят только от меридиональной координаты щ. В общей теории оболочек в качестве специальной системы отсчета обычно используется триэдр срединной поверхности. Кинематические соотношения для перемещений и компонент деформации в этой системе имеют вид:

U(ax,z) = и(аг) + zdl(al), W(auz) = w^y, eu(a1,z) = Eu(a1) + zKu(a1),

e22(.al,z) = E22(.al) + zK22(.aly, (1)

Еи = и +kxw + 61/2,

Е22=щ+к2м>, 0l=-w' + klu,

-^11 = > К22 = ц/вj; (2)

(...)'= (--.)д/Л =d{...)HAldal), ЧУ=А'2/А2.

Здесь положительное направление нормали и координаты z считается внешним к оболочке. Уравнения равновесия, соответствующие кинематике (1), (2), следуют из принципа Лагранжа в виде:

Т\ \ +|//(Тц -Т22) + kxQn +qx = О,

611 +|//6и —^i^ii ~к2Т22 +q3 =0,

М'и +ЧУ(МП -M22)-Qu -Тиви = 0. (3)

Соотношения (2), (3) являются квадратично-нелинейными. В варианте линейной теории нелинейные слагаемые опускаются.

Полагаем материал оболочки изотропным линейно-упругим, для которого выполняется закон Гука:

ст11 ={El(l-v2)\(en +ve22), сг22 =[E/(1-V2)\(£22 +V£n).

С учетом гипотез теории оболочек Кирхгофа интенсивность напряжений определяется по формуле: а = |rrf, +сг22 -сгпсг22]1/2.

Значения а не должны превышать допустимых значений пч. Соотношения упругости для изотропных оболочек имеют вид:

^11 = В{Ец +|/-^22Х Т22 = В(Е22 +уЕц), Ми = D{KU +vK22),

М22 = D(K2 2 + vKx j),

где B = Eh/{ 1 -v2) и D = Eh3/[ 12(1 -v2)] - эффективные жесткости оболочки на растяжение и изгиб; Е - модуль Юнга; v - коэффициент Пуассона.

Краевые условия можно записать в виде:

и(\-У\) + У\Т\\ =0, w(l-y2) + y2Qu =0,

@\(\~Уъ) + УъМ\\ =0 при «1 = а„,

и(\-у4) + у4Ти =0, w(l-r5) + y5Qu =0,

6\(\-Уб) + УбМП =0 ИР0 «1 = «12,

где Yj принимают значения 0 или 1 для однородных условий.

Формулы для коэффициентов Лямэ А\,АЪ главных кривизн kt. к2 и параметра ц/ типовых оболочек вращения можно найти в [3]. Для эллипсоида вращения:

ai = <р,А\ = а2 Ь2/с3, А2 = (а2/с) sin (р,

кх = 1 /Аъ к2 = sin ср/Аъ у/= cos ср/Аъ с2 = a2 sin2 ср + b2 cos2 ср, где ср - угол наклона нормали к оси симметрии.

Относительно ОСНОВНЫХ функций у1 = 7'п- }<2 = <2и, Уз =Мц, 3’4 = II. Уз = м>, Ув = в\ формируется замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений:

у[ = у(т22 - Л) - к\Уг -Ч\, у'г= ~УУт. + к\ Л + кгтгг ~ Чз,

Уз = ¥(М22 ~Уз) + У2 +У\Уб, У4 =Еп ~У\ ~к\Уъ ~Уб/2,

У5 =к\У4-Уб, Уб =Ч<Уб, где

Е22 =УУа +к2У5> К22 = УУб> Кп =Уз/°-уК22^

Ец = У\/В — уЕ22, Т22 = В(Е22 +1/Еп), М22 = В(К22 +1/Кп).

Далее выполняется переход к безразмерной форме с помощью нормирующих параметров Е., у., Н,. к, . Они соответствуют модулю Юнга, коэффициенту Пуассона, радиусу кривизны или линейному размеру, толщине. Формулы для безразмерных величин даны в [4]. После перехода к безразмерным величинам система разрешающих уравнений относительно основных функций принимает вид:

У и =\№(У-1)У1 +^5(1-^2)х(^4 +к2У5)~к\У2 -<к\

У 2,х = АМк\ +^к2)У1 -УУ2 +к2В(1~у2)(¥У4 +к2 У5)~Яз1

Уз,К =А№(У~\)Уз +^(1-у2)1//2е.у6 +к2у5 +у2/е. +у1у6\,

У4,х=А[Еп-У1-к1У5-Уб/21 У5,х=А[к1У4~Уб1 Уб,х=Ач<Уб’

где х = а.\ — независимая координата; £. = к, /Я. - параметр тонкостенности.

