Большие деформации цилиндрической оболочки при нагружении внутренним давлением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:624.074.4

БОЛЬШИЕ ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ НАГРУЖЕНИИ ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ

© 2012 г. А.С. Юдин, Т.В. Сигаева, С.А. Юдин

Юдин Анатолий Семенович - доктор физико-математических наук, заведующий отделом тонкостенных конструкций, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: yudin@math.sfedu.ru.

Сигаева Таисия Валерьевна - аспирант, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: taissigaeva@gmail.com.

Юдин Сергей Анатольевич - научный сотрудник, отдел тонкостенных конструкций, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail:ysergey@mail.ru.

Yudin Anatoliy Semenovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Head of Thin-Walled Constructions Department, Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, e-mail:yudin@math.sfedu.ru.

Sigaeva Taisiya Valerievna - Post-Graduate Student, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: taissigaeva@gmail.com.

Yudin Sergey Anatolievich - Scientific Researcher, Thin-Walled Constructions Department, Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, email: ysergey@mail.ru.

Рассмотрены аналитические приближения в задаче о пластическом изменении формы тонкой цилиндрической оболочки под действием внутреннего давления. Используется математическая модель, в которой учитываются большие перемещения, повороты и деформации с существенным изменением метрики. Физическая нелинейность материала моделируется соотношениями типа Дэвиса—Надаи.

Ключевые слова: большие деформации, цилиндрическая оболочка, нагружение внутренним давлением, полуобратный метод, аналитические аппроксимации.

The paper suggests the problem ofplastic deformations of thin cylindrical shells under internal pressure. Particular emphasis is placed on the analytical approximations of the shells. Large displacements and rotations, as well as deformations with significant change of the metrics are included in the mathematical model. Physical nonlinearity of the material is simulated by the relations ofDavis-Nadai type.

Keywords: large deformations, cylindrical shell, internal pressure loading, semi-inverse method, analytical approximations.

При решении нелинейных задач о больших деформациях оболочек прямыми численными методами типа пристрелки возникает ряд трудностей [1]. Первая состоит в том, что свойства материала зависят от деформированного состояния, так что не удается в явном виде разрешить систему уравнений относительно старших производных. Поэтому в алгоритме приходится использовать метод продолжения по параметру нагрузки в сочетании с итерационным процессом. Другая трудность состоит в выборе начального приближения параметров задач Коши, к которым сводится краевая задача применением метода пристрелки, одно- или двусторонней. Эта проблема преодолевается продолжением решения задачи шагами по нагрузке, начиная с малых значений, и использованием частных вариантов системы в упругой зоне. Третий аспект связан с моделированием краевых условий жесткого защемления. При пластической деформации на опорном контуре возникает резкий перегиб с образованием пластического шарнира. Один из простых вариантов его моделирования - постановка условий неподвижного шарнира. В более адекватном варианте нужно ставить условия, связывающие изгибающий момент с углом поворота через коэффициент сопротивления. Последний можно пытаться определить теоретически с привлечением трёхмерной теории или на основе физического эксперимента.

Для решения такого типа задач может быть эффективным применение полуобратного метода, когда априори задается форма меридиана получаемой оболочки. Этот подход использовался, в частности, в ряде работ авторов применительно к задачам вытяжки куполообразных оболочек [2-4].

Цель настоящей работы - исследовать возможности применения аналитических аппроксимаций в задаче раздувания цилиндрической оболочки, защемлённой на торцах. Один из вариантов аналитической формы меридиана получаемой оболочки предварительно апробирован в [5]. Здесь поиск продолжен в более широком диапазоне пробных функций.

