Динамические системы с липшицевыми обратными свойствами отслеживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ЛИПШИЦЕВЫМИ ОБРАТНЫМИ СВОЙСТВАМИ ОТСЛЕЖИВАНИЯ

С. Ю. Пилюгин1, Г. И. Вольфсон2, Д. И. Тодоров3

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

3. С.-Петербургский государственный университет, студент, [email protected]

1. Введение. Задача об отслеживании приближенных траекторий (псевдотраекторий) динамических систем точными траекториями — одна из интенсивно изучаемых задач современной глобальной теории динамических систем (см., например, монографии [1, 2]). В последнее время столь же интенсивно изучается задача об обратном отслеживании, в которой фиксируется класс методов, порождающих псевдотраектории, и ставится вопрос о том, можно ли аппроксимировать любую точную траекторию траекторией любого метода из данного класса (см. [3-5]).

Хорошо известно, что структурно устойчивая система обладает свойствами отслеживания и обратного отслеживания, и при этом эти свойства липшицевы [1, 4].

Совсем недавно было показано, что из наличия свойства липшицева отслеживания следует структурная устойчивость системы [6]. В данной работе мы показываем, что аналогичное утверждение верно и для липшицева свойства обратного отслеживания относительно двух классов методов.

2. Свойства обратного отслеживания. Пусть / — гомеоморфизм метрического пространства (М, &б^.

Как обычно, будем называть псевдотраекторией динамической системы, порожденной гомеоморфизмом /, последовательность {Хк ,к € Ъ}, для которой выполнены неравенства

^(хк+1,/(Хк)) <й, к € Ъ. (1)

Мы будем рассматривать свойства обратного отслеживания псевдотраекторий, порожденных двумя классами методов.

Будем называть ^-методом класса 0Я семейство непрерывных отображений {фк : М ^ М, к € Ъ}, для которого выполнены неравенства

ё1в!;(фк(х), /(х)) < й, х € М, к € Ъ. (2)

Последовательность {хд € М} называется траекторией ^-метода {фк} класса 08,

если

Хк+1 = фк (Хк), к € Ъ.

Будем называть ^-методом класса 0( семейство непрерывных отображений {фк : М ^ М, к € Ъ}, для которого выполнены неравенства

&б^/(фк(х)),фк+1 (х)) < й, х € М,к € Ъ. (3)

© С. Ю. Пилюгин, Г. И. Вольфсон, Д. И. Тодоров, 2011

Последовательность {хд € М} называется траекторией ^-метода {фк} класса 0(, если существует такая точка х € М, что

хк = фк (х) , к € Ъ.

Из определений немедленно следует, что любая траектория ^-метода класса 0Я или 04 является й-псевдотраекторией /.

Будем говорить, что гомеоморфизм / обладает липшицевым свойством обратного отслеживания на траектории точки р € М относительно класса 0Я (класса 0(), если существуют такие положительные константы йо,Ь, что для любого й-метода {фк} класса 0Я (класса 0() с й ^ йо найдется такая траектория {хд} метода {фк}, что выполнены неравенства

^(хд;,/к(р)) < Ьй, к € Ъ. (4)

Будем говорить, наконец, что гомеоморфизм / обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно класса 0Я (класса 0(), если он обладает лип-шицевым свойством обратного отслеживания на траектории любой точки р € М относительно этого класса.

Замечание. Отметим, что в данном выше определении не предполагается, что константы йо, Ь одни и те же для разных точек р € М.

В работе [4] было показано, что структурно устойчивый диффеоморфизм гладкого замкнутого многообразия обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно некоторых классов методов (с одними и теми же константами йо, Ь для всех точек р € М).

Напомним, что диффеоморфизм / многообразия М называется структурно устойчивым, если существует такая окрестность и диффеоморфизма / в С ^топологии, что любой диффеоморфизм д € и топологически сопряжен с / (подробнее о структурно устойчивых диффеоморфизмах написано, например, в книге [7]).

В данной статье мы обращаем теоремы статьи [4] для классов методов 0Я и 01 и показываем, что если диффеоморфизм гладкого замкнутого многообразия обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно этих классов методов, то он структурно устойчив.

Наше доказательство использует два известных результата, принадлежащие Р. Мане и В. А. Плиссу. Сформулируем их.

Будем обозначать через ТрМ касательное пространство к многообразию М в точке р.

