Волновой механизм массопереноса в твердых телах при высокоинтенсивных внешних воздействиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 2. С. 88-94.

УДК 539.219.3;538.95-405

Г.Л. Бухбиндер, П.Н. Марталлер

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ВОЛНОВОЙ МЕХАНИЗМ МАССОПЕРЕНОСА В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ ПРИ ВЫСОКОИНТЕНСИВНЫХ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

В рамках модельной задачи рассматривается массоперенос частиц примеси с поверхности металла в его объем под действием концентрированных потоков энергии. Предполагается, что одновременно протекает процесс релаксации системы к состоянию локального равновесия. Показано, что на временах Ї < Тп, где Та -

есть время релаксации диффузионного потока к своему локально-равновесному значению, преобладает волновой механизм переноса. На основе рассмотренной модели делаются предположения относительно некоторых экспериментальных результатов.

Ключевые слова: локально-неравновесный массоперенос, эффекты дальнодействия, волновой механизм переноса.

Введение

Воздействие высокоэнергетическими пучками частиц и лазерным излучением на твердые тела является в настоящее время одним из эффективных методов модификации свойств металлических материалов [1; 2]. Помимо технологического аспекта, существует значительный интерес и с физической точки зрения, так как взаимодействие концентрированных потоков энергии с твердым телом сопровождается рядом сложных физических явлений, происходящих в приповерхностном слое, полного понимания которых пока еще нет.

Быстрый ввод энергии индуцирует в образце такие явления, как фазовые переходы, формирование упруго-пластичных и ударных волн, дефектообразование, эрозию вещества, значительные температурные поля, интенсивный массоперенос [1; 2]. Существенной особенностью этих процессов является высокая скорость их протекания с характерными временами порядка 10-8-10-5 с. Помимо этого, воздействие интенсивных пучков частиц вызывает изменения как в облученной, так и в не облученной области, приводя к разного рода эффектам дальнодействия [3-5].

Одно из проявлений такого эффекта было обнаружено при облучении слоистых металлических образцов мощными пучками ионов углерода [6]. В эксперименте была зафиксирована значительная глубина проникновения атомов пленки в подложку, в несколько раз превышающая глубину проникновения ионов пучка. Подобный эффект интенсивного массопереноса наблюдался и в ряде других работ [7-9].

Природа эффектов дальнодействия еще мало понятна. В частности, пока не удалось в рамках известных диффузионных механизмов

© Г.Л. Бухбиндер, П.Н. Марталлер, 2009

объяснить высокоинтенсивный массопе-ренос вещества с поверхности вглубь образца. Так, учет эффекта термодиффузии не дал даже качественного согласия между теоретическими и экспериментальными кривыми [6].

Теоретическое исследование массопе-реноса в облученных образцах обычно проводится в рамках гидродинамического описания, основанного на гипотезе о локальном равновесии. Между тем, как уже упоминалось, индуцированные в образцах процессы протекают достаточно быстро с характерными временами, лежащими на наносекундной шкале. Полученные, например, в экспериментах концентрационные профили относятся к моментам времени порядка 10-7-10-6 с. [6] На таких временных промежутках в образце может просто не успевать устанавливаться локальное равновесие. Как следствие, использование обычных гидродинамических уравнений и, в частности, диффузионного уравнения (основанного на законе Фика) для описания массопере-носа становится некорректным. В случае быстрых изменений процессы переноса в среде будут происходить на фоне релаксации системы к состоянию локального равновесия. Вместе с другими этот фактор может оказаться существенным при анализе наблюдаемых закономерностей.