Для решения задачи используются уравнения, в которых относительные удлинения гк не являются пренебрежимо малыми по сравнению с единицей; е3 = е3 (обжатие материальной нормали) не зависит от поперечной координаты С . Применяются кинематические соотношения типа Э. Рейсснера, обобщенные для больших относительных удлинений [6]:

ei = (ех + Ск) , кх =Ф'а / a o - (1 + £зЖ!, (1)

sx = (W sin Ф + u' cos Ф)/ao + ^(Ф-Фа) -1,

e2 = (S2 + CK2 ) > = u / ro > K2 = (sin Фо )/ro - (1 + ^3)K2 >

K =Ф' / a o, K2 = (sin Ф)/ ro; у = у /(1 + , (2) у = (WcosФ-u'sinФ)/а0- sin(Ф-Фo); u' = a0[sxcosФ-уsinФ+ (cos Ф-cosФ0)], (3) w' = ao [sx sin Ф + у o cos Ф +(sin Ф - sin Фо)].

Здесь Ф0 и Ф - углы наклона материальной нормали к оси вращения до и после деформирования; величины кх и кг характеризуют изменения главных кривизн. Положительное направление нормали -внутрь оболочки. Все переменные величины являются функциями продольной лагранжевой криволинейной координаты. Для цилиндрической оболочки - это осевая координата z. Угол наклона для неё Ф0 = я/2, ав (z) = 1, ro = rc , где rc - радиус срединной поверхности цилиндрической оболочки.

При переходе от трехмерного тела к модели оболочки в виртуальную работу внутренних сил вводятся интегральные характеристики напряженного состояния (Ce[-h0/2, h0/2]:

N = (i) Jctj(i+e2)dc, N° = (1+е3) ja2(i+eЖ,

(ho) (ho)

Q° = (1 + ^з) j[CT13 +yai(1 + в2)Щ, (4)

(ho )

m¡ = (1)2 (1+e, Щ = (1+e3)2 (1+e•

(ho) (ho)

Уравнения равновесия следуют из принципа возможных перемещений:

(rVo) ' + aorop°w = 0, (raHo) ' - aoÑ + a0r0p: = 0, (5) (гМ) ' - aoM2o cos Ф+ aoro [yÑ - (1 + ^ )Qo ] = 0, где Vo = No sinФ + Qo cos Ф, Ho = Ñ" cos Ф-Qo sinФ,

pl =5A Pw, p°u =sApu, 81 =1 + £1, ^2 =1 + £2 •

Величины Vo и Ho имеют смысл внутренних усилий, ориентированных соответственно по оси симметрии и радиусу цилиндрической системы координат; pw, pu - компоненты внешней поверхностной следящей нагрузки. Здесь угол поперечного сдвига yo считается малым. В дальнейшем при формировании физических соотношений он полагается нулевым. Используется также предположение о несжимаемости материала, которое хорошо работает для металлов и сплавов. Для несжимаемого материала N = N + (KMoi + KMI)/S¡, j = 1, 2 •

Свойства материала характеризуются диаграммой нагружения, аппроксимируемой степенной функцией:

и = Cev = Л(ё)ё, e = (2/л/З)^/+ ёё + e2 , где e -интенсивность логарифмических деформаций несжимаемого материала; ek = ln(1 + e); C, п - константы

материала; Л(в) = Ce'-1 - секущий модуль.

Для несжимаемого материала используются физические соотношения Дэвиса-Надаи, связывающие напряжения и логарифмические деформации: Ч = (4/3)Л(в)(в1 +\e2), 4 = (4/3)Л(в)(в2 +vi!) • (6) После подстановки (6) в (4) определяющие соотношения для обобщенных внутренних сил строятся способом, представленным в [7]. Функция Л(в) заменяется суммой нескольких членов степенного ряда Тейлора по С в окрестности С=0. С запасом достаточ-

но 3 слагаемых аппроксимации по поперечной координате. После интегрирования оставляются степени ка не выше третьей. В результате получаются нелинейные соотношения, связывающие усилия и моменты с логарифмическими деформациями ек= ёк ,

к = 1, 2, 3 , и параметрами изменения кривизн к2.

