CC BY
55
ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ А.П. Горюшкин
Камчатский государственный технический университет, г. Петропавловск-Камчатский, 683003
е-mail: [email protected]
В статье обсуждаются вопросы, связанные с функциональной полнотой булевых функций. Результаты могут найти применение при исследовании структуры подалгебр алгебры булевых функций.
Ключевые слова: булева функция, полная система, самодвойственность, полином Жегалкина.
Full boolean functions. A.P. Goryushkin (Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatskiy, Russia, 683003)
This article covers the problems connected with the functional fullness of Boolean functions. The results may be used in the study of the structure of subalgebas algebras of the Boole functions.
Key words: Boolean function, full system, duality, Zhegalkin’s multinomial.
Введение
Булевы функции являются основным аппаратом для построения математических моделей дискретных преобразователей информации. Для алгебры булевых функций <P2; S > важным является вопрос о порождающих (полных) системах функций. Эта алгебра обладает
порождающими множествами, состоящими всего из одной (полной) функции.
Классическими примерами полных функций с двумя переменными являются штрих Шеффера и стрелка Пирса. Эти две функции несложно сделать функциями от большего числа переменных: функция sh(xi, х2, х„) = xjvx2v...vxn является обобщенной функцией Шеффера,
а p(xb x2, ..., xn) = Xj & x2 &... & x n - обобщенной функцией Пирса.
В представляемой работе показано, что существуют полные функции от n переменных, отличные от этих простых обобщений; и число таких функций весьма значительно:
асимптотически полные функции составляют одну четвертую всех функций от данного числа аргументов.
Для небольших значений числа аргументов число полных функций будет вычислено точно, при этом появятся простые достаточные условия полноты функции.
Символ n далее будет всегда обозначать натуральное число, больше единицы, а символом + обозначается сложение по модулю два. Под словом «функция» имеется в виду булева функция. Символом P" обозначим множество всех функций от n переменных, а ПП - множество полных функций из P .
Укажем сначала верхнюю границу |ПП| - числа полных функций от n переменных.
Еслиfxb x2, ..., xn) - функция, образующая полную систему, то
f(0, 0, ..., 0) = 1 и fl, 1, ..., 1) = 0,
а это означает, в частности, что f немонотонна.
Оставшиеся 2n - 2 строк таблицы значений для функции f(x1, x2, ., xn) могут быть заполнены
2т—2
2 различными способами. По теореме Поста о функциональной полноте [1, стр. 165]
2т —2
из этих 2 функций все, не являющиеся линейными или самодвойственными, будут полными. Но там точно будут и линейные, и самодвойственные, поэтому число полных функций от n
2т —2
переменных строго меньше 2 , и, следовательно, относительная плотность полноты меньше
1
4’
\Щ\ ;22"-2_1
\рп\< 22” - 4-
Оказывается, что эта (на первый взгляд, весьма приблизительная) оценка асимптотически
является точной, то есть предел lim
Пп П2
существует и равен —.
4
Чтобы это увидеть, достаточно найти нижнюю границу для \П"\ .
Нижняя граница
Полином Жегалкина, представляющий полную функцию ^х1, х2, ..., хп), содержит четное число одночленов, в противном случае _Д1, 1, ..., 1) = 1. Свободный член полинома равен единице, иначе ДО, 0, ., 0) = 0.
Пусть функцияАх\, х2, ..., хп) имеет единичный свободный член и нечетное число одночленов в полиноме Жегалкина, тогда полином ее двойственной функции Лх\ + 1, х2 + 1, ..., хп + 1) + 1 будет уже без свободного члена. Это значит, что самодвойственная функция с единичным свободным членом имеет четное число одночленов в полиноме Жегалкина. Следовательно, самодвойственная функция, не сохраняющая нуль, не сохраняет и единицу.
