CC BY
11
5. Pag uro va V.l. On asymptotically optimal tests in problems of sampling inspection by variables //J. Math. Sciences. 112. N 2. 2002. P. 4168-4173.
6. Neyman J. Optimal asymptotic tests of composite statistical hypotheses // Probability and Statistics. N.J.: J. Wiley and Sons, 1959. P. 213-234.
7. Moran P. A. D. On asymptotically optimal tests of composite hypotheses // Biometrika. 57. N 1. 1970. P. 47-55.
8. Бернштейн A.B. Асимптотически подобные критерии // Итоги науки и техники. Теория вероятностей и математическая статистика. 17. 1979. С. 3-56.
Поступила в редакцию 10.12.09
УДК 519.716
С.С. Марченков1
СМЕШАННОЕ id-РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ*
Вводится понятие смешанного id-разложения функций многозначной логики. При любом к ^ 2 определяется степень смешанного id-разложения класса всех функций fc-значной логики, а также степень смешанного id-разложения класса всех булевых функций над классом самодвойственных монотонных функций.
Ключевые слова: функции многозначной логики, смешанное id-разложение.
В теории функций многозначной логики важное место занимают разнообразные разложения (представления) функций. Они используются в доказательствах полноты конечных систем функций в различных замкнутых классах, при оценке сложности реализации функций формулами и схемами в полных и неполных базисах, в вопросах построения надежных схем из ненадежных элементов и в других направлениях исследований функций многозначной логики.
Один из распространенных типов разложения основан на идее восстановления разлагаемой функции по ее "подфункциям", полученным всевозможными отождествлениями двух переменных. Некоторый вариант такого разложения был формализован в работе [2] в виде равномерного id-разложения. Дальнейшие исследования равномерного id-разложения проводились в работах [3, 4], где в основном рассматривались вопросы равномерного id-разложения одних замкнутых классов над другими.
В работе [4] введено понятие равномерного смешанного id-разложения, которое обобщает понятие равномерного id-разложения. В [4] это понятие использовалось исключительно для получения результатов отрицательного характера: о невозможности равномерного смешанного id-разложения класса функций fc-значной логики над некоторыми предполными классами.
В настоящей статье мы хотим обратиться к положительным аспектам понятия равномерного смешанного id-разложения (далее — смешанного id-разложения). Именно будут найдены степени смешанного id-разложения классов Р% функций fc-значной логики над некоторыми "малыми" замкнутыми подклассами. Для произвольного к ^ 2 это класс ///, всех однородных функций из /'/■• которые сохраняют (к — 1)-элементные множества (теорема 1), а для класса í'j булевых функций это классы монотонных (теорема 2) и самодвойственных монотонных функций (теорема 3). Полученные результаты показывают, что смешанное id-разложение является значительно более сильным инструментом, нежели равномерное id-разложение.
Дадим необходимые определения. Пусть к ^ 2, Е^ = {0,1,..., к — 1}, Р% — множество всех функций на /•-'/. (множество функций fc-значной логики). Если f(xi,... ,хп) € //,■• n ^ 2, 1 ^ i,j ^ п и г ф j, то через fj будем обозначать функцию f(x\,..., Xj-i, Xi, Xj+i,..., хп), которая получается из функции f(xi,... ,хп) подстановкой переменной xi вместо переменной Xj.
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: mathcybQcs.msu.su
* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты 09-01-00701 и 10-01-00768.
Пусть 2 < т < п, д(х1,...,хт,У2,--.,Ут,У1,уЬ---,Ут,---,У11,---,У%-1) ~ Функция из Рк от т2 переменных. Говорим, что функция / смешанно \<1-разложима над функцией д по (первым) т переменным, если выполняется тождество
/(ж1,..., хп) = д{х 1,..., хт, /2,.. •, /то, /1, /3,.. •, /то,.. •, /1 ,.. •, /т_].)- (1)
В случае, когда у функции 5 отсутствуют переменные Ж1,..., жто, говорим об разложении функции / над функцией д по (первым) т переменным.
Пусть Я — множество функций из Р^. Говорим, что множество i? равномерно смешанно \й-раз-ложимо над функцией д, если для любого п ^ т и любой функции /(х\,... ,хп) из i? имеет место разложение (1). Если С Рк, множество i? равномерно смешанно ¡ё-разложимо над функцией д и д € то говорим также, что множество Я равномерно смешанно \<1-разложимо над множеством В дальнейшем слово "равномерно" в данном сочетании будем опускать.
