Обратные слабые свойства отслеживания для линейных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. Б. Катина

ОБРАТНЫЕ СЛАБЫЕ СВОЙСТВА ОТСЛЕЖИВАНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

1. Введение

Теория отслеживания приближенных траекторий (псевдотраекторий) изучает вопрос о том, при каких условиях приближенные и точные траектории динамических систем близки на неограниченных промежутках времени.

Задача прямого отслеживания (задана псевдотраектория; существует ли близкая к ней точная траектория?) интенсивно изучалась различными авторами в последние годы; изложению основных методов и результатов, связанных с этой задачей, посвящена монография [1].

В работе [2] была поставлена задача обратного отслеживания: задан класс псевдотраекторий — можно ли для любой точной траектории найти близкую к ней псевдотраекторию данного класса?

В стандартных постановках задач прямого и обратного отслеживания речь идет о поточечной близости точной траектории и псевдотраектории. В недавней статье [3] изучен орбитальный подход к задаче прямого отслеживания. В рамках этого подхода ищутся точные траектории, содержащие псевдотраектории в своих малых окрестностях (траектории, содержащиеся в малых окрестностях псевдотраекторий, или траектории, близкие к псевдотраекториям в смысле метрики Хаусдорфа).

В данной статье мы применяем орбитальный подход к задаче обратного отслеживания для динамических систем, порождаемых линейными диффеоморфизмами, и получаем необходимые и достаточные условия для наличия всех трех возможных свойств обратного отслеживания.

Перейдем к точным определениям.

Рассмотрим динамическую систему, порожденную диффеоморфизмом р гладкого многообразия М. Пусть на М задана риманова метрика

Через О ( х, р) обозначим траекторию динамической системы р:

О ( х, р) = { рк (х) : к € 7}.

Будем говорить, что последовательность £ = {хк € М : к € 7} есть й-псевдотраек-тория р, если выполнены неравенства

(р (хк), Хк+\) < й, к € 7.

Через N (е, А) обозначим е-окрестность множества А С М. Пусть (• , • ) озна-

чает хаусдорфово расстояние между компактными подмножествами многообразия М.

Определение свойств обратного отслеживания дается относительно некоторого класса 0 = {^}, где ^ является семейством й-псевдотраекторий р (или й-методом для р). Начнем с определений слабых свойств обратного отслеживания.

Будем говорить, что р обладает первым слабым обратным свойством отслеживания (З^ЮР) относительно класса 0, если для любого е > 0 существует такое й > 0, что

© А.Б.Катина, 2005

для любой точки q G M и для любого метода Jd G 0 найдется псевдотраектория £ = {xk} G Jd, обладающая следующим свойством:

£ с N (е, O (q, ф)) .

Будем говорить, что ф обладает вторым слабым обратным свойством отслеживания (2WISP) относительно класса 0, если для любого е > 0 существует такое d > 0, что для любой точки r G M и для любого метода Jd G 0 найдется псевдотраектория £ = {xk} G Jd, обладающая следующим свойством:

O (r, ф) С N (е,£).

Дадим определение орбитального обратного свойства отслеживания (OISP). Будем говорить, что ф обладает OISP относительно класса 0, если для любого е > 0 существует такое d > 0, что для любой точки p G M и для любого метода Jd G 0 найдется псевдотраектория £ = {xk} G Jd, обладающая следующим свойством:

distH (о{р,ф),Щ < £,

где А — замыкание множества А.

Наконец, дадим определение обратного свойства отслеживания (ISP). Будем говорить, что ф обладает ISP относительно класса 0, если для любого е > 0 существует такое d > 0, что для любой точки p G M и для любого метода Jd G 0 найдется псевдотраектория £ = {xk} G Jd, удовлетворяющая неравенствам

dist (фк (p), xk) < е, к G Z.

Сформулированные выше определения позволяют составить следующую диаграмму.

ISP ^ OISP ^ 1WISP

2WISP Диаграмма 1. 2. Различные классы методов

Метод Jd называется полным [2], если для любой точки p G M найдется такая псевдотраектория £ = {xk} G Jd, что xo = p.

