CC BY
43
УДК 531, 536-12
Влияние поверхностной активации и внутренних механических напряжений на диффузию атомов кислорода при электронно-лучевой обработке ^№-сплавов
А.Г. Князева12, А.В. Тян2
1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 2 Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия
В работе исследуется влияние нелинейных эффектов поверхностной неравновесной активации и внутренних механических напряжений, наблюдаемых в процессах электронно-лучевой модификации Т!№-сплавов, на диффузию кислорода из адсорбционного слоя вглубь материала. Предложенная математическая модель включает уравнения теплопроводности, диффузии и кинетики с соответствующими импульсной электронно-лучевой обработке начальными и граничными условиями. Приводятся оценки кинетических параметров. Рассчитываются распределения температуры, концентрации и напряжений по пространству и времени для широкой области изменения параметров. Определяется глубина зон прогрева и диффузии, проводится сравнение результатов с учетом активации и без нее.
Ключевые слова: неравновесная активация, диффузия, механические напряжения и деформации, электронно-лучевая обработка, безразмерные переменные, численное моделирование
Effect of surface activation and internal mechanical stress on diffusion of oxygen atoms in TiNi alloys in electron beam treatment
A.G. Knyazeva1,2 and A.V Tyan2
1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
2 Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia
In the work, we study the influence of nonlinear effects of nonequilibrium surface activation and internal mechanical stress in TiNi alloys on diffusion of oxygen atoms from the adsorption layer deep into material in electron-beam modification. The mathematic model proposed in the paper includes heat conduction, diffusion and kinetics equations with initial and boundary conditions appropriate to pulsed electron beam treatment. Estimates of the kinetic parameters are given. The spatial and temporal distributions of temperature, concentration and stress are calculated in a wide range of parameters; the depths of heat penetration and diffusion zones are determined and the results obtained with and with no consideration for activation are compared.
Keywords: nonequilibrium activation, diffusion, mechanical stress and strain, electron beam treatment, dimensionless variables, numerical simulation
1. Введение
К настоящему моменту накоплено много экспериментальных данных, свидетельствующих о том, что радиационно-лучевое воздействие приводит к формированию особого структурно-фазового состояния поверхностного слоя, сопровождаемого появлением и развитием полей внутренних механических напряжений. При этом вопросы, связанные с изучением свойств поверхности и прилегающих к ней слоев, выбором наиболее
важных параметров, достаточных для описания этих свойств, ролью и влиянием различных механохимичес-ких эффектов, сопровождающих диффузию, в настоящее время мало изучены.
Известно, что в нормальных условиях на поверхности любого сплава формируется тонкий окисный слой (10-15 нм для сплавов на основе никелида титана) [1, 2]. Модификация поверхностей сплавов электронным пучком приводит к насыщению кислородом прилежа-
© Князева А.Г., Тян А.В., 2010
щих к поверхности слоев на глубину, почти в три раза превышающую толщину исходной окисной пленки. В результате такой модификации формируются сравнительно глубокие поверхностные слои с улучшенными параметрами коррозионной стойкости, износостойкости, с более высокой прочностью и пр.
Вследствие интенсивного радиационного воздействия вещество поверхностного слоя приводится в неравновесное (активированное) состояние. При этом в образующемся активированном слое наблюдается ряд различных нелинейных эффектов, например ускорение массопереноса, которое может быть объяснено уменьшением энергии активации диффузии в результате активации. Для описания эффекта активации, а также изменения макроскопических свойств и кинетики физикохимических превращений в [3, 4] был введен параметр активации (параметр неравновесного состояния) п, определяемый по отклонению атомного объема от равновесного значения.
Результаты экспериментальных исследований [1, 2] указывают на существование внутренних напряжений в радиационно-модифицированных сплавах, величина которых, по крайней мере, в приповерхностных слоях значительно выше, чем в необработанных сплавах. При этом возникающие напряжения носят необратимый характер и могут приводить к появлению поверхностных микротрещин.
Следует заметить, что на сегодняшний день имеющаяся экспериментальная база не достаточна для создания точных картин изменения физических свойств электронно-модифицированных поверхностных (1-30 нм) слоев твердых тел. Это обстоятельство отчасти связано с тем, что электронно-лучевая обработка является высокоэнергетическим и быстропротекающим процессом с рабочими временами от 1 до 10 мкс [1, 2], т.е. явлением сложным для экспериментального исследования. Поэтому в таких условиях возрастает роль математического моделирования как основного, а зачастую и единственного, метода исследования высокоэнергетических быстропротекающих процессов в тонких поверхностных слоях.
Из механики известно (например [5]), что импульсное облучение способно инициировать ударную волну, время прохождения которой по диффузионной зоне можно оценить по формуле
^ = V V,
где хё — ширина диффузионной зоны (10-20 нм); ¥р — скорость продольных упругих волн. Для никелида титана имеем t№ ~ 10-9 -^-10-7 с. За время = L|V,p ~ ~ 10 -8^ 10 -6 с, где L — размер образца, эта волна покидает образец, оставляя за собой вещество в активированном состоянии, что и учитывается в данной модели посредством введения параметра п [3, 4, 6-8]. Возможное влияние волновых процессов на диффузионное и
фазовое изменение обрабатываемых поверхностей обсуждается, например, в [1, 9]. Также с активацией поверхности связан один из самых распространенных эффектов радиационного воздействия — генерация неравновесных дефектов в прилежащих к поверхности областях [10], что приводит к существенному ускорению процессов массопереноса.
