Связанные процессы тепломассопереноса и эволюция напряжений в диске с включением в условиях воздействия концентрированного потока энергии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.468, 538.931

Связанные процессы тепломассопереноса и эволюция напряжений в диске с включением в условиях воздействия концентрированного потока энергии

Ю.А. Чумаков1, А.Г. Князева1,2

1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 2 Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

Анализируется модель электронно-лучевой обработки диска с включением с учетом взаимовлияния тепловык, механических и диффузионнык полей. Проиллюстрировано влияние радиуса луча на распределение температуры, концентрации диффузанта, а также напряжения и деформации в системе. Показана важная роль явления бародиффузии в перераспределении элементов между частицей и матрицей.

Ключевые слова: перенос под действием напряжений, бародиффузия, тепло- и массообмен

Interrelated processes of heat mass transfer and stress evolution in a disk with an inclusion under the action of high-density energy flow

Yu.A. Chumakov1 and A.G. Knyazeva1,2

1 Institute of Strength Physics and Materials Sciences, SB RAS, Tomsk, 634021, Russia 2 National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia

The paper analyzes a model of electron beam treatment of a disk with an inclusion taking into account the interrelation of thermal, mechanical, and diffusion fields. The influence of the beam radius on the distributions of temperature, diffusant concentration, and stress and strain in the system is illustrated. It is shown that pressure diffusion has a profound impact in the redistribution of elements between the inclusion and the matrix.

Keywords: stress-induced transfer, pressure diffusion, heat and mass exchange

1. Введение

В настоящее время электронно-лучевые технологии применяются для обработки поверхностей материалов различных классов и назначений. При изучении и трактовке результатов гетерогенные материалы типа композитов «матрица-включения» следует рассматривать отдельно, поскольку физические явления в структурных частях могут существенно отличаться. Например, при воздействии потока энергии на композиционный материал возможно перераспределение элементов между частицей (включением) и матрицей как вследствие ускорения диффузии при нагреве, так и вследствие бародиффузии или явления диффузии под действием градиента напряжений. Последние есть результат неоднородного нагрева, а также различия свойств матрицы и включения.

Если в [1-3] композиционное покрытие является результатом обработки или наплавки, а в [4, 5] анализируются критические условия, разделяющие формирование гомогенного и композиционного покрытий, то в [6, 7] электронный луч воздействует непосредственно на композиционный материал. Математическое моделирование процессов, происходящих в окрестности границ раздела между частицами и матрицей, позволяет детально исследовать физические механизмы образования внутренних переходных слоев и остаточных напряжений [8]. Так, в [9, 10] задача для частиц выделяется отдельно как подзадача для выбранных точек макрообразца. Изменение температуры для каждой частицы следует из решения тепловой задачи для образца в целом. В оценке механических напряжений учитывается среднее изменение состава матрицы. В [11, 12] для

© Чумаков Ю-A., Князева A.H, 2013

описания теплофизических процессов в гетерогенном материале используется иной подход, в котором учитывается взаимодействие между фазой частиц и фазой матрицы с помощью коэффициентов межфазного тепло- и массообмена. Явление бародиффузии в этих работах во внимание не принимается.

Заметим, что подобные подходы к моделированию находят широкое распространение и в других областях. Так, в задачах макрокинетики подзадача для реакционной ячейки позволила в свое время описать особенности кинетики химических реакций при условии замедления скорости слоем продукта; в механике гетерогенных сред и в теории фильтрационного горения известны многочисленные двухтемпературные и двухскоростные модели. Вместе с тем для частиц достаточно больших размеров по сравнению с радиусом электронного луча более корректным представляется подход, позволяющий проанализировать физические явления в окрестности отдельных частиц с явным учетом взаимодействия различных процессов переноса.

Например, в [13] частица (инертное включение) поглощает излучение импульсного светового потока и зажигает окружающую конденсированную прозрачную среду. В работе показано, что, как только лимитирующим условием зажигания становится запас энергии в очаге, необходим учет выгорания.

При исследовании модели зажигания углеводородного топлива нагретой частицей (в форме параллелепипеда), находящейся в контакте или погруженной в реагент [14], выявлено, что на время задержки воспламенения жидкости существенное влияние оказывают процессы погружения частицы в жидкость и формирования парового зазора между частицей и жидкостью. В более поздней работе [15] при анализе модели воспламенения жидкого вещества одиночной «горячей» частицей в форме цилиндра и параллелепипеда показано, что характеристики зажигания жидкостей главным образом определяются теплосодержанием частиц.