В отсутствие локального равновесия в среде как диффузионный, так и тепловой потоки уже не будут определяться, например, градиентами концентрации и температуры соответственно, а должны рассматриваться как независимые переменные наравне с другими параметрами, определяющими макроскопическое состояние системы. Общий подход в соответствии с расширенной необратимой термодинамикой (РНТ) [10; 11] состоит в том, что для описания быстрых гидродинамических процессов требуется увеличение числа независимых переменных, определяющих неравновесное состояние системы, по сравнению с классической термодинамикой. В качестве таких новых переменных часто используются диссипативные потоки, входящие в законы сохранения массы, энергии и импульса. В рамках РНТ для потоков получаются дифференциальные уравнения релаксационного типа. Так, если q и J - тепловой и диффузионный потоки, а Г и С -

температура среды и массовая концентрация примеси, то уравнения для потоков имеют вид (уравнения Максвелла-Каттанео) [10]

ц + т = -ЖГ, (1)

т дг

ят

I + тв — =-рВ^С, (2)

дг

где р - плотность среды, Я и D - коэффициенты теплопроводности и диффузии, Тт и тв - времена релаксации потоков к своим локально-равновесным значениям. При Тт = Тв = 0 (1) и (2) сводятся к обычным законам Фурье и Фика. Как следствие, использование соотношений (1) и (2) приводит к гиперболическим уравнениям переноса, которые в отличие от параболических уравнений дают конечную скорость распространения возмущений в среде и обладают волновыми свойствами.

Гиперболические уравнения переноса достаточно давно используются для описания теплопереноса в локально-неравновесных системах [12] и, в частности, в среде, подверженной лазерному облучению (см., например: [13; 14]). Этот подход активно применяется также и для описания ряда явлений, происходящих при высокоскоростном затвердевании в бинарных двухфазных системах, когда локальное равновесие нарушается в области движущейся границы раздела фаз [1518]. Некоторые другие применения можно найти также в [19-21].

Цель данной статьи состоит в теоретическом исследовании массопереноса в облучаемом образце в локально-неравновесных условиях. Приведенные выше оценки позволяют предположить, что наблюдаемые в некоторых экспериментах концентрационные профили формируются на малых временах, когда система еще не находится в локальном равновесии. Следует отметить, что протекание данного процесса подвержено влиянию разнообразных и взаимосвязанных явлений, перечисленных выше. Однако учет всех факторов в рамках одной модели пока представляется нереалистичным. Чтобы изучить особенности массопереноса в локально-неравновесных условиях, здесь рассматривается достаточно простая модель, мотивированная условиями экспе-

римента, описанного выше [6]. Имеется двухкомпонентная система, состоящая из однородного металлического образца с тонким поверхностным слоем другого элементного состава, имитирующего пленку на поверхности металла. В результате облучения частицы примеси мигрируют вглубь образца, при этом предполагается отсутствие в системе фазовых превращений. Несмотря на относительно простую формулировку, такая постановка дает возможность воспроизвести некоторые особенности экспериментальных концентрационных кривых и сделать определенные предположения о протекании процесса в реальных условиях.

Математическая постановка

Рассмотрим одномерную систему, в которой металлический образец занимает полупространство х > 0. В начальный момент времени поверхностный слой глубины 10 равномерно заполнен примесными частицами (аналог поверхностной пленки) с массовой концентрацией со, которые под действием внешнего теплового потока (облучения) мигрируют в объем образца. Нагрев вещества в результате облучения учитывается наличием теплового источника Ш, распределенного в приповерхностном слое. Нас будут интересовать распределения примеси, формирующиеся в образце на временах, сравнимых со временем установления в системе локального равновесия. Для простоты все теплофизические характеристики среды принимались постоянными.

Во многих случаях релаксация теплового потока к своему локально-равновесному значению (тепловая релаксация) происходит значительно быстрее, чем релаксация диффузионного потока, т. е. Тт << тв [11; 15]. Другими словами, локальное равновесие устанавливается вначале в температурном поле и лишь затем в диффузионном. Поэтому если рассматривать промежутки времени %, для которых Тт << г <Тв , то можно считать, что тепловая релаксация уже наступила, тепловой поток определяется своим локально-равновесным значением q = -ЛЧТ (закон Фурье) и температура среды может описываться в приближении локального равновесия. В то же время диффузионная релаксация еще продолжается и диффузионный поток эволюционирует

согласно релаксационному уравнению (2). Именно такой случай рассмотрен далее в статье.