В данной статье проанализирована математическая модель диффузии кислорода из поверхностного адсорбционного слоя вглубь материала при импульсной электронно-лучевой обработке с учетом влияния на диффузию поверхностной активации и внутренних механических напряжений. Проведены оценка определяющих параметров и подробное параметрическое исследование задачи. Полученные результаты численных экспериментов позволяют прогнозировать глубину и характер диффузионных и тепловых зон при изменении параметров облучения, а также получать данные о количественном и качественном характере напряжений.
2. Математическая постановка задачи
Математическая модель включает задачу теплопроводности, задачу диффузии с учетом уравнения кинетики для параметра активации с соответствующими граничными и начальными условиями и задачу о механическом равновесии.
Задачу теплопроводности для образца сплава конечной длины L представим в декартовой системе координат. В этом случае распространение тепла в сплаве с теплоемкостью c, плотностью р и коэффициентом теплопроводности Л описывается обычным уравнением теплопроводности
дТ д Л дТ
СР дt дх I Х дх I’
(1)
где t — время, с; х — координата, см; T — температура, К. Коэффициент теплопроводности Л в общем случае не является постоянным и зависит от температуры и свойств среды, в которой осуществляется процесс теп-лопереноса.
Принимая, что адсорбционный слой h на поверхности является тонким по сравнению с характерным тепловым масштабом, т.е. выполняется условие h << «•УКТ^Г, где кТ = Л/(ср) — коэффициент температуропроводности и 1* — некоторое характерное время (определяется в ходе анализа задачи), можно получить граничное условие в точке х = 0 интегрированием уравнения теплопроводности (1) в адсорбционном слое. В итоге получаем граничное условие для задачи теплопроводности на поверхности:
х = 0: -Л^ = q(t) -ест(Т4 -Те4) - сркдТ, (2)
дх дt
q(t) = qofl(tX ЛО1) =
где а—постоянная Стефана-Больцмана, Дж/(с • К4 • см2); е — степень черноты, зависящая от качества обработки поверхности; Те — температура окружающей среды, К; — длительность импульса, с; q0 — плотность теплового потока, которая представляет собой количество тепла, проходящее в единицу времени t и отнесенное к единице площади поверхности, Дж/(см2 • с). В граничном условии (2) учтено тепловое излучение в среду с поверхности по закону Стефана-Больцмана. В силу того что процесс происходит в вакууме, другие виды потерь тепла не учитываются.
Мощность излучения за время импульса 1= рассчитывается по формуле
Q = qoti•
Обычно в экспериментах используются значения Q = = 3-10 Дж/см2 [1, 2]. Так что при изменении времени импульса 1= меняется величина q0 = Q/ti• В математической модели каждый из параметров можно менять независимо от других.
В общем случае, когда число импульсов равно п, доза облучения или энергия, полученная единицей поверхности за время t, определяется интегралом
1 П
1 (0 = qo I /(= qo Е % = qonti•
0 к=1
Задача диффузии для единственного подвижного элемента (изначально адсорбированный на поверхности атомарный кислород) формулируется следующим образом:
дс
Источники и стоки тепла и массы при х = L примем
Р
дt
- = -У- J
о,
(3)
(4)
где поток J 0 определяется по формуле [11, 12]
* о = -р^0 Яи^Со + «0 Ц М0СО ^,
ЯТ
где Ц0 -----коэффициент самодиффузии кислорода;
М 0 — молярная масса кислорода; R — универсальная газовая постоянная; а 0 — линейный коэффициент концентрационного расширения для кислорода; акк = = а11 + а22 + а33 — первый инвариант тензора напряжений; £11 — термодинамический множитель, в общем случае являющийся функцией состава, вид которого может быть определен аппроксимацией экспериментальных данных. В первом приближении £11 = 1, так что *
Ц0 = Ц0. Представление (4) корректно в приближении изотропной среды и неидеального раствора.
Граничное условие на поверхности для уравнения диффузии кислорода (3) получаем так же, как и для уравнения теплопроводности. Интегрируя уравнение диффузии по поверхностному слою h << у1 Ц01» с учетом граничных условий (отсутствие потока массы на поверхности и идеальный контакт в точке х = К), получаем граничное условие в виде:
дС0
х = 0:
дх DO дt
рЯТ дх
кк ■
(5)
нулевыми:
х = L:
дТ_
дх
(6)
В работах [3, 4] дополнительное ускорение массопе-реноса в зоне обработки описывается с помощью ввода зависимости энергии активации диффузии от степени активации п, что записывается в виде:
До = ехР I -
Ер -УП ЯТ
= Ц ехр(у'п) = Ц ехр(у'п), (7)
где Ц0 = Ц ехр(- Е0/(ЯТ)) — коэффициент объемной диффузии в неактивированном материале; Ц — пред-экспонента; коэффициент у' (0 < у' = у/(ЯТ) < 1) зависит от типа обрабатываемого вещества и легирующего элемента и может быть определен экспериментально, а у с физической точки зрения в первом приближении можно рассматривать как энергию, необходимую для «активации» элемента, в расчете на один моль.