Степенью смешанного ¡ё-разложения множества К над множеством (} (обозначение deg(i?/Q)) будем называть такое наименьшее число т, что для некоторой функции д из <3 множество Я смешанно ¡с1-разложимо над функцией д по т переменным. Если = Рк, то говорим о степени смешанного ¡с1-разложения множества К и применяем обозначение с1е^(Я). Аналогичные понятия вводим для ¡с1-разложения функции над функцией и множества над множеством. Однако в этом случае слово "равномерно" в сочетании "множество Я равномерно ¡ё-разложимо над множеством опускать не будем.
Утверждение 1. При любом к ^ 2 справедливо неравенство с> к.
Доказательство. Предположим, что в классе Рк имеется такая функция д от к2 переменных, что для любой функции /(ж1,... ,Х)с) из Р)~ имеет место разложение (1) (при т = п = к). Тогда, в частности, значение /(0,1,..., А; — 1) полностью определяется значениями функции / на наборах
(0,0,2,...,* - 1), (0,1,0,3,..., А;-1), ..., (0,1,..., к - 2,0), ...
{к 1,1, 2,..., А; 1); А^ 1); ...; 1;...; А^ А^ 1; А^ 1).
Понятно, что при фиксированных значениях функции / на этих наборах значение /(0,1,..., А; — 1) может быть определено, вообще говоря, произвольно. Получаем противоречие. Утверждение 1 доказано.
Пусть 7г — перестановка на множестве /•.'/.. Говорят, что функция /(х\,... ,хп) из Рк самодвойственна относительно перестановки ж, если справедливо тождество
7г(/(жь ... ,жп)) = /(тг(ж1),... ,7г(ж„)).
Функция / называется однородной (см. [6] или [1]), если она самодвойственна относительно любых перестановок на /•.'/,.
Пусть Е — непустое подмножество множества /•.'/.. Говорят, что функция / сохраняет множество Е, если для любых элементов а\,...,ап из Е (возможно, повторяющихся) выполняется включение /(аь ... ,ап) € Е.
Обозначим через ///, множество всех однородных функций из /'/■• сохраняющих множество Ек~\. Хорошо известно (см., например, [6, 1]), что все функции из ///, сохраняют любое подмножество множества /•.'/,.
Теорема 1. При любом к ^ 2 справедливо равенство с\щ(Рк/Нк) = к + 1.
Доказательство. Определим в классе ///, следующую функцию д от (к + 1)(к + 2)/2 переменных: если (а 1,..., ак+г) € то пусть
( 112 2 к \ <7(а1,..., ак+1,у2, ■ ■ ■ ■>Ук+пУз-> ■ ■ ■'Ук+и ■ ■ ■'Ук+1>
равно значениям такой "наименьшей" (в выписанной последовательности) переменной у*-, что а% = а,:1. Из определения функции д сразу следует, что при любом п ^ к + 1 для любой функции /(х\,..., хп) из Р}. выполняется тождество
/(ж1,..., хп) = д(х1,..., Хк+ъ /2; • • • 1 /¿+1; /з' • • • 1 /1+1; • • ч 1к+г)-
Таким образом, deg(Рк/Нк) ^ к + 1. Утверждение 1 дает теперь равенство с^(Рк/Нк) = к + 1.
В случае к = 2 (случай булевых функций) класс Н2 совпадает с классом ¿>01 самодвойственых функций, сохраняющих 0 (обозначения замкнутых классов булевых функций даются по книге [5]), а
функцию д(х\,х2,х3,у2,у1,у3) из класса йщ можно определить, например, формулой
(ж! ~ х2)у\ + (ж! ~ х3)у1 + (х2 ~ ж3)у|,
где через ~ обозначена булева функция эквивалентность, а + обозначает сложение по модулю 2. Теорема 1 доказана.
Следствие. При любом к ^ 2 имеет место равенство с^(Р^) = к + 1.
Отметим, что в случае равномерного ¡ё-разложения соответствующая степень класса Р% равна 2к [2, 3].
Все нижеследующие результаты относятся к замкнутым классам булевых функций.
