Деформирование торообразных оболочек с учетом режима сверхпластичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 71 82

^ Механика ^

УДК 538.324

Деформирование торообразных оболочек с учетом режима сверхпластичности

С.А. Фурсаев

Аннотация. Рассматривается задача о деформировании торообразной шарнирно опертой оболочки под действием приложенного давления. Считается, что материал несжимаем и находится в режиме сверхпластичности.

Ключевые слова: оболочка, сверхпластичность, безмоментность.

1. Кинематика деформирования кольца

Рассмотрим оболочку, которая до деформации имеет вид симметричной относительно центра пластинки (рис. 1). Оболочка закреплена от перемещений по внешнему радиусу И и внутреннему а.

Рис. 1. Кольцо

Движение симметричной относительно центра оболочки в пространстве как трехмерного тела может быть рассмотрено как совокупность движения некоторой поверхности, которую называют срединной, и движения материала оболочки относительно этой поверхности (рис. 2).

Зададим подвижный базис координат: тх, Т2, п и координаты в этом базисе будут р, 9, £ соответственно. Также зададим неподвижный базис цилиндрической системы координат: ег, е$, и координаты г, в, г соответственно. Вектора бинормали Т2 и вектора ед полностью совпадают.

Используем обобщенную гипотезу Кирхгофа—Лява:

# {г, ¿о г) = Яср {г, г) + ¿;А3п = р (г, г)ег + г (г, г) ег + ^А3п, (1)

где Яср (г, ¿) = р (г, ¿) ег + ^ (г, ¿) ег радиус-вектор точек срединной поверхности; Аз (г) — утонение оболочки в направлении нормали;

Рис. 2. Срединная поверхность кольца

к (г) = Аз (г) Ь.0 {г) — текущая толщина оболочки; к0 (г) начальная

относительное удлинение срединнон поверхности в

dr

толщина; Ах =

меридиональном направлении; А2 = ^ относительное удлинение срединной

поверхности в окружном направлении [1].

Вследствие осевой симметрии процесса деформирования, единичный материальный и начальный базис на срединной поверхности связаны соотношениями

' er = cos 'утi + sin7n, (ti = cos 7 er — sm^eZl

ев = T2, <T2 = ёв, (2)

ez = — sin 7Гх + cos 7 ñ, ^ ñ = sin ~fer + eos 7ez,

где 7 угол поворота материального базиса относительно начального.

Используя закон движения срединной поверхности и выражение для единичного касательного вектора т\ из системы (2) можно получить два кинематических соотношения:

f) З11

— (А2г) = Ах cos7, —^ = -Axsin7.

or or

(3)

а из соотношения для радиального перемещения получить ещё одно:

иг = {()- г) = г _ = Г (А2 - 1) . (4)

Условие несжимаемости имеет вид

А1А2А3 = 1.

(5)

2. Уравнения движения кольца под действием нормально приложенных нагрузок

Рассматриваемое кольцо деформируется под действием внешней нагрузки р, распределенной по лицевым поверхностям 5+ и5”и торцевой поверхности Г: 5 = 5+ + + Г (рис. 3). Нагрузки р\ и распределенные по лицевым

поверхностям, направлены по нормали к ним: р\ = ргп~, р2 = Р2^+, п+, вектора нормалей к соответствующим лицевым поверхностям оболочки, нагрузка / приложена произвольно к торцевой поверхности: / = fT (£) т\ + /Пп.

Так как в процессе деформирования материальный элемент среды сохраняет объем, то гидростатическая составляющая тензора истинных напряжений не зависит от деформаций и подлежит определению. Уравнения движения оболочки могут быть получены на основании вариационного принципа Журдена, согласно которому сумма мощностей всех внешних и внутренних сил на поле возможных скоростей среды равна нулю. Так как процесс деформирования протекает относительно медленно и внутренние усилия в оболочке значительно превосходят силы инерции в среде, то мощностью последних пренебрегаем. Запишем выражение вариационного принципа:

где 8 а о вариация гидростатической составляющей тензора напряжений;

лочкой в произвольный момент времени.

