Коэффициенты переноса для трехкомпонентного деформируемого сплава Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3+531+536-1

А.Г. Князева1,2, В.Н. Демидов1,2

Национальный исследовательский Томский политехнический университет1, Томск, Россия Институт физики прочности и материаловедения СО РАН2, Томск, Россия

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО СПЛАВА

Представлены соотношения обобщенных сил, удобные при выводе выражений для потоков тепла и массы в деформируемых средах. Подробный вывод уравнений для потоков дан на примере бинарных и трехкомпонентных систем. На основе термодинамики необратимых процессов и теории Онзагера показано, что число независимых коэффициентов переноса уменьшается при учете симметрии обобщенных дифференциальных уравнений состояния. Даны формулы для всех коэффициентов переноса, связывающие их с независимо определяемыми параметрами: коэффициентами самодиффузии, коэффициентами концентрационного расширения и коэффициентами Соре. Сделаны численные оценки коэффициентов.

Ключевые слова: диффузия, термодиффузия, бародиффузия, термодинамика необратимых процессов, коэффициенты переноса, бинарные и трехкомпонентные системы.

A.G. Knyazeva1,2, V.N. Demidov1,2

National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russia1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, Russia2

FACTORS OF CARRYING OVER FOR THE THREE-COMPONENTAL DEFORMABLE ALLOY

Parities for the generalized forces, convenient for a conclusion of expressions for streams of heat and weight in deformable environments are presented. The detailed conclusion of the equations for streams is given on an example of binary and three-componental systems. On the basis of thermodynamics of irreversible processes and the theory of Onzagera it is shown that the number of independent factors of carrying over decreases at the account of symmetry of the generalized differential equations of a condition. Formulas for all factors of the carrying over, connecting them with independently defined parameters are given: in self-diffusion factors, in factors of concentration expansion and in factors Rubbish. Numerical estimations of factors are made.

Keywords: diffusion, thermodiffusion, barodiffusion, thermodynamics of irreversible processes, carrying over factors, binary and three-componental systems.

Введение

Описание процессов переноса в неравновесных условиях привлекает внимание многих исследователей, что связано в первую очередь с практическими приложениями. В неравновесных условиях поверхно-

стной обработки материалов с использованием потоков частиц, обладающих высокой энергией (ионов, электронов), лазерного излучения, при осаждении покрытий из газовой фазы и плазмы, диффузия, связанная с иными видами переноса, зависит от эволюции всех переменных состояния. Даже если все протекающие в неравновесных условиях явления разной физической природы имеют разные характерные пространственные и временные масштабы, они оказывают влияние друг на друга, и это необходимо учитывать при математическом моделировании.

Известно, что диффузионные потоки элементов зависят не только от градиентов концентраций. Перенос массы может быть связан и с наличием в системе градиента температуры или градиента давления. Внешние поля (электрическое, магнитное, гравитационное) также оказывают влияние на механизм массопереноса. Выражения для диффузионных потоков с использованием аппарата термодинамики необратимых процессов выводились неоднократно как для газов и жидкостей, так и для твердых тел.

Тем не менее при исследовании частных задач возникают вопросы, которые связаны как с невозможностью найти все коэффициенты переноса в имеющейся в распоряжении справочной литературе, так и с невозможностью их непосредственного расчета из так называемых первых принципов, за которым не стояли бы достаточно жесткие ограничения. Излишняя поспешность в выводе формул часто приводит к «переопределенности» систем коэффициентов переноса: независимых среди них оказывается много больше, чем должно быть вследствие принципов симметрии в перекрестных явлениях [1]. Но даже принципа симметрии Кюри, который авторы [1] называют четвертым постулатом термодинамики необратимых процессов (ТНП), оказывается недостаточно для уменьшения числа коэффициентов, которые требуется определить из дополнительных предположений. В теории диффузии в сплавах для этой цели привлекают приближения «идеального», «неидеального», «регулярного» растворов; теорию Вагнера [2] (кстати, также обладающую внутренней симметрией) и т.д.

Покажем далее, что «симметрия» дифференциальных уравнений состояния, следующих из уравнения Гиббса (записанного в любой форме), также приводит к сокращению числа независимых коэффициентов. Последовательный вывод формул для диффузионных потоков позволяет продемонстрировать, что учитывать прямой эффект (ска-

жем, термодиффузию) и «отбрасывать» как несущественную вещь эффект обратный (диффузионную теплопроводность) некорректно.