В простейшем приближении уравнение кинетики для параметра активации можно представить следующим образом:
ёп
Коэффициент кп в уравнении (8) характеризует скорость активации и определяется параметрами внешнего воздействия. Полагая, что скорость активации ёп/ пропорциональна доле неактивированного вещества, ограничимся наиболее простым линейным приближением для функции ф1:
Ф1(п) = 1 -п.
Функция ф2 характеризует активацию поверхностного слоя по глубине:
= клф1(л)Ф2(С).
(8)
Ф2 = /(х/ха ) =
1 - Х/Ха> Х ^ Ха
(9)
20, х > ха,
где ха — эффективная глубина активации, связанная с глубиной проникновения электронов (глубиной, на которой затухает волна механических напряжений, генерируемых внешним воздействием).
Представление (9) позволяет интегрально учитывать распределение элементов в поверхностном слое по координате и допускает простые аналитические оценки, удобные для трактовки получаемых результатов.
В начальный момент времени сплав находится в полностью равновесном состоянии при нормальной температуре, а атомарный кислород присутствует только на поверхности:
4с0, х = 0,
t = 0: С0 =3 °’ ’Т = Т0, п = 0. (10)
[0, х > 0,
Для того чтобы определить компоненты а11, а22 и а33, необходимо решить задачу о механическом равно-
весии [11, 12], в которой связь между напряжениями а у и деформациями егу обеспечивается линейными соотношениями Дюамеля-Неймана:
ар = 2цL£j + 8 у (Xтекк - ^). (11)
Модуль объемной упругости К и коэффициенты Ламе X L и ц L в линейной теории упругости связаны с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V линейными соотношениями:
Х L =
Ц L =
Ev
(1 - 2v)(1 + V)
2(1 + у)
гг 2 Е
К — X т +—ц т =----------.
L 3 т 3(1 - 2v)
Формулы (11) справедливы для случая малых деформаций, при этом очевидно, что если w = 0, то формулы (11) совпадают с известными соотношениями закона Гука для упругих деформаций. Относительное объемное изменение w в общем виде запишется так:
w = 3
аТ(Т-Т0) + Еак(Ск -Ск0)
к=1
(12)
где аТ — линейный коэффициент теплового расширения, К-1; Ск — начальные распределения концентрации элементов в недеформированной среде; ак — коэффициенты концентрационного расширения (или коэффициенты дилатации кристаллической решетки), характеризующие объемные изменения в расчете на единицу концентрации при отсутствии напряжений. В общем случае а к =а к (Ск). Влияние этих коэффициентов может быть достаточно существенным в задачах тепло- и массопереноса [11, 13]. В рамках механики сплошной среды коэффициенты ак обычно считают экспериментально определяемыми характеристиками. Все теоретические методы оценки этих коэффициентов весьма условны. Так, наиболее распространенной является оценка вида:
1 ®к
ак =--
(13)
3 Е«к
к
где Юк — молярный (атомный, молекулярный) объем компонента с номером k в своей фазе. Именно такие оценки использованы в [8, 14, 15].
Напряжения, связанные в (11) с изменением концентраций компонентов, могут иметь любой знак, что зависит, в конечном счете, от соотношений размеров диффундирующих частиц (частиц, участвующих в реакции), через которые могут быть вычислены коэффициенты концентрационного расширения.
Полагая, что обрабатываемая пластина сплава не закреплена и свободна от действия внешних сил, так что
возможная ударная волна покидает образец за малое время, и учитывая, что скорость переноса массы диффузией много меньше скорости распространения механических возмущений, придем к задаче о механическом равновесии плоской пластины, свободной от действия внешних сил [11, 12], из решения которой имеем:
а
11 = 0, а у = 0,
еу = 0, г Ф у,
а 22 = а33 =
33
2^ А . 1 + V w
е^ =---------------(А1 х + А2) + ■
(14)
1 -V
1 -V 3
е 22 = е33 = А1х + А2> 1 е 22 1 <<1 е11
Следовательно,
е кк =£11 +е 22 +£33 =
22
33
„1 - 2^^ 1 + v w
= 2-(А1 х + А 2) + ■
1 -V
акк = ац + а — + а33 =
1 -V 3
11
2Е
22
33
(15)
1 -V;Ах + А -Т
где А1 и А2 — постоянные интегрирования, которые определяются из условий равенства нулю по контуру пластины равнодействующего усилия и равнодействующего момента сил [11, 12] и имеют вид:
4 L 2
А1 = — I wxdx —^ I wdx,
L 0 L 0
4 L 2 L
А2 = —I wdx-----—1 wxdx.
3L 0 L 0
Эти коэффициенты зависят от времени как от параметра.
В рассматриваемой задаче с одним легирующим элементом (кислородом), который характеризуется коэффициентом концентрационного расширения а0, все остальные элементы сплава можем рассматривать как некие «эффективные элементы» С2 с коэффициентом а2, С2 + С0 = 1. Тогда (12) можно записать в виде:
w = 3(аТ (Т - Т0) + (а 0 -а 2)С0 -
- (а0 -а2)С0) = 3( аТ (Т - Т0) +
+ (а0 -а2)(С0 - С0)). (16)
В соответствии с определением а0, если молярный (атомный) объем диффундирующего элемента в области i меньше эффективного молярного объема «неподвижного» материала этой области, то разность а0 - а2 будет отрицательной. Если элемент С0 накапливается в области то разность С0 - С0 будет положительной. Такими упрощенными рассуждениями можно воспользоваться и в том случае, если диффундируют несколько элементов, но в силу их малой концентрации взаимодействием между ними можно пренебречь.
