Внутренности множеств векторных полей со свойствами отслеживания, соответствующими некоторым классам репараметризаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. Б. Тихомиров

ВНУТРЕННОСТИ МНОЖЕСТВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ СО СВОЙСТВАМИ ОТСЛЕЖИВАНИЯ,

СООТВЕТСТВУЮЩИМИ НЕКОТОРЫМ КЛАССАМ РЕПАРАМЕТРИЗАЦИЙ

Изучается структура ^-внутренности множеств векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Показано, что для случая липшицевого свойства отслеживания она совпадает с множеством структурно-устойчивых систем. В случае, если размерность многообразия не превышает 3, аналогичный результат верен для ориентированного свойства отслеживания.

1. Введение

Задача об отслеживании псевдотраекторий связана со следующим вопросом: при каких условиях для любой псевдотраектории динамической системы можно найти близкую к ней траекторию? Изучение данной задачи было начато Д. В. Аносовым [1] и Р. Боуэном [2]. Современное состояние теории отслеживания в значительной степени отражено в монографиях [3, 4].

Отметим, что основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порождаемых диффеоморфизмами, состоит в репараметризации отслеживающих траекторий.

Цель данной статьи — описать структуру ^-внутренности множеств векторных полей, обладающих теми или иными свойствами отслеживания псевдотраекторий.

2. Основные обозначения и результаты

Пусть М — гладкое п-мерное замкнутое (т. е. компактное без края) многообразие с римановой метрикой Обозначим через Т(М) пространство гладких векторных полей на М с С1-топологией. Для векторного поля X € Т(М) будем обозначать через ф(Ь, ж) такую траекторию поля X, что ф(0, ж) = ж.

Определение 1. Пусть ! > 0. Будем называть ¿-псевдотраекторией поля X такое отображение д : И ^ М, что ^^(Ь + т), ф(Ь, д(т))) < ! для |Ь| < 1, т € И..

Введем понятие свойства отслеживания для потоков. Важнейшую роль в свойстве отслеживания для потоков играют репараметризации.

Определение 2. Назовем репараметризацией такой возрастающий гомеоморфизм Н : И ^ И, что Н(0) = 0. Для а > 0 обозначим через И,ер(а) множество репараметризаций, удовлетворяющих неравенству

1) -

¿1 - Ь

Определение 3. Будем говорить, что поток ф обладает ориентированным свойством отслеживания, если по любому е > 0 найдется такое ! > 0, что для любой ¿-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репараметризацию Н, что выполнено неравенство

<1в^ф(Н(Ь),р), д(Ь)) < е, Ь € И.

© С. Б. Тихомиров, 2008

1

< а для Ь1, ¿2 € И, ¿1 = ¿2.

Определение 4. Будем говорить, что поток ф обладает липшицевым свойством отслеживания, если существуют Ьо, ^о > 0 со следующим свойством: для любых ! < £о и ¿-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репараметризацию Н € И,ер(Ьо!), что выполнено неравенство

Будем обозначать через ОгБИ и ЫрБИ множества векторных полей, обладающих ориентированным и липшицевым свойствами отслеживания соответственно. Кроме того, будем обозначать через Б множество структурно устойчивых векторных полей, через Т — множество векторных полей, у которых все точки покоя и замкнутые траектории гиперболичны, и через КБ — множество полей Купки—Смейла [5]. Ясно, что

множества А. Для векторного поля X обозначим через Рег(Х) множество точек покоя и замкнутых траекторий поля X. Для всякой гиперболической траектории р Є Рег(Х) будем обозначать через Шя(р) и Ш“(р) ее устойчивое и неустойчивое многообразие соответственно.

3. Доказательство теоремы 1

Модифицируя технику, примененную для случая диффеоморфизмов [7], легко доказать следующее утверждение.

Лемма 1. 1п^(Ог8Ь) С Т.

Ган доказал [8], что Ш^КБ) = Б. Таким образом, для доказательства теоремы 1 осталось доказать следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть X € Ш^ЫрЯИ) и р, д € Рег(Х). Если г € Ш“(д) П Шя(р), то г — точка трансверсального пересечения Ш“(д) и Шя(р).

Доказательство. Мы приведем доказательство этой леммы для наиболее трудного случая, в котором р и д — точки покоя. В остальных случаях, используя методы, описанные в [7, 9], можно доказать аналогичное утверждение для ориентированного свойства отслеживания.

Лемма 3. Пусть X € Ш^ОгБЬ). Пусть 71 — замкнутая траектория поля X, а 72 € Рег^). Пусть го € Ш*(71) П ^“(72). Тогда го — точка трансверсального пересечения Шя(71) и Ш“(72).