Переопределение потоков в ТНП

Производство энтропии, связанное с явлениями теплопроводности и диффузии, имеет вид

Зт

ут

- +

( (gk} ту

т к=1 V Vт)

п

X з

-к

(1)

(2)

к=1

где Iт - поток тепла, Iк - диффузионные потоки компонентов, число которых п; gк - их химические потенциалы или парциальные химические энергии (энергии Гиббса), К к - составляющая вектора внешних

массовых сил, действующих на компоненту с номером к. Обобщенная сила, сопряженная потоку тепла, есть

ут

Хт =-—.

т т

Потоку массы соответствует обобщенная сила

X, =-

ґ ( ту — V V т)

-к

В соответствии со вторым законом термодинамики а^ > 0.

Для удобства представления результатов и записи уравнений переноса потоки и «обобщенные термодинамические силы», входящие в (1), переопределяют [3, 4].

Так как

ту

= т

{уgk )т +1

т т

vдT )

ут

ут - gk тг

(дЗА Л V дт )ск

= -*к

(дёк_" У дт )

ут - За ^ =--4кт + За ]ут = -^ут ,

то

т

к=1

где $к - парциальные энтропии, Нк - парциальные энтальпии компонентов, Ск - их массовые концентрации.

(3)

к=1

новое определение потока тепла. Очевидно, что такое переопределение не меняет ни производства энтропии (оставляя его инвариантным), ни потока энтропии.

Принимая гипотезу Онзагера о линейной связи потоков и сил, обеспечивающую неотрицательность производства энтропии, запишем

3 ц = Ьцц ХТ +Х ЬЦк Х к к=1

(4)

(5)

]=1

где

ут

X к =[^ -(Уgt )т ] 4

В рамках расширенной термодинамики [5] и теории термоупругой диффузии [6] обобщением (4), (5) будут соотношения

3 ц = Ьцц ХТ +

П

X

к=1

Ьцк Х к +

ц

X-

]=1

к] х ] ^1к

(6)

(7)

где , ^ - времена релаксации к равновесному протеканию соответствующих процессов, к = 1,2,...,п. Наиболее распространенными являются теории с одним временем релаксации:

1

п

2

^к ¿д ¿г •

Феноменологические коэффициенты (коэффициенты Онзагера), обладающие свойством симметрии

^к] — ^ ]к; ^дк — ^кд ,

могут быть определены на основе эксперимента или рассчитаны с использованием тех или иных гипотез о структуре вещества и характере взаимодействия частиц. Матрица коэффициентов является положительно определенной, что опять же есть следствие неотрицательности производства энтропии.

Так как не все потоки независимы, вместо (6), (7) найдем

3 к ^к1 (Хг - Хп ) + ^кд^д + ¿к^Г, (8)

I-1

1 ! \ ^ д

-£МХ-Хп) + 1,,Х, + • (9)

I-1

При описании неизотермической диффузии вводят в рассмотре-

*

ние теплоты переноса 0* так, чтобы они удовлетворяли системе уравнений

п-1

*

Liq Lqi LikQk•

к •

к=1

В силу свойств матрицы коэффициентов Онзагера эта система уравнений имеет единственное решение.

Определение коэффициентов переноса дадим для самых простых систем - бинарных и трехкомпонентных. Обобщение не представляет особого труда и может быть сделано аналогично.

Заметим, что в литературе имеются многочисленные описания явлений термодиффузии и диффузионной теплопроводности для условий p = const, а также явлений бародиффузии или диффузии под действием градиента напряжений в условиях T = const. Простое «суммирование явлений» приводит к потере слагаемых или к появлению «лишних» независимых коэффициентов.

Бинарная система

Пусть ¿д - ¿к - 0 и имеется два компонента. Тогда из (7), (8) найдем

11 - ¿Ц (Х1 - X 2 )+ ЬЦ X д ,

3д - ¿д1 (Х1 - Х2 )+^ддХд •

Подставим в последние равенства выражения для термодинамических сил:

■>1 - ¿1 (^1 - Г2 + ^1 )т -(Vg 2 )т ) +

3д - ¿Т (Р1 - Р2 + (^1 )т - У2 )т ) + ¿дд ^ •

Энергия Гиббса g системы является функцией температуры, компонент тензора напряжений и состава. В этом случае [7, 8] можем записать

^1 )т - -р-14Уа] + р/УС + Р21УС2 ,

(Vg2 )г --Р-1«2Уа] +Р12УС1 + Р22УС2,

где

р] -

•>к

дС;

V ] )т

а,,

ткСк

(10)

Р] - Рк (как смешанные производные от непрерывной функции). Термодинамические множители gк] зависят от типа раствора, соединения и т. д.