Наоборот, пусть функция Дх1, х2, ..., хп) не сохраняет единицу, то есть число одночленов в ее полиноме Жегалкина четное. Тогда /*(х1, х2, ..., хп) имеет единичный свободный член. Если f - самодвойственная, то и у функции f в ее полиноме Жегалкина должен быть свободный член, равный единице. Это значит, что самодвойственная функция, не сохраняющая единицу, не сохраняет и нуль.
Совершенная конъюнктивная форма самодвойственной функции получается из совершенной дизъюнктивной формы при переходе к двойственной функции. Поэтому самодвойственная функция принимает значение 0 в точности столько же раз, сколько и значение 1.
Пусть g - функция от п переменных, не сохраняющая ни нуль, ни единицу и принимающая значение 0 в точности столько же раз, сколько и значение 1. Чтобы задать таблицу значений для g достаточно ровно половину 2" — 2 строк таблицы заполнить единицами (оставшаяся половина заполнится нулями). Следовательно, число функций g с перечисленными свойствами равно числу
г2”-2л
-элементных подмножеств множества, состоящего из 2п —2 элементов. Таким образом,
ч 2 х
число самодвойственных функций, не сохраняющих ни 0, ни 1, не превышает числа
, 2” — 2 I
с2„" -1 =-----------------:---------.
2-2 2”-1 ! 2"-2 - 2Л~1 -1 !
Число всех функций от п переменных, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, равно 22
и поэтому число полных функций от п переменных не меньше числа
2»2 2"-2!
2 ~2 --
2п-i | 2п _ 2вЧ -1 I
Таким образом, относительная плотность множества полных функций в множестве всех функций от п переменных не менее чем
2п-2 !
2»-i _ 1 I 2п - 2п~1 -1 ! 1 2п - 2 !
22 ~2 -
■>«-! 1 I 'ли-!
22” 4 2вЧ -1 ! 2п - 2пЛ -1 !• 22"
1 2” \-2"
4 4 ■ 2п^ -1 • 2п^ ! 2 • 22”
При п —> да второе слагаемое алгебраической суммы стремится к нулю. Действительно,
2” \-2” 1 2” ! lim------------------------Ö-----= ^lim-----------2------
^ rs П О .1 _ ±
П
п
и, используя формулу Стирлинга:
2” !
Пт----------—
= Нт-
у/2% ■ 2п
■е
2п
= Нт-
• 2
у/2% • 2п
«—>сс / 2п
2 п-1
V
-1 V
• л/т ■ 22
= Ит-?--------г = Нт — = 0.
(„2~4\ §
Вместе с верхней границей для относительной плотности
Щ 1
п—г < — получаем окончательно
\р:\ 4
Нт
П ” П2
со Р" 2
.1.
4'
Перейдем теперь к конкретным значениям п. Будем разыскивать полные функции, удаляя из множества функций, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, самодвойственные функции (при этом автоматически будут выброшены и линейные функции). И полные, и неполные функции будем представлять полиномами Жегалкина.
Для проверки метода начнем поиски с ситуации, ответ для которой заранее известен, с функций с двумя переменными.
Полные функции от двух переменных
Если функция fx, у) = а00ху + а1х + а2у + 1 полная, то она не совпадает со своей двойственной.
Найдем эту двойственную функцию _/*(х, у) для Ах, у):
^(х, у) = а0(х + 1)(у + 1) + а1(х + 1) + а2(у + 1) + 1 =
= а0ху + (а0 + а!) х + (а0 + а2) у + (а0 + а! + а2).
Представление булевой функции в виде полинома Жегалкина над полем Ж2 единственно. Поэтому функция Ах, у) будет самодвойственной тогда и только тогда, когда коэффициенты а0, аь а2 ее полинома Жегалкина являются решениями системы уравнений:
а0+а1=а1, а0 +а2 =а2, а0+а1+а2= 1.
Множество решений этой системы имеет вид
{(0, 1 + а2, а2) I а2е{0, 1}}.