Считая вариации величин независимыми, и неравными нулю, получим из выражения (6) дифференциальные уравнения равновесия кольца [2]:

А 2

Рис. 3. Движение кольца под действием давления р1 и р-2

(6)

О скорость изменения объема; V объем пространства, занимаемого обо-

где параметр С — константа, полученная после интегрирования при г = а и имеющая вид

С

ci 1 • ht

Ai

СГп - flu

• sm 7

Др

-¿-•Р-Аз

• Ар Л

вт 7-— • а • Л‘2

А1 2

Три уравнения системы (7) являются классическими уравнениями теории оболочек.

3. Постановка задачи сверхпластического деформирования кольца

Рассмотрим процесс деформирования кольца в необратимой области. Введем допущение о равномерности распределения характеристик папряжеппо-деформироваппого состояния по толщине кольца.

Запишем определяющее соотношение для сверхпластического материала [3J:

o' = a v + <Тр.

W

o-v = Tv(s,s0,T) • —, (8)

S

Ти = та ехр ( 2?no arctg ( —

V \*»

где (Тр — равновесная составляющая девиатора тензора напряжений; av — вязкая составляющая девиатора тензора напряжений; тр — интенсивность равновесной составляющей нагружения; т„ — интенсивность вязкой составляющей нагружения; W — девиатор тензора деформации скорости; s — величина формоизменения кольца; ни — величина формоизменения па внутреннем радиусе кольца; G — модуль сдвига; mо — модуль скоростного упрочнения; ■¿>s — скорость сверхпластичпости.

При предположении об идеально-жесткопластическом поведении материала при деформации равновесные нагружения тр считаем равными пределу упругости: тр = т0, то есть деформационное упрочнение отсутствует.

В ортонормировапном подвижном базисе выражение тензора деформации скорости примет вид

W А] ^ А2 ^ ^ А3 ^ W = -Тт1т1 + ^ГТ2Т2 + -г-пп.

Л\ Л‘2 Аз

Так как в силу гипотезы несжимаемости тензор деформации скорости совпадает со своим девиатором, то запишем выражение для скорости формоизменения в нормальном сечении оболочки в виде

™ ‘

(')'=*■•*=(э)

Характеристики напряженно-деформированного состояния пластической среды могут рассматриваться как функции произвольного монотонно возрастающего параметра. Выберем в качестве такого параметра величину длины дуги пластической траектории формоизменения па внутреннем радиусе кольца А‘р|г=а = 8и.

В таком случае производная по времени будет иметь следующий вид:

д д ■ /1(11 и = ^ т

Считаем, что в начальный момент времени кольцо всесторонне растянуто в радиальном направлении, по пока не подвергнуто действию давления р и находится в пластическом состоянии. При этом начальное напряженное состояние имеет вид

а\ 1 (»•) и=о = ст22 (»•) |і=0 = (г), (Уи (г) |і=0 = О,

а деформация:

А1 (Г)ІІ=0 = А2(ї-)іі=0 = А3 (»•) |і=0 = 1.

Учитывая все вышесказанное, из соотношения (8) получим связь между компонентами тензора напряжения и характеристиками процесса деформирования

д 1п Л|Л‘2 ( д.ч ^ _1 д 1п Л] Л| ( д.ч ^

(Ти=Т',~ді--- +(Т°' 4722 = Го—^---- ІдГІ +(Т° (П)

и & о \и&о / * о \и&о /

и из соотношения (7)

Р1 + Р2 (ТУА = ----------^------■

где аи = ^ (сгц + С22 + сзз) — шаровая составляющая тензора напряжения;

2

о~он = з сгн — шаровая составляющая в начальный момент.

В итоге, дополняя уравнения равновесия (7) кинематическими соотношениями (3)-(5) и соотношением для скорости формоизменения, следующим из (9):

<9а‘\ 2 / <9 Іті Лі \ 2 л/<91пЛ2\ 2 / <9 1п А] <9 іп А2 \

' '' ' +2 -^—5 +2 -^-5-^ , (12)

а также разрешающими соотношениями (11), получим замкнутую систему уравнений для определения следующих величин: составляющие тензора напряжения, величина формоизменения я, характеристики деформированного состояния А], А2, Аз, 7, где 7 — угол поворота подвижного базиса относительно начального, компоненты вектора перемещений -иг, -иг, гидростатическая составляющая напряжений аи.