С ,• д 1п у .•

-5д + с] д 1п Ск ’ ^

где у] - коэффициенты активности, тк - молярные массы компонентов.

Следовательно, с учетом того, что УС1 --УС2, термодинамическая сила, вызывающая диффузию, будет иметь вид

X л =

F1 - F2 +

а1 - а2

^-(р1 -р2-р2+р2 )^ci

1. (12)

Термодинамическая сила, сопряженная потоку тепла, не изменяется.

Для изотропной среды тензор коэффициентов концентрационного расширения имеет простой вид

ак - ак5] .

Так как коэффициенты Рк - симметричны, найдем

.§12 _ g 21

mCi

m2C2

или

Ci д ln уі _ C2 д ln у 2 C2 д ln C2 _ C д ln C

2

-1

X л _

Следовательно а -а

Fi - F2 + “ -1

2 Vae. -j^L

lJ m1C1

O , m1C1

S11 - 2 S12 +

m2C2

S 22

VC

В частном случае идеального раствора (это приближение хорошо работает при малых значениях концентрации примеси, но часто с успехом используется и для неидеальных систем)

S11 _ S 22 _ 1 S12 _ S 21 _ 0В соответствии с теорией [3] феноменологический коэффициент Ьц определяется через коэффициент самодиффузии (на основе сравнения с законом Фика):

Ь11 _

Рл11т1с1

R

(14)

Аналогично вводим коэффициент теплопроводности (на основе сравнения с законом Фурье):

L

qq _ л 2 _ •

Тогда в приближении идеального раствора получаем следующие соотношения для потоков:

Л \

рД°1т1С1 Г

ят

V

1 +

тС V т2С2 )

УС

+ ь

Ут

1д ^2

¿

д1

Р -р2 +21=22Уакк - ят

V

1+

\ Л

тС V т2С2 )

УС1

Коэффициент переноса под действием напряжений, определяемый равенством

В1 - (а1 -22 ) ’

(15)

производный от других параметров.

Коэффициент диффузии в приближении идеального раствора

А - А0!

1 + т1С1

V т2С2)

(16)

Коэффициент ¿1д обычно представляют так [4]:

¿Од - сат р.

где Ат - коэффициент термодиффузии. Иногда более удобным оказывается введение коэффициента Соре (размерность коэффициента Соре

есть К )

От

с — т

От —-----.

А

Следовательно,

ьд1 - т2С1Отр - т2С1О1Отр .

В результате имеем

3, --рО^С, + В^Уакк - САЛрУт + р%^(р - Р2), (17)

3д --ХтУт-УС1 + САтОт (а! -а2)Уакк + р(р -Р2), (18)

-,2

* рЯТ

где =---------------БТ

- теплота переноса (Дж/кг).

т1 V т2С2)

Если раствор - неидеальный, то внешне уравнения (17), (18) не изменяются, но появляется функция концентраций в коэффициентах:

А - А0/(С1); в,' -рЯт^ От/(С1),

т1

/(С1)- ё11 - 2ё12 + (.1 * ) ё22 .

т2 (1 - С1)

Вид коэффициента В1 не изменяется. Пользуясь разнообразными теориями, разработанными для сплавов, например [9,10], можем определить функцию /(С) с учетом достаточно тонких физических эффектов.

Интересно отметить, что в уравнении для потока тепла имеется слагаемое, которое формально можно трактовать как перенос тепла под действием градиента напряжений. Коэффициент переноса при градиенте напряжений является производной величиной - вычисляется через коэффициент Соре, коэффициент самодиффузии и коэффициент концентрационного расширения. Из шести коэффициентов переноса совершенно независимыми являются только три: коэффициент само-диффузии, коэффициент теплопроводности, коэффициент термодиффузии (или коэффициент Соре). Действие внешней силы связано с теми же коэффициентами.

Трехкомпонентная система

В этом случае имеем три уравнения для потоков:

31 - Ьц (Х1 - X 3 )+ ¿12 (X 2 - X 3 )+ ¿1д X д ,

3 2 - ¿21 (^ - Xз )+ ¿22 (X 2 - X3 )+ ¿1д X д , (19)

3 д - ¿д1 ( X - X3 )+ ^ 2 ( X! - Xз ^ Xд .

