Особенности описания тепло- массопереноса в рамках расширенной необратимой термодинамики Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестник Омского университета, 2002. №4. С. 20-22. © Омский государственный университет

УДК 543.123:530.712-534.12

ОСОБЕННОСТИ ОПИСАНИЯ ТЕПЛО- МАССОПЕРЕНОСА В РАМКАХ РАСШИРЕННОЙ НЕОБРАТИМОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ

Г.А. Вершинин, Г.И. Геринг, Е.А. Афонькина

Омский государственный университет, кафедра физического материаловедения

644077, Омск, пр. Мира, 55A

Получена 26 сентября 2002 г.

Analysis of consequences followed from description of heat and mass trasfer in the extended irreverible thermodynamics is presented.

При воздействии сильноточных наносекунд-ных пучков заряженных частиц на твердое тело в нем генерируются сильно неравновесные поля температур и динамических механических напряжений, которые сопровождаются фазовыми переходами, эрозией вещества и усиленным мас-сопереносом примеси и дефектов в глубь материала. Классическая термодинамика необратимых процессов, основываясь на принципе локального термодинамического равновесия, приводит к уравнениям тепло- массопереноса параболического типа, которые локальны как во времени, так и в пространстве. Расчеты концентрационных профилей примесных атомов в рамках классического подхода [1, 2] показали, что даже учет термо- и бародиффузионного потока не дает количественного соответствия между экспериментальными и расчетными результатами, особенно на сравнительно больших глубинах. По-видимому, при таких высокоскоростных процессах для описания системы следует пользоваться локально-неравновесными методами.

Одной из наиболее последовательных локально-неравновесных теорий является так называемая «расширенная необратимая термодинамика» (РНТ) [3], которая для описания состояния системы вдали от термодинамического равновесия дополнительно использует новые переменные -диссипативные потоки. В этом случае энтропия системы зависит не только от классических переменных, но и от потоков тепла q, массы Л и тензора напряжений Р:

5 = Б(и,и,С, q, Л, Р). (1)

В РНТ предполагается, что выполняется второе начало термодинамики в классической фор-

мулировке с учетом новых переменных. В линейном приближении с учетом релаксационных членов только первого порядка получаются следующие эволюционные уравнения для диссипатив-ных потоков: дЗ

Т1 ^ = -(З + ВУС) +

О

+ рпцт У Р" +в'В^Т Ур", (2)

др"

= -(р" + суу) + в'СТ УЗ, (3)

О

дР" О О О

т2— = -(Р" +2 п V) + 2 впТ (УЗ у. (4) Здесь т\, то и т2 - времена релаксации вели-

ОО

чин З, р" и Р" соответственно; Р" = Р" — р" Е, р" = 1 ТгР", (Е - единичный тензор); Р" -тензор вязких напряжений; В - коэффициент диффузии; С - концентрация; в и в'- константы, отражающие перекрестные эффекты; В^ = В(д^/дС)-1 (^ - химический потенциал); Т - температура; £ - объемная вязкость; п

О

- сдвиговая вязкость; V - скорость переноса; V

- симметрическая часть тензора растяжений со

О

следом, равным нулю; (УЗ)я - симметрическая часть тензора УЗ со следом, равным нулю.

Выражения (2)-(4) учитывают как процессы релаксации к локальному равновесию диссипа-тивных потоков с характерными временами т1 , то и т2 , так и перекрестные эффекты, т. е. влияние вязкоупругих напряжений на диффузионный поток и наоборот.

В одномерном случае, в предположении малости градиентов скорости и выполнении условий

р" =0, то = Т2, в' = в (5)

Особенности описания тепло- массопереноса.

21

эволюционные уравнения принимают вид:

т. -+-=-в%+^

дх

дрХ

Т2 др^ + Р

'v

XX

твп

дЗх

дх

(6) (7)

дЬ

где Пе = 4п/3 + С •

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из вышеприведенных соотношений.

Уравнения диффузии. Если не рассматривать перекрестные эффекты (в = в' = 0), т. е. не учитывать влияние вязкоупругих напряжений на диффузионный поток, то из (6) получаем выражение (индекс х у потока опущен)

т д- + З = -в—

дЬ дх'

(8)

известное как закон Максвелла-Каттанео для потока массы. Уравнение для потока тепла имеет аналогичный вид:

да дт

тдь +а = -Хдх:-

(9)

Из уравнения (8) с использованием закона сохранения массы получается уравнение диффузии (без учета перекрестных эффектов):

д2С дС д 2С п —- + — - в-

дь2

дЬ

дх2

0,

(10)

являющееся уравнением гиперболического типа. Решение уравнения (10) для полубесконечного пространства с начальным распределением примеси в виде бесконечно тонкого слоя, полученное методом функции Римана, приведено на рис.1. Видно, что скачок концентрации на поверхности полубесконечного тела распространяется в его объем как поверхность сильного разрыва с конечной скоростью Уд = (Б/т1)1/2, что радикально отличается от свойств решений классических уравнений переноса параболического типа, согласно которым влияние всякого возмущения распространяется мгновенно на все пространство.

