Гёльдерово отслеживание в случае кубического касания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2(60). 2015. Вып. 2

ГЕЛЬДЕРОВО ОТСЛЕЖИВАНИЕ В СЛУЧАЕ КУБИЧЕСКОГО КАСАНИЯ*

А. А. Петров

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

Рассматривается модельный пример диффеоморфизма / двумерной поверхности, удовлетворяющего аксиоме А, в случае кубического касания одномерных устойчивого и неустойчивого многообразий. Доказывается, что в случае, если отображение f обладает классом гладкости С2, оно обладает гёльдеровым свойством отслеживания с показателем Гёльдера Строится пример диффеоморфизма f класса гладкости С1, обладающего гёльдеровым свойством отслеживания с показателем Гёльдера ^, но не обладающего гёльдеровым свойством отслеживания с показателем Гёльдера 7 > Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: динамические системы, отслеживание, кубическое касание, аксиома А.

Введение. В данной работе исследуется вопрос о наличии свойства гёльдеро-ва отслеживания у системы, удовлетворяющего аксиоме А, но не удовлетворяющего условию строгой трансверсальности.

Отметим работу [1], в которой также рассматривается вопрос гёльдерова отслеживания. В ней доказывается, что если для любых в,ш > 1/2, любая ¿-псевдотраектория длины ~ 1 /¿ш диффеоморфизма / класса гладкости С 2 может быть ¿в-отслежена точной, то диффеоморфизм / структурно устойчив.

Одной из отправных точек для данной работы послужила статья [2]. В ней доказано, что в случае, когда М есть поверхность (т.е. замкнутое двумерное многообразие) и диффеоморфизм f удовлетворяет аксиоме А, следующие два утверждения эквивалентны:

(1) / обладает свойством отслеживания,

(2) f удовлетворяет условию С0-трансверсальности.

В данной же работе мы исследуем вопрос о гёльдеровом свойстве отслеживания в случае кубического касания устойчивого и неустойчивого многообразий Ск-диффеоморфизма / поверхности М (где к € N1). Естественной гипотезой в таком случае является следующая: / обладает гёльдеровым свойством отслеживания с показателем Гёльдера ^. Для модельного примера диффеоморфизма / мы показываем, что это так, если класс гладкости f хотя бы С2. Также мы строим пример диффеоморфизма / класса гладкости С1, обладающего гёльдеровым свойством отслеживания с показателем Гёльдера ^ и не обладающего гёльдеровым свойством отслеживания с показателем Гёльдера 7 >

1. Основные определения. Пусть М — метрическое пространство с метрикой

f: М ^ М — непрерывное отображение.

В данной работе через I мы будем обозначать подмножество Ж, являющееся одним из следующих интервалов: (-то, а] П Ж, [а, то) П Ж или [а, Ь] П Ж, где а, Ь € Ж, а < Ь.

Нам потребуются следующие три определения.

* Работа выполнена при финансовой поддержке СПбГУ (проект 6.38.223.2014).

Определение 1. Пусть £ = {£г}<е/ — последовательность точек в М, и пусть дано число й > 0. Будем говорить, что £ является й-псевдотраекторией для /, если выполнены неравенства

(£<), £<+1) < й, г, г +1 е I.

Определение 2. Пусть £ = {£<}<е/ С М — й-псевдотраектория для /. Будем говорить, что точка р е М е-отслеживает й-псевдотраекторию £, если для всех допустимых г выполнены неравенства

п(р), £г+и) < е.

Определение 3. Мы будем говорить, что отображение / обладает гёльдеровым свойством отслеживания с показателем Гёльдера, равным 7 е (0,1], если найдутся такие константы Ь, > 0, что для любой -псевдотраектории £ отображения / с й е (0, й0) найдется точка р е М, Ьй-отслеживающая псевдотраекторию £. Если 7 = 1, то мы будем также говорить, что отображение / обладает липшицевым свойством отслеживания.

В нашем случае М = К2, /: М ^ М — диффеоморфизм. В К2 мы фиксируем метрику

&81((ж, у), (х', у')) = шах{|х — х'|, |у — у'|}.

Через Ыр(/) мы будем обозначать константу Липшица отображения /. Введем обозначения

ш8(р) = {д е М | Иш а1а1(/<(р), /<(д)) = 0) ,

к г^то )

ш"(р) = {д е М | .^^што dist(/<(р),/<(д)) = 0} •

Хорошо известно, что если р — неподвижная гиперболическая точка диффеоморфизма /, то Шя(р) и Ш"(р) являются гладко погруженными многообразиями (см., например, [4]).