Нам понадобятся две элементарные технические леммы, доказательства которых мы опустим.

Рассмотрим на плоскости И2 поток <^>(Ь, ж), порожденный линейной автономной системой вида

Лемма 4. Для любых е, Ь > 0 существуют такие положительные числа Т = Т(е, Ь) и ¿о = ¿о(е, Ь), что если

dist(^(h(t),p), g(t)) < L0d, t Є R.

LipSh с OrSh.

Для любого множества A С F(M) будем через Int1(A) обозначать ^-внутренность

В [6] показано, что S С LipSh. Так как множество S является С1-открытым, S С

Int1 (LipSh). Сформулируем основные результаты данной статьи:

Теорема 1. S = Int1 (LipSh).

Теорема 2. Если dimM < 3, то выполнено равенство S = Int1(OrSh).

х Є И2, где а > 0 и Ь = 0.

Для точки х Є И2 \ {0} будем обозначать через а^(х) точку х/|х| Є Б1.

d < do, xo,xi Є R2, |x0| > d, h(t) Є Rep(Ld),

|у>(і, хо) — у>(^(і),хі)| < Ьй при і Є [0, Т], (1)

то выполнено неравенство | aгg(xl) — а^(хо)| < є.

Одномерным (и более простым) аналогом леммы 4 является следующее утверждение, относящееся к дифференциальному уравнению х = ах на прямой и к его потоку у>(і, х) = хе“4.

Лемма 5. Для любых є, Ь > 0 существуют такие положительные числа Т = Т(є, Ь) и ¿о = ¿о (є, Ь), что если

й < ¿о, хо,хі Є И, |хо| > ¿, ^(і) Є И.ер(Ьй),

и выполнено неравенство (1), то выполнено неравенство

\х\ - ж0|

|ж0| < Є'

Приступим к доказательству леммы 2. Предположим противное: пусть г — точка нетрансверсального пересечения Ш“(д) и Шя(р). В [7] и [9] показано, что в любой С1-окрестности поля X найдется такое поле X', что р и д — гиперболические точки покоя поля X', г —точка нетрансверсального пересечения Ш“(д) и Шя(р) и поле X' линейно в некоторых окрестностях N и N точек р и д соответственно. Поскольку X Є Іп^ЬірБЬ), можно выбрать X' также принадлежащим Іп^ЬірБЬ). Для дальнейшей простоты изложения переобозначим X' через X, а поток, порожденный X', через ф. В дальнейшем, в ходе доказательства мы будем несколько раз подобным образом возмущать поле X, оставляя его в Іп^ЬірБЬ) и переобозначая новое поле через X, а поток через ф.

Отождествим окрестности N и N с пространством И”. Введем в N и N такие локальные координаты (у, г) и (£, п), что р и д — начала координат в N и N, а матрицы Якоби в этих координатах имеют вид (возможно для этого придется возмутить поле X) DX(р) = diag(Ap,Bp), где Ке(А;) < 0 для собственных чисел Ар, Ке(А;) > 0 для собственных чисел Вр, и = diag(Аl,..., Аи1, 5і,..., 5и2), где Аі,..., Аиі Є И и 5; -матрицы 2 х 2, имеющие вид

= ^ ^ аЬ^ , где а; > 0 и Ь; = 0, З Є {1,..., и2}.

Аналогично, DX(д) = diag(Aq, ), где Ке(А;) > 0 для собственных чисел ;

Ке(А;) < 0 для собственных чисел и = diag(^l,..., ^Я1, 5і,..., 582), где

^1,..., ^Яі Є И и 5; — матрицы 2 х 2, имеющие вид

5 = ( а —Ь; ), где а; < 0 и 6; =0, І Є{1,...,Й2}.

V Ь; а; /

Таким образом, в этих окрестностях N и N (а в дальнейшем мы будем считать, что все рассмотрение ведется в объединении N и N и малой окрестности траектории точки г) верно следующее:

Ш8(р) = {г = 0}, Ш“(р) = {у = 0}, Ш8(д) = {п = 0}, Ш“(д) = {£ = 0}.

Введем обозначения: Бр = Шя(р), = Ш“(р), Бд = Шя(д), = Шя(д). Пусть при

этом Бд = Б(і) ® • • • ® Б(), где I = ві + в2 и Б^і),..., Б^ —одномерные или двумерные

инвариантные относительно DX(д) подпространства. Аналогично, Цр = Цр^ ® ••• ®

т-т(т) . т-т(і) т- т(т)

ир , где т = и і + и и ир ,..., ир —одномерные или двумерные инвариантные относительно DX(р) подпространства.