С учетом (14)—(16) вместо (4) получаем
J = -pD
1 +
2EaM DC
R(1-v) T
2EaM(a-a2) C pR(1-v) T
dT_
dx
dC_
dx
A1 -aT
(17)
Для удобства здесь и далее индекс O опущен, что можно сделать, т.к. в модели рассматривается диффузия только одного компонента.
Таким образом, полная система уравнений, описывающая процесс электронно-лучевой обработки поверхности сплава, включает уравнение теплопроводности (1), уравнение диффузии с напряжениями и активацией (3), уравнение кинетики для параметра п (8) и граничные и начальные условия (2), (5), (6), (10).
Эффективные теплофизические свойства сплава для качественного исследования модели примем постоянными: cp, X = const.
3. Безразмерные переменные, масштабы и параметры
Для удобства параметрического анализа и получения наиболее общих результатов целесообразно перейти к безразмерным переменным
т = t/t*, 5 = x/x*, 0 = (T - To)/(T. - To), s ij = a ij/ (18)
где t*, x*, T*, a* — характерные масштабы, конкретный вид которых будет определен ниже.
В общем случае определяющие параметры вводятся для определенных рассматриваемых классов задач с помощью гипотез, при этом опираются на соответствующие опытные данные и теоретические исследования. Во многих сложных случаях проблема введения определяющих параметров еще открыта и является предметом исследования, например для моделей, описывающих неравновесные явления в усложненных физико-химических системах. Поскольку выбор безразмерных переменных и определяющих параметров является далеко нетривиальной задачей [16, 17] и в традиционных мате-риаловедческих задачах почти не используется, остановимся на описании процедуры обезразмеривания достаточно подробно.
Подставляя безразмерные переменные 0, т, 5 в уравнение теплопроводности (1), получаем:
Э0 XU д20
Эт cp x*2 Э52
(19)
X 1» X
Приравнивая--------2, где — = кТ — коэффициент тем-
ср х»2 ср
пературопроводности, единице, получим выражение для пространственного масштаба х», который характеризует глубину прогрева за время 1» при заданном кТ:
(20)
Повторимся, что выбор масштабов всегда неоднозначен и зависит от особенностей конкретной задачи. Так, масштаб по координате мог бы быть выбран на основе уравнения диффузии. В этом случае он бы характеризовал глубину диффузии за время 1» при температуре Т» и имел бы вид:
х» = д/Щ», (21)
где Ц» = Цехр(-Её/(ЯТ»)) — масштабный коэффициент диффузии. Однако одной из особенностей нашей модели является то, что скорость и, соответственно, глубина теплопереноса на несколько порядков превышает скорость массопереноса. Поэтому, если бы мы приняли более мелкий масштаб (21), то возникли бы определенные проблемы при совместном численном решении задач теплопроводности и диффузии. В частности, величина пространственного шага в задаче теплопроводности была бы на порядок больше, чем при используемом более крупном тепловом масштабе (20), что привело бы к увеличению времени численного счета и к большему накоплению машинной ошибки округления.
С учетом (20) уравнение теплопроводности в безразмерных переменных примет вид:
Т = 0 (22)
дт д£2
Граничное условие (2) после перехода к переменным (18) записывается следующим образом:
5 = 0: -
Э0 = qox*/i(T) естx*(T* - To)3 Э5 X(T* - To)
T* -To
X
[(1 + 0- St)4-1]-8
Э0 Эт ’
(23)
где 8 = И/х» — толщина адсорбированного слоя; St = = (Т» - Т0)/Т0; В = еах» (Т» - Т0)3 /X — параметр, характеризующий тепловые потери (критерий Старка) [18].
Принимая в (23) комплекс q0х»!^!» - Т0)] за единицу, получаем выражение для масштаба температуры:
Т» = Т0 + ^,
0 X
которое определяет величину температуры, до которой прогреется слой толщиной х* под действием теплового потока с мощностью q0. Тогда, с учетом введенных обозначений, граничное условие (23) для уравнения теплопроводности (22) в безразмерных переменных приобретает вид:
дО В дО
I = 0: -^ = /1 (т) —Bг\(1 + e•St)4 -1] -8^°. (24)
Э5 St4
Условие на второй границе: Э0
Эт
д5
= o.
(25)
x*
= ^/KTt*
Так как в задаче моделируется импульсная электронно-лучевая обработка, то одним из возможных вариан-
X
X
тов для масштаба времени может быть длительность одного импульса 1=:
1» = 1=,
тогда длительность одного импульса в безразмерных переменных т = 1. При этом длительность паузы может быть любой. Функция, характеризующая режим облучения, для одного импульса в этом случае приобретает вид:
41, т< 1,
/1<т) = к т> 1.