Уравнение (2) может быть записано в более общем виде, чтобы учесть эффекты термодиффузии [21]. Таким образом, мы будем исходить из следующей системы одномерных уравнений для потоков

, дТ п Ч + ^^~ = ^ (3) дх

/ (де кТ дт Л

•'+ т> ¥ = "рТ&+ТIX} (4)

где кт = Qе / квТ - термодиффузионное отношение, - постоянная теплота пере-

носа примеси [22] и кв - постоянная Больцмана.

Комбинация выражения (4) с законом сохранения массы

де д/

р + — = 0 (5)

дґ дх

приводит к следующему уравнению для диффузионного потока

д2 /

д/ п

+-------Б

д2 /

д

(

+^г- = -рБч:

дґ2 дґ дх2 дґ

Qе дТ

дх

(6)

Следует отметить, что подобным образом можно получить замкнутое уравнение и непосредственно для концентрации. Однако в этом случае возникает проблема с явным использованием граничных условий, выражающих отсутствие потока вещества через поверхность. Как уже отмечалось, в локально-неравновесной среде поток уже не определяется градиентом концентрации и отсутствие потока не выражается равенством дС / дх = 0 . Поэтому удобно использовать уравнение (6) для самого потока, так как в этом случае определение граничных условий физически более ясно. После нахождения диффузионного потока примесная концентрация может быть определена в результате интегрирования уравнения (5) по времени.

Переходя далее к безразмерным переменным г /тв, х /(Т0У0 ), VВ = В /тв, запишем уравнение (6) в виде

д І , дІ д І а д

• И----------------------- — —(л

дґ дґ дх

дґ

Є д© (© +1)2 дх

(7)

где для новых независимых переменных здесь и далее используются прежние обозначения х, % ] = J / рVD - безразмерный

диффузионный поток, 0 = (Т — T0 ) / T0 ,

т0 - равновесная температура среды,

а = Q/kвT0.

Наконец, используя закон сохранения (5) в форме

I

е ( х, ґ ) = -[

дЛ х,Т

дх

йт + е0(х) , (8)

где е0(х) = е(х,0) - начальная примесная концентрация, получим замкнутое уравнение для диффузионного потока

д2 І ді д2 І

■■ + —-----------------і- + и — =

дґ2 дґ дх2

2. =

дх дх

йт + w, (9)

где

и (х, ґ) = -

а

д©

(© +1)2 дх

ґ д у( х, ґ) = а —

дґ

1

д©

(© +1)2 дх

(10)

д

^х,ґ ) = -ае0( х) — дґ

1

д©

(© +1) дх

Граничные и начальные условия для уравнения (9) берутся в виде

Жг) = А™,г) = °, (11)

А (х,0) = 0 (12)

и выражают условия отсутствия потока на границах и в начальный момент времени. Записывая далее выражение (2) в безразмерных координатах и используя равенство (12), получим начальное условие для временной производной:

ді

дґ

де (х,0)

дх

(дТ

( дх

= 0). (13)

Уравнение (9) представляет собой ин-тегро-дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (10), зависящими от температуры среды. Для ее определения было использовано уравнение теплопроводности, которое получается в результате комбинации (3) с законом сохранения энергии:

дТ

дд

рс р — =-------+ Ж,

р дґ дх

где Ср - теплоемкость, и в безразмерных координатах имеет вид

д© -1 д © тп

-----= У —7- + —-

дґ дх рс

Ж,

(14)

где у = В / а и а - коэффициент температуропроводности. Соответствующие начальные и граничные условия берутся в виде

д0

0(х,0) = 0, ---- = 0 .

дх

х=0

х=ю

(15)

Решение граничной задачи (14)-(15) дается выражением [23]

х [е - У (х-і)2/4т + е - У ( *+£)2/4г ]

(16)

где Ж' = твЖ/рср - безразмерный тепловой источник.