Пренебрегая релаксацией потока массы (т. = 0 ) и учитывая только релаксацию вязкоупругих напряжений, из (6) и (7) получим:

- = -вдс + вв.т^х,

дх дх

дРх

д-х

т2

дЬ

™ + Р:Х = ТвПе-дх-

(11)

(12)

Исключая из уравнений (11) и (12) тензор вяз-коупругих напряжений, получим новый вариант модифицированного закона Фика:

д-х

дС

- + т-—^ = -В — + I2 дЬ дх.

д2-дх2

- т-в

д2с

дхдЬ'

(13)

Рис. 1. Профили концентрации в локально-неравновесном приближении в полубесконечном теле, соответствующие решению гиперболического уравнения диффузии для разных времен наблюдения: < ¿2 < ¿3

где 1 = вТ(В^Пе)1/2 . Из уравнения (13) с учетом закона сохранения массы получается следующее уравнение диффузии:

дС д2С ~дг + т2

В£2 + ('2 + т2В

д3С дх2 дЬ

(14)

Учет влияния вязкоупругих напряжений на процесс массопереноса приводит к пространственной нелокальности, а наличие релаксационных процессов - к временной. Нужно отметить, что полученные уравнения диффузии включают в себя, как частный случай, классические уравнения (при т = 0, в = 0) . Это свидетельствует о том, что рассмотренная локально-неравновесная модель процессов переноса, с одной стороны, находится в соответствии с существующими версиями локально-равновесной термодинамики, а с другой - расширяет круг возможных объектов исследований.

Высокоскоростная кристаллизация. При воздействии на вещество сильноточными импульсными пучками происходит плавление поверхности образца с его последующей кристаллизацией, причем скорость кристаллизации по порядку величины совпадает с диффузионной скоростью [4]. Рассмотрим влияние временной нелокальности на перераспределение примеси в жидкой фазе. Автомодельное решение уравнения (11) в системе координат, связанной с фронтом волны, можно представить в виде:

Сг

Со + (С0 - С„)ехр(-Л), У<Уд, Со, У>Уд,

(15)

22

Г.А. Вершинин, Г.И. Геринг, Е.А. Афонькина.

Рис. 2. Концентрационные профили растворенного компонента в жидкой фазе при к3 = 0.5 : 1 - У/Уд = 0.01; 2 - У/Уд =0.1; 3 - У/Уд > 1

границе раздела фаз. Из уравнения (9) и закона сохранения энергии следует, что на поверхности бесконечно узкой зоны раздела фаз существует скачок температуры

O ( V2

T (xm + 0) - T (xm - 0) = -Vt Д1 - V2

(16)

наличие которого следует учитывать при постановке и анализе задачи о движении высокоскоростных фазовых границ.

Здесь Q - суммарная энергия, выделяющаяся на поверхности разрыва в единицу времени; Ух - скорость тепловой волны.

Следовательно, классическое условие непрерывности температуры на поверхности раздела фаз в локально-неравновесном случае неприемлемо.

1

где ks = Cl/Cs - соотношение концентраций некоторой примеси в твердой Cs и жидкой фазах Cl вблизи фронта затвердевания xm(t), d = £V/D(1 - (V/Vd)2) ; £ = x - Vt (рис. 2).

Видно, что диффузионная скорость Vd является определяющим параметром, от которого зависит распределение примеси в жидкой фазе. В локально-равновесном пределе, когда V ^ Vd , распределение концентрации в жидкой фазе совпадает с классическим решением уравнения диффузии параболического типа с характерным диффузионным слоем D/V (кривая 1 на рис. 2). При V ~ Vd профиль концентрации существенно отличается от классического. При увеличении V глубина диффузионного слоя d уменьшается значительно быстрее, чем предсказывает классическая теория. Когда V проходит через критическую точку V = Vd , происходит качественное изменение характера диффузии примеси в жидкой фазе. В этой точке диффузионный слой сокращается до нуля, и при V > Vd диффузия через поверхность фазового перехода отсутствует, т. е. концентрация примеси равна начальной во всем объеме жидкой фазы (кривая 3 на рис. 2).

Таким образом, если при V < Vd диффузия примеси может оказать заметное влияние на механизм распространения фронта затвердевания и такие режимы обычно называют диффузионными, то при V > Vd диффузионные процессы в жидкой фазе отсутствуют и, следовательно, не оказывают никакого влияния на распространение фронта затвердевания.

Особенности теплопереноса. При решении задачи Стефана в рамках классического подхода используется непрерывность температуры на

[1] Кривобоков В.П., Пащенко О.В., Сапульская Г.А. Исследование механизмов интенсивного переноса атомов в веществе, облучаемом мощными наносе-кундными пучками заряженных частиц // ЖТФ. 1994. Т. 64. № 5. С. 37-42.

[2] Полещенко К.Н., Николаев А.В., Вершинин Г.А. Термоактивируемые процессы в приповерхностных слоях сплава WC-Co при воздействии мощными ионными пучками// Поверхность. 1995. № 11. С. 85-90.

[3] Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics revisited (1988-98) // Rep. Prog. Phys. 62 (1999). 1035-1142.

[4] Galenco P., Sobolev S. Local nonequilibrium effect on undercooling in rapid solidification of alloys // Pphys. Rev. 1997. V. E. 55. Р. 343-352.