Математическая модель устойчивости тонкостенных конструкций вращения при осесимметричном нагружении и кручении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.042

А.В. Чеканин, С.И. Старостенко

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ И КРУЧЕНИИ

Публикуются результаты разработки математической модели устойчивости осесимметричных оболочечных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения. Для расчета используется дискретно-континуальный подход. Дискретным элементом является оболочка вращения. Для анализа используется метод перемещений. Матрицы реакций оболочечных элементов вычисляются с помощью ортогональной прогонки Годунова [1].

THIN-SLAB STRUCTURE ROTATION STABILITY MATHEMATICAL MODEL AT AXISYMMETRIC WEIGHTING AND TORSION

The article presents the results of the development of the thin-slab structure rotation stability mathematical model at axisymmetric weighting and torsion. A discrete-continuous approach is used for calculation. A discrete element in this model is a shell of rotation. The method of displacements is used for the analysis. The rigidity matrix in constructed by Godunov’s orthogonal-sweep procedure [1].

1. Под осесимметричной оболочечной конструкцией понимается конструкция, которую можно аппроксимировать набором оболочек вращения с произвольной формой меридиана, жестко соединенных между собой. Рассматривается три вида упругих конструкционных материалов, из которых могут быть изготовлены слои оболочек: изотропный; ортотропный; ортотропный перекрестно армированный.

Рассматриваются только оболочки, для которых справедлива гипотеза Кирхгофа-Лява. В основу анализа положен вариант теории тонких оболочек в форме Новожилова [7]. Предполагается, что оболочки могут быть нагружены осесимметричными нагрузками и сдвигающими усилиями S. Будем использовать обозначения, принятые в [3].

2. Геометрические соотношения теории оболочек записываются в форме

A.V. Chekanin, S.I. Starostenko

E12 - V'-^ + u^ + 0102; K11 -01; K22 -62 + Ф©1 ;

(1)

K12 - 0^ - ф02 + k2V; K21 - 0'2 + k1 (u* - фv),

где K12 K21; ф ф2,1 .

Физические соотношения имеют вид

N -[C]s- D,

(2)

N = [

8 =

Т22 М11 М.

Е22 К11 К

22

22

$ Н ]Т Е, 2Кп ]

12

в = [ [0) о 0]Т

[с ] =

- к2М, = Т 21 21 - к1М 12; J

С1 с (0) 12 с1(111) с(1) 12

с(0) 21 С(0) 22 с(1) 21 с(1) 22

с (1) 11 с (1) 12 с (2) 11 с (2) 12

с (1) 21 с(1) 22 с (2) 21 с(2) 22

[0]

[о]

В(0) в(1)

в(1) в(2)

(4)

Е

с(к) = I;

Н 1 - ^1^ 2

В(к ) = | 02кё2; в1(! ) = |

*к^(1 О 2); С1!) = С21) = I М2Е1 2кё2;

Н

1 -^1^

2

Е

ЧР1 -М2Р2 )Т^(1 О °)-

(5)

Н Н1 М1М 2

Интегрирование в соотношениях (5) осуществляется по всему пакету оболочек. В качестве координатной поверхности можно выбрать либо срединную поверхность произвольного слоя, либо любую другую поверхность. Предположим, что в координатной поверхности действуют поверхностные нагрузки

г * * * * *пТ /'у'\

Ч = [?1?2 Ч да1да2] . (6)

Тогда уравнения равновесия имеют следующий вид:

Т1 + ФТ -Т22) + $• + к1(011 + М•) + Ч* = 0;

$' + 2ф($ + к1М) + ^ + к2 (022 + М О + Ч2 = 0;

М п +ф(М11 - М 22 ) + М* - - $^2 - 011 + т1 = 0; (7)

М' + 2фМ + М2‘2 - 022 - Т220 2 - $01 + да* = 0;

011 + ф011 + 02*2 - к1Т11 - к2Т22 + Ч* = 0 .

Статические граничные условия на контуре записываются в следующем виде:

Ти = Т11; $ + 2к2М = Т12; 0П + М •= 0*; М„ = М*. (8)

Уравнения равновесия (7) и статические граничные условия (8) соответствуют геометрически нелинейным уравнениям равновесия и статическим граничным условиям в проекциях на оси, связанные с недеформируемой координатной поверхностью оболочки вращения.

3. Предположим, что начальное (основное) напряженно-деформированное состояние (НДС) тонкостенной оболочки вращения изменяется вследствие приложения некоторой системы внешних воздействий. Вектор компонентов НДС оболочки можно представить в виде суммы компонентов основного (начального) НДС и дополнительного (отклоненного) НДС.