При исследовании степеней &е%{Р2/В) для замкнутых классов Р булевых функций интерес представляют прежде всего предполные классы К. Однако для случаев К € {Т0,Т1,5} равенство &е%{Р2/В) = 3 следует из утверждения 1 и теоремы 1, поскольку класс //•_. = <501 содержится в каждом из классов Т0, Т1, Б. Далее, класс Р2 не может смешанно ¡ё-разлагаться над классом Ь линейных функций — это доказывается точно так же, как в случае равномерного ¡ё-разложения [2, лемма 1]. Остается рассмотреть класс М монотонных функций. Этот случай будет исследован в теореме 2. Вместе с тем в теореме 3 получен более сильный результат — найдена величина с^(Р2/БМ), равная величине йе,${Р2/М) (здесь БМ — класс самодвойственных монотонных функций). Мы специально пошли по этому пути, поскольку, во-первых, доказательство теоремы 2 представляет самостоятельный интерес, а во-вторых, оно является составной частью доказательства теоремы 3.
Теорема 2. Имеет место равенство &е%{Р2/М) = 4.
Доказательство. Рассмотрим следующую монотонную функцию д от 10 переменных:
д(х 1, ®2, ®3, ®4, у1,у1,у\,у1,у1,у1) = уз Уз Узу у\у\у\ V у\у\у1 V уЫу1у
V (х!х2 V х3Х4)у1у1 V (Х1Х3 V х2Х4)у\у1 V {ххх± V х2х3)у\у1-
Покажем, что класс Р2 смешанно ¡ё-разложим над функцией д по четырем переменным. Для упрощения выкладок рассмотрим булеву функцию / также от четырех переменных. Возьмем набор ич у которого совпадают по крайней мере три компоненты, например, набор («1, а\, а\, а^). Тогда значения функций /з1, /31, /| на этом наборе равны значению /(«1,01,01,04). Поэтому при /(аь 01, 01,04) — 1 конъюнкция У2У3У3 из дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ) функции д обеспечит равенство единице значения функции
д(х 1, ж2, ж3, х4, /2\ /31, /4\ /32, /42, /43) (2)
на наборе (01, 01, 01, 04). Если же /(а 1, 01, 01, 04) = 0, то значение 0 функции (2) на наборе (01, 01, 01, 04) обусловлено тем, что каждая из конъюнкций ДНФ функции д содержит хотя бы одну из переменных У21 УЬ Уз-
Аналогичным образом рассматриваются остальные наборы из содержащие не менее трех одинаковых компонент.
Рассмотрим наборы из которые имеют две нулевые и две единичные компоненты. Пусть (01,01,01,01) — один из таких наборов. Тогда значения функций /3, /| на этом наборе совпадают со значением /(01,01,01,01). Следовательно, при /(01,01,01,01) = 1 одна из конъюнкций Х1Х2у\у\,_ Ж3Ж4У3У4 ДНФ функции д примет на наборе (01,01,01,01) значение 1. Вместе с тем замечаем, что каждая из первых шести конъюнкций ДНФ функции д содержит хотя бы одну из переменных у|, а оставшиеся четыре — конъюнктивные сомножители х\х3, х2х4, Х1Х4, х2х3. Отсюда следует, что при /(01,01,01,01) = 0 значением функции (2) на наборе (01,01,01,01) также будет 0.
Аналогично рассматриваются остальные наборы из Е^, состоящие из двух нулевых и двух единичных компонент.
Таким образом, установлено, что с^(Рз/М) ^ 4. Для доказательства неравенства с^(Рз/М) > 3 предположим, что линейная функция /(х\,х2,х3) = х\ +х2 + х3 смешанно ¡ё-разложима над монотонной функцией д по трем переменным. Учитывая соотношения
Ж1 + Ж1+ЖЗ=ЖЗ, Ж1+Ж2+Ж1 = Ж2, хг+х2 + х2 = хг,
приходим к заключению, что в этом случае в правой части равенства (1) будет стоять монотонная функция. Однако функция х\ + х2 + х3 немонотонна. Следовательно, с^(Рг/М) > 3, и теорема 2 доказана.
Отметим, что для равномерного ¡ё-разложения соответствующая степень йщ{Р2/М) равна 5 [2].
Теорема 3. Имеет место равенство deg(P2¡ SM) = 4.
Доказательство. Из доказанного в теореме 2 равенства deg(P2¡M) = 4 вытекает, что deg(P2/SM) ^ 4. Поэтому ниже мы лишь установим, что deg(P2¡SM) ^ 4.