Мы будем рассматривать свойства обратного отслеживания относительно класса непрерывных методов, который обозначим 0S. Фиксируем диффеоморфизм ф. Будем говорить, что метод Jd принадлежит классу 0S (Jd G 0S), если существует такая последовательность непрерывных отображений ^k : M —> M, что

dist (^k (x), ф (x)) < d

для всех к G Z и x G M, и метод Jd состоит из всех последовательностей £ = {xk : к G Z}, для которых xk+i = ^k (xk).

Рассмотрение свойств обратного отслеживания относительно класса разрывных методов не является содержательной задачей. Приведенные ниже примеры показывают,

что даже для линейного гиперболического отображения р (х) = Ах не выполнены свойства З^ЮР и 2WISP относительно некоторых классов полных методов, порожденных разрывными отображениями.

Пример 1 (отсутствие З^ЮР). Рассмотрим линейное отображение

Точка х = 0 — неустойчивая неподвижная точка. Построим такой класс полных методов, порождаемых разрывными отображениями, что система (1) не обладает З^ЮР относительно этого класса методов.

Для любого й > 0 построим разрывное отображение вида

Несложно проверить, что выполнено неравенство |Ф^ (х) — ф (х) | < ¿ для всех X Є И. Рассмотрим множество таких последовательностей {хк : к Є Z}, что хк+1 = Ф^ (хк). Это множество является полным ¿-методом. Покажем, что система (1) не обладает 1WISP относительно построенного класса ¿-методов.

Фиксируем є =1 и произвольное с! > 0 и покажем, что любая ¿-псевдотраектория покидает 1-окрестность N (1, {0}) неподвижной точки 0.

Рассмотрим произвольную ¿-псевдотраекторию £ = {хк : к Є Z}, где хк+1 = Ф^ (хк). Возможны два случая.

1. Пусть хо < 0. Тогда точки ¿-псевдотраектории таковы:

Таким образом, точки ¿-псевдотраектории £ стремятся к — то, покидая окрест-

2. Пусть хо > 0. Возможны два случая.

2.1. х0 < Тогда

XI = х2 = Ф<г (хі) = § > хи ...,

т / \ \k-2rf

Ж к \%к—1) 2 ''> 1 •

Таким образом, точки ¿-псевдотраектории £ стремятся к + то и покидают окрестность N (1, {0}).

2.2. хо > Тогда х\ = (жо) = Ажо > жо, ...,

Хк (хк — і) ~2 ^ ^к — 1 •

И в этом случае точки ¿-псевдотраектории £ стремятся к + то.

Таким образом, любая ¿-псевдотраектория £ покидает окрестность N (1, {0}) и, следовательно, система (1) не обладает 1WISP.

Пример 2 (отсутствие 2WISP).

Рассмотрим линейное отображение (1). Построим такой класс полных методов, порождаемых разрывными отображениями, что система (1) не обладает 2WISP относительно этого класса.

ф (х) = Хх, X > 1, х Є И .

(1)

хь = (хк-\) = Хкхо < хь-1 < 0, к Є Z.

ность N (1, {0}), и £ ^ N (1, {0}).

Для любого й> 0 построим последовательность разрывных отображений {Фп} так: для любого к > 0 функция Ф„ отображает множество (Л" + к^, А" + (к + 1) в точку {Л"+1 + (к + 1) |} и множество (Л" — (к + 1) А" — /г^] в точку {Л"+1 — (к + 1) |}. Несложно показать, что выполнены неравенства

|Фп (х) — р (х) | < й, х € Д, п € 2.

Рассмотрим множество таких последовательностей {х^ : к € 2}, что хь+1 = Фь (х^). Это множество является полным й-методом. Покажем, что система (1) не обладает 2WISP относительно такого класса полных й-методов.

Фиксируем £ = 1 и рассмотрим точку р =1 и ее траекторию О (1, р) = {Лт : т € 2}. Покажем, что при любом й и для любой й-псевдотраектории £ = {хь : к € 2}, где х^+1 = Фь (хь), не выполнено включение О (р, р) С N (1,£).