Диагональные коэффициенты определим через коэффициенты самодиффузии:

т р°пт1С1 т рА22 т2С2

ь11 - ~ , ¿22 -

Я Я

В теории диффузии часто принимают [8]

{¿и] « ¿11, ¿22 .

Это позволяет с учетом равенств

(V** )т --а^р"1^' +р‘-УС1 +^С2 + р*УС3 ---а^р-1^' +(Й -р3)VC1 + (р2 -Р5^С2,

к -1,2,3

определить обобщенные силы Xк и представить уравнения для диффузионных потоков в виде

31 --ра^с -ро12 VC2+рАттс [р1 - р3 ]+

+ ^ (а‘ -а3 )?а% - СДАlРVT,

3 2 - -РО21 VCl - рО22 VC2 + Р°^тгС2 [р2 - Р ] +

+ ^С2 (а2 - а3 Ц% - С2О22«т2pVT,

где введены коэффициенты Соре, связанные с коэффициентами термодиффузии соотношениями

о - От 1 о - От 2

«Т1 — ---, Ото —

т1~—»От2 О

А11 А22

и

Ок2 - О°к

Сктк ( )

*к] *кп + ^ \8пп *п])

Сптп

- Окк/к! - парциальные диф-

фузионные коэффициенты.

Аналогично предыдущему определим коэффициенты переноса массы под действием напряжений и феноменологические коэффициенты в уравнении для потока тепла:

АкЩСк (ак -ап)-^^тС(ак -ап)-„ф,

Кт \ V ят

¿д1 - т2с1°11°т1р и Ьд2 - т2с2О22От2р .

Следовательно,

.1° = -рд^с - р^12ус2+в°с°Уакк -

-ОД ^рУТ + Г - ¥п),

а2 - рЛ21УС1 рЛ22УС2 + В2С2Уакк

Л

(21)

а д = -^ УТ - А°УС° - А2УС2 + А^ +

+Тр [Ц °ОД° (Г - Гз) + адБт2 (Г2° - Гз)],

(22)

где

Як -рВТ2$тк1кктк1,

А1 - А°£° + л21бк ,

А2 - Л12Я1 + ^2262 ,

Ад - Т [АЛ^П (а1 -а 3 )+ л22 с 2 БТ 2 (а 2 -а 3 )] •

Из всего множества коэффициентов у нас независимы только че-

расширения легко оцениваются на основе знаний о мольных или атомных объемах диффузантов. Более того, в связанных моделях эти же коэффициенты определяют величины напряжений в диффузионной зоне, связанные с неоднородным распределением концентраций.

В уравнении для потока тепла (22), как и в (18), последнее слагаемое описывает перенос тепла при наличии градиента напряжений. Встречается ли такое явление в природе? Можно ли его «выделить» при экспериментальных исследованиях? Вопрос остается открытым. Соответствующий коэффициент переноса зависит от состава, теплот переноса и коэффициентов концентрационного расширения диффузантов.

Из (20)-(22) с учетом выражений для коэффициентов в них видно, что условие А1 - А2 - 0 в общем случае возможно только тогда, когда теплоты переноса тождественно равны нулю. Это, в свою очередь, означает, что равны нулю коэффициенты Соре или коэффициенты термодиффузии. В соответствии с полученными формулами нельзя пренебрегать перекрестными эффектами по очереди: если есть прямой

тыре: Д°1, _0°2, $г1, Бт2, так как коэффициенты концентрационного

эффект, то обязательно есть и обратный эффект. Условие малости коэффициентов А°, А2 и Ач по сравнению с другими коэффициентами

переноса не следует явно из каких-либо рассуждений и не может быть использовано вследствие их различной размерности.

Как правило, величина коэффициента Соре для электролитов, не-

-2 -3 1

электролитов и газов [4] 10 -10 К- . Для полимеров этот коэффици-

ент существенно выше. Для твердых тел данных найти не удается. Примем для сравнительной оценки всех коэффициентов переноса в системе Бе + С + К при малой концентрации примесей внедрения (С° - 0,03 -

-3 1

углерод; С2 - 0,03 - азот) Бт° - Бт2 - 10 К- . В этом случае можем воспользоваться приближением идеального раствора. В соответствии с данными [11, 12], при температуре 900 °С можно принять

А0° - 3,6 -10-6, Б02 - 2,3 -10-6 см2/с.