2. Формулировка основного результата. Пусть /: К2 ^ К2 —диффеоморфизм класса гладкости Ск, где к е N. Мы будем предполагать, что найдутся такие окрестности V = (а1,а2) х (61,62) и У2 = (01,02) х (^1,^2) точек Г1 = (—3,0) и Г2 = (3,0) соответственно, такая окрестность О начала координат (0, 0) и такая константа 6 > 0, что выполнены следующие соотношения:

^1) /|вг(У1)(х,у) = («1(х + 3) — 3,в1у), где «1 > 1, в1 е (0,1);

(d2) /|Вг(у2)(х,у) = («2(х — 3) + 3,в2У), где «2 е (0,1), в > 1;

(d3) Бв({(0,0)}) С О, В(/-1(О)) С V, Бв(/(О)) С V» , где Бй(А) — 6-окрестность множества А С К2;

^4) /|вг(о)(х, у) = (х + 6, ф(х, у)), где 6 > 0, а отображение ф удовлетворяет соотношению ф(х, 0) = х3.

Соотношение ^4) как раз и означает кубическое касание неустойчивого многообразия Ши(г 1) и устойчивого Шя(г2), поскольку, как следует из явного вида отображения /, выполнены включения

{(х,х3) | |х| < 5} С Ши(г1),

{(х,0) | |х| < 5} С Шя(г2). Мы докажем следующее утверждение.

Теорема 1. (1) Если / обладет гёльдеровым свойством отслеживания в У1 и О и У2 с показателем Гёльдера 7, то 7 < ^.

(2) Диффеоморфизм / обладает гёльдеровым свойством отслеживания в У1 и О и Уч с показателем Гёльдера ^.

(3) Если / принадлежит классу гладкости С2, то / обладает гёльдеровым свойством отслеживания в У[ и О и У^ с показателем Гёльдера ^.

(4) Найдется диффеоморфизм класса гладкости С1, удовлетворяющий условиям ^1)-^4), но не обладающий гёльдеровым свойством отслеживания с показателем Гёльдера 7 > |.

3. Вспомогательные леммы. Следующая тривиальная лемма является частным случаем более общей классической леммы об отслеживании (см. [3], теорема 1.2.2).

Лемма 1. Пусть Р: К2 ^ К2 — С1 -диффеоморфизм, задающийся в окрестности

У = (а', а'') х (Ь', Ь'')

по формуле

РIV(х, у) = (а(х - хо) + хо,в(у - уо) + Уо), где а € (0,1), в > 1, и (х0,у0) € У. Тогда для любой ¿-псевдотраектории £ =

0 С У, где а > ° найдется такая точка р € У, что выполнены соотношения

^(р*(р),&) <ьа, г= о,...,ы,

Р*(р) € У, г = 0,...,М, (1)

где Ь = тах!^, -ф^}-

В следующей лемме мы опишем множество С(¿, д, Р) точек, итерации которых остаются в достаточно малой ¿-окрестности, соответствующей итерации фиксированной точки д.

Лемма 2. Рассмотрим диффеоморфизм Р: К2 ^ К2, задающийся в 5-окрестности точки (х0 ,у0), Бй (х0 ,у0), по формуле

Р(х, у) = (а(х - х0) + х0,в(у - у0) + у0), где а € (0,1), ¡3 € (1, оо). Пусть и = а точка д € К2 удовлетворяет соотношению

(^(<7, (жо, уо)) <

в

и пусть N € N — наименьшее натуральное число, такое, что выполнено включение

\(FN(q))y\G[yo + ^yo + ^. (2)

Положим для d € (0,

C(d, q, F) = {q' € R2 | dist (F¿(q), F¿(q')) < d, i = 0, . . . , N},

c_(d, q, F) = |(qB + Дж, qv + Ay) | |ДЖ| < d, |Ду| < C+(d,q,F)=^qx + Ax,qy + Ay) \ \ Ax \ < d, | Ду | < J .

Тогда имеют место включения

C_ (d, q, F) С C(d, q, F) С C+ (d, q, F).

Доказательство. Отметим прежде всего, что в условиях леммы выполнены включения

F¿(q) € Bv(xo,yo), i = 0,..., N. (3)

Действительно, |qx — хо\ < v, так как dist(q, (жо, г/о)) < ^ < v, и неравенство (3) следует из сжатия вдоль оси OX с константой а € (0,1) к точке xo ив силу выбора N.