В самом простом варианте определяющих соотношений можно положить секущий модуль Л( е )=Л( г ), т.е. заменить его соответствующей зависимостью на срединной поверхности. Это оправдано для задач сильной вытяжки и эквивалентно пренебрежению наведённой деформациями неоднородностью свойств материала по толщине. Дополнительно полагаем, что в рассматриваемой области получаемая оболочка не имеет зон сильного изгиба: тах{ Ск\, £к2 }<<1. Полоса краевого изгиба из рассмотрения также исключается. В результате имеем следующие нелинейные физические соотношения:

= вг + 0^), № = В2(г2 + 0,5г1), (7)

М° = Д + 0,5*2 ), М°° = Ъ2 (к2 + 0,5^ ), к1=к1 / 5Х, к2=к2 / 52 , В = В / \, В = В / 52,

D = ö;S2 D

d2 = ö;Ö1 D .

В исходном состоянии цилиндрическая оболочка имеет постоянную толщину Ъа, диаметр ^, радиус Г = г = /2, длину Ьс = 0,2; половину длины обозначим £05 = Ьс /2 . Располагая ось 2 круговой симметрии цилиндра горизонтально, поместим начало координат в её середину. Тогда координаты торцов соответствуют значениям г = — £05 иг = £05. В силу симметрии относительно середины можно рассматривать половину конструкции. Вторая координата отсчиты-вается по радиусу г. Торцы оболочки полагаем неподвижно защемлёнными. Внутрь оболочки подается гидравлическое давление, в результате действия которого оболочка пластически деформируется и принимает бочкообразную форму.

Ординаты меридиана оболочки в деформированном состоянии определяются функцией г (С) . Поясним различие координат г и С, отсчитываемых по оси вращения оболочек (рисунок).

Координата г является лагранжевой, определяющей положение материальной точки на меридиане оболочки. Она же - независимая переменная в уравнениях математической модели. Координата С является эйлеровой и определяет геометрические точки, через которые проходит меридиан деформированной оболочки при пересечении с радиальным лучом, если провести его из точки с координатой г. Координаты г и О различаются на величину осевого смещения w материальной точки: С=2+^. После определения м(£) можно при обработке уравнений математической модели вернуться к лагранжевым координатам, задав С как функцию г: С( 2 )=2+w (2).

При больших деформациях первоначально постоянная толщина оболочки становится переменной вдоль осевой координаты за счёт поперечного обжатия (сжатия материальной нормали). Учёт этого фактора является существенным, влияющим на относительные удлинения в тангенциальных направлениях.

Толщина имеет максимум в точках защемления и меняется от исходного значения до минимума в точке наибольшего перемещения и0. При вытяжке купола средней высоты из круглой пластинки форма меридиана близка к дуге окружности (слабоэллиптична), а распределение толщины подчиняется квадратичной зависимости от угла наклона нормали (или от длины дуги) [2-4]. Это подтверждается и теоретически, и экспериментально.

Опираясь на этот результат и сходство форм меридиана, для цилиндра также предполагаем зависимость квадратичной, но по координате С

ко = KW-S(1 -с2)].

(8)

Коэффициент 5 можно определить из условия равенства объёмов V0 и V1 оболочки в исходном и деформированном состояниях:

0

V = 2nrchoLo5, V, = 2ж Jгх(^)а0Q)hQ)dQ ,

-L05

0

2^ J r, Са (О hQ) dQ = 2wch0Lo55. (9)

-L05

Подставляя (8) в (9), имеем

o

Jгх(О)а0О)[1 -5(1 -С2)]dQ = rcL05. (10)

-L05

Из (10) после интегрирования следует

5 = (J, -rcLQ5)l(Jl - J2), (11)

0 0 J, = Jг,О)ао(С)dC , J2 = Jгх(О)ао(ОС2 dQ .

L05

-L05

Системы координат оболочки в исходном и деформированном состояниях

Для возможности корректировки добавим четвёртую степень, задав функцию толщины также в виде

КО=К[1—3(1—о2)—¿1(1—о4)]. (12)

Чтобы 5 и ¿1 связать между собой, применим условие равенства объёмов У0 и У1 , что даёт

51 = [3, +5(^4 — 3) — тсЦа]/(31 — ¿4), (13)

0

где 34 = |г1(О)а°(О) С* ^С , а ^ - то же, что и в (11).