Будем рассматривать не любые отклоненные состояния, а только достаточно близкие к основному. В этом случае дополнительные перемещения, деформации и усилия в оболочках можно считать малыми. В связи с этим нелинейными составляющими в соотношениях, описывающих поведение оболочки в отклоненном состоянии, можно пренебречь и ограничиться линейными слагаемыми. В результате получаем геометрические соотношения для отклоненного состояния:

Ц +01001 = 0; Ц +0202 = 0; Ц +0002 +0201 = 0; Ц = 0(/ = 4,5,6,7,8),

(9)

12

12

21

и = —Е, + и' + к ^; и2 = —Е^ + V* + фи + к,^;

^ = — Еі2 + V — ф + и; и4 = — Кц + ; -^5 = — К22 + ^2 + Ф®\;

= —К12 + — ф^?2 + k2V =— К21 + 02 + кі (и — ф)

(10)

= К , 0 V' —— К 4- Н' 4- 1г \и — /Ли I

6 12 1 2 2

Ц7 = -01 - ^ + ки; Ц = -02 - ^ + к^У.

Здесь Ц(7 = 1,...,8) являются линейными слагаемыми, не связанными с основным

НДС.

Физические соотношения для дополнительного состояния имеют вид

- N + [с]8-в = 0 (11)

совместно с соотношениями (2)-(3).

Для отклоненного состояния кроме уравнений (7) должны быть справедливыми добавочные уравнения

М7 = 0(7 = 1,2,3); М4 -ТА-0Т-$0-02$ = 0;

М5 - Т20202 -00$ - $О01 -00^ 0, (12)

где

Мі = Ти +ф (Ти — Т22) + 5 • + кі(0п + М •);

М2 = 5 ' + 2ф (5 + кіМ) + Т*2 + к2 (022 + М 0;

М 3 = бп +ф011 + 022 — к1^1 — к2Т; (13)

М 4 = М' +ф (Ми — М 22) + М •— 0П;

М5 = М' + 2фМ + М22 — 022.

Здесь Мі(і = 1,..,5) являются линейными слагаемыми, не связанными с основным

НДС.

Статические граничные условия на контуре записываются в следующем виде:

Т11 = 0; 5 + 2к2М = 0; 011 + М '= 0; М11 = 0. (14)

Система 19 линейных однородных дифференциально-алгебраических уравнений (9), (11), (12) с 19 неизвестными

ф = \ЫМ> 01 Е11 Е22 К11 К22 Т11 Т22 М11 М22 бпГ';

Т = [V 02 Е12 К12 5М022І

22 -М1 22 11 22 ^1Ы 5 (15)

с однородными статическими граничными условиями (14) описывает поведение оболочки при малых ее отклонениях от основного состояния.

4. Для решения системы линейных уравнений (9)-(13) применяем метод Бубнова -Галеркина. Решение этих уравнений ищем в виде рядов

N1__ N1 =

Ф(а1, а) = Ф 0(а1) + ^Ф«(а1)со8(п1а) + ^Ф п (а^пЦа);

Г1 Г1 (16)

N1 _ N1 =

¥ (а1, а) = ^0(а1) + «(а1)Б1п(и1а) + «(а1)сов(и1а).

«1=1 П1=1

В результате геометрические соотношения (9) запишутся в виде

А о + ®i ®i о = 0; Li,n + 0J 0i,n = 0; L\,n + 0! 0i,n = 0;

L2 о +0^02о = 0; L 2,n +02 02, n = 0; L2,n +02 02, n;

L3 о +0°020 +02010 = 0; L3,n + 0° 02,n +0° 0i, n = 0; (i7)

L3,n +00 02,n +02 0i,n = 0;

L-о = 0; I,-,n = 0; Lin = 0; (i = 4,5,6,7,8).

Здесь

(i8)

и,п = -Е11>И + < + V,,; _12,„ = ■-£22>„ + тп + фи + к2ып;

Ьъ,п = -Е12,п + V -ФУп - Пип; _Ц4,п = -К11,п +01,п;

Ц5,п = -К22,п + п02,п + ф01,п_; Ьб,п = -К12,п - п01,п - ф02,п + к2У'п;

Ь7,п = -01,п - Ч + к1ип; 1«,п = —02,п + ^п + к2^п ,

где п = п / ^2.