Воспользуемся монотонной функцией д из доказательства теоремы 2. Как мы увидим далее, функция д несамодвойственна. Мы хотим "подправить" функцию д с тем, чтобы получить из нее самодвойственную монотонную функцию д', которую можно будет использовать в роли функции д в смешанном id-разложении по четырем переменным. Переход от функции д к функции д' состоит в том, что некоторые нули функции д заменяются единицами. Говоря более формально, к ДНФ функции д будет добавлено некоторое число монотонных конъюнкций, которые не поглощаются конъюнкциями из упомянутой ДНФ функции д.
Прежде чем приступить к данному построению, необходимо убедиться в том, что функция д допускает "расширение" до самодвойственной монотонной функции. Иными словами, мы хотим убедиться в том, что для любого набора а, обращающего функцию д в единицу, противоположный набор а обращает эту функцию в нуль.
Итак, пусть а — произвольный набор, для которого д(а) = 1. Учитывая представление функции д в виде (монотонной) ДНФ, рассмотрим все 10 конъюнкций из ДНФ функции д, которые имплицируют равенство д(а) = 1. Пусть, например, это конъюнкция у\у\уз- Тогда в наборе а равны единице компоненты, соответствующие переменным у\, у\, Значит, в противоположном наборе а эти компоненты будут равны нулю. Теперь, как и в доказательстве теоремы 2, замечаем, что каждая из конъюнкций ДНФ функции д содержит хотя бы одну из переменных у\, у\, Отсюда следует, что д(а) = 0.
Аналогично рассматриваются конъюнкции у\у\у1, У3У4У4, у1у\у\-
Пусть в наборе а равны единице компоненты, отвечающие переменным конъюнкции xix2y\y\-Следовательно, в наборе а эти компоненты будут равны нулю. Для проверки равенства д(а) = О теперь достаточно заметить, что каждая из конъюнкций ДНФ функции д содержит хотя бы одну из переменных х,\, Х2, у\, У%-
Следующий этап доказательства теоремы состоит в проверке того, что не существует наборов а с не более чем четырьмя нулевыми компонентами, для которых д(а) = д(а) = 0. Для наборов а с одной или двумя нулевыми компонентами это очевидно. Далее мы рассмотрим лишь наборы а с четырьмя нулевыми компонентами — для наборов а с тремя нулевыми компонентами соответствующее утверждение будет следовать из проводимых ниже рассуждений.
Итак, предположим, что а = (ai, a2, аз, а,4, а2, <4, а\, а|, а|) — такой набор, который содержит четыре нулевые компоненты и для которого д(а) = д(а) = 0. Убедимся сначала, что поднабор (01,02,03,04) не может содержать более одной нулевой компоненты. Прежде всего, легко видеть, что более двух нулевых компонент этот набор содержать не может. Предположим теперь, что, например, о-1 = а,2 = 0 и аз = 04 = 1. Рассматривая конъюнкцию х,зх,4у\у% из ДНФ функции д, заключаем, что хотя бы одна из компонент а2, af должна быть нулевой. Оба равенства a2 = af = 0 выполняться не могут — в противном случае конъюнкция Ж1Ж2у2у| примет значение 1 на наборе а. Если а2 = 0, af = 1, то поднабор (03, а\, а|) содержит только один нуль и потому выражение ala\ V a^af равно единице. При a2 = 1, af = 0 расматриваем выражение 0303 Va|a|. Аналогичные рассуждения проводим в остальных пяти случаях, когда равны нулю ровно две компоненты поднабора (ai, 02,03,04).
Предположим, что поднабор (ai, а,2, аз, 0,4) содержит ровно одну нулевую компоненту, например, ai = 0. Рассмотрение конъюнкций длины 4 из ДНФ функции д приводит к выводу, что в этом случае каждая из пар
(al, al), (a¡,aj), (а\,а23) (3)
должна содержать хотя бы один нуль. Однако нулевой ни одна из этих пар быть не может — в противном случае одна из двух оставшихся пар должна быть единичной. Таким образом, получается восемь подлежащих исследованию вариантов. Четыре варианта
112i 112i 113i 223i — 03 — аз — ±, a2 — a^ — 04 — ±, 03 — a^ — 04 — ±, 03 — а^ — а^ — ±
следует сразу отбросить, поскольку соответствующие конъюнкции из ДНФ функции д дают для них значение д(а) = 1. Остаются четыре варианта:
lili 122i 123i 123i (2>2 — & ^ — d^ — i., (2>2 — Q¡3 — — i., ft^ — ft^ — ft^ — i., ft^ — ft^ — ft^ — i..