В [16] в простейшей постановке рассмотрена модель гетерогенного воспламенения сферической частицы металла с учетом механических напряжений, возникающих в окисной пленке при разогреве частицы. Показано, что защитные свойства окисной пленки зависят от соотношения напряжений, возникающих на границе раздела «металл - окисел» вследствие различия в линейных коэффициентах теплового расширения и объемных плотностях металла и окисла.

В настоящей работе исследуется сопряженная задача тепло- и массопереноса в окрестности одиночной частицы, попавшей в поле действия лазерного луча или потока электронов. Цель работы состоит в изучении взаимовлияния тепловых, диффузионных и механических процессов (в том числе и на границе раздела «частица - матрица») при различных параметрах внешнего воздействия.

2. Постановка задачи

Для описания явлений, происходящих на границе раздела частицы и матрицы, рассмотрим следующую модель.

Предположим, что имеется слой материала в виде диска с цилиндрическим включением, т.е. одиночная цилиндрическая частица в матрице. Радиус частицы — Я, а ее высота равна толщине выделенного слоя (рис. 1). Нагрев слоя осуществляется электронным лучом или лазерным излучением. Считаем, что энергия в потоке распределена по закону Г аусса, а положение максимума энергии в луче совпадает с положением оси симметрии частицы. Если речь идет о поверхностном слое материала, который подвергается внешнему воздействию, то потери тепла из выделенного слоя в окружающие слои вещества в первом приближении можно описать по закону Ньютона с эффективным коэффициентом теплообмена, потери тепла в окружающую среду — по закону Стефана-Больцмана.

В общем случае уравнение теплопроводности, связанное с напряжениями для тонкого диска (толщина диска меньше толщины теплового пограничного слоя, который может сформироваться за время импульса), имеет вид:

= --7-Зт +1Ж (г, 0 - а0 £о(Г4 - Т4) - а(Т - Г0)

h

и справедливо как для частицы, так и для окружающей матрицы при учете различия их свойств. Здесь Т — температура; Са, X, р — теплоемкость, теплопроводность и плотность обрабатываемого материала; а — эффективный коэффициент теплообмена между обрабатываемой поверхностью и близлежащими слоями вещества; ат — коэффициент теплового расширения; а 0 — по-

г*

I

Рис. 1. Иллюстрация к постановке задачи

стоянная Стефана-Больцмана; е0 — показатель черноты; Тк — температура теплообменника; h—толщина выделенного слоя; — первый инвариант тензора напряжений. Поток тепла удовлетворяет закону Фурье JT = -XV Т, функция тепловыделения имеет вид:

W(г,t) = 6ф1(г)ф2^),

где

ф1(г) = ехр

У- = — г, г дг

Q = q0| (пгь2) — максимальная

плотность мощности

h

источника; 90ф1 (г) = ф1 (г)| q(г) Яг — энергия, погло-

0

щенная в слое за единицу времени; гь — гауссовский радиус; ^ — время импульса.

Уравнение теплопроводности, записанное в цилиндрической системе координат, имеет место в частице (область 1) и в матрице (область 2) (рис. 1). Для того чтобы найти механические напряжения, требуется решить задачу о механическом равновесии.

Как правило, если речь не идет о высокоскоростных динамических процессах, связанностью (вторым слагаемым слева) тепловых и механических процессов пренебрегают. Силами инерции в уравнении движения также пренебрежем и ограничимся квазистатической задачей. Тогда по известному из тепловой задачи полю температуры можно рассчитать возникающие в слое механические напряжения. Но вот влиянием градиента напряжений на массоперенос пренебречь нельзя. Перенос легирующих элементов под действием градиента напряжений может играть важную роль в формировании переходного слоя между частицей и матрицей в условиях обработки. Напряжениями, возникающими вследствие градиента концентраций, пренебрежем, полагая, что они много меньше термических напряжений.

В результате задача будет состоять из трех связанных частей.

Задача теплопроводности имеет вид:

ьЭТ и

СлОлН—- = Н

1И дt

1 ц гх, а

г дгI Эг

- ОЕ1(Т4 -Т4) + Qфl(г)ф2(0 - а^(Т -Т)),

(1)

0 < г < Я;

с2р2Н—2 = Н 22 дt

1Ц гх 2 дТ.