Обозначим для і = 1,..., I через П;) проекторы на Б(;) параллельно Цд ф ) 0 • • • © £д; і) 0 £(;+і) 0 • • • 0 Б^г). При этом будут выполнены равенства

П(;)Б(;) = Б(;); П(;)П(к) =0, где і, к = 1,..., І, і = к.

Обозначим через Пд проектор на Бд параллельно Цд: Пд = П(і) + • • • + П(1).

Пусть П^і),..., ПРт) —проекторы на ирі),..., Црт) соответственно. Верно следующее:

П^Ц« = Ц^, П«Прк) =0, где і, к = 1,..., т, і = к.

Обозначим через Пр проектор на Цр параллельно Бр: Пр = П^і) + • • • + пР ).

Выберем на траектории ф(і, г) точки ар Є Жр, ад Є N таким образом, чтобы для любого і > 0 выполнялись включения ф(і, ар) Є Жр, ф(—і, ад) Є N. При этом для некоторого т > 0 будет выполнено равенство ар = ф(т, ад). Пусть «р = X(ар), «д = X(ад). Ясно, что «р Є Бр, «д Є Цд.

Пусть £р —гиперплоскость в Бр, ортогональная «р, а £р — аффинное (п — 1)-мерное подпространство £р = ар + £р + Цр. Аналогично, £д —гиперплоскость в Цд, ортогональная «д, а £д — аффинное (п — 1)-мерное подпространство £ д = ад + £д + Бд. Ясно, что £р и £ д не имеют контакта с полем X в малых окрестностях точек ар и ад. Обозначим через К : £ д ^ £р соответствующее отображение Пуанкаре.

Возмущением поля X и выбором координат около куска траектории ф( [о, т], ад) можно добиться того, чтобы

— выполнялось равенство К (х) = ф(т, х) для х Є £ д, близких к ад;

— отображение К было линейным (при естественном отождествлении £ д с £д © и £р с £р © Цр).

Ясно, что в этом случае

Т“р Ш“(д)= К £ д + «р и Т“р Ш 8(р)=£р + «р. (2)

Нетрансверсальность пересечения Ш“(д) и Шя(р) в точке ар означает, что Т“р Ш“(д) + Т“РШя(р) = И”. Ввиду соотношений (2) это означает, что «р + £р + К £д = И”. Отсюда, ввиду равенства «р + £р = Бр, следует, что

ПрК £ д = Цр. (3)

Из соотношения (3) следует, что при некотором і Є {1, . .., т} выполнено соотношение Пр^ К £д = Црг). Мы рассмотрим наиболее сложный случай, в котором dim Црг) = 2 и dimПPг) К £д = 1. Обозначим через ер Є Црг) единичный вектор, перпендикулярный Пр^ К £д. Обозначим через Прр проекцию на прямую, проходящую через вектор ер, параллельно Пр^К £д. Из выбора ер следует равенство

прр к а д = {0}.

(4)

93

Любой вектор x £ Еq представим в виде x = nqx + у, где y £ Sq. Отсюда следует, что ПрР Kx = Прр K(nqx + у) = Прр Knqx + Прр Ky. Из равенства (4) следует, что

ПррKx = ПрРKnqx для x £ Е q. (5)

Ввиду того, что Ep = KЕ q = K( Eq + Sq), выполнено соотношение

ПрР KSq = {0}. (6)

В дальнейшем мы будем ссылаться лишь на соотношения (5) и (6); разбор других случаев отличается лишь выбором вектора ep.

Отождествим прямую, проходящую через ep, с вещественной прямой и будем считать, что ПрРep = 1. Выберем такой единичный вектор eq £ Sq, чтобы для всех

j £ {1, .. ., 1} выполнялись следующие соотношения:

1) п"\ = 0, если ПрРKS" = {0};

2) ПрРKп"eq < 0, если ПрРKS(j) = {0}, при этом если dim Sqj) = 2, то eq выберем

таким образом, чтобы П" eq ± КегПрР KП^.

Из (6) следует, что существует eq = 0. Для всякого d > 0 рассмотрим псевдотраекторию g(t) следующего вида:

{ф(£, aq + deq), t < 0,

^(t, aq), 0 < t < т,

^(t, ap + dep), t > т.

Ясно, что существует такая константа Ci > 1, зависящая лишь от потока ф и не зависящая от выбора d, ep, eq, что g(t) будет Cid-псевдотраекторией потока ф.