Фиксируем точку р € М и рассмотрим два линейных подпространства пространства ТрМ:

В+(р) = {V € ТрМ : |£/к(р>| ^ 0, к ^ +х}

и

В-(р) = {V € ТрМ : |£/к(р>| ^ 0, к ^-х}.

Будем говорить, что для диффеоморфизма / в точке р выполнено аналитическое свойство трансверсальности, если

В+ (р) + В-(р) = ТрМ. (5)

Теорема Мане [8]. Диффеоморфизм / структурно устойчив тогда и только тогда, когда аналитическое свойство трансверсальности выполнено в любой точке р € М.

Рассмотрим семейство линейных изоморфизмов

А = {Ак : М" ^ М", к Є Ъ}

и предположим, что существует такая константа N > 0, что ||Ак У, ||А- 1у ^ N. Фиксируем два индекса к, I € Ъ и обозначим

Положим

В+(А) = {V Є М" : |Ф(к, 0Н ^ 0, к ^ +х}

и

В-(А) = {V Є М" : |Ф(к, 0>| ^ 0, к ^ -то}.

Теорема Плисса [9]. Следующие два утверждения эквивалентны:

(а) для любой ограниченной последовательности {^ Є М", к Є Ъ} найдется такая ограниченная последовательность {ук Є М", к Є Ъ}, что

Ук+1 = АкУк + ^к , к Є Z;

(7)

(Ь) последовательность А гиперболична на каждом из лучей [0, +х) и (-х, 0] (см. определение в [10]), и пространства В+(А) и В-(А) трансверсальны.

Замечание. Теорема Плисса доказана для линейных систем дифференциальных уравнений, однако она верна и в приведенной выше формулировке (см. [10]).

Вначале мы докажем утверждение, относящееся к липшицеву свойству обратного отслеживания на траектории одной точки (ограничившись при этом случаем диффеоморфизма евклидова пространства).

Пусть / —диффеоморфизм пространства М = М” и пусть р € М. Обозначим

обладает следующим свойством: по любому е > 0 можно указать такое 6 > 0, что

Теорема 1. Если выполнено условие (С) и диффеоморфизм / обладает липши-цевым свойством обратного отслеживания на траектории точки р относительно любого из классов методов 0Я и 04, то в точке р выполнено аналитическое свойство трансверсальности.

Наш основной результат таков.

Теорема 2. Если диффеоморфизм / гладкого замкнутого многообразия обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно любого из классов методов 0Я и 04, то / структурно устойчив.

|«к(х)| ^ ф|, |х| ^ к Є Ъ.

3. Доказательство теоремы 1. Докажем, что при наших предположениях для последовательности матриц Ад выполнено утверждение (а) теоремы Плисса.

Фиксируем ограниченную последовательность {^д € М”, к € Ъ}; пусть для определенности |^к | ^ 1.

Рассмотрим вначале случай класса методов 0Я. Выберем такое е > 0, чтобы выполнялось неравенство

е(2Ь + 1) < 1. (8)

Используя условие (С), найдем такое й ^ йо/2, что

|«к(х)| ^ е|х|, |х| ^ (2Ь + 1)й, к € Ъ.

Выберем такую непрерывную функцию в(а), определенную при а ^ 0, что в(а) = 1 при а ^ 2Ьй, в(а) = 0 при а ^ (2Ь + 1)й и 0 ^ в(а) ^ 1.

Определим непрерывные отображения фд : М” ^ М” формулой

фк(рк + х) = рк+1 + АкХ + в(|х|)й^к + (1 - в(|х|))«к(х), к € Ъ.

Ясно, что /(рк + х) и фк (рк + х) совпадают при |х| ^ (2Ь + 1)й, поэтому величину

|/(рк + х) - фк (рк + х)|

следует оценивать лишь при |х| ^ (2Ь + 1)й. Но в этом случае

|/(рк + х) - фк (рк + х)| < |й^к | + |ак (х)| < й + е|х| < 2й

(см. неравенство (8)). Следовательно, последовательность {фк} является 2й-методом класса 0Я. Из выбора й (напомним, что й ^ йо/2) и из нашего предположения следует, что существует траектория {хд } этого метода, для которой выполнены неравенства |хд - рк | < 2Ьй.