Нетрудно убедиться, рассуждая по индукции, для любой точки q = (qx + Дх, qy + Ду) € C_(d, q, F) U C(d, q, F) U C+ (d, q, F) выполнено включение

F¿(q) € B¿(xo,yo) (4)

для i = 0, . . . , N.

Покажем справедливость включения C_(d, q, F) С C(d, q, F). Пусть q = (qx + Дх, qy + Ду) € C_(d, q, F). Тогда, принимая во внимание (2) и (4), мы можем оценить

/ | (FN(q)) - yo| \ dist (F¿(q), F¿(q)) = max (а4|Дж|, /?|Ду|) max Id, d • —-- < d,

что и требовалось.

Осталось показать включение C(d, q) С C+(d, q). Предположим противное: нашлась такая точка q = (qx + Дх, qy + Ду) € C(d, q), что q € C+(d, q), т. е. выполнено неравенство

|ДУ| > ЁМ..

Тогда мы можем оценить

dist (.FN(q), Fw(q)) > I (Fw(q)) - (^(д))„ | > (íN\Ay\ > >

откуда ( )

dist (FN(q),FN(q)) >d,

что противоречит предположению q G C(d, q). Полученное противоречие завершает доказательство леммы. □

4. Доказательство основного результата. В этом разделе мы докажем теорему 1.

Мы опустим докательство пункта 2, поскольку в нем, по существу, повторяются рассуждения, приведенные при доказательстве пункта 3. Также, как и пункт 3, пункт 2 сводится к доказательству соотношения (14).

4-1■ Доказательство пункта (1). Покажем, что для любого 7 € 1] / не

обладает гёльдеровым свойством отслеживания с показателем Гёльдера 7. Предполагая противное, мы построим d1/Y псевдотраекторию (с d G (0, do)), которая не может быть Ld-отслежена точной (где константы L, do из определения 3). Положим

£_n = /_"(&,0), n > 0,

£0 = (M*),

£n = /n(£o), n > 0,

где константа d > 0 столь мала, что £0 G V2. Ясно, что последовательность £ является -псевдотраекторией.

В ходе рассуждений мы несколько раз будем уменьшать число d. Так, мы можем считать, что выполнено неравенство

d < min ^j-, do^j . (5)

Из соотношений (d4) и (d2) следует, что £_ G Wu(r1) при i G N. Предположим, что нашлась такая точка p G R2, Ld-отслеживающая d1/Y-псевдотраекторию £, т.е., что выполнены неравенства

dist(/i(p),£i) < Ld, i G Z. (6)

В силу соотношения (5), учитывая, что £_1 = (0, 0), получаем оценку

dist(/-1(p), (0,0))= dist(/-1(p),£_1) < Ld < S. (7)

Отсюда, принимая во внимание условие (d3), получаем, что /-1(p) G O.

Поскольку, кроме того, Ld, < для достаточно больших п выполнено неравенство dist(/_n(p),r1) < п, откуда следует, что p G Wu(r1).

Как следует из условий (dl) и (d3), [—S, S] х {0} С Wu(r1). Таким образом, /-1(p) G [—S, S] х {0}, т. е. в координатах R2 точка /-1(p) имеет вид

/-1(p) = (x', 0).

В силу (6) выполнена оценка

|x' | < Ld, (8)

поэтому из условия (d4) следует, что p = /(/-1(p)) = (x ' + b, (x')3). Таким образом, используя (8), мы можем оценить у-координату точки p:

|x '|3 < L3d3. (9)

Ясно, что найдутся такие di > 0, m G N, что для всех d G (0, di) выполнено включение

с

dist(/m(6,(^)),(3,0))<—,

где в —константа из соотношения (d2). Вновь уменьшая d > 0, если нужно, можем считать, что d G (0, di).

Отметим, что в силу соотношения (6) выполнено включение

/ m(p) g с (d,em), (io)

где C(d, , f) —множество, определенное в лемме 2.

В силу включения (10) и леммы 2, примененной к отображению f, S и точкам (xo, yo) = (3, 0) и q = выполнено включение

rip) G C+(d,£m) = |((£т)ж + Дж, (U)y + А,) | |ДЖ| < d, |ДУ| < Mi^l , (П)

где V — константа, определенная в формулировке леммы 2.