Следовательно, среди функций от двух переменных, представленных полиномами Жегалкина, с ненулевым свободным членом самодвойственных всего две. Придавая значения свободному неизвестному а2, найдем эти две функции:
а2 А (х, у) = (1 + а2) х + а2у + 1
0 х + 1
1 у +1
п
п-1
-2
2
е
п
п
п2
2
п
Таким образом, из четырех функций, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, в точности две являются самодвойственными, и, следовательно, оставшиеся две - несамодвойственны.
Эти две несамодвойственные функции к тому же не сохраняют ни нуль, ни единицу и поэтому немонотонны и нелинейны (линейная функция с четным числом одночленов - самодвойственна).
По теореме Поста эти две функции полны.
Естественно, что одна из них - это штрих Шеффера, х\у = ху + 1, а вторая - стрелка Пирса,
х-1у = ху + х + у + 1.
Среди функций от двух переменных содержится в точности две полные функции.
При автоморфизме полная система переходит в полную же систему и, в частности, полная функция - в полную. Отображение, переводящее функцию в двойственную, является автоморфизмом. Неподвижные элементы этого автоморфизма (самодвойственные функции) неполные. Поэтому множество полных функций распадается на два класса двойственных друг другу функций. В рассматриваемом случае классы эти одноэлементные: функции Шеффера и Пирса двойственны друг другу.
Полные функции от трех переменных
тт 1 2*^ 2 6
Для п = 3 число функций, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, равно 2 “ = 2 = 64.
Из этих 64 кандидатов в полные четыре функции:
А:(х, у, г) = х + 1, А2(х, у, г) = у + 1, Аз(х, у, г) = г + 1, у4(х, у, г) = х + у + г + 1,
отпадают из-за их линейности (число одночленов в каждой из них четное, поэтому эти функции самодвойственны).
Самодвойственная функция принимает значение нуль столько же раз, сколько и значение единица. Среди функций от трех переменных, два значения которых уже известны,
до, о, 0) = 1 и Л1, 1, 1) = 0,
число функций, принимающих еще три раза значение нуль (и соответственно три раза значение единица), равно
з = 61514 = 2а 1-2-3
Это значит, что среди выделенных 64 функций число самодвойственных не более 20, и, следовательно, |77|| > 44. В множестве П\ находятся три функции Шеффера, три функции Пирса, два их обобщения, и, кроме того, не менее 36 новых функций.
Вычислим точное значение числа |П"31.
Для этого найдем сначала все самодвойственные функции от трех переменных, не сохраняющих единицу (напомним, что такая функция не сохранит и нуль).
Пусть
Ах, у, г) = аохуг + ахху + а2хг + а3уг + а& + а5у + а6г + 1
булева функция с неопределенными пока коэффициентами а0, аь а2, а3, а4, а5, а6.
Вычислим функцию А*, двойственную для А:
А*(х, у, г) = Ах + 1, у + 1, г + 1) + 1 = а^хуг + а6 + а0 + а! х + а! у +
+ а2х + а2г + а3у + а3г + а4х + а5у + а6г + а^х + а0у + а0г + а! +
+ а2 + а3 + а4 + а5 + а0уг + + аоху + а^гг + а2хг + ахху + а3уг =
= а3 + а! + а2 + а0 + а6 + а4 + а5 + (а! + а2 + а4 + а0) х + (а! + а3 + а0 + а5) у +
+ (а3 + а6 + а2 + а0) г + а^гуг + (а0 + а!) ху + (а0 + а2) хг + (а0 + а3) уг.
Теперь найдем разность А!(х, у, г) = Ах, у, г) -А*(х, у, г),
А!(х, у, г) = (а^ + а2х + а^г) + (а0у + а3у + аху) + (а0г + а3г + а2г) +
+ а0уг + а^гу + а^гг + (1 + а6 + а0 + а! + а2 + а3 + а4 + а5).