Все искомые величины являются функциями начальной радиальной координаты г и величины траектории формоизменения па внутреннем радиусе зи.

Постановку задачи с используемыми уравнениями (7), (3)-(5), (11)—(12) необходимо дополнить граничными условиями, а именно: равенство пулю перемещений па внешней и внутренней границе кольца:

иг\г=а = М;г I г=а = и‘г\г=Я = М;г I г=Я = (1^)

и начальными условиями

2

СГп|4'„=о = а22\Ии=0 = сги, °зз|.,„=о = о, о-о\Ии=0 = -сгп. (14)

В дальнейшем будем использовать следующие безразмерные величины:

, Л ^11 (г, За) СГ‘22 (г, За) (ТЗЗ (г, За)

О-11 (г, Зи) = --------, (722 (п «о) = ---------, СГЗЗ (?% «о) = ---------,

То Т0 То

Тр р 1 Р2 . Ьи г Щ. иг

Тр = ---, Р1 = — . Р2=—, По= ----------, ?•=-; Щ- = -------, иг = -----.

то то то а а а а

Подставим в первые два уравнения системы (7) определяющие соотношения (11), а также выразим р = Аг?"

1, _ Э1пЛ?Л2 ( да \-1 , I, _ . 4 ,,

д»а Кат:) +по-ао 81Т17 = Ду 2 | с

А] г 2 г'

I 91п АтАг { Я я \ ^ | I

Ьо-т» (Ю +ко-<Уо д2+

Ai дг

i д\п\*\2 / $g \ 1 ,

ho-Tu д (g—) +h0-a0 s,n7

где

^2

дз

Ар- А1А2, (16)

ехр ( 2nio arctg ( -

-з

\vs ■ дз о

Третьим уравнением следует взять выражение (12) для связи величины формоизменения в любой точке кольца и величины формоизменения па левой границе

дз V2 / д In Ai \ 2 ,/<91пА2\ 2 / <9 In А] <9 In А2 \

2 Нт—Ч +2 +2 • (17>

дз„ ) V дз„ ) V дз„ ) V дз„ дз

Еще четыре уравнения будут являться кинематическими связями (3)-(5)

Уравнения (15)—(18) представляют замкнутую систему из 8 уравнений относительно 8 неизвестных: А1(г,Я„), А‘2(г,.8а), /у(т\Яи), Т0(7\Яи), 8(г,8и), ■иг(г, Я„), иг(7\ Я„), аи(7\ 8о).

Задача состоит в установлении связи между изменением приложенного давления и характеристиками напряженно-деформированного состояния: перемещение, деформация, угол поворота подвижного базиса.

4. Определение напряженно-деформированного состояния

торообразной оболочки

Зададим закон изменения со временем величины формоизменения па левой границе торообразной оболочки при г = а: ни = я„(£).

Имеющаяся система дифференциальных уравнений в частных производных сложна из-за своей нелинейности. Выберем для неё способ численного решения в виде простейшей аппроксимации производных по параметру вре-

О О 1 \ А 1 \

мепи. Производные -щт, Л 1 , д” 2 ’ которые входят в систему, аппроксимируем конечными разностями

дя _ ап+1 - яп д І» А) _ І» А""1-1 - \п\\1 д Іті А2 _ 1пА.“+1 - ІпА?

В результате для системы (15)—(18) в каждый момент времени получаем краевую задачу из обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций А і (?•), А‘2(ї"), 7(г)’ г«(г)’ а‘(7')’ иг(‘>')і &и{т)-, описываю-

щих деформированное состояние оболочки в конкретный момент времени

(18)

дзц Дао

дяи

дяи

¿п+1

—----------- (л„ • (т,"+1) (2 ІТ1 АГ+1 - 2 ІТ1 А" + ІТ1 А.”"1"1 - 1п А.”) +

5 ;