Полагая Sij = ару/а», еу = е^/е», из (14), (15) получаем:
S 22 = *33 =
3КИ1аТ (Т» - Т0)
125
А3 А2
I w 5ё5
0
0
е =аТ (Т» - Т0)(И -1) х
е11 = ^ х
А2е»
245
А
-12 11Я5ё5 + (8А-12^)/ * ё5
(26)
+-аТ (Т» - Т0)(3 - 2hl)w,
е
е22 = е33 =
6аТ (Т» - Т0) ,
33
А2е»
т'1) I5 №+( т-5)!*<>5
Здесь А = £/х» — безразмерная длина образца; w =
= 0(5, т) + я (С(5, т) - С(5, 0)); параметр И = 2Ц
X + 2ц
имеет смысл отношения скоростей распространения продольных и поперечных волн. Очевидно, что И1 < 1. Параметр £ = (а0 - а2 )/[аТ (Т» - Т0)] характеризует соотношение между концентрационными и термическими напряжениями. Данный параметр в общем случае может быть как положительным, так и отрицательным. При этом его знак определяет тип напряжений, которые могут быть как сжимающими ^ <0), так и растягивающими ^ >0).
Для получившихся выражений (26) удобно принять масштаб е» в виде: е» = аТ (Т» - Т0), который по смыслу является термической деформацией, возникающей в материале при его нагреве до температуры Т», и масштаб для напряжений: а» = 3Ке»,
который характеризует величину максимальных термических напряжений при нагреве материала до темпера-
туры Т» [19]. Тогда формулы (26) примут следующий
вид:
*22 = *33 = И1
125 6 ) А-слс
*--*) I5“5+
, 4 65) А-^ -+ 1 — -—I ] w ё5 -1
А А2
4 (И -1)
0
А2
65-з)J" 5ё5+
+ (2А- 35) IЪё5
+ (3 - 2Й1 )w,
е22 = е33 =
А2
*кк = *11 + *22 + *33 =
= 2И
125
А3 А
6 ) А
I w 5ё5 +
65)^. -
— 11 w ё5 - w
АА
екк = е11 + е22 + е33 = —И^25 - А) I"w 5ё5 +
А3 0
+ ^А- 35)А^ ё5 + (3 - 2И1 уь.
А2 0
(27)
(28)
Формулы (27), (28) описывают напряженно-деформированное состояние в диффузионной зоне, в которой невозможно явно отделить диффузионно-концентрационные напряжения от термических. При рассмотрении напряжений в масштабе всего образца можно пренебречь концентрационной дилатацией и тогда получим выражение для термических напряжений по длине А. Принимая Т= Т(х, ^ и пренебрегая вкладом концентрации в объемное изменение, после обезразмеривания получаем формулу для термических напряжений по всей длине А:
125
*Тк = 2И1
А3 А
6 ) А
6 I°5ё5+
4-А - А2
65)|ш5-е
(29)
После обезразмеривания коэффициент диффузии D (7) примет вид:
Ц = ЦЦ» = Те •кТЦ, (30)
где Ц = ехр\(е ё п(81 +1) + 81 • (0- 1))/(Р(1 + е^ 81))] — безразмерный коэффициент диффузии, её = у/Её характеризует энергию, необходимую для неравновесной активации поверхности, в = ЯТ»/ Её — безразмерная температура активации диффузии; Те = Ц»/ кТ — число Льюиса, характеризующее соотношение скоростей
а
X
+
X
+
X
+
тепловых и диффузионных процессов. Для твердых тел Le << 1, т.к. скорость диффузии много меньше скорости распространения тепла.
В результате с учетом уже введенных параметров и выражений (27)-(30) обезразмеренное уравнение диффузии принимает вид:
дС т Э
------= Le----------
Эт Э^
В,1+ 2ю^ С)ЭС
1 + 0- St 1Э£
124'“' ^ Э-(ЛВС),
(1 + 0- St)Д2 Э5
(31)
2 а а
где А = — | м ^ d5-J м d5; ю = аMa*/(pRT()) — коэф-
А 0 0
фициент связанности.
Граничные условия:
2ю^С )ЭС
£ = 0:|1 + ^^ 1^ =
1 + 0•St 1Э£
8 ЭС 12кюЛС - + - 1
Le• В Эт Д2(1 + 0-St)
5 = Д: ^= 0,
(32)
где
J^ = Le • В
1 + с)эс
12^ ю
-ЛС
1+0-St (Э5 А2(1 + 0. St)
В безразмерных переменных (18) уравнение кинети ки (8) для параметра активации п принимает следующий вид:
|т = кп(1 -г)/
(33)
/ =
1 -т„ ^а
I0, £>^
где ^ ^* — скорость активации; 5а = ха/ х* — глу-
бина активированного слоя.
Начальные условия:
т = 0: С = 3 С°’ ^ 0’ п = 0, 0 = 0. |0, 5> 0,
(34)
Таким образом, безразмерная постановка задачи включает уравнения (22), (31), (33) с начальными и гра-
Таблица 1
К оценке коэффициентов концентрационного расширения
Вещество М, г/моль р, г/см3 а
О 16 1.429 0.138
Ті№ 106.6 6.44 0.196
ничными условиями (24), (25), (32), (34). Ненулевые компоненты тензоров напряжений и деформаций рассчитываются по формулам (27)-(29).
4. Оценка кинетических параметров
Изначально в размерной постановке использовались параметры в системе единиц «сантиметр - грамм - секунда». Для определенности рассматривались свойства, характерные для сплавов на основе никелида титана. Используя формулу (13), можно найти коэффициенты концентрационного расширения. Из курса общей химии молярный объем ^го элемента можно определить, как
= Mk| рк., тогда получаем оценку коэффициентов аk (табл. 1).