г дгI Эг

-СТ£2(Т24 -Те4) + Qфl(г)ф2(0-аeff(T2 -Т>), (2)

Я < г < тс;

г = 0: = 0;

Эг

г —— тс

Т

Эг

= 0;

Р) т

г = Я: X] —1 = X2

1 Эг

ЭТ2

Т = Т2;

'■2^Г~, Т Эг

t = 0: Т = Т2 = Т).

Заметим, что энергия, поглощенная частицей и основным материалом, может различаться в силу различия их поглощательных свойств. Например, матрица может быть прозрачной для лазерного излучения, а частица может поглощать энергию. Это приведет к различным значениям Q в уравнениях теплопроводности для частицы и матрицы.

При формулировке задачи о равновесии выделенного слоя с частицей учтем, что температура по толщине слоя не изменяется, а зависит только от радиальной координаты. Тонкий диск в таких условиях находится в плосконапряженном состоянии, которое характеризуется тензором напряжений вида

<7 СТ„Ф 0

гг гф

ст ф 0

гф ФФ

0 0 0

Мы можем предположить, что напряжения и перемещения, вызванные внешним воздействием, также не меняются по толщине слоя (т.е. не зависят от осевой координаты). Это позволит для оценки напряжений и деформаций воспользоваться решением задачи о равновесии тонкого составного диска в квазистатической постановке, которая в теории термоупругости имеет точное решение [17].

С учетом симметрии задачи из уравнений равновесия остается одно:

Ястгг СТгг СТфф

я = °’

dr г

которое справедливо как для частицы, так и для окружающей ее матрицы.

Из соотношений Дюамеля-Неймана найдем Е г 1 Е

стгг =-

стФФ =-

1-^ Е

-Гегг + уефф 1-------------------ю

Л гг фф] оп

{ефф+уегг ]-

3(1 -V)

Е

-ю,

1-у^^ ' • -1 3(1 -V)

где модули упругости Е, коэффициент Пуассона V и ю = 3аТ(Т - Т0) различны в частице и матрице. Учитывая это, придем к сопряженной задаче:

Я ( 1 Я(и,г) ^ 1 + у,- Яш,-

Яг I

Яг

(, = 1, 2),

г Яг г = 0: и1 = 0,

г = Я: СТгг,1 = СТгг,2> и1(Я1) = и2(Я1),

г — тс: (г = Я2) и2 = 0, где и, (;' = 1, 2) — радиальные перемещения.

(3)

(4)

Общие решения уравнений (3) запишем в виде: щ = (1 + У,~)ал I (Т - Т.)гЯг + Сиг + ^. (5)

Следовательно, находим деформации:

Ег і = C1i

C2i

r

f + (1 + Vi)«Ti x

1

(Ti(r) - To) —2 I (Ti(r) - To)xdx

r R.

(6)

ЄЄ,І = C1i +

% + (1 + Vi) “2LI (T - To)Xdx.

r2 r2 R.

Далее определяем компоненты тензора напряжений:

a,i = —

1 -v2

C1i (1 + Vi ) -(1 -Vi)

C

(7)

ae,i = «ф-1 (Ti -To)xdx- E«tf (Ti - To) +

r2 R

1 -v,2

C

Ci (1 + Vf) + (1 -Vf )^f

(8)

Очевидно, С12 = С21 = 0 в силу ограниченности функции, остальные постоянные интегрирования находим из граничных условий (9):

(

а

R,

Cii =rT11 (T1(r)-To)rdr

2

R1 o

1-

E2 1 + V, E1 1 + v2

Л

(

1

Л

1 -v, E, (1 + v2)

(

1-

E2 1+ V, E1 1 + v2

Л

(

1

Л

С22 =ал(2 + У1) I (Т1(г) -20)гЯг

0

-----+----------

1 -у1 Е1(1 + v2) Считаем, что каждую из фаз частицы (;' = 1) и матрицу (;' = 2) можно характеризовать своими концентрациями С, . В общем случае между фазами возможен обмен массой, теплом, импульсом; в каждой из фаз возможно образование химических соединений. Ограничимся анализом массопереноса одного из компонентов, который ответственен за формирование переходных слоев между частицами и матрицей (например углерода в случае композиционного материала на основе никель-хромо-вой связки с частицами карбида титана). Учтем в модели влияние напряжений на перераспределение элементов между матрицей и частицей, находящейся в поле напряжений, что аналогично явлению бародиффузии в жидкости [18, 19]. Тогда диффузионная задача примет вид:

dC1 =1 If rD, dC11-B,C, ,

dt r dr I 9r I dr

0 < r < R,

(9)