А»+> . (6.«+1 _ Х х • (т;*+1) (2 ІТ1 А”+1 - 2 ІТ1 А" + ІТ1 А”+1 - 1п А£) +

х • (т;*+1) (2 1п А.”+1 - 2 1п А.” + 1п А”+1 - 1п А") +

п+1

+ Л„ • <т„(г, я„) • {зп+] - я")) ^-------------------- = Арп+] • л;*+1л^*+1, (19)

,,«+1 _ „п \ 2 / |п А»+1 _ |п А„ \2 / 1п Л.”"1"1 - 1п А£ \ 2

Аз„ ) \ Дб‘а ) \ Дб‘а

9 ГПп\\1+' - 1т1 А" \ / 1п А.“+1 - 1п А,"

\\ А.Чо ) V Д«и Я г)пп+'

(\п+1,А — \п+1 2 _ Н1+1 • -.п + 1

V 2 V — Л1 С013/ ; — _Л1 8Ш7 ;

4»+> = г (А<2+1 - 1)

„п+1 ап

(/ 1 „п + 1 _ „п \ \

2т0 аг^ (- • ¿„(С") ] ] ,

\П+| \П+1 \П+1 _________ 1

Л1 ■ л2 ■ л3 — 1;

где граничные условия будут А‘2|г=а = 1, иг\г=а = О, А21г=/г = иг\г=ц = 0.

Верхние индексы для величин в выше представленных выражениях означают временной уровень в сетке аппроксимации.

Для первого момента времени система примет вид (п = 0):

Ни • (т,},) (2 1п А] — 2 Iи А,1 + Iи А<2 — III А°) + Ни • а'и • (я1 — а>0) вт71

Л] • (¿>л — а-0) г

_ АР] /л 1 л2 1

- “У V 2у + ь • ->

Ни • (г,]) (2 1пА{ — 2 1п А,1 + 1п А2 — 1п А°) + Ни • а'и • (я1 — ¿¡°) ду1

А, • (¿>Л — я0) дг

На • (т,]) (2 Iи А<2 — 2 1п А° + III А] — 1т1 А®) + На • а'и • (я1 — ¿¡°) вт 71

А2 • (а“ — 6‘

1 — 5°)

Ар' ■ А | А<2 ;

Я1 — А‘° 2 , ( III А| — 1п А? \ 2 9 / 1п А2 — 1п А2 \ 2

Дй„ ) \ А,чи ) \ Дя

_|_9 / / ~~ А? А2 ~~ А2

А.чи ) \ Дя

». ^ / л 1Л . л 1 _ л 1 „„„ -.1 ди\ л 1 „;т. л/1 1 _ Л 1 1 ^

' Ж- ^ 2' 2 1 ! ~дг 1 ! г ^ 2 ~~ '

111 1 ( / 1 ¿>л — ¿>® |,

Л| • Л<2 • Ад = 1, т1 = ехр I 2?по arctg I — д ^

Неизвестные величины с пулевым верхним индексом известны из начальных условий.

Так как для аппроксимации производных мы использовали одинарный шаг по величине формоизменения па внутреннем радиусе кольца, то априорная погрешность самой аппроксимации будет иметь порядок равный порядку величины шага Да'о-

Ввиду сложности полученной нелинейной краевой задачи решение ищется методом стрельбы. С этой целью па границе г = а оболочки в каждый момент времени задаются условия: А2|г=а = 1, uz\r=a = 0 — закрепление па границе г = о, величины С и р. Для заданных условий решается задача Коши для уравнений (19).

Полученные характеристики X-¿ (г) и uz (г) в произвольном случае не удовлетворяют граничным условиям па правой границе оболочки г = Я: А‘21г._= 1, uz\r=R = 0. Удовлетворение этим условиям проводится соответствующим выбором значений параметров С и р.