Остальные физико-механические параметры сплавов на основе никелида титана, используемые в нашей задаче, взяты из [1-4, 6-8, 20] и приведены в табл. 2.
Заметим, что в табл. 2 представлены не «точечные» значения параметров для конкретного сплава с заданным составом и свойствами, но их диапазоны. Таким образом, получаем оценку области изменения безразмерных параметров для широкого набора сплавов на основе никелида титана: 8 = 2 -10-4-10-1, А = 20-300, В = 4-10-6-5-10”3, 5а = 10-150, к1 <0.5, ю = 0.01-1.5, Le = 0.001-0.01, ^ = 4-10-3-10-1, St =2-6, я = -14-14, её = 0.03-0.3, в < 1.
5. Результаты численного исследования задачи
В общем случае задача (19) -(24) является связанной, т.е. в ней учитывается взаимовлияние процессов тепло- и массопереноса, напряженно-деформированного состояния и неравновесной активации поверхности. Поэтому для корректной численной реализации уравнений задачи требуются большие вычислительные ресур-
Таблица 2
Физико-механические параметры сплавов на основе никелида титана
т0 = Те = 300 к Е0 = 200 кДж/моль V = 0.33-0.48
Ь = 10-6-10-4 см L = 0.03-0.1 см ст = 5.67-10-12Дж/(с• К4 • см2)
ха = 0.01-0.1 см С0 = 0.3 є< 1
В0 = 1.6 см2/с ат = 6 •10-6-14-10-6^К R = 8.315 Дж/(моль^К)
Е = 49-73 ГПа Число импульсов п = 1-10 ТрЬ = 1513-1583 К
ср = 0.236-0.589 Дж/(г • К) Я= 0.01-0.7 Дж/(с • см • К) к = 4.63 • 102 1/с
ха = 0.0474 см у' = 3.054
сы и выбор подходящего метода решения. На первом шаге по времени решается задача теплопроводности, затем полученное решение — значение температуры на поверхности сплава — используется в решении диффузионно-кинетической задачи. Для решения задачи теплопроводности использован метод прогонки и безусловно устойчивая неявная конечно-разностная схема с ошибкой аппроксимации О^т1) + О(ёт2) [21]. Для решения задачи диффузии использована двухшаговая двухслойная явно-неявная разностная схема второго порядка точности с хорошими стабилизирующими свойствами [22]. О точности расчетов судили по выполнению интегрального закона сохранения массы, а также по сравнению численного решения с точными аналитическими решениями простейших задач диффузии и теплопроводности [23], которые следуют из описанной выше модели в различных предельных случаях.
Одной из особенностей импульсной электронно-лучевой обработки является то, что тонкие приповерхностные слои нагреваются до высоких температур (вплоть до температур плавления) за достаточно короткое время (порядка 1-3 мкс) [1, 2]. При этом более глубокие слои просто не успевают нагреться до высокой температуры. Этот факт, а также то, что в твердых телах глубина прогрева на порядок больше диффузионной зоны, позволили при разработке численного алгоритма пренебречь изменением температуры в диффузионной зоне и принять ее в ней равной значению на поверхности. Таким образом, при численной реализации задачи приняли, что в диффузионно-кинетической задаче температура не зависит от координаты 5 и является только функцией времени т. С учетом этого упрощения при вычислении интегралов в А1 и А2 область интегрирования разбивается на две:
А 5с=0 А
| Ъ ё5 = } Ъ ё5 + | ё5
0 0 5с=0
и
А 5с=0 А
|Ъ^= | Ъ ^5 + | Ъ П^5,
0 0 §с=0
где Ъ1 =0(0, т) + g(С(5, т) - С(5,0)); Ъ11 =0(5, т); 5С=0 — такая глубина диффузионной зоны, на которой С = 0 и выполняется граничное условие (15) для задачи диффузии. Таким образом,
|Ъ ё5 = 0(0, т)5с=0 +
0
5с=0 А
+ g | (С(5, т) - С(5,0))ё5+ |0(5, т)ё5
0 5С=0
и
/Ъ 5ё5 = 1 0(0, т)52с=0 +
0 2
5С=0 А
+ g /(С(5, т) - с(5,0))5ё5+ /0(5, т)5ё5.
0 5с=0
0.00 0.05 0.10 0.15 \
Рис. 1. Пространственное распределение концентрации в момент времени т = 0.7 (1), 0.9 (2), 2 (5). Сплошные кривые соответствуют активированной диффузии (Её = 0.2), пунктирные — неактивированной (ед = 0)
Проведено подробное параметрическое исследование модели в выбранной области значений параметров, соответствующих сплавам на основе никелида титана, при различных режимах электронно-лучевой обработки. В результате были выявлены параметры, изменение величины которых наибольшим образом сказывалось на характере и глубине диффузии и напряжений.
На рис. 1-18 приведены сравнительные расчеты процессов диффузии и теплопроводности с учетом и без учета эффектов активации и связанности. В приведенных расчетах варьировались два определяющих параметра — параметр ед (параметр активации диффузии) и параметр ю (параметр связанности). Остальные параметры фиксированы для одного и двух импульсов: С0 = 0.3, Й1 = 0.2, Ье = 0.001, 8 = 0.005, А = 20, 5а = 12, Бг = 3, В = 10-3, g = -10, ^ = 0.8, в = 0.05.