На эллипсоиде в качестве независимой координаты задается угол наклона нормали меридиана (р.

Здесь для упрощения записи в безразмерной форме сохранены обозначения аналогичных размерных величин. В этом случае вид условий сопряжения, компонент тензоров деформаций и напряжений гт,;. интенсивности напряжений и краевых условий сохраняется таким же и в безразмерной форме.

2. Безмоментная теория. Возможности расчета по безмоментной теории весьма ограничены. Для реализации безмоментного напряженного состояния форма оболочки, условия закрепления ее краев и нагрузка должны быть таковы, чтобы возникали преимущественно мембранные напряжения.

В безмоментной теории пренебрегают моментами и перерезывающими силами. В этом случае уравнения равновесия (3) переходят в следующие.

^11 + ^(-^11 — ^22)+ #1 = 0 5 к{Гц + к2Т22 ~ Чз = 0 •

Система (1,2) замкнута и может быть решена независимо от кинематических соотношений и соотношений упругости. Для цилиндрической оболочки при внутреннем давлении q^, = р. (ср = 0) безмоментное решение имеет вид:

Тп = рЯ/2, Т22 = рЛ, (4)

где И. = К-Ц радиус срединной поверхности цилиндра. Нормальное перемещение и1 = 0,85 рК/НИ: Е - модуль Юнга материала; И - толщина обечайки; V = 0,3 - коэффициент Пуассона. В безразмерной форме, отличаемой тильдой (~) вверху, У, | = р/2, Тп = р.. й~ = 0,934/3 . Мембранных усилий в данном случае достаточно для определения мембранных напряжений и их интенсивности:

— Т\\ / (/? V7* ), ^*22 — ^22'' — (1 ^ — ^"11~^^"22-^"11^"22)

Внутренние усилия (4) цилиндрической оболочки являются положительными (растягивающими). Перемещение и- также положительно, т.е. точки срединной поверхности цилиндрической оболочки смещаются радиально в сторону положительного направления нормали. При этом торцы цилиндра также должны перемещаться свободно в том же направлении для исключения появления перерезывающих сил.

Рассмотрим оболочку, образованную вращением вокруг малой оси половины эллипса (рис. 1); малая полуось равна высоте днища (а = Н), большая -радиусу цилиндра (Ь = К). Угол наклона нормали ^изменяется от 0 до ж/2.

Для эллиптического днища также построено аналитическое решение [2]:

Т\\ = рЯ2/2 = РЯ(\ + г)112/[2(1 +Г^п2 <р)1/2],

Т22 = /7/г2/(2-/г2//г1) = />Д(1 + /)1/2(1-/8ш2 р)/[2(1 + /8ш2 (5)

где 1(\ = \ /к\. К\ = 1 /к2 - главные кривизны, являющиеся функциями угла <р: у= (Я/Н)2 -1.

Решение (5) соответствует нестесненному смещению края по нормали (скользящая заделка, рис. 1а). Практически это можно реализовать, если соединить симметрично по контурам оснований два одинаковых днища. В (5) усилие Тп положительно (растягивающее) на всем меридиане. Усилие Т22

32

также положительно при движении точки наблюдения от вершины, однако в окрестности края, сопрягаемого с обечайкой, становится отрицательным (сжимающим). Соответственно и край днища стремится смещаться внутрь в отличие от цилиндра, смещение края которого происходит наружу, т.е. в противоположном направлении. Это имеет место при используемых на практике соотношениях Н = Н/К , назначаемых обычно в окрестности 0,5.

Усилия Т22 в (4) и (5) на линии соединения цилиндрической и эллиптической оболочек могут быть равны только при условии у= -1, т.е. при Н стремящемся к бесконечности, что нереально. Поэтому при сопряжении эллиптического днища с цилиндрической обечайкой безмоментное состояние недостижимо в принципе, по крайней мере, в зоне стыка.

3. Расчеты и анализ. Расчеты по общей (моментной) теории выполнялись на основе численных методов комплексами программ, реализованными в интегрированном математическом пакете. В расчетах для днищ использовался метод одно- и двусторонней пристрелки, позволяющий решать линейные и нелинейные задачи.

Сравнение линейной и нелинейной теорий показало, что их результаты практически не отличаются, и вполне можно пользоваться линейной моделью. По линейной теории выполнены контрольные расчеты более универсальным комплексом программ, использующим метод суперэлементов и ортогональную дифференциальную прогонку. Результаты тестовых расчетов полностью совпали.

Пусть оболочка выполнена из стали с модулем Е= 0,21 • 106МПа, коэффициентом Пуассона V = 0,3, имеет внешний радиус К и постоянную толщину к. Полагаем Е.=Е, у. = у , Л. = Л, к, = к . Уровень рабочего давления зададим равным р = 1,6 МПа, уровень допустимых напряжений — од = 138МПа. Соответствующие безразмерные значения соответствуют ^5 = 0,0169 и стд = 0,0324. Некоторые из рассмотренных вариантов других параметров даны в таблице.