Для выбора параметров Сир используем следующий способ:

а) считая, что величина деформации в радиальном направлении А2 и перемещение вдоль оси OZ uz непрерывно зависят от параметров С и р, разложим их в ряд по этим неизвестным параметрам;

б) оставим в ряде для каждой из функций X-¿ и uz только члены до первого порядка включительно

A2(C, р) « А2(С0, ро) + + ^-Sp,

uz(C,p) » uz(C0,p0) +

в) исходя из удовлетворения граничным условиям на правой границе А2|г_/2 — lj ^jz\f=fi = 0? получим равенства вида

1=ЫСо,Ро) + ^бС+^6р, о = uz(C0,p0) + SP

где Со и ро — значения параметров в первом приближении;

г) из данных уравнений находятся указанные приращения 8 С и 8р, произ-

О \ о \ л л

водные аппроксимируются соответствующими конечными

разностями;

д) осуществляется уточнение параметров С и р: С = Со + 8С и р = = ро + 8р, пока не будут удовлетворены граничные условия па правой границе.

Окончательный выбор величин Сир позволяет удовлетворить граничным условиям па правой границе оболочки г = Я: А2|г=д = 1, uz\r=R = 0 и тем самым определить для данного момента времени деформированное состояние, характеристики которого удовлетворяют граничным условиям (13).

Так как метод решения, по существу, сводится к нескольким задачам Коши, то расчет точности результатов проводится методом Рунге Ромберга, путем изменения аппроксимационной сетки для величин, которые необходимо найти при решении задачи, и последующим пересчетом задачи по измененной сетке и применении процедуры расчета погрешности.

5. Результаты решения задачи

Ниже приведены результаты, полученные при решении задачи о напряженно-деформированном состоянии торообразной шарнирно опертой оболочки для материала с характеристиками предела упругости: то = 7 • 106, модуля скоростного упрочнения: то = 0.9, закона изменения величины формоизменения на внутреннем радиусе: 5о(^) — 0.05 •

На рис. 4 заметно, что наибольшей меридиональной деформации кольцо подвержено в области внутреннего радиуса. На рис. 5 видно, что наибольшей радиальной деформации кольцо подвержено в области внутреннего радиуса и примерно в середине деформируемой области. Кроме того, следует отметить интересную особенность. Видно, что в кольце находится некоторое окружное сечение, для которого перемещений и деформаций вдоль радиальной оси наблюдаться не будет.

Рис. 4. Движение кольца под действием Рис. 5. Изменение в зависимо-давления р1 и р-2 сти от времени распределения

деформации кольца в радиальном направлении

На рис. 6 хорошо заметно, что рассматриваемое деформируемое кольцо имеет тенденцию к большему утонению в области внутреннего радиуса: г = а.

На рис. 7 изображен рост приложенного давления со временем. На рис. 8 показано изменение профиля оболочки в процессе деформации.

р 5 10 15 20 25 ■£

Рис. 6. Изменение в зависимости Рис. 7. Зависимость приложенного от времени распределения толщины давления от времени

кольца

_ 11г[12]

, Г

Рис. 8. Изменение профиля кольца

В итоге была поставлена и решена задача определения напряженно-деформированного состояния торообразной шарнирно опертой оболочки из материала, проявляющего сверхпластические свойства. Использованы предположения о несжимаемости материала, квазистатичности процесса деформации, справедливости гипотезы Кирхгофа. Были получены уравнения равновесия из вариационного принципа Журдена и кинематические соотношения, связывающие радиальные перемещения и деформации, перемещения вдоль оси OZ и меридиональные деформации. Задача была решена численно, методом стрельбы.

При анализе результатов выяснилось, что наибольшая деформация наблюдается в области внутреннего радиуса кольца, а также что в торообразной оболочке имеется некоторое кольцевое сечение, где радиальные деформации и перемещения практически не наблюдаются.

Список литературы

1. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Ч. 2. Л.: Изд-во ЛГУ, 1964. 396 с.

2. Общая нелинейная теория упругих оболочек / Кабриц С.А. [и др.] СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. 388 с.

3. Маркин A.A. Термомеха.ника. процессов упругопластического и сверхпластиче-ского деформирования металлов // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 5. С. 164-172.

Поступило 19.01.2009

Фурсаев Сергей Александрович (fursaev@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Deformation of similar to a ring shells in view of a mode

of superplasticity

S.A. Fursaev

Abstract. The problem about deformation of similar to a ring basing hinges shells under action of the enclosed pressure is considered. It is supposed, that the material is in a mode of superplasticity and incompressible.

Keywords: shell, superplasticity, without the moments.

Fursaev Sergey (fursaev@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.