Точечно-слабое свойство отслеживания в динамических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917 Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 1

ТОЧЕЧНО-СЛАБОЕ СВОЙСТВО ОТСЛЕЖИВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

А. А. Родионова

С.-Петербургский государственный университет, ассистент, a.a.rodionova@gmail.com

Введение. Предельные множества индивидуальных траекторий динамических систем относятся к наиболее изученным объектам классической теории динамических систем. Для исследования глобальной динамики динамических систем большое значение имеют предельные множества областей фазового пространства и особенно вопрос об устойчивости таких множеств.

Задача В.И.Арнольда об устойчивости предельных множеств областей в типичных динамических системах была изучена в работах [1-4]. В данной статье мы выделяем свойство отслеживания псевдотраекторий динамических систем (точечно-слабое свойство отслеживания) и описываем связь этого свойства с задачей о типичности устойчивости по Ляпунову предельных множеств областей.

Основной Результат. Рассмотрим гладкое замкнутое n-мерное многообразие M. Можно считать, что M вложено в евклидово пространство IRN, где N достаточно велико. Пусть d — риманова метрика на M, индуцированная стандартной евклидовой нормой | • | пространства IRN. Для двух гомеоморфизмов fo,go ■ M ^ M введем величину po(fo,go) = maxlfo(x) - go(x)l.

x^M

Будем обозначать через H(M) пространство гомеоморфизмов многообразия M с Co-топологией, индуцированной метрикой po. Обозначим через TxM касательное пространство к M в точке x, а через Df (x) —дифференциал диффеоморфизма f в точке x. Отождествляя TxM с линейным подпространством IRN, определим для двух диффеоморфизмов f,g ■ M ^M и точки x GM величину

llDf (x) - Dg(x)ll = max Df (x)v - Dg(x)vl .

veTxM, |v| = i

Определим C1 -расстояние между двумя диффеоморфизмами f,g ■ M ^ M равенством Pi(f, g) = max (lf (x) - g(x)l + llDf (x) - Dg(x)ll) .

x^M

Метрика pi порождает стандартную C1 -топологию пространства диффеоморфизмов Diff1 (M) класса C1 многообразия M. Как обычно, будем отождествлять диффеоморфизм и порождаемую им динамическую систему.

Для множества G С M его ^-предельное множество в системе f определяется равенством

u(G) = {y = lim fmk (xk) ■ xk G G, mk ^ ж при k ^ то}.

k—

Это множество является компактным и f-инвариантным. Из определения следует, что lü(G) = lu(G), где G — замыкание множества G.

В 1987 г. В. И. Арнольд высказал следующую гипотезу: существование сколь угодно малых окрестностей U области G, для которых ^-предельные множества w(U) и w(G) относительно системы f существенно различны, «физически нереализуемо».

© А. А. Родионова, 2013

Докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть множество u(G) устойчиво по Ляпунову и V — окрестность .множества w(G). Тогда существует такая окрестность Uo множества G, что если U С Uo — окрестность G, то

w(G)cw([/)CF.

Доказательство. Так как множество ш(G) устойчиво по Ляпунову, по заданной окрестности V можно найти такую его окрестность Vo, что для любой точки y G Vo верно fk(y) £ V, k > 0.

Зафиксируем точку х gG и рассмотрим последовательность {fm(x) : то ^ 0}.

Каждая предельная точка этой последовательности принадлежит множеству lo{G) = lv(G). Поэтому существует такой индекс т(х) >0, что fmtyX\x) G Vo.

Выберем такую окрестность W(x) точки x, что fm(x) (W(x)) С Vo. Ясно, что если z G W(x) и m ^ m(x), то

f m(z) G V. (1)

Множество G— компакт, поэтому из открытого покрытия {W(x),xgG} множества G можно выбрать конечное подпокрытие W(xi),..., W(xp).

Положим

p

U0 = I I W(xi) и ц = max m(xi). (2)

^^ i=1,...,p

i=1

Пусть xo G Uo. Тогда найдется такой индекс i G{1,...,p}, что xo G W(xi). Значит, если k ^ ц, то из формул (1) и (2) следует, что fк(xo) G V.

Таким образом, из включений GdU gUq следуют включения uj(G) С u>(U) CV.

Лемма 1 доказана.

Из леммы 1 вытекает, что если U — малая окрестность множества G, то ^-предельное множество w(U) может существенно отличаться от ш(G) лишь в том случае, когда множество ш(G) не является устойчивым по Ляпунову. Таким образом, возникает естественная задача: для каких динамических систем f и областей G ^-предельные множества ш(G) в системах f устойчивы по Ляпунову?