—£05

Здесь 5 задается как основной параметр, через который определяется 51.

Сразу отметим, что численные эксперименты не показали преимуществ более сложной формулы (12) по сравнению с (8). Таким образом, квадратичная аппроксимация толщины здесь также приемлема.

Для определения осевого перемещения точек w(z) опять применим условие несжимаемости, но уже к переменным объёмам исходной и деформированной оболочек, отсекаемым параллелями с текущей координатой z: Vz(C(z))- V0z(z)=0, или

C(z)

J[r^K(Z)h(Z)] dZ-h0(z + L05) = 0 . (14)

-L05

Добавим и вычтем в подынтегральном выражении (14) константу ho, частично проинтегрируем и подставим C(z)=z+w(z):

hD[z + w(z) + ¿05] = К (z + ¿05) +

z+w( z)

+ JК -rx(£)a0(C)h(C)]dC . (15)

-L05

Из (15)

1 z+w( z)

w(z) = — J[ho - r,(CK(C)h(C)]dC . (16)

ho -L05

Используя соотношение (16), строим простой итерационный процесс на основе принципа сжатых отображений [8]:

1 z+w-1(z)

w,(z) = — J[ho -rx(C)a0(C)h(C)]dC . (17)

ho -¿05

Функция w(z) обращается в нуль в точках z = -L05 и z=0, отрицательна внутри этого интервала и имеет один экстремум (минимум). Этим условиям удовлетворяет функция

w0(z) = W0z(1 + z/L05), (18)

которую берём в качестве нулевого приближения. Итерационный процесс (17) быстро сходится. Достаточно одной-двух итераций, причём вторая нужна для подтверждения точности первой. Более того, если после первой итерации подобрать W0 в (18) так, чтобы минимумы совпали, то уже (18) является очень хорошим приближением и может использоваться в дальнейших выкладках.

После определения w(z) все характеристики оболочки в деформированном состоянии можно записать в лагранжевых координатах, которые используются в уравнениях равновесия. Становятся известными вектор перемещений и поле деформаций, если использовать условие несжимаемости локально в точках срединной поверхности

[1 + £ (z)] • [1 + e2(z)] • [1 + ^(z)] = 1. (19)

Таким образом, компонента радиального смещения равна u(z) = r j(C(z)) - r c; относительное удлинение окружного направления s2 (z) = u(z)/ r c; обжатие нормали (относительное изменение толщины) s3 (z) = [h(C(z)) - к ] / h0] < 0. Относительное удлинение на меридиане следует из (19) в силу локальной несжимаемости: sx(z) = [S2(z)S3(z)]-1 -1, где Sj(z) = 1 + £(z), j = 1, 2,3. Толщина деформированной оболочки h(z) = К • S (z). Интенсивность логарифмических деформаций срединной поверхности:

£(z) = (2/V3) •yl£1 (z)2 +£ (z)S2(z)+£(z)2 , где £ (z) = ln1 + £ (z)) = ln(Sj (z)) .

Введём обозначения для функций углов наклона касательной и нормали f (С) = —arctg(rx (С)) ,

f (С) = /¡(С) +^/2 , Фф = f(C(z)) , Ф,(2) =хП — Ф(2) .

Интегрируя первые 2 уравнения равновесия из (5) и подставляя полученные соотношения в (3), для равномерного давления р получаем

p = G (z)/G (z) - const, (20)

где G¡ (z) = [—(r„M; ) ' + M2 (z) x

X cos Ф( z)] S— (z) + I21 (z) sin Ф^) +

+CV sin Ф(z) — CF cos Ф^) ,

G2 (z) = /¡¡(z)cos Ф(z) +I22 (z) sin Ф^),

z z _

I¡¡(z) = J<¡(#)<2(#)sinФМЖ, 12¡(z) = JN2(g)d4,

—¿05 —¿05

z

122(z) = J<¡(#)<2(#)cosФ¡(#)d# .