Функция Ах, у, г) будет самодвойственной тогда и только тогда, когда все коэффициенты А!(х, у, г) - нулевые. Множество решений системы уравнений
а0+а1+а1= О, а0+аг+а3= О,
< а0 + а2 + аъ = О, а0 = 0,
а0 + ах + а2 + аъ + а4 + а5 + а6 +1 = 0
имеет вид:
{(0, 1 + а4 + а5 + а6, 1 + а4 + а5 + а6, 1 + а4 + а5 + а6, а5, а4, а6) | а5, а4, а6 е {0, 1} },
где а5, а4, а6 - свободные переменные.
Многочлен, представляющий функцию Ах, у, г), принял вид:
(1 + а4 + а5 + а6)ху + (1 + а4 + а5 + а6)хг + (1 + а4 + а5 + а6)уг + а4 х + а5 у + а6г +1.
Оказалось, что из 20 кандидатов в самодвойственные функции всего лишь восемь выдержали окончательное испытание. Разместим все восемь получившихся самодвойственных функций в таблицу:
а4 а5 аб (1 + а4 + а5 + а6)ху + (1 + а4 + а5 + а6)хг + (1 + а4 + а5 + а6)уг + + а4х + а5у + а6г + 1
0 0 0 ху + хг + уг +1
0 0 1 г + 1
0 1 0 х + 1
0 1 1 ху + хг+ уг + х + г + 1
1 0 0 у + 1
1 0 1 ху + хг + уг + у + г + 1
1 1 0 ху +хг + уг + х + у + 1
1 1 1 х + у + г+ 1
Итак, найдется ровно 64 - 8 = 56 функций от трех переменных, каждая из которых в одиночестве с помощью суперпозиций порождает всю алгебру булевых функций. Из этих 56 функций 48 не являются функциями Шеффера и Пирса или их обобщениями.
Выясним, например, является ли функция
5(х, у, г) = ху + хг + х +у + г + 1
полной. Эта функция нелинейна, в своем полиноме Жегалкина имеет единичный свободный член и четное число одночленов, ее нет в списке самодвойственных функций, следовательно, функция 5(х, у, г) образует полную систему.
Полные функции от четырех переменных
Найдем сначала все самодвойственные функции от четырех переменных, не сохраняющих ни нуль, ни единицу. Пусть
Ах, у, г, 0 = а0хуг1 + а1хуг + a2xyt + а3х& + a4yzt + а5ху + ах +
+ а7уг + ах + a9yt + а^ + а11х + а12у + а13г + а^ + 1
булева функция с неопределенными пока пятнадцатью коэффициентами: а0, а1, а3, ..., а14. Вычислим функцию А*, двойственную для А:
А*(х, у, г, 0 = Ах + 1, у + 1, г + 1, г + 1) + 1 =
= а0(х + 1)(у + 1)(г + 1)^ + 1) + а1(х + 1)(у + 1)(г + 1) +
+ а2(х + 1)(у + 1)(t + 1) + а3(х + 1)(t + 1)(г + 1) + а4(у + 1)( г+ 1)(t + 1) + а5(х + 1)(у + 1) +
+ а6(х + 1)(г + 1) + а7(у + 1)(г + 1) + а8(х + 1)(t + 1) + а9(у + 1)^ + 1) + а10(г + 1)^ + 1) +
+ ап(х + 1) + а12(у + 1) + а13(г + 1) + а14^ + 1) + 1 =
= а0хуг + aoxyt + aoXzt + a0yzt + аг + а1хуг + a2xyt + а^г +
+ a4yzt + а12у + а11х+ a0xyzt + а5ху + ах + а7уг + а0уг + ах +
+ ау + аlozt + а1ху + а1хг + а1уг + а2ху+ а2xt + ау + ах + а3хг +
+ аг + ау + ау + a4zt + а13г + а^ + а0х + а0у + а0г +
+ а^ + а1х + а1у + а1г + а2х + а2у + a2t + а3х + а^ + а3г + а^у +
+ а4г + а4 + а5х + а5у + а6х + а<£ + а7у + а7г + а8х + а4 + а9у + а4 +
+ а10г + a10t + a0xt + а0хг + а0 + а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 +
9
+ а7 + а8 + а9 + а10 + а11 + а12 + а13 + а14 + а0ху + ау =
= (а4 + а0) yzt + (а0 + а2) xyt + (а0 + а3) xzt + (а1 + а0) хуг + a0xyzt +
+ (а11 + а2 + а0 + а5 + а1 + а8 + а3 + а6) х + (а4 + а2 + а9 + а12 + а5 + а0 + а7 + а1) у+
+ (а10 + а4 + а13 + а7 + а3 + а6 + а0 + а1) г + (а2 + а14 + а8 + а3 + а0 + а10 + а4 + а9) t +
+ (а2 + а5 + а0 + а1) ху + (а6 + а3 + а1 + а0) хг + (а1 + а4 + а0 + а7) уг +
+ (а3 + а0 + а8 + а2) xt + (а0 + а9 + а2 + а4) yt + (а3 + а4 + а10 + а0) zt + а0 +
+ (а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7 + а8 + а9 + а10 + а11 + а12 + а13 + а14).