Пусть X — некоторое пространство динамических систем на многообразии M. Будем предполагать, что из сходимости в пространстве X следует сходимость в C o-топологии.

Будем называть некоторое свойство динамических систем из X типичным, если существует такое счетное семейство Am открытых и плотных подмножеств пространства X, что любая система, принадлежащая пересечению Am, обладает указанным

m

свойством.

Через N (a, A) будем обозначать a-окрестность множества A С M.

Рассмотрим зависящее от вещественного параметра r G (a; b) семейство множеств {Gr С M}. Будем говорить, что семейство Gr является существенно расширяющимся, если для любых двух значений параметра ri и Г2, связанных неравенством ri < Г2, найдется такое c > 0, что N(c, Gri) С Gr2. Простейшим примером такого семейства может служить множество концентрических шаров радиусов r.

Основные результаты С.Ю.Пилюгина [1—4], относящиеся к гипотезе Арнольда, сформулированы в теореме 1.

Теорема 1. Пусть / —типичная динамическая система в одном из пространств Н(М) или БШ1 (М), и пусть {Ог} — существенно расширяющееся семейство подмножеств М. Тогда множество .значений параметра г, при которых и-предельное множество и(Ог) в системе / неустойчиво по Ляпунову, не более чем счетно.

Важную роль при доказательстве теоремы 1 в случае пространства БЖ1 (М) играют множества

Я(Р,/) = {ч = 1™ / т" (Рк) : тк > 0,рк ^ р при к ^то}

к—

и

р(Р, /) = {ч = ,Ит /к1" (р) : тк > 0,/к ^ / при к ^ то},

к—

где символ /к ^ / означает сходимость в ^-топологии.

Множества Q(p, /) и Р(р, /) называются пролонгациями точки р в системе / по начальным данным и по системе соответственно. Дадим следующее определение: множества

Q*(p,/) = {ч = Ит /т" (рк) : тк ^ то,рк ^ р при к ^то}

к—

и

Р*(р, /) = {ч = 11т /к" (р) : тк ^ то,/ ^ / при к ^то}

к—

называются предельными пролонгациями точки р в системе / по начальным данным и по системе соответственно.

Теорема 1 для случая пространства БШ1 (М) выводится в [4] из сформулированного ниже утверждения.

Теорема 2. Пусть диффеоморфизм / обладает следующими свойствами:

1) Q(p, /) = Р(р, /) для любой точки р € М;

2) любая периодическая точка / гиперболическая.

Тогда / обладает свойством, сформулированным в .заключении теоремы 1. Также в [4] доказано следующее вспомогательное утверждение. Лемма 2. Если диффеоморфизм / удовлетворяет условию 1 теоремы 2, то для любой точки р € М Q*(p,/ )=Р *(р,/).

Последовательность £ = {хк ,к €1} ^ М называется 5-псевдотраекторией диффеоморфизма /, если при всех к €Ж верны неравенства ¿(/(хк); Хк+1) < 5.

Будем говорить, что динамическая система / обладает в X точечно-слабым свойством отслеживания, если верно следующее утверждение.

Пусть р и ч — точки фазового пространства, для которых существует такая последовательность ¿т-псевдотраекторий £т = {хк,т : к €Т}, т ^ 0, что

¿т ^ 0,

для некоторой последовательности 1т ^то. Тогда существует такая последовательность динамических систем дт € X, что дт ^ / в X и д^ (р) ^ Ч для некоторой последовательности индексов ит ^то.

По аналогии с определениями пролонгаций Р(р, /) и Р*(р, /), в которых используется сходимость /к ^ / в ^-топологии, можно ввести множества

Р (Х,р, / ) = {ч = Иш /к" (р) : тк > 0,/к ^ / в X}

к

P*(X,p, f) = {q = lim fm (p) : rnk ^ f в X}.

k—^^

Лемма 3. Если для любой точки p G M верно равенство

Q(p,f ) = P (X,p,f), (3)

то

Q*(r,f ) = P *(X,r,f)

для любой точки r G M.

Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 2.2 в [2]. Основным утверждением статьи является следующая теорема.

Теорема 3. Пусть

1) {Gr} — существенно расширяющееся семейство подмножеств M;

2) динамическая система f на M обладает в X точечно-слабым свойством отслеживания;

3) для любой точки p G M выполнено равенство (3).