Выражения для Ьг,п получаются из выражений для Ьг,п заменой значения п на - п, а выражения для Ц 0 получаются из выражений для Ьг,п заменой значения п на 0. Физические соотношения (11) записываются в форме

— Ы0 + [С ]во = 0; — Ып + [С ] п = 0; — Ып + [С ]вп = 0. (19)

Уравнения равновесия (12) принимают следующий вид:

Мг0 = 0; Мг,п = 0; Мг,п = 0; (г = 1,2,3)

М4,0 — Т1101,0 — 00Т11,0 — ^ О02,0 — 02 ^0 = 0;

M4,n -T00i,n-007iin -S002,n-02Sn = 0 (n = i,...,Ni);

4,n - Tii 0i,n -00Tii,n - S002, n 1^0 О (N 0 1 n,

О sJT i 2 2 2 о -00 S0 - S00i,0 - - 0 0T = 2 22,0

5,n - T202 02,n -00Sn - -S0 0i,n -02 T22,n

5,n T22 02,n -00Sn - -S 0 0i,n -02 t 22,n

(20)

Здесь

M i,n = Tin + Ф(Т\\,п - T22,n)+nsn + ki(Qii,n + M );

M2,n = S'n + 2^Sn + kiMn ) - nT22,n + k2 (Q22,n + M'n );

M3,n = Qii,n +Ф6и,п + nQ22,n - kiTii,n - k2T22,n ; (2i)

M4,n = M^n +Ф(М„,п - M22,n ) + 'nMn - Qii,n ;

M5,n = M’n + 2ФМп - 'nM22,n - Q22,n.

Выражения для M,,n получаются из выражений для M,,n заменой значения n на

- n, а выражения для Mi0 получаются из выражений для Min заменой значения n на 0.

Из соотношений (i7)-(2i) видно, что N i должно быть равным N i и что эти соотношения

распадаются на (1 + N1) не связанных между собой групп, объединенных одинаковыми индексами п.

Численное исследование устойчивости оболочек вращения и оболочечных конструкций, составленных из оболочек вращения, при совместном действии осесимметричных нагрузок и кручения имеет две особенности:

- нельзя выделить симметричные и антисимметричные относительно нулевого меридиана формы потери устойчивости; поэтому расчет критических нагрузок сводится к решению задачи о собственных значениях для системы обыкновенных дифференциальных уравнений шестнадцатого порядка;

- все корни характеристического уравнения являются кратными, поскольку одному критическому значению соответствуют две собственные формы, одинаковые, но сдвинутые по окружности на п/2п, где п - число окружных волн; поэтому характеристический определитель является знакоопределенным, что делает невозможным поиск его корней традиционными методами.

Для решения полученной системы используется метод ортогональной прогонки с промежуточным ортонормированием [1]. Этот метод дает возможность получить решение с любой степенью точности. Это значит, что можно получить практически точное численное значение матрицы и вектора реакций для каждой оболочки, входящей в конструкцию. После определения критической нагрузки можно получить практически точное численное значение формы потери устойчивости.

Разработанные алгоритмы численного исследования устойчивости оболочечных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения реализованы в виде программы CR110, входящей в состав системы автоматизации конструирования и прочностных расчетов тонкостенных осесимметричных конструкций КИПР-ПЩ [4].

Приведем пример исследования с помощью программы CR110 устойчивости оболочечной конструкции. Рассматривается сфероцилиндрический (цилиндр+2 полусферы) бак (рис. 1) со следующими характеристиками:

При кручении цилиндрической оболочки и граничных условиях, близких к условиям Навье, критическое значение сдвигающего усилия вычисляется по формуле [2]

приложенным в узле 2.

Кинематические граничные условия при потере устойчивости отсутствуют. Критическое значение параметра К сдвигающего усилия, вычисленное для цилиндрического участка бака по формуле (22), равно К* = 0.74 (число окружных волн

Я = 1193.511; Ь = 200011; И = 1611; Е = 20000 ёап/11 2; |д = 0.3.

Предположим, что конструкция нагружена погонным сдвигающим усилием

*0 = К5*0ёё = К* X 1196.0994 ёап/11 ,

(23)

п=9). Критическое значение параметра К* сдвигающего усилия, вычисленное для бака по разработанному алгоритму, равно К* = 0.65665 (число окружных волн и*=7).

Погрешность расчета по формуле (22) составляет 13.6%.

Рис. 1 Рис. 2

При нагружении цилиндрической оболочки внешним давлением и граничных условиях, близких к условиям Навье, критическое значение внешнего давления определяется по формуле Папковича [2]

*“ = Т (ЯГ (24)

Пусть далее конструкция нагружена равномерным внешним давлением

* = К^ = К* X 0.22791256 ёап/11 2, (25)

приложенным к срединным поверхностям оболочек.

Критическое значение параметра КЯ внешнего давления, вычисленное для бака по разработанному алгоритму (программе CR110) при отсутствии кинематических граничных условий при потере устойчивости, равно К* = 0.89968 (число окружных волн и*=5). Это

решение во всех знаках совпадает с решением, полученным по программе CR090 (устойчивость осесимметричных конструкций при осесимметричном нагружении) системы КИПР-IBM. Отметим, что программа для этой задачи CR090 позволяет получить эталонное решение [6, 7]. Форма потери устойчивости в сечении бака, расположенном под углом а = 18° (360°/4п ) к нулевому меридиану, изображена на рис. 2. Если проводить упрощенную оценку устойчивости бака по формуле (24), учитывая лишь цилиндрическую часть бака, то погрешность такого расчета составляет порядка 10%. Критическое значение параметра КЯ внешнего давления, вычисленное для цилиндрического участка бака по формуле (25), равно К* = 1 (число окружных волн и*=6). Критическое значение параметра

КЯ внешнего давления, вычисленное для цилиндрического участка бака по разработанному алгоритму при граничных условиях Навье, равно К* = 1.10765 (число окружных волн

п=6). Погрешность формулы (24) составляет 10,8%.