Численное решение и обсуждение результатов

На основе температурного распределения (16) было получено численное решение неоднородного интегро-дифферен-циального уравнения (9). Для этого были использованы квадратурная формула трапеций для представления интеграла и конечно-разностные соотношения второго порядка для замены производных, что привело в итоге к пространственновременной сетке решений для диффузионного потока [1]. Пространственный и временной шаги составили, соответственно, 5-10-2 и 10-2 в выбранных безразмерных переменных. Примесные распределения находились с использованием уравнения (8).

При вычислении использовались следующие значения параметров: I = 1,

с0 = 1, 70 = 300 К, = 5 эВ [6], (а «200),

у = В / а = 10—2 [11; 15]. Чтобы избежать расходимости, начальное примесное распределение в виде прямоугольника заменялось гладкой кривой (рис. 1):

С„(. х) = у [ — л 8( х—I)]

с 8 = 25. Тепловой источник брался в виде [14]:

Ж'(х, г) = Ж0 е—/г*е->*, где безразмерные постоянные ^ гж и ц определяются условиями эксперимента. В данном случае принимались следующие значения: гж = 1, ц = 1.5 , №0 =

=1. Следует отметить, что в реальных

ОТ

ґ=0

ґ=0

экспериментах энерговыделение достигает максимума спустя некоторое время. В данной модельной задаче для простоты было принято, что внешнее воздействие мгновенно достигает максимальной величины.

Результаты вычислений представлены на рисунках 1-8 (сплошные линии). Для сравнения на рисунках представлены также примесные распределения (пунктирные линии), полученные в приближении локального равновесия (Тв = 0) на основе решения диффузионного уравнения с учетом термодиффузии

Рис. 1. Концентрационные профили при £ = 0,2По

Рис . 3. Концентрационные профили при £ = 0,9По

дС д 2С д С д0

— = —2 + а---------------^---- ,

дг дх дх (0 +1) дх

С(™, г) = 0, С(х,0) = С0(х), Сх (0, г) = 0.

Как видно из рисунков 1-3, начальное примесное распределение деформируется как в направлении поверхности образца, так и в его глубину: верхний правый край кривой движется в сторону поверхности, в то время как нижний край перемещается в противоположную сторону.

Рис. 2. Концентрационные профили при £ = О.бШо

Рис. 4. Концентрационные профили при £ = 1По

Рис. 5. Концентрационные профили при £ = 1,5П0

Рис. 7. Концентрационные профили при £ = 5По

Рисунки 3-5 демонстрируют эффект отражения концентрационного возмущения от границы образца. На всех рисунках хорошо прослеживается фронт волны, распространяющийся с конечной скоростью. Эти особенности отчетливо выявляют волновые свойства уравнения (9). Как видно из рисунков, в приближении локального равновесия начальное примесное распределение практически сразу распространяется на весь объем, что соответствует бесконечной скорости распространения концентрационных возмущений, характерной для диффузионного уравнения. При % ~ 10то оба распределения практически совпадают (рис. 8), что отражает установление в системе локального равновесия и переход к обычному диффузионному механизму массопереноса. Отметим также, что в локально-неравновесном состоянии, на временах г < ТВ, в образце существует область

0,40 -| С г = з.о

0,35-

0,30- \

0,25- \ \ \ ч

0,20- \ N \ ' \

0,15 - \ ч ч

0,10 - ч ч

0,05-

1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 6 8 X

Рис. 6. Концентрационные профили при ( =

0,20-. С г=10.0

О 2 4 6 8 10 12 14

X

Рис. 8. Концентрационные профили при £ = 10По

повышенной примесной концентрации (по сравнению с локально-равновесным состоянием), перемещающейся вглубь образца (рис. 1-7).