——05

Величина p должна быть постоянной. Задача полуобратного метода состоит в подборе таких параметров деформированной оболочки, которые удовлетворяют этому условию. В (20) входят также константы интегрирования CV и CH, которые имеют смысл осевой и радиальной реакций, соответствующих защемлению торцов. Они также являются параметрами управления видом правой части формулы (20).

Рассмотрим оболочку, которая является цилиндрической и имеет постоянную толщину = 3,8 • ¡0—3 м в исходном состоянии; диаметр dc = 0,2 м, радиус Г = r = d /2 = 0,¡ м, длина — = 0,2 м, половина длины —05 = — /2 = 0,¡ м. Боковая проекция оболочки вписывается в квадрат со стороной 0,2 м.

В качестве материала оболочки возьмём нержавеющую сталь 12Х18Н10Т, обладающую хорошими свойствами пластичности. Характерные точки диаграммы пластичности материала: интенсивность напряжений предела пропорциональности

ст02=360 МПа, интенсивность напряжений разрыва аВ= 720 МПа; интенсивность деформаций предела пропорциональности е02 = 0,00¡7¡4 , интенсивность деформаций разрыва ев= 0,6¡5 . По этим данным определяются параметры степенной аппроксимации диаграммы нелинейных свойств материала:

<у(ё) = Csv , где

r¡ = M&B) — М^)]/ Ы^Е ) — )] = 0,¡¡78, C = ав /sv = 762,45 . Секущий модуль Л(ё) = Csv—¡.

При переходе к безразмерным величинам в качестве нормирующего напряжения принято ав . Перемещения нормируются радиусом исходной оболочки.

Для примера зададим стрелу наибольшего перемещения и0 = 0,035 м, что составляет 35 % от исходного радиуса. Тогда наибольший радиус оболочки в деформированном состоянии r4 = 0,¡35 м. Соответственно, в безразмерном виде 7С = ¡,0, иь = 0,35,

~, = ¡,35, —05 = ¡,0.

После перехода к безразмерным величинам в качестве пробных функций формы меридиана оболочки

в деформированном состоянии брались гладкие кривые, проходящие через краевые точки (|Ь05, ~) и точку максимума перемещения (0,7Ь). Функции, определяющие ординаты меридиана в зависимости от осевой переменной г , должны быть хорошо дифференцируемыми для обеспечения плавности кривизны. В качестве таковых брались функции:

1) степенная /р(г) = ~ — и , где 5 варьируется

и может быть нецелым; при 5=2 функция превращается в параболу;

2) тригонометрический косинус в степени: /с (г) =

= Ас[0С8(ЫсТ)]' + В, где Ас =— иь\{[^(N//2)]' —1}, Вс = ~ — Ас; варьируются N и 5 ;

3) гиперболический косинус в степени: (г) = = Ак[сс8(NhZ)]5 + В,, где А, = — иь/{[ск{N,1 /2)]5 — 1}, В = и — А ; варьируются N и 5 ;

4) дуга окружности /о (Т) = ^Л0 — г2 — Во, где

К° = ~ + В° - радиус дуги, В° = [(~/2)2 — 2геиь — ~2]/(2йь);

функция определяется однозначно, поскольку дуга проходит через 3 точки;

5) дуга эллипса /е (г) = к^а2е — г2 — Ве, где ае, Ье -полуоси эллипса, ке = Ье /ае, Ве = [(2ае /Ь)2 —1] • иЬ — ~с +

+ (2ae /[1 - (2ae /L)

ч2 .