Предположим, что поле X обладает липшицевым свойством отслеживания с константами Lo и Do. Пусть согласно нашему предположению псевдотраектория g(t) при Do/Ci > d > 0 отслеживается траекторией точки wq с репараметризацией h(t) £ Rep(LoCid). При этом выполнено неравенство

dist^(h(t), wq),g(t)) < L0C1d, t £ R. (7)

Ясно, что траектория точки wq пересекает Е q. Обозначим точку пересечения через ^. Из неравенства (7) следует, что найдется такая константа C2, не зависящая от d, что ^ = ф(Н, wq) при некотором |H| < C2d. Траектория точки ^q будет отслеживать псевдотраекторию g(t) с репараметризацией класса Rep(L'Cid), где L' = (LoCi + C2)/Ci. Для простоты дальнейшего изложения переобозначим ^q через wq и L7 через Lo.

Определим £ Ер следующим образом: = Kwq = ф(т, wq). Из включения g(T) £

Ер и из неравенства (7) при t = т следует, что dist^(h(T), wq), Ер) < LoCid. Ясно, что в этом случае существует такая константа C3, не зависящая от d, что = ф(^(т)+H, wq)

при некотором |H| < C3d.

Пусть ф"Ч x) = П"ф(t, П^) —проекция потока ф на подпространство Sqj). Ясно, (")

что фд задается линейным векторным полем до тех пор, пока траектория не покидает окрестность Nq. Аналогично вводится фр(^ x) = П^ф^, Пр^).

Возьмем £ = п/4 и Ь = С^Ьо + 1. Применим к этим числам и потокам фр(4, ж) и (—4, ж) при 2 £ {1,...,1} леммы 4 и 5. Найдем такие числа Т = Т (£,Ь) и ¿о = ¿о(£, Ь), что утверждение лемм 4 и 5 будет выполнено для данных Т и ¿о для всех рассматриваемых систем.

Выберем такое ¿1 £ И., что ¿о > ¿1 > 0 и для любого с! < ¿1 выполнены неравенство (7) и включения

В(ЬоС1й, ф(г, ад + ¿ед)) С Жд при 0 > г > —2Т

и

В(ЬоС1й, ф(г, ар + ¿вр)) С при 0 < г < 2Т,

где В(а, ж) —шар радиуса а с центром в точке ж.

Отсюда и из неравенства (7) следует, что при 0 < г < Т выполнены включения

ф(^(— 4),Шд ) £ Жд и ф(^(г + 4) — Л(т ),Шр) £ Жр.

Таким образом, интересующие нас куски траектории и псевдотраектории лежат в и Жд.

Из неравенств (7) и из определения $(г) следует, что

Ф^Л.^), Тод) — фд?) (4, ад + ¿вд )|< ЬоС^ при — Т < г < 0, 2 £{1,...,1}.

Покажем, что ПррКПд^)йед и ПррКПд,7'')шд одного знака. Рассмотрим более сложный случай, когда ё1ш= 2. Применим лемму 4 к потоку фд?)(—г, ж) с жо^ = Пд7')(йед) и ж1'') = Мы видим, что | а^ж^'1) — а^жо^)| < £ = п/4. Из выбора ед следует,

что в д и ш д лежат в одной полуплоскости относительно КегПрр КП д5). Отсюда следует, что ПррКПд^в д и ПррКП^шд одного знака, т. е.

ПррКП^Шд < 0. (8)

Аналогично показывается, что Прршр и Прр¿ер одного знака, т.е. Прршр > 0. Складывая неравенства (8) для всех 2 £ {1,...,1}, получим неравенство ПррКПдшд < 0. Из (5) следует, что ПррКш д < 0, однако ПррКш д = Прршр > 0. Это противоречие доказывает лемму 2 и теорему 1.

4. Доказательство теоремы 2

Для доказательства теоремы 2 нам понадобится две дополнительные леммы. Лемма 6. Пусть р и ц — гиперболические точки покоя векторного поля X, при этом точка р не является стоком. Пусть г = Ш“(ц) П Шя(р). Предположим, что в некоторой окрестности V точки г выполнено включение

Ш“(ц) П V С Ш8(р) П V. (9)

Тогда X £ М^ОгВЬ).

Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что г £ Шгяос(р) (где Ш;0с(р) и Ш“с(р) — соответственно, локально устойчивое и локально неустойчивое многообразие точки р). Рассмотрим произвольную точку а £ Ш“ (р). Выберем такое £ > 0, что

1) dist(a, Wsloc(p)) > £ и B(e, r) С V;

2) траектория любой точки x £ Wu(q) при стремлении времени к —то покидала бы

£-окрестность точки q.