= I±(rD2 ^ VB2C2 Цт*, R < r < (10)

dt r dr І or I or

0 dCi

r = О 1 r = R:

3r

3C,

= 0, r — <

da **,i

dC,

3r

= o,

-D,—1 + B,C,-----

1 dr 11 dr

= -D

3C2

52C2

da

Эг dr

C = C2 Y,

t = 0: Cj = C0, C2 = 0, где Di = D0i exp(Eai/(RT)) — коэффициенты диффузии выбранного элемента в частицах и в матрице, зависящие от температуры; Bt ~aiD*imi/(p RT) — эффективные коэффициенты переноса под действием напряжений [19]; D* — коэффициент самодиффузии; аг-, mi — коэффициент концентрационного расширения и молярная масса диффундирующего вещества; Y — коэффициент распределения; стkk = стгг + ^; i = 1, 2.

Задачи теплопроводности и диффузии решали численно. Дифференциальные уравнения, входящие в систему (1), (2), (9), (10), аппроксимированы разностными уравнениями, полученная система линейных алгебраических уравнений решена методом прогонки. В расчетах определяли температуру и концентрацию диффу-занта. Компоненты тензоров напряжений и деформации в каждый момент времени рассчитывали с помощью представленного выше аналитического решения.

3. Свойства материалов

Все расчеты, описанные ниже, проводились со следующими значениями параметров (полагали, что 1 — включения TiC, 2 — матрица NiCr) [20]: pj = = 4920 кг/м3, p2 = 8200 кг/м3, csj = 692 Дж/(К-кг), cs2 = 482 Дж/(К-кг), ej = е 2 = 0.5, Xj = 21 Вт/(м-К), X2 = 92.5 Вт/(м • K), R = 8.31 Дж/(моль-К), Т0 = 300 K, Eaj = 79 Дж/моль, Еа2 = 163 Дж/моль, Dj0 = 3.18х х10-11 м2/с, D20 = 9 • 1011 м2/с, С0 = 0.01, ст = 5.67х Х10-8 Вт/(м2^К4). Механические свойства: Ej = 494 ГПа, Е2 = 200 ГПа; vj = V2 = 0.33, аТ j = 8 • 10-6 К-1, аТ2 = = 14 • 10-6 К-1.

4. Обсуждение результатов

Пример распределения температуры и концентрации диффузанта показан на рис. 2. Так как частица и матрица обладают различными коэффициентами теплопроводности, наклоны кривых температуры в них различны (рис. 2, а). Ширина диффузионной зоны существенно меньше размера области изменения температуры (рис. 2, б), что типично для твердых сред. Радиальная компонента вектора смещений (рис. 2, в) непрерывна (что полностью соответствует постановке задачи), максимум смещений находится в матрице вблизи частицы. В процессе перераспределения температуры и концентрации смещения в окрестности границы раздела частицы и матрицы уменьшаются. Подобным образом ведут себя компоненты тензора деформаций (рис. 2, г). При

удалении от границы раздела материалов деформации быстро убывают практически до нуля. Радиальные напряжения (рис. 2, Э), очевидно, также непрерывны, но вследствие различия свойств частицы и матрицы, а также характера распределения температуры и концен-

с(м), \б\

—1 ак = 10

Ж-2

0.008-

5^

0.004-

0.000-

0.9 1.0 1 1 1 1.1 г, мм

аг, ГПа 1 1 ш

-0.2

-0.4 _ п

У/

-^2/

-0.6- У

Уз

( Г ' | ' | ' | ' | ' | ► ) 1 2 3 4 г, мм

Рис. 2. Пространственное распределение температуры (а), концентрации диффузанта (б), компонент вектора перемещений (в), тензора напряжений (г, Э) и тензора деформации (е, ж) для различных моментов времени: ^ =

= 0.002 (1), 0.004 (2), 0.006 (3), 0.01 (4), 0.02 с (5); в1 = В2 = 10-13, д0 = 1000 Вт, гь = 10 3м, R2 = 10 2 м, Н =

= 10-3 м, С0 = 0.01

траций ведут себя различным образом. Тангенциальные компоненты тензора напряжения претерпевают разрыв (рис. 2, е), величина которого зависит от параметров электронного луча и различия свойств материалов.