■.е, [1 — (2ае / ь) ; параметры управления

формой - а, К;

6) комбинации функций с весовыми коэффициентами:

вариант 1 - смесь функций 2) и 5): 7 (2 ) = шг/с (2 ) + (1 — т)/° (2 );

вариант 2 - смесь функций 2) и 1): 72 (г ) = т2/с (г) + (1 — т2 )/р (г) ;

вариант 3 - смесь функций 2), 1) и 5):

72(г) = т7с(г) + т27р (г) + тз7° (г) , где

т + т2+т = 1.

Поскольку каждая из функций 1)-5) проходит через заданные точки, их весовые комбинации также удовлетворяют этим условиям. Рассматривались также функции с логарифмами и некоторые другие комбинации.

Алгоритм подбора подходящих приближений может быть следующим. Для каждой из пробных функций 1)-5) вначале подбираются их параметры, дающие, возможно, лучшее приближение функции (20) к константе. Затем отбираются 2^3 наиболее подходящие, которые комбинируются в смесях (миксах).

Рассмотрим пример растяжения оболочки до величины перемещения в середине иъ= 0,35; соответственно ~ = 1,35 . Подбор параметров пробных функций дает следующие значения: 1) 5=1,5^1,8; 2) 5=1,5,

Nc =1,5, A =0,3567, Bc =0,9933; 3) 5=1,2, N =0,5, Bh =2,3627, Ah = -1,0127; 4) Bo =0,2536, Ro =1,6036.

Сравнение вариантов показывает, что наиболее приемлемым является вариант 3 из 6) - микс косинуса, степенной функции и дуги окружности с весовыми коэффициентами m = 0,4, m = 0,25, m = 0,35. В центральной части области z е [-0,95, 0,1] погрешность вывода давления на константу составляет 4^6 % отклонения от среднего значения » 1,7 pmid МПа. На краях погрешность больше (~14 %). Однако контроль путём решения задачи Коши для системы уравнений 6-го порядка, построенной на основе соотношений (1)-(3), (5)-(7) с начальными условиями на левом краю от полуобратного метода, дает практически точное совпадение с подобранной геометрией. Вместе с тем для дальнейшего уточнения необходимо строить алгоритм решения краевой задачи с итерационным процессом, в котором решение полуобратного метода может служить хорошим начальным приближением.

Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (соглашение 14.А18.21.0389).

Литература

1. Юдин С.А. Пластическое формоизменение оболочек вращения // Тр. аспирантов и соискателей Ростовского гос. ун-та. Т. 12. Ростов н/Д, 2006. С. 38 - 40.

2. Юдин А.С., Юдин С.А. Моделирование пластической формовки артифицированной хлопающей мембраны // Современные проблемы механики сплош. среды : тр. Х меж-дунар. конф. Ростов н/Д, 2006. Т. 1. С. 290 - 294.

3. Юдин А.С., Юдин С.А. Пластическая вытяжка купола из круглой пластинки: теория и эксперимент // Современные проблемы механики сплош. среды : тр. XI междунар. конф. Ростов н/Д, 2007. Т. 1. С. 255 - 259.

4. Юдин А.С., Юдин С.А. Условия сферичности купола при пластической формовке из круглой пластинки // Модели и алгоритмы для имитации физ.-хим. процессов : материалы междунар. конф. 8 - 12 сент. 2008 г. Таганрог, 2008. С. 86 - 94.

5. Юдин С.А., Юдин А.С. Нелинейное деформирование защемленной цилиндрической оболочки внутренним давлением // Современные проблемы механики сплош. среды : тр. XIII междунар. конф. Ростов н/Д, 12-15 окт. 2009 г. Т. I. Ростов н/Д, 2009. С. 213 - 217.

6. Юдин А.С. Большие осесимметричные деформации упругопластических оболочек вращения // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1978. № 3. С. 34 - 37.

7. Юдин А.С., Юдин С.А. Определяющие соотношения в задачах осесимметричного формоизменения оболочек вращения // Современные проблемы механики сплош. среды : тр. XII междунар. конф. Ростов н/Д, 2008. Т. 1. С. 223 - 227.

8. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ. М., 2000. 320 с.

Поступила в редакцию

19 июня 2012 г.