Вариант Н е.

1 0,45 0,0203

2 0,45 0,0135

3 0,50 0,0135

4 0,55 0,0135

5 0,60 0,0135

6 0,65 0,0135

Рассмотрим вариант 1 оболочки, используемый в практике, с условиями рис. 1а. Интенсивность напряжений а представлена на рис. 2, где штрих-пунктирная кривая соответствует безмоментному решению. Моментное ре-

33

шение показано кривыми О, 1 и 2, соответственно, на срединной, внутренней и внешней лицевых поверхностях. Направление на графиках слева направо соответствует движению от вершины к краю эллипсоида, верхняя горизонтальная прямая - безразмерному значению допустимых напряжений о д.

нижняя - интенсивности на цилиндре гтц. Последняя практически совпадает

с тем, что дают и более точные модели на основной части цилиндра при отступлении от линии сопряжения. Для варианта 1 интенсивность на цилиндре ниже максимумов интенсивности на эллипсоиде.

При сравнении на срединной поверхности результаты двух моделей близки. Однако от значений интенсивности на лицевых поверхностях имеется заметное различие (-10 %). Более высокая напряженность имеет место на внутренней лицевой поверхности в прикраевой зоне. При этом интенсивность в вершине днища, по которой оценивается напряженность по методике ГОСТа, в данном случае не является максимальной.

0 0,4 0,8 1,2 <Р

Рис. 2

Рассмотрим поведение интенсивности напряжений на оболочке со стесненными краевыми условиями типа жесткой заделки (рис. 16). Эта модель ближе к условиям работы днища в составной конструкции баллона. Результаты показаны на рис. 3. Здесь возникает внутренний максимум интенсивности напряжений, который становится определяющим для рассматриваемой геометрии. Можно игнорировать значение интенсивности на краевом контуре днища, поскольку здесь проявляется известный эффект концентрации напряжений в заделке. При учете условий упругого сопряжения с обечайкой этот краевой эффект сглаживается.

Рис. 3

При є. = 0,0203 оболочка в варианте 1 вписывается в допустимые ограничения, а на треть более тонкая оболочка с є. =0,0135 (вариант 2- нет, рис. 4). Однако по гостовской методике вариант 2 был бы допустимым, поскольку в вершине эллипсоида результаты моментной и безмоментной моделей совпадают и находятся ниже .

Рис.4

На рис. 5 показаны интенсивности вариантов 2-6 на внутренней лицевой поверхности, где номер кривой соответствует номеру варианта. То, что вариант 2 не вписывается в норму, связано с недостаточной выпуклостью днища. Более подъемистые варианты 4-6 вполне удовлетворяют ограничениям. Возрастание стрелы подъема днища увеличивает запас прочности и сглаживает напряженное состояние по меридиану эллипсоида. Внутренний максимум уменьшается и перестает быть определяющим, начиная с Н « 0,6 . Такое поведение напряженного состояния отражает изменение геометрии оболочки днища в сторону полусферы. Как известно, сферическая форма сосуда наи-

лучшим образом держит внутреннее давление, поскольку состояние становится полностью безмоментным и однородным с внутренними усилиями

Т\\ = Т22 = рЯ/2.

Рис. 5

В силу линейности задачи работает принцип суперпозиции. Поэтому оценку напряженного состояния для других уровней давления можно делать пропорциональным пересчетом результатов, полученных для одного уровня. Рассмотренным безразмерным параметрам соответствуют геометрически подобные баллоны разных размеров и емкости, изготовленные из одного и того же материала. При этом требуемая вместимость легко подбирается за счет длины обечайки, которую можно варьировать в силу вида реализуемого в ней напряженного состояния, практически однородного и безмоментного. Напряженное же состояние днища таковым далеко не является. Для возможности оценки интенсивности напряжений по формулам безмоментной теории

относительная высота подъема Н сегмента эллиптической оболочки должна быть 0,6 и выше. В этом случае максимум перемещается в вершину эллипсоида.

Работа выполнена при содействии гранта Президента РФ по поддержке ведущей научной школы НШ-2113.2003.1

Литература

1. ГОСТ 14249-80 Сосуды и аппараты. Нормы и методы расчета на прочность.

2. Новожилов В.В. и др. Линейная теория тонких оболочек. Л., 1991.

3. Кармиишн А.В. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М., 1975.

4. ЮдпнА.С. //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 184-188.

Ростовский государственный университет,

НППМ и ПМ 26 марта 2004 г.