Однако для них получаем равенство д(а) = 1. В самом деле, для первого варианта переменные у|, у|, у\ принимают в наборе а значение 1 и потому значение 1 на наборе а примет конъюнкция у\у\у\ из ДНФ функции д. Аналогично рассматриваются остальные три варианта.
В случаях, когда в поднаборе («1, а2, а3, а4) равна нулю какая-либо другая компонента, рассуждения проводятся сходным образом.
Из проведенных построений нетрудно вывести, что не существует наборов а с тремя нулевыми компонентами, для которых д(а) = д(а) = 0.
Предположим теперь, что а\ = а2 = аз = = 1. Вновь обратимся к конъюнкциям длины 4 из ДНФ функции д и получим, что каждая из пар (3) содержит хотя бы один нуль. Вместе с тем каждая из пар (3) не может содержать единицу, иначе число нулей в наборе а будет равно трем. Пусть из пар (3) нулевой является, например, пара (а2, а|). Тогда ни одна из двух оставшихся пар не может быть нулевой (иначе третья пара будет единичной). Это проводит к равенству д(а) = 1: при аз = а4 = 0 следует рассмотреть конъюнкцию у\у\у\,, при а\ = а^ = 0 — конъюнкцию у\у\у3 и т.д.
Аналогично рассматриваются случаи нулевых пар (аз,а|) и (а|,аз).
Продолжая доказательство, найдем все пары противоположных наборов, на которых функция д обращается в 0 и которые имеют 5 нулевых (и, следовательно, 5 единичных) компонент. Поскольку поиск этих наборов в принципиальном плане не отличается от проведенного выше исследования пар противоположных наборов, один из которых имеет 4 нулевые компоненты, представим сразу все 12 наборов из соответствующих пар:
(0,1,1,0,0,1,0,1,1,0), (0,1,1,0,1,0,0,1,0,1), (0,1,1,0,0,1,1,0,1,0), (0,1,1,0,1,0,1,0,0,1), (0,1,0,1,0,0,1,1,1,0), (0,1,0,1,1,0,0,0,1,1), (0,1,0,1,0,1,1,1,0,0), (0,1,0,1,1,1,0,0,0,1), (0,0,1,1,0,0,1,1,0,1), (0,0,1,1,0,1,0,0,1,1), (0,0,1,1,1,0,1,1,0,0), (0,0,1,1,1,1,0,0,1,0).
Данным 12 наборам отвечает монотонная функция, составленная из 12 монотонных конъюнкций длины 5 (для более компактной записи конъюнктивные сомножители с переменными Xi вынесены за скобки):
х2х3(у1у1у1 V у1у23у1 V у\у\у1 V у\у\у1) V х2х4(у1у1у1 V у\у1у1 V у\у\у1 V у1у\у\)у
V х3х4(у1у23у1 V у\у1у1 V у12у\у1 V у\у1у1). (4)
Дизъюнктивно добавив к функции д конъюнкции (4), получим функцию д'. Функция д', очевидно, монотонна. Самодвойственность функции д' вытекает из следующих соображений.
Если функция д принимает значение 1 на наборе а, то функция д' принимает значение 0 на противоположном наборе а. Это доказывается точно так же, как было установлено соответствующее утверждение для функции д. Например, если в наборе а равны единице компоненты, отвечающие переменным у|, Уз, у! (и конъюнкции у\у\у3 из ДНФ функции д), то значением функции д' на наборе а будет 0, поскольку каждая конъюнкция из ДНФ функции д' содержит хотя бы одну из переменных у2, уз, у|. Если же в наборе а равны единице компоненты, отвечающие переменным х\, х2, у2, у| (и конъюнкции х\х2У2У% из ДНФ функции д), то равенство д'(а) = 0 будет следовать из того, что каждая конъюнкция из ДНФ функции д' содержит хотя бы одну из переменных х\, х2, у2, у|.