Теперь найдем разность А1(х, у, г, 0 = Ах, у, г, 0 - А*(х, у, г, t):
А1(х, у, г, 0 = 1 + а0хуг + a0xyt + a0xzt + a0yzt + аг +
+ а0уг + а1ху + а1хг + а1уг + а2ху + a2xt + ау + ах + а3хг + a3zt + а4уг +
+ ау + a4zt + а0х + а0у + а0г + a0t + а1х + а1у + а1г + а2х + а^у + a2t + а3х +
+ а^ + а3г + а4у + а4г + a4t + а5х + а5у + а6х + а6г + а7у + а7г + а8х +
+ a8t + а9у + а9t + а10г + a10t + а^ + а0хг + а0+ а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 +
+ а7 + а8 + а9 + а10 + а11+ а12 + а13 + а14 + а0ху + ау =
= а0хуг + a0xyt + a0xzt + a0yzt + (а2 + а0 + а1) ху +
+ (а3 + а1 + а0) хг + (а0 + а4 + а1) уг + (а2 + а3 + а0) xt + (а2 + а0 + а4) yt +
+ (а4 + а3 + а0) zt + (а3 + а2 + а0 + а1 + а6 + а8 + а5) х + (а0 + а9 + а1 + а7 + а4 + а5 + а2) у +
+ (а10 + а3 + а0 + а1 + а6 + а7 + а4) г+ (а2 + а3 + а8 + а10 + а9 + а4 + а0) t +
+ (а0 + а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7 + а8 + а9 + а10 + а11 + а12 + а13 + а14 + 1).
Функция Ах, у, г, 0 будет самодвойственной тогда и только тогда, когда все коэффициенты у многочлена А(х, у, г, ^ нулевые. Множество решений системы уравнений
{а0 = 0, а2 + а0 + а1 = 0, а3 + а1 + а0 = 0, а0 + а4 + а1 = 0, а2 + а3 + а0 = 0, а2 + а0 + а4 = 0,
а4 + а3 + а0 = 0, а3 + а2 + а0 + а1 + а6 + а8 + а5 = 0, а0 + а9 + а1 + а7 + а4 + а5 + а2 = 0,
а10 + а3 + а0 + а1 + а6 + а7 + а4 = 0, а2 + а3 + а8 + а10 + а9 + а4 + а0 = 0, а0 + а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7 + а8 + а9 + а10 + а11 + а12 + а13 + а14 + 1 = 0}
имеет вид:
{(0, о5 + о8 + о9, о5 + о8 + о9, о5 + о8 + о9, а5 + а8 + а9, а5, а9, а8, а8, а9, а5,
1 + а12 + 013 + ом, он, 013, аы) I о5, о8, о9, о^, о^, ом е {0, 1}}.
Переменные а5, а8, а9, а12, а13, а14 - свободные, число различных наборов свободных переменных равно 26 = 64.