Рассмотрим произвольную точку хо € N (1,р). Найдется такое число к € 2, что а?о € (1 + к1 + (к + 1) т^]. Пусть к > 0; случай к < 0 рассматривается аналогично. Выполняются следующие равенства:

XI = Ф0 (ж0) = Л + Л (к + 1) жг = Фх (х\) = Л2 + Л2 (к + 1) —,

% = Фщ-1 (^т-О = Ат + Ат (/г + 1) —,....

Найдется такой номер т € 2, что |жт — фт {1)\ > Лт| > 1. Таким образом, О (р,р) С N (1,£) для любой псевдотраектории £. Следовательно, система (1) не обладает 2WISP относительно построенного класса методов, порожденных разрывными отображениями.

3. Случай линейных систем

Рассмотрим невырожденную комплексную матрицу А и соответствующий ей линейный диффеоморфизм

р (х) = Ах,х € Сп. (2)

Будем говорить, что матрица А гиперболическая, если для всех ее собственных чисел Л^ выполнены неравенства Л| = 1, з = 1,...,п.

Теорема 1. Линейный диффеоморфизм р (х) = Ах с гиперболической матрицей А обладает 1БР.

Эта теорема доказывается так же, как основной результат статьи [4].

Далее рассмотрим утверждения, касающиеся слабых свойств обратного отслеживания. Начнем с первого слабого свойства обратного отслеживания.

Лемма 1. Линейный диффеоморфизм р (х) = Ах, обладающей 1WISP, имеет гиперболическую матрицу.

Доказательство.

Предположим, что матрица А — негиперболическая. Это означает, что существует собственное число Л матрицы А с |Л| = 1. Фиксируем базис, в котором первая строка матрицы А имеет вид (Л, 0,...,0). Для произвольного й > 0 построим семейство

непрерывных методов {Фа}, для которых выполнены неравенства

|Фк (х) — Ах\ < ! для всех к € % и х € С", следующим образом:

Фй (ж) = Ах +

T

dxK 0, 0)

Рассмотрим произвольную d-псевдотраекторию £ = {xk : к G Z}. Пусть хо

< (1) (nK T гтн (1) \ (1) i d (i) < л \

(Xq ,,Xq ) . 1огда х\ = Ххg + |, а оставшиеся компоненты х\ = (Ахо)

где (Ахо)(г) — г-ая компонента вектора Ахо. Легко показать по индукции, что х^1 =

Хкх{01] + к\к-Ц, ж£° = (Акхо)(0.

Чтобы прийти к противоречию, предположим, что система (2) обладает от-

носительно построенного класса непрерывных методов.

Фиксируем е = 1 и рассмотрим точку р = (1,0,...,0)т и ее траекторию

О (р,ф) = {(Ат,...) т : т € X} . При достаточно малых ! > 0 должна существовать ¿-псевдотраектория £, для которой выполняется включение

е С N (1, О (р, ф)).

Таким образом, должно быть выполнено следующее утверждение. Для любого к € % найдется такое I (к) € %, что выполнено неравенство

ф1(к) (р) — хк < 1.

В частности, должно выполняться неравенство

Xl(k) - х(1

< 1.

Так как ж^ = Хкх^ + к\к 1 последнее неравенство принимает вид

хт _хкх^ -кх^1-

< 1.

Слагаемое кХк~1^ неограниченно растет при к, стремящемся к +оо, тогда как два других слагаемых ограничены. Поэтому найдется такое достаточно большое к, что для любого l (к) последнее неравенство не выполнено. Полученное противоречие завершает доказательство.

Следствие 1. Из теоремы 1, леммы 1 и диаграммы 1 следует, что каждое из свойств ISP, OISP и 1WISP для линейной системы (2) равносильно тому, что матрица A гиперболическая.

В Леммах 2 и 3 предположим, что диффеоморфизм р (х) = Ах обладает 2WISP.

Лемма 2. Пусть X —такое собственное число матрицы А, что |А| = 1. Тогда найдется такое число m G N, что Xm = 1.

Доказательство.

Предположим противное. Пусть А = cos А + * sin А и ^ ф. Q.

Фиксируем базис, в котором первая строка матрицы А имеет вид (X, 0,..., 0). Собственный вектор, отвечающий собственному числу X, имеет вид v = (1, 0,... ,0)T. Рассмотрим линейное пространство L, натянутое на вектор v.