Тогда множество .значений параметра r, при которых w(Gr) неустойчиво по Ляпунову, не более чем счетно.

В доказательстве теоремы 3 важную роль играют следующие определения. Обозначим через M* множество компактных подмножеств многообразия M. Отображение Ф : (a, b) ^ M* называется возрастающим, если из неравенства r < r' следует включение Ф(г) С Ф(г' ).

Ясно, что если {Gr} — расширяющееся семейство, то отображение Ф, задаваемое равенством Ф(г) = w(Gr), является возрастающим. В [6] доказано следующее утверждение.

Лемма 4. Если Ф : (a,b) ^ M* — возрастающее отображение, то множество его точек разрыва (относительно метрики Хаусдорфа) не более чем счетно.

Докажем теорему 3.

Предположим, что при некотором значении р G (a,b) множество w(Gp) неустойчиво по Ляпунову, и докажем, что р — точка разрыва отображения Ф(г) = w(Gr).

Неустойчивость по Ляпунову множества w(Gp) означает, что существуют такие последовательность точек nm ^ Gp),m ^ ж, последовательность натуральных чисел ^ ж, m ^ ж, и число C > 0, что при любом натуральном m верно неравенство

d (f(rm),v(Gp)) > с.

Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что существуют пределы

lim Пт = П и lim f (nm) = n'.

m—m—

Из компактности множества w(Gp) следует, что n G w(Gp).

Из определения множества w(Gp) вытекает, что существуют такие последовательности точек {ym, mG Z}c Gp и чисел {тт, mG Z; тт ^ ж, m ^ ж}, что

fTm (Ут) ^ П. (4)

и

Последовательность {ym} можно, не умаляя общности, считать сходящейся. Пусть

lim ym = y. (5)

m—

Из определения этой последовательности следует, что у G Gр.

Фиксируем m и задаем последовательность {xkmi : к G Z} равенствами

f f кк(y), к < 0;

xk,m = N f (ym)y 0 < к ^ Tm;

[ fk (Vm), к > Tm.

Так как выполнены соотношения (4) и (5), последовательность является

dm-псевдотраекторией системы f с dm ^ 0,m ^ ж. При этом xo,m = y и xim<m ^ г\ , где lm = тт + ^ж и, следовательно, lm ^ ж, m ^ ж.

Из второго условия теоремы 3 следует, что существуют такие последовательность динамических систем {gm} С X и последовательность чисел {vm ^ ж, m ^ ж}, что

gm ^ f в X и gm (y) ^ П.

Это означает, что r\ G P*(X,y, f). Теперь из условия теоремы и леммы 3 вытекает, что

ПGQ*(y, f). (6)

Рассмотрим произвольное число r>p. Из соотношения (5) следует, что ym G Gr при достаточно больших m. Поэтому из формулы (6) получаем, что П G u(Gr) = Ф(г).

Так как d(rf,w(Gp)) ^ C (переходим к пределу в неравенстве (6)), для любого r > р расстояние по Хаусдорфу между множествами Ф(г) и Ф(р) можно оценить снизу: dH(Ф(г), Ф(р)) > C.

Это и означает, что р — точка разрыва отображения Ф. Согласно лемме 4 множество точек разрыва Ф не более чем счетно. Теорема доказана.

Заключение. В статье рассмотрена задача об устойчивости ^-предельных множеств областей. Введено новое свойство псевдотраекторий динамических систем: точечно-слабое свойство отслеживания. Описана связь этого свойства с задачей о типичности устойчивости по Ляпунову предельных множеств областей.

Литература

1. Пилюгин С. Ю. Предельные множества областей в динамических системах // Функц. анализ и приложения. 1989. Т. 23. С. 82-83.

2. Пилюгин С. Ю. Предельные множества областей в потоках // Труды Ленингр. матем. об-ва. 1991. Т. 1. С. 211-228.

3. Pilyugin S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C0-Topology // Lect. Notes Math.: Springer-Verlag, 1994. Vol. 1571. 188 p.

4. Пилюгин С. Ю. C 1-вариант гипотезы Арнольда о предельных множествах областей // Труды С.-Петерб. матем. об-ва. 2004. Т. 10. С. 173-183.

5. Добрынский В. А. Типичность динамических систем с устойчивой пролонгацией // Динамические системы и вопросы устойчивости. Киев, 1973. С. 43-53.

6. Щербина Н. В. О непрерывности однопараметрических семейств множеств // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234, №2. С. 327-329.

Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.