Молярные массы (г/моль) т° - 12,011; т2 - 14,007 ; т3 - 55,847 . Следовательно, -3,63-10-6, Б22 -3,32-10-6, Б12 -2,47-10-8,

Б21 -1,84 -10-8 см2/с; Бп - 3,63 -10-9, Бт2 - 3,32 -10-9 см2/(с-К).

Для оценки коэффициентов переноса под действием напряжений воспользуемся приближенными формулами для коэффициентов концентрационного расширения

а к - ° Юк ,

3 ш° + Ш2 + Ш2

где Юк - атомные объемы. Учитывая величины атомных радиусов [12], находим

а° * 0,071; а2 * 0,073; а3 * 0,189.

Следовательно, В° --1,72 -10-°°, В2 --1,26 -10-11 (см2-г)/(с-Дж). Теперь можем определить оставшиеся величины:

# И« ц

Я1 * 6433; е2 * 5424 Дж/см3;

А° * 0,0234; А2 * 0,0182 Дж/(см-с); Ад * 2,62-10-4 см2/с.

Как и следовало ожидать, по абсолютной величине коэффициенты переноса, описывающие перекрестные эффекты, малы. Но в неоднородных системах с высокими локальными градиентами температу-

ры, концентраций и напряжений возможны особенности, которые нужно исследовать с помощью специальных примеров. Перекрестные эффекты могут проявиться и в существенно неравновесных условиях обработки материалов высокоэнергетическими источниками, например в условиях электронно-лучевой обработки, ионной имплантации, лазерного воздействия, когда скорости роста температуры в поверхностном слое превышают сотни и даже тысячи градусов в секунду, что приводит к генерации механических возмущений и связанных с ними особых механизмов переноса.

Заключение

Таким образом, в работе осуществлен последовательный вывод уравнений для потоков тепла и массы для деформируемой среды. Показано, что в уравнении для потока тепла появляется дополнительное слагаемое, отвечающее за перенос тепла под действием градиента напряжений. Этот эффект отличен от того, который приводит к появлению эффекта связанности в уравнении теплопроводности, но вопрос о возможности экспериментального обнаружения эффекта остается открытым. В некоторых ситуациях, по-видимому, роль дополнительного слагаемого сводится к некоторой добавке к коэффициентам теплопроводности и теплотам переноса, подобно тому как иногда сводят роль диффузии под действием градиента напряжений к изменению диффузионных коэффициентов. Использование в качестве уравнений состояния дифференциальных соотношений, следующих из уравнения Гиббса при условии, что энергия Гиббса (или иной производящий термодинамический потенциал) - положительно определенная функция соответствующих переменных состояния, позволяет свести к минимуму число независимых коэффициентов. Так, в трехкомпонентной системе с учетом разнообразных перекрестных эффектов можно выделить как независимые величины коэффициенты самодиффузии, коэффициенты Соре и коэффициенты концентрационного расширения. Все остальные физические величины (теплоты переноса, парциальные коэффициенты диффузии, коэффициенты переноса под действием градиента напряжений и т.п.) легко рассчитать на основе представленных в работе формул. Это возможно, если приняты соглашения о структуре раствора (или сплава), позволяющие на основе известных теорий определять зависимости активностей или химических потенциалов компонентов от состава.

Результат легко обобщается на многокомпонентные системы, на системы с неравновесными вакансиями, на среды с иными реологическими свойствами.

Работа выполнена в рамках Г осударственного контракта № 16.740.11.0122, заключенного в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по лоту «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук по следующим областям: математика; механика; информатика» (шифр «2010-1.2.1-102-017») по теме «Комплексное исследование взаимовлияния процессов переноса и деформирования в условиях воздействия потоков частиц на поверхность металлов» (шифр заявки «2010-1.2.1-102-017-075»).

Библиографический список

1. Колесниченко A.B., Максимов В.М. Обобщенный закон

фильтрации Дарси как следствие соотношений Стефана-Максвелла для гетерогенной среды // Математическое моделирование. - 2001. - Т. 13, № 1. - С. 3-25

2. Вагнер К. Термодинамика сплавов. - М.: Металлургиздат, 1957. - 179 с.

3. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы). - М.: Наука, 1978. - 128 С.

4. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика / пер. с англ. Ю.А. Данилова и В.В. Белого. - М.: Мир, 2002. - 461 с.

5. Non-linear mechanics of materials / J. Besson, G. Cailletaud, G.T. Chaboche [et al.]. - Springer, 2009. - 450 р.

6. Aouadi M. Generalized theory of thermoelastic diffusion for anisotropic media // J. of Thermal Stresses. - 2008. - Vol. 31. - P. 270-285.