Положим и>к = хд - рк. Так как |и>д | ^ 2Ьй, верны равенства

фк (хд) = фк (рк + ^к) = рк+1 + Ад ^к + й^к.

Сравнивая их с равенствами

фк (хк ) Хк+1 рк+1 + ^к+1,

мы видим, что

^к+1 = Ад^к + й^к .

Ясно, что векторы уд = ^к/й удовлетворяют равенствам

Ук+1 = Ак Ук + ^к

и оценкам |ук| ^ 2Ь.

Рассмотрим теперь случай класса методов 04.

Фиксируем натуральное число т и определяем векторы ад, - т ^ к ^ т, равенствами

ад+1 = Ад ад + й^к, -т ^ к ^ т - 1, (9)

с а-т = 0. Ясно, что в этом случае существует такое число К > 0 (зависящее от т и Ад, |к| ^ т), что |ад | ^ Кй, |к| ^ т.

Построим метод класса 0t следующим образом: положим фд (ж) = рд + ад при

|k| < m, фт+д(ж) = fд(pra + am) при k > 0 и ф_т+д(ж) = fд(р_т + a_m) при k < 0

(таким образом, отображения фд постоянные).

Тогда отображения (f (фд) — фд+1)(ж) также постоянные. Так как

f (фд )(ж) = f (рд + ад) = рд+1 + Ад ад + ад (ад)

при —m ^ k ^ m — 1 и |ад | ^ Kd, существует такое d ^ do/2, что

|(f (фд) — фд+i )(ж)| < |ад+1 — Ад ад | + |ад (ад )| < 2d, —m < k < m — 1

(заметим, что d зависит от m). Для остальных значений k

|(f (фд) — фд+1)(ж)| = 0

Таким образом, при выбранном d последовательность {фд } является 2d-методом класса 0t.

Согласно нашему предположению существует такое ж, что если жд = фд (ж) и w = жд — рд, то |и>д | ^ 2Ld. Отметим еще раз, что все построенные объекты зависят от m.

Так как жд = рд + ад for |k| ^ m, верны равенства

W+1 = жд+1 — рд+1 = ад+1 = Ад ад + dzt = Ад w + d^, —m < k < m — 1.

Рассмотрим Удт) = и>д/d (в обозначении мы подчеркиваем отмеченную выше зависимость от m). Тогда |y(m)| ^ 2L и

У(+1 = Адy(m) + ^д, —m < k < m — 1. (10)

Применяя диагональный процесс и переходя в равенствах (10) к пределу при m ^ ж (не равномерному по k!), мы получаем такую последовательность {у д, k G Z}, что |у д | < 2L и

Уд +1 = А дуд + z д, k G Z

Очевидно, для последовательности A = {Ад = Df(рд)} пространства B+(A) и B-(A), о которых говорится в теореме Плисса, совпадают с пространствами В+(р) и В-(р) из теоремы Мане. Теперь утверждение теоремы 1 следует из импликации (а)^(Ь) в теореме Плисса.

4. Доказательство теоремы 2. Основная идея доказательства теоремы 2 та же, что при доказательстве теоремы 1 — мы показываем, что если выполнено липшице-во свойство обратного отслеживания, то в каждой точке выполнено аналитическое условие трансверсальности, после чего структурная устойчивость диффеоморфизма f следует из теоремы Мане.

Так как основные конструкции в доказательстве те же, что в теореме 1 (с точностью до применения экспоненциального отображения для линеаризации задачи), мы отраничимся лишь случаем класса методов 0t.

Пусть exp — стандартное экспоненциальное отображение на касательном расслоении M и пусть expx — соответствующее отображение

TxM ^ M.

Фиксируем точку р € М, обозначим рд = /к (р) и рассмотрим отображения ^к = ехр-1+1 о/ о ехррк : Трк М ^ Трк+1 М.

Из стандартных свойств экспоненциального отображения следует, что Б ехрх(0) = Ы; поэтому

Б^к (0) = Б/(рк )Ак.

Так как М компактно, для любого е > 0 мы можем найти такое 6 > 0, что если | V | ^ 6, то

|^к(V) - АкV < е|«|. (11)

Обозначим через В (г, х) шар в М радиуса г с центром в точке х и через Вт (г, х) — шар в ТХМ радиуса г с центром в 0.