Для произвольного ! > 0 построим семейство непрерывных отображений {Фк}, для которых выполнены неравенства

|Фк (х) — Ах\ < !

для всех к € % и х € С":

Фк (х) = Ах + (д (х(1)) , 0,..., 0)т, где функция д (х(1)) определена как

/ ч Го 1ЖС1) I < ±

9 ^(1)) = | 1т(1)4|>±

4 У [2|Ж(1)|

и д (ж^1)) € ^0, 1 ^ Очевидно, верны неравенства (ж) — Ах\ <

для всех к € %, х € С".

Чтобы прийти к противоречию, предположим, что система (2) обладает 2WISP относительно построенного класса методов.

Фиксируем е = ^. Выберем число М = 2 [д + 1], где [•] —целая часть числа. Фиксируем такое число До, что 2До > М.

Рассмотрим точку р = (До, 0,..., 0)т и ее траекторию О (р, ф) = {(АтДо, 0,..., 0)т : т € . В силу предположения о несоизмеримости А и п точки АтДо, т € %, плотны

на окружности 5 Ео радиуса До в Ь.

В силу нашего предположения о наличии 2WISP при достаточно малом !> 0 должна существовать псевдотраектория £, порожденная Фк, для которой выполнено включение

0(р,ф С N •

Таким образом, для ¿-псевдотраектории £ должно быть верно следующее утверждение: для любого к € % найдется такое I (к) € %, что выполнено неравенство

\<Рк (р) ~Щк)\ < (3)

В частности, это неравенство должно выполнятся для первых компонент:

АкДо —

Возможны три случая поведения ! — псевдотраектории £ = {ха : к € %}.

1. г = Жд1'1 < Тогда <? (ж*-1)) = 0 и ж^ = ЛйЖд1'1 для всех к € Z. Это означает,

что все точки ж^ лежат на окружности й'1’ радиуса г < Поэтому неравенство (4) неверно для достаточно больших к € % и любых I (к) € %. Получаем противоречие.

2.

„(1)

> Тогда ж^ = Xx^\ (1 + I fi) I ) при к > 0 и х[г\ =

V 2\xk-i\J

X_1x[1)

(1)

Lk-1

1 +

(1)

xH

при к < 0. При этом

(1)

(1)

lk-1

+ i для к > 0 и

+ i для к < 0.

Пусть N (До) обозначает ^-окрестность окружности в Ь. Для любой точки у € Ь обозначим через N (у) ^-окрестность точки у в Ь. Длина дуги П-^ (у) меньше ^. Поэтому мера множества тод0 всех точек окружности , покрываемых объединением икеъ N ^хк1^, удовлетворяет неравенству

п п

Шд0 < - • М < — • 2Д0 < 27гД0.

В силу плотности точек АкДо на окружности 51К° найдется точка Ако До, не содержащаяся в объединении У-^кея N ( х^к^. Следовательно, для числа к = ко не существует такого I (к), что неравенство (4) выполнено.

з. i<

Z}.

(1)

< Возможно различное поведение (¿-псевдотраектории £ = {хк : к €

Рассмотрим два множества

I+ = < к > 0 :

(1)

I_ = <^ к < 0 :

(1)

Возможны следующие случаи.

3.1. /+ = 0, I— = 0. Найдется такое наименьшее к2 € I+, что вательно, для всех к € I+ = ([к2;+то)) верно неравенство

(1)

к2

к / I+ верно неравенство

(1)

3.2. 1+ = 0, 1— = 0. Найдется такое наибольшее к1 € 1-, что

(1)

(1)

> Следо-> 5, а для

> Тогда

верно неравенство

(1)

> к для всех к G I— = ((—оо; fei]), а для к ф /_ верно

неравенство

(1)

3.3. 1+ = 0, 1— = 0. Найдутся такие наибольшее к1 € 1— и наименьшее к2 € I+

4й Тогда неравенство ж^

и к € I- .

Ясно, что те же рассуждения, что и в пункте 2, приводят нас к противоречию при рассмотрении любого из случаев 3.1—3.2.