Для произвольных to,ti > 0 рассмотрим псевдотраекторию g(t) следующего вида:

9(0= |ф(*'Г)' * < To'

|^(t — To — Ti, a), t > To.

Поскольку ф(*, r) ^ p при t ^ то и ф(*, a) ^ p при t ^ —то, для всякого d > 0 найдутся такие To и Ti, что g(t) будет d-псевдотраекторией.

Покажем, что для любой репараметризации h(t) и точки x £ M найдется такое t £ R, что dist(g(t), ф(^(*), x)) > £. Предположим противное, тогда выполнено неравенство

dist(g(t), ф(^(*), x)) < £, t £ R. (10)

Поскольку g(t) ^ q при t ^ —то, из неравенства (10) следует, что x £ Wu(q). Подставив t = 0 в (10), получим неравенство dist(r, ф(Л.(0), x)) < £. Отсюда и из соотношения (9) следует, что ф(^(0)^) £ W*oc(p), а значит для любого t > 0 выполнено включение ф^*)^) £ W;Oc(p). Но тогда, исходя из выбора a, при t = To + Ti не выполнено неравенство (10). А отсюда следует, что X £ Inti(OrSh).

Лемма 7. Пусть p, q — гиперболические точки покоя векторного поля X £ Inti(OrSh) и при этом dimW“(p) = 1. Пусть r £ W“(q) П Ws(p). Тогда r —точка трансверсального пересечения Wu(q) и Ws(p).

Доказательство. Предположим, что r —точка нетрансверсального пересечения Wu(q) и Ws(p). По аналогии с доказательством леммы 2 можно считать, что

1) поле X линейно в некоторой окрестности U точки p и при этом r £ U;

2) в некоторой окрестности V точки r многообразие Wu(q) имеет вид r + K, где K — некоторое линейное подпространство.

Поскольку Wu(q) и Ws(p) в окрестности V представляют собой аффинные пространства и при этом dim Ws(p) = dim M — 1, из нетрансверсальности пересечения W“(q) и Ws(p) следует, что W“(q) П V С Ws(p) П V. Из этого соотношения и из леммы 6 следует, что X £ Inti(OrSh).

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим многообразие M размерности dim M < 3. По аналогии с доказательством теоремы 1 нам достаточно доказать, что если X Inti(OrSh), p, q £ Per(X) и r £ Wu(q) П Ws(p), то r — точка трансверсального пересечения Ws(p) и Wu(q). Если p или q является замкнутой траекторией, то данное утверждение следует из леммы 3. Таким образом, можно считать, что p и q — точки покоя. Предположим, что dim M = 3 (доказательство для случаев dim M = 2 и dim M = 1 аналогично). Возможны следующие случаи.

1. Хотя бы одно из многообразий Ws(p) и W“(q) имеет размерность 3. Тогда их пересечение является трансверсальным.

2. Хотя бы одно из многообразий Ws(p) и Wu(q) имеет размерность 2. Не умаляя общности, можно считать, что dim Ws(p) = 2. Тогда из леммы 7 следует, что пересечение Ws(p) и Wu(q) трансверсально.

3. Оба многообразия Ws(p) и Wu(q) имеют размерность 1. В этом случае каждое из них представляет из себя траекторию некоторой точки, а значит, Ws(p) = Wu(q). Из леммы 6 следует, что X £ Inti(OrSh).

Теорема 2 доказана.

5. Заключение

В статье описана структура ^-внутренности множеств векторных полей, обладающих липшицевым и ориентированным свойствами отслеживания.

Литература

1. Аносов Д. В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем // Труды 5-й Межд. конф. по нелин. колеб. Киев. 1970. Т. 2. С. 39-45.

2. Bowen R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Berlin, 1975.

3. Pilyugin S. Yu. Shadowing in dynamical systems. Berlin, 1999.

4. Palmer K. Shadowing in Dynamical Systems. Theory and Applications. Dordrecht—Boston— London, 2000.

5. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальны уравнений. Л., 1988.

6. Pilyugin S. Yu. Shadowing in structurally stable flows // Journ. Differ. Equat. 1997. Vol. 140. P. 238-265.

7. Pilyugin S. Yu., Rodionova A. A., Sakai K. Orbital and weak shadowing properties // Discr. Contin. Dyn. Systems. 2003. Vol. 9. P. 287-308.

8. Gan S. Another proof for the C1 stability conjecture for flows // Sci. China Ser A. 1998. Vol. 41. P. 1076-1082.

9. Lee K., Sakai K. Structural stability of vector fields with shadowing // Journ. Differ. Equat. 2007. Vol. 232. P. 303-313.

Статья поступила в редакцию 18 мая 2008 г.