Это и есть число самодвойственных функций, не сохраняющих ни нуль, ни единицу.
Каждая такая функция представима в виде:
(а5 + а8 + а9) хуг + (а5 + а8 + а9) xyt + (а5 + а8 + а9) xtz + (а5 + а8 + а9) yzt +
+ а5ху + а9хг + а8уг + ах + a9yt + а^ + (1 + а12 + а13 + а14) х + (5)
+ а12 у + а13 г + а14 t + 1.
Итак, из 65 536 функций от четырех переменных 214 = 16 384 функции не сохраняют ни нуль, ни единицу, а среди них в точности 64 самодвойственных (и одновременно линейных) функций. Это значит, что число полных функций от четырех переменных равно
16 384 - 64 = 16 320.
Если полином Жегалкина функции от четырех переменных имеет единичный свободный член, четное число одночленов и не имеет вид (5), то эта функция полная.
Например, функция
5(х, у, г, 0 = xyzt + х + у + 1
обладает всеми этими свойствами и, следовательно, 5(х, у, г, ^ полна. Вообще любая функция с четным числом одночленов и единичным свободным членом, содержащая одночлен четвертой степени, заведомо будет полной.
Полные функции от пяти переменных
Следуем той же методике, что и в предыдущих случаях. Запишем функцию от пяти переменных с единичным свободным членом в полиноме Жегалкина с неопределенными коэффициентами:
Ах, у, г, t, и) = а^хугШ + а^гШ + а2хгШ + а^уШ + а^хугы + a5xyzt + + а^ы + а7хШ +
+ аХи + асхуг + а10хуи + a11yzt + а12уги + a13xzt + a14xyt + а15хги + а16ху +
+ a17yz + a18xz + a\9tu + a2Czt + a21xu + a22xt + a23yu + a24zu + a25yt +
+ a26x + a27y + a28z + a29t + a3cu + 1.
Вычислим двойственную f*(x, y, z, t, u) функцию для fx, y, z, t, u) и приравняем коэффициенты разности f*(x, y, z, t, u) - fx, y, z, t, u) к нулю. В результате получим систему уравнений для коэффициентов функции fx, y, z, t, u):
{ac = C, a3 + ac + a5 = C, ac + a5 = C, a2 + ac + a5= C, a5 + ac + a1 = C, ac + a3 = C, ac + a2 = C, aC + a1 = C, a1 + a3 + aC = C, a1 + a2 + aC = C, a3 + a2 + aC = C, aC + a1C + a15 + a12 + a& + a8 + a6 + a7 + a21 + a3 + a2 + a1 + a24 + a23 + a19 = C, a16 + a18 + aC + a22 + a1C + a3 + a13 + a7 + a9 + a2 + a5 + a14 + a15 + a21 = C, a12 + a14 + a16 + aC + a1 + a25 + a3 + a4x + a5 + a9 + a8 + a11 + a23 + a17 + a1C = C, a13 + a15 + a17 + aC + a1 + a24 + a2 + a4x + a5 + a9 + a6 + a12 + a2C + a18 + a11 = C, aC + a22 + a5 + a7 + a2 + a8 + a3 + a6 + a2C + a25 + a14 + a13 + a11 + a1 + a19 = C, aC + a9 + a3 + a1C + a14 + a5 = C, a9 + a13 + a15 + a5 + aC + a2 = C, a11 + a5 + a4x + a12 + a1 + aC + a9 = C, a3 + a14 + aC + a2 + a7 + a13 + a5 = C, a11 + aC + a14 + a8 + a1 + a5 + a3 = C, a11 + aC + a13 + a6 + a1 + a5 + a2 = C, a1C + a15 + a7 + a3 + aC + a2 = C, a4x + a1C + aC + a8 + a12 + a1 + a3 = C, a4x + a15 + aC + a6 + a12 + a1 + a2 = C, a8 + a1 + a6 + a7 + aC + a3 + a2= C, aC + a1 + a2 + a3 + a4x + a5 + a6+ a7 + a8 + a9 + a1C + a11 + a12 + a13 + a14 + a15 + a16 +
+ a17 + a18 + a19 + a2C + a21 + a22 + a23 + a24 + a25 + a26 + a27 + a28 + a29 + a3C + 1 = C}.