Далее, если д'(а) = 1 и л(а) = 0, то равенство д'(а) = 1 обеспечивается одной из конъюнкций (4). Например, если это конъюнкция Ж2Ж4у|у|у|, то в наборе а компоненты, отвечающие переменным х2, Х4, у\, у!, у|, будут равны 0. Поскольку каждая конъюнкция из ДНФ функции д' содержит хотя бы одну из переменных х2, х4, у\, у3, у|, приходим к равенству д'(а) = 0. Аналогично рассматриваются остальные конъюнкции из формулы (4).
Наконец, если в паре противоположных наборов один из наборов содержит четыре или менее нулевых компонент, то, как установлено выше, на одном из наборов этой пары значение функции д есть 1.
Для завершения доказательства теоремы остается показать, что функцию д' можно использовать вместо функции д в смешанном ¡ё-разложении булевых функций по четырем переменным. Принципиально доказательство остается таким же, как и в теореме 2. Так, например, в случае наборов вида (01,01,01,04) при /(01,01,01,04) = 1 рассматриваем конъюнкцию у\у\у3 из ДНФ функции д, а при /(01,01,01,04) = 0 замечаем, что каждая конъюнкция из ДНФ функции д' содержит хотя бы одну из переменных у\, уз, у|.
В качестве примера рассмотрим еще наборы вида (а\, ai,ai,ai). В случае f(a\, ai,ai,ai) = 1 необходимо обратиться к конъюнкциям xix%y\y\ и Х2Х^у\у\ из ДНФ функции д, а в случае f(a\, ai,ai,ai) = = 0 — заметить, что каждая конъюнкция из ДНФ функции д' либо содержит хотя бы одну из переменных уд, либо хотя бы один из конъюнктивных сомножителей х\х2, Х1Х4, Ж3Ж4. Теорема 3 доказана.
Отметим, что для равномерного id-разложения соответствующая степень deg(P2/SM) равна 5 (см. [2]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Марченков С.С. Однородные алгебры // Проблемы кибернетики. Вып. 39. М.: Наука, 1982. С. 85-106.
2. Марченков С. С. О равномерном id-разложении булевых функций // Дискретная математика. 1990. 2. Вып. 3. С. 29-41.
3. Марченков С. С. О степени равномерного id-разложения замкнутых классов в Ри / / Дискретная математика. 1991. 3. Вып. 4. С. 128-142.
4. Марченков С. С. Об id-разложениях класса Ри над предполными классами // Дискретная математика. 1993. 5. Вып. 2. С. 98-110.
5. Марченков С.С. Замкнутые классы булевых функций. М.: Физматлит, 2000.
6. Marczewski Е. Homogeneous operations and homogeneous algebras // Fund. Math. 1964. 56. N 1. P. 81-103.
Поступила в редакцию 10.11.09
УДК 517.977
В.В. Терновский1, М.М. Хапаев2
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
В работе обсуждается алгоритм численного решения задач оптимального управления методами, применяемыми при рассмотрении некорректных задач. Развитые академиком А. Н. Тихоновым в XX в. устойчивые алгоритмы решения таких задач на компакте могут быть использованы в задачах оптимального управления. Особенностью задач оптимального управления является разрывность функции управления. Указанная трудность преодолевается введением подвижной расчетной сетки. Величина шага сетки находится в процессе решения задачи быстродействия.
Ключевые слова: оптимальное управление, некорректные задачи, нелинейный маятник с трением.
1. Введение. Во второй половине XX в. интенсивно развивались два научных направления: оптимальное управление (ОУ) и некорректные задачи. Академик А. Н. Тихонов показал, что эти области прикладной математики пересекаются. Действительно, задачи ОУ являются некорректно поставленными [1]. Но можно и не учитывать некорректность, и изучать задачу ОУ в рамках принципа максимума Л. С. Понтрягина (ПМ). С другой стороны, ПМ ничего не говорит о режимах особого управления, которые возникают в реальных задачах, например, при наличии фазовых ограничений [2]. Кроме того, входные данные задач ОУ в реальных приложениях заданы неточно, что также не укладывается в рамки ПМ. Таким образом, ПМ имеет ограниченное применение. Необходимо создать универсальный алгоритм, который позволил бы решать прикладные задачи ОУ, учитывая некорректность, с приближенными данными и режимами особого управления. По нашему мнению, этим запросам отвечает вариационный подход в задачах ОУ.
1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: Vladimirl961Qhotmail.com
2 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н.