7. Князева А.Г. О моделировании необратимых процессов в материалах с большим числом внутренних поверхностей // Физическая ме-зомеханика. - 2003. - Т. 6, № 5. - С. 11-27.

8. Гуров К.П., Карташкин Б.А., Угасте Ю.Э. Взаимная диффузия в многофазных металлических системах. - М.: Наука, 1981. - 350 c.

9. Люпис К. Химическая термодинамика материалов: пер. с англ. (Lupis C.H.P. Chemical thermodynamics of Materials / North-Holland, New York-Amsterdam - Oxford). - М.: Металлургия, 1989. - 503 c.

10. Ершов Г.С., Майборода В.П. Диффузия в металлургических расплавах. - Киев: Наукова думка, 1990. - 224 с.

11. Зайт Т.В. Диффузия в металлах. Процессы обмена мест. - М.: ИЛ, 1958. - 382 с.

12. Физические величины: справ. / под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

References

1. Kolesnichenko A.V., Maksimov V.M. The generalized Darcy law of filtration as a consequence of Stefan-Maxwell relations for a heterogeneous environment [Obobshhennyj zakon fil’tratsii Darsi kak sledstvie soot-noshenij Stefana-Maksvella dlya geterogennoj sredy]. Mathematical Modeling - Matematicheskoe modelirovanie, 2001, Vol. 13, Is. 1, P. 3-25.

2. Vagner K. Thermodynamics of alloys [Termodinamika splavov]. Moscow, 1957, 179 p.

3. Gurov K.P. Phenomenological thermodynamics of irreversible processes (physical basis) [Fenomenologicheskaya termodinamika neobra-timykhprotsessov (fizicheskie osnovy)]. Moscow, Nauka, 1978, 128 p.

4. Kondepudi D., Prigogine I. Modern thermodynamics: from heat engine to dissipative structures, 1998, 506 p.

5. Besson J., Cailletaud G, Chaboche G.T. Non-linear mechanics of materials. Springer, 2009, 450p.

6. Aouadi M. Generalized theory of thermoelastic diffusion for anisotropic media. J. of Thermal Stresses, 2008, Vol. 31, P. 270-285.

7. Knyazeva A.G. On the modeling of irreversible processes in materials with a large number of internal surfaces [O modelirovanii neobrati-mykh protsessov v materialakh s bol’shim chislom vnutrennikh poverkh-nostej]. Physical mesomechanics - Fizicheskaya mezomekhanika, 2003, Vol. 6, Is. 5, P. 11-27.

8. Gurov K.P., Kartashkin B.A., Ugaste Yu.E. Interdiffusion in multi-metallic systems [Vzaimnaya diffuziya v mnogofaznyh metallicheskih siste-mah]. Moscow, Nauka, 1981, 350 p.

9. Lupis C.H.P. Chemical thermodynamics of Materials / North-Holland, New York-Amsterdam - Oxford, 1989.

10. Ershov G.S., Majboroda V.P. Diffusion in molten steel [Diffuziya v metallurgicheskih rasplavah]. Kiev, 1990, 224 p.

11. Zajt T.V. Diffusion in metals. Processes of exchange places [Dif-fuziya v metallakh. Protsessy obmena mest]. Moscow, 1958, 382 p.

12. Physical quantities. Handbook, ed. Igor Grigoriev, E.Z. Meylihova [Fizicheskie velichiny. Spravochnik, pod red. I.S.Grigor'eva, E.Z. Mejlik-hova]. Moscow, 1991, 1232 p.

Об авторах

Князева Анна Георгиевна (Томск, Россия) - доктор физикоматематических наук, профессор, главный научный сотрудник, Национальный исследовательский Томский политехнический университет (634021, г. Томск, пр. Академический 2/4, ИФПМ, e-mail: [email protected]).

Демидов Валерий Николаевич (Томск, Россия) - кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, Институт физики прочности и материаловедения СО РАН (634021, г. Томск, пр. Академический 2/4, ИФПМ, e-mail: [email protected]).

About the authors

Knyazeva Anna Georgievna (Tomsk, Russia) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Chief Scientific Officer, National Research Tomsk Polytechnic University (634021, 2/4, Akademichasky pr., Tomsk, Russia, e-mail: [email protected]).

Demidov Valeriy Nikolaevich (Tomsk, Russia) - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS (634021, 2/4, Akademichasky pr., Tomsk, Russia, e-mail: [email protected]).

Получено 3.06.2011