Пусть далее конструкция нагружена равномерным внешним давлением

* = К8л<£ = К*,* х 0.22791256 ёап/11 2 (26)

и погонным сдвигающим усилием

80 = К**80ёё = К* * х 1196.0994 ёап/11 , (27)

приложенным в узле 2. Кинематические граничные условия при потере устойчивости отсутствуют. Критическое значение параметра К*,* К* *, вычисленное для бака по

разработанному алгоритму, равно К* * = 0.45959 (число окружных волн п = 6).

При совместном действии внешнего давления и кручения имеем [2]

к

*,9

Г к

-+

V

= 1.

0.89968

Из этого уравнения находим К* = 0.45938, что очень хорошо согласуется с более точным решением по разработанному алгоритму К* = 0.45959.

Представим внешнюю нагрузку, действующую на конструкцию, в виде

*0 = к* дкк*к;= к*,к*к; х 1196.0994 ёап/п ;

9 = к^кя = к*лккчк'1 X 0.22791256 ёап/п 2,

где к* - критическое значение параметра нагружения при действии только сдвигающего усилия; к9 - критическое значение параметра нагружения при действии только внешнего

давления; к*,9 - параметр нагружения при совместном действии сдвигающего усилия и внешнего давления; кк9 и кк9 - числовые коэффициенты варьирования нагрузки (изменяются в пределах от 0 до 1).

В этом случае при кк*=кк(=1 и раздельном приложении сдвигающего усилия и внешнего давления критическое значение параметра нагрузки к* равняется единице. Для построения кривой взаимодействия внешнего давления и сдвигающего усилия (рис. 3), с помощью программы CR110 были получены значения параметра к*9 при различных значениях коэффициентов кк* и кк9.

ЛИТЕРАТУРА

1. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / С.К. Годунов // Успехи математических наук. 1961. Т. 16. Вып. 3. С. 171-174.

2. Григолюк Э.И. Устойчивость оболочек / Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов. М.: Наука, 1978. 360 с.

3. Мяченков В. И. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС / В.И. Мяченков, В.П. Мальцев. М.: Машиностроение, 1984. 280 с.

4. Мяченков В. И. Автоматизация конструирования и прочностных расчетов тонкостенных осесимметричных конструкций (КИПР-1ВМ 3.0): 1. Общее описание системы / В.И. Мяченков, А.В. Чеканин, Г.Н. Ольшанская. М.: МГТУ «Станкин», 2001. 88 с.

5. Мяченков В. И. Автоматизация конструирования и прочностных расчетов

тонкостенных осесимметричных конструкций. КГРЯ-ШМ-РС/АТ 2.0: Обоснование

достоверности. Ч. 1. Линейные задачи / В.И.

Мяченков, А.В. Чеканин, Г.Н. Ольшанская. М.:

МГТУ «Станкин», 1995. 80 с.

6. Мяченков В. И. Автоматизация конструирования и прочностных расчетов тонкостенных осесимметричных конструкций.

КГРЯ-ЮМ-РС/АТ 2.0: Обоснование

достоверности. Ч. 2. Итерационные процессы /

В.И. Мяченков, А.В. Чеканин, Г.Н. Ольшанская.

М.: МГТУ «Станкин», 1998. 80 с.

7. Новожилов В. В. Теория тонкостенных оболочек / В.В. Новожилов. Л.: Судпромгиз, 1962.

324 с.

8. Павлов А.В. Численное исследование устойчивости оболочечных конструкций при

(28)

1,2

'Ш

0,8

0,6

0,4

0,2

!!!!!

■

0,0

0,2 0,4 0,6

Рис. 3

0,8

1,0 1,2 кп

*

кручении / А.В. Павлов, А.В. Чеканин // Производство. Технология. Экология. «ПРОТЭК-2002»: тр. Междунар. науч.-практ. конф.: в 2 т. М.: МГТУ «Станкин», 2002. Т. 2. C. 408412.

Чеканин Александр Васильевич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Сопротивление материалов»

Московского государственного технологического университета «Станкин»

Старостенко Сергей Игоревич -

аспирант кафедры «Сопротивление материалов»

Московского государственного технологического университета «Станкин»

Статья поступила в редакцию 15.11.06, принята к опубликованию 26.12.06