Рис. 3. Распределение концентрации диффузанта при различных соотношениях коэффициентов переноса В1 и В2 в разных материалах; гь = 1 мм, t = 0.002 (1), 0.004 (2), 0.006 (3), 0.01 (4), 0.02 с (5)

На качественном поведении всех величин плотность мощности потока электронов сказывается слабо, имеют место количественные изменения. Так, увеличение значения плотности мощности источника в 3 раза приводит к повышению максимальной температуры (к моменту времени ti = 0.006 с) почти в 2 раза (по сравнению с рис. 2, а), а также к росту градиента температуры как во включении, так и в матрице, что вызывает рост напряжений и деформаций, значения которых увеличиваются пропорционально #0, т.е. также увеличиваются в 3 раза. Стоит отметить, что максимальные значения компонент тензора напряжения достигаются на границе контакта «матрица - включение», что согласуется с имеющимися в литературе представлениями [21]. Несмотря на большие градиенты температуры вблизи облучаемой поверхности, на границе между включением и матрицей величины градиентов температуры не очень высоки, поэтому изменение #0 при выбранных параметрах в широких пределах оказывает слабое влияние на процесс диффузии.

В модели имеется ряд параметров, которые принципиальны для целей нашего исследования, среди них коэффициенты переноса под действием напряжений и радиус луча. При изменении коэффициентов переноса как в области 1, так и 2 характер распределения концентраций существенно изменяется. Высокие градиенты

температуры (в основном в окрестности включения) и вызванные ими градиенты напряжений существенно влияют на процесс диффузии (рис. 3). Диффузионная зона расплывается в сторону с б ольшим градиентом температуры, если В1 > В2.

Обнаружено, что при уменьшении радиуса луча гь, при условии постоянства энергии, вводимой в вещество, фактически увеличивается доля энергии, приходящаяся на единицу поверхности. Это, в свою очередь, приводит к росту градиента температуры вблизи г = 0 (рис. 4, а), напряжений (рис. 4, б), но к уменьшению зоны прогрева в окрестности частицы в те же моменты времени (рис. 4, б).

Если выделить отдельно максимальное значение а (рис. 5), то можно увидеть, каким образом происходит падение апри уменьшении д0 и увеличении гь. Стоит еще раз отметить, что максимум авсегда приходится на границу раздела «включение - матрица» (г = R).

5. Заключение

В работе предложена модель перераспределения элемента между матрицей и частицей, попавшей в поле действия лазерного излучения. В результате теоретического исследования модели показано, что:

Рис. 4. Температура (а) и первый инвариант тензора напряжений вдоль радиальной координаты (б) в момент времени їі = 0.06 с, q =1000 Вт для различных значений радиуса луча гь = 0.5 (1), 1 (2), 1.5 (3), 2 мм (4)

Рис. 5. Максимальное значение первого инварианта тензора напряжений в зависимости от радиуса луча, #0 = 1000 (1), 2000 (2), 3000 Вт (3)

- уменьшение величины радиуса луча приводит к росту градиента температуры, увеличению напряжений и деформаций в системе;

- возникающие в области высоких градиентов температуры напряжения способствуют перераспределению элементов между частицей и матрицей и более интенсивному протеканию диффузионных процессов в этой области.

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (гос-контракт № 16.740.11.0122).

Литература

1. Белюк С.И., Самарцев В.П., Гальченко Н.К., Дампилон Б.В., Рас-кошный С.Ю., Колесникова К.А. Электронно-лучевая наплавка в черной металлургии // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - Спец. вып. -С.157-160.

2. Полемика И.М., Голковский М.Г., Крылова Т.А., Иванов Ю.Ф., Перовская М.В Формирование структуры металла электроннолучевой наплавки карбидом вольфрама // Перспективные материалы. - 2009. - № 4. - С. 65-70.

3. Панин В.Е., Дураков В.Г., Прибытков Г.А., Белюк С.И., Сви-тичЮ.В., Голобоков Н.Н., Дехонова С.З. Электронно-лучевая наплавка износостойких композиционных покрытий на основе карбида титана // ФХОМ. - 1997. - № 2. - С. 54-58.