На рис. 1 изображены пространственные профили концентрации для трех различных моментов времени в случае активированной и неактивированной диффузии. Видно, что в результате активации скорость и глубина диффузии существенно возрастают. Так, для данного набора параметров разность между неактивированной и активированной диффузией достигает 45 % к концу времени наблюдения. При этом на поверхности концентрация в случае активированной диффузии отлича-
0 12т
Рис. 2. Изменение концентрации и температуры на поверхности со временем для активированной (ед = 0.2) (1) и неактивированной диффузии (е д = 0.2) (2)
Рис. 3. Пространственное распределение компонент напряжений 5 22 = £ 33 в диффузионной зоне в момент времени т = 0.7 (1), 0.9 (2), 2 (5)
Рис. 7. Изменение компонент диффузионных напряжений со временем в точках 5 = 0 (1), 0.002 (2), 0.004 (5), 0.006 (4)
Рис. 4. Пространственное распределение компонент деформации ^ 1 (1-5) и ^22 = £33 (4-6) в момент времени т = 0.7 (1, 4), 0.9 (2, 5), 2 (5, 6)
Рис. 8. Изменение компонент деформации еп (1-4) и £22 = е33 (58) со временем в точках 5 = 0 (1), 0.002 (2), 0.004 (5), 0.006 (4)
Рис. 5. Динамика изменения компонент диффузионных напряжений 522 = 533 и деформаций еп и £22 = е33, термических напряжений 5т на поверхности, а также величины средних напряжений 5. Пунктирные линии относятся к неактивированной диффузии
Рис. 6. Пространственное распределение температуры в момент времени т = 0.7 (1), 0.9 (2), 2 (5). Полное совпадение профилей температуры с учетом активации и без учета активации
ется от неактивированной диффузии незначительно, на поведение температуры эффект активации не влияет (рис. 2, 6). Напряжения и деформации достигают своих максимальных значений на поверхности, что можно видеть на рис. 3, 4 и 7, 8. С течением времени напряжения имеют тенденцию к релаксации и выравниванию по всей глубине образца. Если в диффузионной зоне напряжения опосредованно зависят от активации через концентрацию, то активация никак не сказывается на величине термических и средних по всему объему напряжений (рис. 5). Из рис. 7, 8 видно, что рост по абсолютной величине напряжений со временем сопровождается ростом деформаций. Кроме этого, по мере удаления от поверхности величины напряжений и деформаций убывают, напряжения меняют знак.
Ширину диффузионной зоны 5ё определим как расстояние, на котором концентрация легирующего элемента уменьшается в к раз по сравнению с ее начальным значением на поверхности (здесь приняли к = 200). Глубину прогрева 5т определим как расстояние от поверхности, на котором температура достигает некоторого заданного значения 0* (здесь приняли 0* = 0.7). Зависимости 5ё и 5т от времени представлены на рис. 9, из которого также видно, что активация поверхности приводит к существенному увеличению глубины диффузионной зоны.
Зависимость коэффициента диффузии от параметра активации представлена на рис. 10, из которого видно, что за счет активации величина коэффициента диффу-
Рис. 9. Эволюция глубин диффузии и прогрева со временем: 1 и 2 — глубина активированной и неактивированной диффузии соответственно, 5 — зона прогрева
Рис. 12. Пространственное распределение концентрации в момент времени т = 0.9 и 1.1 для активированной и неактивированной диффузии без учета связанности (Ед = 0 (1) и 0.2 (2), ю = 0) и активированной диффузии с учетом связанности (Ед = 0.2, ю = 1 (5))
Рис. 10. Изменение величины безразмерного коэффициента диффузии на поверхности со временем: 1 и 2 — активированная и неактивированная диффузия соответственно
Рис. 13. Рост диффузионной зоны во времени для неактивированной (Ед = 0, ю = 0) (1) и активированной диффузии (Ед = 0.2, ю = 0) без учета связанности (2) и активированной диффузии с учетом связанности (Ед = 0.2, ю = 1) (5)
зии возрастает на порядок. Заметим, что коэффициент диффузии зависит не только от активации поверхности, но и от температуры и режима обработки (рис. 11). На рис. 12 представлена сравнительная картина пространственных распределений концентрации для неактивированной диффузии, активированной диффузии и активированной диффузии с учетом эффекта связанности. Как следует из рис. 12, напряжения ускоряют диффузию
и различие между неактивированной диффузией без учета влияния напряжений и активированной диффузией с учетом влияния напряжений составляет более 50 % при данном наборе параметров ^ = -10). При этом, однако, на глубину диффузии, на величины остаточной концентрации, напряжений и деформаций на поверхности учет связанности не оказывает значительного влияния (рис. 13-15). Температура от напряжений не
Рис. 11. Изменение величины безразмерного коэффициента диффузии на поверхности со временем для двух импульсов. Кривые 1 и 2 соответствуют активированной и неактивированной диффузии, 5 — температура
0.0 -I-■-•---■---> 0.0
0 12т
Рис. 14. Изменение концентрации (1-5) и температуры (4) на поверхности со временем для неактивированной и активированной диффузии без учета связанности (Ед = 0 (1) и 0.2 (2), ю = 0) и активированной диффузии с учетом связанности (е д = 0.2, ю = 1 (5))
Рис. 15. Изменение компонент напряжений 522 (сплошные кривые) Рис. 17. Изменение диффузионных (сплошные кривые) и термичес-
и деформаций ец (пунктирные кривые) на поверхности со време- ких (пунктирные кривые) напряжений на поверхности со временем
нем для неактивированной и активированной диффузии без учета для одного (1) и двух импульсов (2). Ед = 0.2, ю = 1
связанности (Ед = 0 (1) и 0.2 (2), ю = 0) и активированной диффузии с учетом связанности (ед = 0.2, ю = 1 (5))
Рис. 16. Изменение концентрации (сплошные кривые) и температуры (пунктирные кривые) на поверхности со временем для одного (1) и двух импульсов (2). Ед = 0.2, ю = 1
Рис. 18. Эволюция диффузионной зоны (сплошные кривые) и зоны прогрева (пунктирные кривые) для одного (1) и двух импульсов (2). Ед = 0.2, ю = 1
зависит (рис. 14). Изменение режима облучения также позволяет контролировать глубину зон диффузии и прогрева и оказывает непосредственное влияние на поведение напряжений, деформаций и температуры (рис. 1618).