3.4. I+ UI_ = 0. Тогда

(1)

< -к для всех к G Z и тд0

0.

Утверждение доказано.

Далее, не умаляя общности, предполагаем, что матрица А приведена к жордановой форме.

и

d

к

к

и

к

к

к

к

к

к

к

к

Лемма 3. Пусть А — собственное число матрицы А и |А| = 1. Тогда жорданов блок матрицы А, отвечающий собственному числу А, простой.

Доказательство.

Пусть жорданов блок матрицы А, отвечающий собственному числу А, имеет размерность к х к, к > 1. Фиксируем базис, в котором первые две строки матрицы А имеют вид (А, 0 , ... , 0) и (1 , А, 0... , 0). Для произвольного ! > 0 построим семейство непрерывных методов {Фа}, для которых выполнены неравенства

Рассмотрим произвольную ¿-псевдотраекторию £ = \хк : к Є Z}. Пусть хо =

Чтобы придти к противоречию, предположим, что система (2) обладает 2WISP относительно построенного класса непрерывных методов.

При достаточно малом ! > 0 должна существовать псевдотраектория £ = {хк : к € Z}, для которой выполняется включение

Другими словами, для ¿-псевдотраектории £ должно быть верно следующее утверждение. Для любого к Є Z найдется такое I (к) Є Z, что выполнено неравенство

В частности, это неравенство должно быть верным для первых двух компонент векторов, то есть должны выполняться следующие неравенства:

|Ф& (х) — Ах\ < ¿ для всех к Є Z, х Є С”, следующим образом:

Тогда

Легко показать по индукции, что

Фиксируем є =1, рассмотрим точку р = (1,0,... , 0)Т и ее траекторию О (р, ф) {(Ат ,т\т-1,...)Т : тЄ Z} .

О (р,ф) С N (1, £).

ф (р) — хцк) | < 1.

(5)

(6)

Покажем, что эти неравенства не выполняются одновременно ни для какой !-псевдотраектории £. Перепишем неравенство (6) в следующем виде:

По условию |А| = 1. Чтобы неравенство (8) выполнялось, множество {I (к)} при к

где В = diag (Аі . .. Ат), |А^| = 1, і = 1,...,т, а матрица С — гиперболическая. Тогда система (2) не обладает 2WISP.

Доказательство.

Для произвольного ! > 0 построим семейство непрерывных методов Фк следующим образом:

Тогда произвольная ¿-псевдотрактория £ = {хк : к Є Z} имеет следующий вид.

Покажем, что система (2) не обладает 2WISP относительно построенного класса непрерывных методов.

Из нашего предположения следует, что для любого ! > 0 найдется ¿-псевдотраек-тория £, для которой выполняется включение

Это равносильно следующему утверждению: для любого к € Z найдется такое I (к) € Z, что выполнено следующее неравенство:

должно быть ограничено. Следовательно, множество } ограничено при к ^ ж, и

неравенство (7) не выполняется.

Полученное противоречие завершает доказательство.

Лемма 4. Пусть матрица А имеет вид

Пусть хо = (у,

Тогда

Фиксируем є = 1 и рассмотрим точку р = (1, ..., 1)Т и соответствующую траек-

О (р, ф) С N (1,£).

фк (Р) - хі(к) | < 1

(9)

Перепишем последнее неравенство в следующем виде:

Ске - С1(к)V!

< 1- (11)

Возможны два случая.

1. По крайней мере одно собственное число матрицы С таково, что верно неравенство |Л3'0| < 1. Тогда, записав неравенство (11) покомпонентно, получим

\к - Л1}к)У(/0-т)

30 30 !

< 1- (12)

Устремив к к -ж, получим I (к) ^ -ж, и следовательно, неравенство (10) не выполнено (при условии, что у3 т) =0 ). Если у3 т) = 0, тогда неравенство (12) имеет вид |Лк01 < 1, которое при к ^-ооне выполняется.

2. По крайней мере одно собственное число матрицы С таково, что верно неравенство |Л301 > 1. Тогда, устремив к к +ж, из неравенства (12) получаем I (к) ^ +ж

и, следовательно, неравенство (10) не выполнено (при условии, что у\30 т) =0 ). Если же у\30 т) = 0, тогда неравенство (12) при к ^ +ж не имеет места.