Эта система равносильна системе:
{aC = C, a1 = C, a1C = C, au = C, a12 = a4, a13 = C, aM = C, a15 = C, a16 = a25 + a24 + a22, a17 = a24 + a22 + a23, a18 = a21 + a25 + a24, a19 = a21 + a24 + a23, a2 = C,
a2C = a22 + a25 + a21 + a24 + a23, a21 = a21, a22 = a22, a23 = a23, a24 = a24, a25 = a25, a26 = 1 + a27 + a28 + a29 + a3fe a27 = a27, a28 = ^, a29 = a29, a3 = C, a3C = a3^
a4 = a4, a5 = C, a6 = C, a7 = C, a8 = C, a9 = C}.
Следовательно, десять неизвестных: a4, a21, a22, a23, a24, a25, a27, a28, a29, a3C, являются
свободными, и число самодвойственных функций от пяти переменных, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, равно 21C = 1 024. Таким образом, среди всех 4 294 967 296 функций от пяти переменных содержится
22'“2 -1 024 = 230 -1 024 = 1 073 740 800
полных функций.
Функция от пяти переменных полна, если ее полином Жегалкина имеет четное число одночленов, единичный свободный член и ее нельзя представить в виде:
fx, y, z, t, u) = (a22 + a25 + a21 + a24 + a23)zt + a21 xu + a22 x t + a23 y u+ a24 z u + a25yt + a28z +
+ a29t + a3C u + a27 y+ a4x y z u + a4 y z u + (1 + a27 + a28 + a29 + a3C)x + (a21 + a24 + a23)tu +
+ (a24 + a22 + a23) y z + (a25 + a24 + a22)xy + (a21 + a25 + a24)xz + 1,
где a21, a22, a23, a24, a25, a27, a28, a29, a3C, a4 принадлежат множеству {C, 1}.
Например, любая функция с четным числом одночленов и единичным свободным членом в полиноме Жегалкина, содержащая одночлен пятой степени будет полной.
Краткие выводы
Разместим полученные значения числа полных функций и относительную частоту их появления в таблицу.
Число n аргументов функции Число р2"| всех функций Число |П2"| полных функций \Щ\ Плотность \ г \р\
2 16 2 C,125
3 256 56 C,21875CCCCC
4 65 536 16 32C C,249C234375
5 4 294 967 296 1 C73 74C 8CC C,2499997616
Отметим, что, хотя для п = 2 число полных функций составляет всего лишь одну восьмую от общего числа функций, уже для сравнительно небольших значений п даже грубая оценка снизу
числа \Щ\ начинает быстро приближаться к одной четвертой \Р" .
Число n аргументов функции Число |P2”| всех функций Число П2" не менее \Щ\ п Г не менее р
6 0Д 844674407-Ю20 0,4146257665-1019 C,224769C784
7 0,3402823669-1039 0,7903565729-1038 C,2322649217
8 0,1157920892-Ю78 0,2750020206-1077 C,23749638C4
9 0,1340780793-Ю155 0,3233582466-10154 C,2411715981
1C 0,1797693135-Ю309 0,4382091961 - Ю308 C,2437619567
2C 0,6741140125-10315653 0,1683971883-10315653 C,2498C52C38
25 0,8266992354 ю10100890 0,3307252488 -Ю10100891 C,2499655646
26 C,1C937919C2 1C2C2C1/S2 0,2734213422 -Ю20201781 C,24997565C5
28 C,1431326839 1CSCSC7125 0,3578142838 iososo/124 C,2499878253
Литература
1. Post E. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. - Math. 43 (1921). - P.163-185.