6. Заключение
Построена, приведена к безразмерным переменным и численно реализована математическая модель диффузии атомарного кислорода, первоначально адсорбированного на поверхности, вглубь сплава на основе нике-лида титана при его обработке импульсным электронным пучком. В модели учитываются эффекты неравновесной активации поверхности и напряженно-деформированного состояния в диффузионной зоне. Подробно показан и обоснован выбор безразмерных параметров. Выявлены основные определяющие параметры, по которым проведено подробное численное исследование. Продемонстрировано влияние эффектов активации и связанности на диффузию, а также эволюции компонент тензоров напряжений и деформаций в процессе облучения.
Литература
1. Мейснер Л.Л. Механические и физико-химические свойства спла-
вов на основе никелида титана с тонкими поверхностными слоями, модифицированными потоками заряженных частиц / Дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2004. - 546 с.
2. Лотков А.И., Мейснер Л.Л., Гришков В.Н. Сплавы на основе никелида титана: ионно-лучевая, плазменная и химическая модификация поверхности // ФММ. - 2005. - Т. 99. - № 5. - С. 66-78.
3. Князева А.Г., Псахье С.Г. Диффузия элементов в активированном поверхностном слое // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - №2 2. - С. 4954.
4. Князева А.Г., Псахье С.Г. Моделирование неравновесной диффузии, сопровождаемой внутренними напряжениями // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - Спец. выпуск. - С. 41-44.
5. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. - М.: Мир, 1970. - 256 с.
6. Князева А.Г. Диффузия и реология в локально-равновесной термо-
динамике // Математическое моделирование систем и процессов: Сб. науч. тр. - 2005. - № 13. - С. 45-60.
7. Князева А.Г., Псахье С.Г. Термодинамика активированного состоя-
ния материалов // ПМТФ. - 2009. - Т. 50. - № 1. - С. 141-152.
8. Тян А.В., Князева А.Г., Псахье С.Г. Нелинейные эффекты в поверхностном слое никелида титана в условиях его неравновесной активации импульсным электронным пучком // Изв. вузов. Физика. -2007. - Т. 50. - № 3. - С. 8-16.
9. ТюменцевА.Н., КоротаевА.Д., Бугаев С.П. Закономерности структурно-фазовых превращений в металлических сплавах при высо-
кодозной ионной имплантации // Изв. вузов. Физика. - 1994. -
№ 5. - С. 8-22.
10. Фазовые превращения при облучении / Под ред. В.Ф. Нолфи. -Челябинск: Металлургия, 1989. - 312 с.
11. Еремеев B.C. Диффузия и напряжения. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 180 с.
12. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. - М.: Мир, 1964. - 517 с.
13. Князева А.Г. Перекрестные эффекты в твердыгх средах с диффузией // ПМТФ. - 2003. - Т. 44. - № 3. - С. 85-99.
14. Князева А.Г., Поболь И.Л., Романова В.А. Неоднородное поле напряжений в диффузионной зоне соединения, получаемого электронно-лучевой пайкой // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 5. -С. 41-53.
15. Никитенко НИ. Сопряженные и обратные задачи тепломассопе-реноса. - Киев: Наукова думка, 1988. - 240 с.
16. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1977. - 440 с.
17. Петухов Б.С. Методы подобия и размерностей в теории теплообмена. - М.: МЭИ, 1981. - 58 с.
18. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. - М.: Наука, 1975. - 226 с.
19. Грибанов В.Ф. Связанные и динамические задачи термоупругости. - М.: Машиностроение, 1984. - 180 с.
20. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомидат, 1991. - 1232 с.
21. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1982.- 271 с.
22. Пасконов В.М., Полежаев В.Н., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса. - М.: Наука, 1984. -288 с.
23. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.
Поступила в редакцию 21.05.2009 г., после переработки 29.01.2010 г.
Cвeдeнuя o6 aвmopax
Князева Аппа Георгиевна, д.ф.-м.н., гне ИФПМ СО РАН, проф. ТГУ, anna@ispms.tsc.ru Тяп Алексей Владимирович, асп. ТГУ, tav014@mail.tsu.ru