Существует такое г > 0, что для любой точки х € М отображение ехрх —диффеоморфизм шара Вт (г, х) на его образ и ехр-1 —диффеоморфизм шара В (г, х) на его образ. Кроме того, мы можем считать, что г обладает следующим свойством: если V, т € Вт (г, х), то

^^ехр^-у), ехрх(т)) ^ 21V - т|; (12)

если у, г € В(г, х), то

| ехр-1(у) - ехр-1(г)| < 2^%, г). (13)

Всюду далее в доказательстве мы будем считать, что рассматриваемые значения й столь малы, что все возникающие точки, близкие к точкам рд, и все векторы в пространствах М принадлежат соответствующим шарам В(г,рд) и Вт (г,рд). Рассмотрим такую последовательность векторов яд € М, что |гд | ^ 1. Фиксируем натуральное число т и малое положительное число й. Так же, как в доказательстве теоремы 1 (случай класса 0(), определим векторы ад € М, -т ^ к ^ т, с а-т = 0 равенствами (9).

Построим метод класса 0( следующим образом: положим фд (х) = ехррк (ад) при |к| < т, фт+к(х) = /к(фт) при к > 0 и ф-т+к(х) = /к(ф-т) при к < 0.

Оценим ^!;(/(фк), фк+1) при -т ^ к ^ т - 1.

Так как

^к(ад) = ехр-к1+1 (/(фк)) и фк+1 = ехр-к1+1 (ад+1), из оценки (3) следует, что

dist(/(фк ), фк+1) ^ 2|^к (ак ) - ак+1| ^ 2|Ак ак - ак+1| + 2|^к (ак ) - Ак ак |.

Норма первого слагаемого не превосходит 2й (так как |гд | ^ 1); из оценки (11) вытекает, что норма второго слагаемого может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с й за счет малости й (напомним, что | ад | ^ Кй).

Таким образом, если й достаточно мало, то

|^к (ак ) - ак+1| < 3^

но тогда из неравенства (1) следует, что

dist(/(фк), фк+1) < 6й.

Ясно, что f (фд) = фд+1 при k < —m и при k ^ m.

Мы показали, что если d достаточно мало, то {фд} — Od-метод класса 0t.

Из нашего предположения следует, что в этом случае найдется такая точка ж, что если жд = фд (ж) , то

dist^ ,рд) ^ 6Ld.

Если жд = exppfc (и>д), то |w | ^ 12Ld.

Из равенств

exppfc (w) = жд = фд (ж) = exppfc (ад), |k| < m,

вытекает, что

адд+1 = Адw + dz^, —m ^ k ^ m — 1.

Применяя к последовательности уд = и>д/d те же рассуждения, что были использованы в конце доказательства теоремы 1, мы получаем ограниченное решение уд разностного уравнения (7).

Из импликации (а)^(Ь) в теореме Плисса следует, что пространства В+(р) и В-(р) трансверсальны. Для окончания доказательства теоремы 2 осталось сослаться на произвольность точки р и на теорему Мане.

Литература

1. Pilyugin S. Yu. Shadowing in Dynamical Systems // Lect. Notes in Math. Vol. 1706. Berlin: Springer, 1999.

2. Palmer K. Shadowing in Dynamical Systems. Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer, 2000.

3. Corless R. M., Pilyugin S. Yu. Approximate and real trajectories for generic dynamical systems // J. Math. Anal. Appl. Vol. 189. P. 409-423. 1995.

4. Pilyugin S. Yu. Inverse shadowing by continuous methods // Discrete Contin. Dyn. Syst. Vol. 8. P. 29-38. 2002.

5. Kloeden P. E., Ombach J. Hyperbolic homeomorphisms and bishadowing // Ann. Polon. Math. Vol. 65. P. 171-177. 1997.

6. Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. B. Lipschitz shadowing implies structural stability // Nonlinearity. Vol. 23. P. 2509-2515. 2010.

7. Пилюгин С. Ю. Пространства динамических систем. Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск, 2008.

8. Mane R. Characterizations of AS diffeomorphisms // Geometry and Topology. Lect. Notes in Math. Vol. 597. Springer, Berlin, 1977. P. 389-394.

9. Плисс В. А. Ограниченные решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений // Проблемы асимпт. теории нелин. колеб. Киев, 1977. С. 168-173.

10. Pilyugin S. Yu. Generalizations of the notion of hyperboicity // J. Diff. Eqns Appl. Vol. 12. P. 271-282. 2006.

Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.