Несмотря на то, что представленная здесь модель касалась достаточно простой системы, она позволяет сделать некоторые предположения относительно реально протекающих процессов и, в частности, результатов эксперимента, проведенного в работе [6] по облучению металлических пленок. В ходе импульсного облучения поверхностный слой образца превращался в расплавленное состояние с последующим быстрым затвердеванием. Результирующее примесное распределение оказывалось подобным сплошным кривым на рисунках 2-4. Такие распределения могли формироваться в расплаве на стадии диффузионной релаксации. При резком остывании расплава процесс затвердевания мог проходить очень быстро,

со скоростью, превышающей скорость распространения диффузионных возмущений [15]. Если процесс затвердевания начинается в момент г ~ ТВ , то сформированное в расплаве распределение примеси, типа представленных на рисунках 2-4, практически без искажений было бы захвачено в низкотемпературную твердую фазу [15]. Эти распределения и могли быть зафиксированы в эксперименте.

В заключение отметим, что в данной статье на примере достаточно простой модели были рассмотрены некоторые особенности массопереноса в локально-неравновесной системе, индуцированного высокоинтенсивным внешним воздействием, типа лазерного облучения или облучения потоками заряженных частиц. Было продемонстрировано, что на малых временах, порядка времени релаксации системы к локальному равновесию, преобладает волновой механизм переноса. Рассмотренная модель позволяет сделать и некоторые выводы относительно экспериментальных результатов. В частности, полученные в [6] концентрационные профили могли бы быть сформированы на малых временах, когда массоперенос осуществляется не за счет обычного диффузионного механизма, а преобладает волновой механизм переноса, возникающий при релаксации системы к состоянию локального равновесия.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бойко В.И., Валяев А.Н., Погребняк А.Д. // УФН.

1999. Т. 169. С. 1243.

[2] Блейхер Г.А., Кривобоков В.П., Пащенко О.В.

Тепломассоперенос в твердом теле под действием ионных пучков заряженных частиц. Новосибирск: Наука, 1999. 176 с.

[3] Диденко А.Н., Шаркеев Ю.П., Козлов Э.В., Ряб-

чиков А.И. Эффекты дальнодействия в ионно-

имплантированных металлических материалах. Томск: НТЛ, 2004. 328 с.

4] Мартыненко Ю.В. Эффекты дальнодействия при ионной имплантации // Итоги науки и техники. Сер. Пучки заряженных частиц и твердое тело. Т. 7. М.: Наука, 1993. 87 с.

5] Баянкин В.Я., Гусева М.И. и др. // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2005. № 5. С. 77.

6] Кривобоков В.П., Пащенко О.В., Сапульс-кая Г.А. // ЖТФ. 1994. Т. 64. С. 37.

7] Pogrebnjak A.D. // Phys. Status Solidi. A. 1990. V. 117. P. 17.

8] Barbier D., Ghemisky G., Grob J. et al. // J. de Phys. 1983. V. 44. P. 209.

9] Bataglin G. et al. // Thin. Sol. Films. 1986. V. 145.

P. 147.

10] Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика // Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск, 2007. 528 с.

Соболев С.Л. // УФН. 1997. Т. 167. С. 1095. Joseph D., Preziosi L. // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61. P. 41.

Tang D.W., Araki N. // Heat and Mass Transf. 1996. V. 31. P. 359.

Lewandowska M. // Heat and Mass Transf. 2001. V. 37. P. 333.

Galenko P., Sobolev S. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. P. 343.

Galenko P., Jou D. // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P. 046125.

Галенко П.К., Херлах Д.М. // ЖЭТФ. 2006. Т. 130. С. 1.

Galenko P. // Phys. Rev. E. 2007. V. 76. P. 131606.

Крылов П.Н., Лебедева А.А. // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2008. № 5. С. 67.

Афонькина Е.А , Вершинин Г.А., Геринг Г.И. //

ФизХОМ. 2004. № 2. С. 5.

Buchbinder G.L. // Int. J. Heat Mass Transf. 2003.

V. 46. P. 1665.

Гоот С. де, Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.

Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. 576 с.