4. Крюкова О.Н., Князева А.Г. Влияние динамики поступления частиц в расплав на фазовую структуру и свойства покрытия, формирующегося в процессе электронно-лучевой наплавки // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. вып. - Ч. 2. - С. 205-208.

5. Князева А.Г., Крюкова О.Н. Критические явления при растворении

частиц в расплаве в процессе электронно-лучевой наплавки покрытий // ПМТФ. - 2007. - № 1. - С. 131-142.

6. Иванов Ю.Ф., Коваль Н.Н., Овчаренко В.Е. Электронно-пучковая модификация твердого сплава ТЮ-№Сг. Рельеф поверхности

обработки // Изв. вузов. Черная металлургия. - 2007. - № 12.-С. 59-60.

7. Иванов Ю.Ф., Колубаева Ю.А., Григорьев С.В., Овчаренко В.Е., Коваль Н.Н. Наноструктуризация поверхности твердого сплава ТЮ-№СгА1 электронно-пучковой обработкой // Изв. ТПУ - 2008. -Т. 313. - № 3. - С. 110-113.

8. Князева А.Г., Поболь И.Л., Гордиенко А.И., Демидов В.Н., Крюкова О.Н., Олещук И.Г. Моделирование теплофизических и физикохимических процессов, сопровождающих формирование покрытий в электронно-лучевых технологиях модификации поверхностей металлических материалов // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. -№3. - С. 105-119.

9. Букрина Н.В., Князева А.Г., Овчаренко В.Е., Псахье С.Г. Численное

исследование формирования переходной зоны между частицами и матрицей в процессе неравновесной электронно-лучевой модификации поверхности композиционного материала // Физ. мезо-мех. - 2005. - Т. 8. - Спец. вып. - С. 53-56.

10. Букрина Н.В., Князева А.Г., Овчаренко В.Е. Модификация композиционного материала в условиях электронно-лучевого воздействия с учетом возникновения механических напряжений // Матер. XVI Межд. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам ВМСППС’2009, Алушта, Украина, 25-31 мая 2009 г. - С. 157-159.

11. Букрина Н.В., Князева А.Г., Овчаренко В.Е. Модель взаимодействия атомарного азота с поверхностью металлокерамического сплава в процессе импульсной электронно-лучевой обработки // ФХОМ. - 2011. - № 1. - С. 55-60.

12. Чумаков Ю.А., Князева А.Г. Тепло- и массоперенос в гетерогенной системе «матрица - включения» в условиях импульсной электронно-лучевой обработки // Инженерно-физический журнал. - 2008. -Т. 81. - № 1. - С. 147-156.

13. Александров Е.И., Сидонский О.Б., Ципилев В.П. Влияние выгорания в окрестности поглощающих включений // ФГВ. - 1991. -Т. 27. - № 3. - С. 7-12.

14. Кузнецов В.Г., Стрижак П.А. Зажигание накаленной одиночной частицей жидких углеводородных топлив // Изв. ТПУ - 2008. -№ 4. - Т. 312. - С. 5-9.

15. Кузнецов В.Г., Стрижак П.А. Численное решение задачи воспламенения жидкого пожароопасного вещества одиночной «горячей» частицей // ФГВ. - 2009. - Т. 45. - № 5. - С. 42-50.

16. Розенбанд В.И., Ваганова Н.И. Прочностная модель гетерогенного воспламенения частиц металлов // ФГВ. - 1992. - Т. 28. - № 1. -С. 3-10.

17. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. - М.: Высшая школа, 2005. - 430 с.

18. Князева А.Г. Диффузия и реология в локально-равновесной термодинамике // Мат. моделирование систем и процессов. - 2005. -№ 13. - С. 45-60.

19. Миколайчук М.А., Князева А.Г. Влияние напряжений и деформаций на перераспределение примеси в пластине в условиях одноосного нагружения // ПМТФ. - 2010. - Т. 51. - № 3. - С. 147-157.

20. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергатомиздат, 1991. - 1232 с.

21. Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. - 520 с.

Поступила в редакцию 25.06.2012 г., после переработки 26.03.2013 г.

Сведения об авторах

Чумаков Юрий Александрович, к.ф.-м.н., мнс ИФПМ СО РАН, yura014@rambler.ru Князева Анна Георгиевна, д.ф.-м.н., гнс ИФПМ СО РАН, проф. ТПУ, anna@ispms.tsc.ru