Полученное противоречие завершает доказательство.

Подводя итог, сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема 2. Линейный диффеоморфизм р (х) = Ах обладает 2WISP тогда и только тогда, когда для матрицы А выполнено одно из следующих условий.

1. А — гиперболическая матрица;

2. Существует такое натуральное число т, что жорданова форма J матрицы А такова,, что ,1т = Е.

Сформулируем вспомогательные очевидные утверждения.

Предложение 1. Линейный диффеоморфизм р (х) = Ах с матрицей А = Е обладает 2WISP.

Предложение 2. Если диффеоморфизм р (х) = Атх при некотором натуральном т обладает 2WISP, тогда диффеоморфизм Ф (х) = Ах обладает этим же свойством.

Доказательство теоремы.

Необходимость. Пусть диффеоморфизм р (х) = Ах обладает 2WISP. Тогда матрица А либо гиперболическая (и тогда утверждение доказано), либо негиперболическая. В этом случае в силу леммы 4 все собственные числа матрицы А удовлетворяют равенствам |Л| = 1, * = 1,...,п. Тогда по лемме 3 жорданова форма .1 матрицы А содержит только простые блоки, то есть .1 = diag (Л]_,Лп). По лемме 2 для каждого собственного числа Л; найдется такое натуральное число т;, что Л™1* = 1. Возьмем т = НОК (т-1,..., тп). Тогда ,1т = Е. Таким образом утверждение доказано.

Достаточность. Если матрица А гиперболическая, тогда диффеоморфизм р (х) = Ах обладает ISP. В частности, он обладает 2WISP. Если существует такое т, что ,1т = Е, тогда по предложению 1 диффеоморфизм ф (х) = ,1тх = х обладает 2WISP. В этом случае по предложению 2 диффеоморфизм Ф (х) = ,1х обладает 2WISP, а тогда и исходный диффеоморфизм р (х) = Ах обладает этим свойством.

Теорема доказана.

Второе слабое свойство отслеживания (2WISP) изучалось в [3]. Сформулируем теорему 2.4 статьи [3], отсылая читателя за точными определениями к [3].

Диффеоморфизм р (x) = Ax, x G Cn, обладает 2WSP тогда и только тогда, когда жорданова форма A матрицы A удовлетворяет одному из следующих условий.

1. A — гиперболическая матрица.

2. Существует такое натуральное число m, что выполнено одно из условий:

1) Am = E, где E — единичная матрица,

2) Am = diag (E, B), где B —гиперболическая матрица и все ее собственные числа лежат внутри или вне единичного круга комплексной плоскости.

Сравнение результатов доказанной теоремы 2 и теоремы 2.4, приведенной в статье [3], позволяет сделать следующий вывод.

Множество линейных диффеоморфизмов (2), обладающих 2WISP, строго меньше множества линейных диффеоморфизмов, обладающих 2WSP.

Линейный диффеоморфизм, обладающий 2WISP, обладает и 2WSP. Обратное же утверждение неверно. В качестве примера достаточно рассмотреть линейный диффеоморфизм вида р (x) = ^0 2) x-

Summary

A. B. Katina. Inverse weak shadowing properties for linear systems.

We obtain necessary and sufficient conditions under which a linear diffeomorphism has weak or orbital inverse shadowing properties.

Литература

1. Pilyugin S. Yu. Shadowing in Dynamical Systems // Lecture Notes in Math. Vol. 1706. Springer-Verlag, Berlin, 1999. 272 pp.

2. Corless R. M., Pilyugin S. Yu. Approximate and Real Trajectories for Generic Dynamical Systems // J. Math. Anal. Appl. Vol.189. 1995. P. 409-423.

3. Pilyugin S. Yu., Rodionova A. A., Sakai K. Orbital and weak shadowing properties, Discrete and Continuous Dynamical Systems. Vol. 9. 2003. P. 287-308.

4. Pilyugin S. Yu. Inverse shadowing by continuous methods // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Vol. 8. 2003. P. 29-38.

Статья поступила в редакцию 18 ноября 2004 г.