Уменьшая если нужно, мы можем добиться того, чтобы выполнялись включения

/^(С+^Ст)) С V?, г = 0,1, .. ., т - 1, /-т(С+ )) С О.

Из явного вида отображения / в окрестностях V! и О (где / линейно) следует также соотношение

rm+1(c+(d,U) = { (х,у) G R2 | |Х - ъ\ < -4-^уе

а9

/32d^+1 1 , I32d~+1

d i--,d i +

Из соотношения (11) следует включение р С / т+1(С+(й, Ст)), откуда при достаточно малом d следует оценка для у-координаты:

„„><£- ^^ > 2^3,

что противоречит оценке (9). Отсюда мы заключаем, что наше предположение о существовании точки р, удовлетворяющей соотношению (7), неверное. Доказательство пункта (1) окончено.

4-2. Доказательство пункта (3). Нам нужно показать, что найдутся такие константы d0,Ь > 0, что любая d3-псевдотраектория С = |Сг||=о С VI и О и V2 с d С (0, do) может быть Ы-отслежена точной.

В ходе доказательства мы будем несколько раз уменьшать число do и увеличивать Ь (каждый раз новые константы будут зависеть только от /).

Для начала заметим, что, как следует из явного вида системы, найдется такая константа d' > 0, что для любой )3-псевдотраектории С = {Сг}^=0 С VI и О и V найдется такое п С N1, что выполнены включения

С с г = 0,..., п -1,

Сп с О, (12)

С» С V!, г = п +1,...,Ж.

V

V

Положим do = dd 216

Применяя последовательно лемму 1 к {£г}"=0\ а затем к {£получаем, что найдутся точки р € У1 и д € У2 и константа £ > 0, удовлетворяющие соотношениям

^С/*(р),£*) < £а3, г = 0,..., п - 1,

^(Г-"-1^), £) < £а3, г = п +1,..., N.

В силу липшицевости отображения / и его обратного, /-1, мы можем оценить

^ (/», /-1(д)) < Ыр(/-1)а181(/п+1(р), д) < Ь1р(/-1) (Ыр(/)£а3+а3+£а3) < са3,

(13)

где с = Ь1р(/-1)(1 + £ + Ь1р(/)£).

Уменьшая ¿0 и учитывая включение (12), мы можем добиться выполнения включений

Г(р)еВ|(0), Г\д)<=В*(0).

Далее мы покажем, что найдется константа К > 0, зависящая только от /, и такая точка г € К2, что выполнены неравенства

^(Пр), /*(г)) < ка, г = 0,..., п -1, йа1;(/<_"_1(д), /*(г)) < ка, г = п + 1,..., ж,

откуда легко получается, что точка г Ы-отслеживает псевдотраекторию £ с некоторым Ь > 0, зависящим только от /. Положим

Др) = {р' € к2 | ав1;(/V), /*(р)) < ка, г = 0,..., п}, ВД = {р' € к2 | ^(Лр'), Г(д)) < ка, г = 0,..., N - п -1},

где константу К > 0 (зависящую только от /) мы выберем позднее. Мы покажем, что

Г+1(£(р)) П ЭД = 0. (14)

Тогда любая точка г € /(/"+1(Д(р)) П и является искомой.

Для удобства введем обозначение /"(р) = (ж, у).

Уменьшая, если нужно, , из явного вида системы / и леммы 2 получаем, что множество

Кг1\у\\

Ь /'

С(р) = \ (х + Ах,у + Ау) | |ДЖ| < К<1, |Ду| < —^ \, (15)

где Ь = тах(|Ь1|, | Ь21), удовлетворяет соотношению

С(р) С /"(ОД). (16)

Рассмотрим два случая:

(У1) |У|> а2, (У2) |у|<а2.

В случае (У1) из соотношений (15) и (16) следует, что

ка3!

/ "(Од) 2 С (р) э (ж + Дх,у + Ду) ||Д*| < ка, Д | <

откуда при к > СЬ, учитывая соотношение (13), получаем включение

/-1(д) € /"(ОД),

что и требовалось.

Рассмотрим случай (У2). Здесь также возможны две альтернативы:

(Х1) |ж| < ка,

(Х2) |ж| > ка.

Мы покажем, что в каждом из этих случаев выполнены неравенства

>(М3, (17)

-ф(х,у) < -Ы3, (18)

где функция ф из условия (¿4); тогда из простых геометрических соображений получается, что С(р) ПБ(д) = 0, где С(р) определено в (15), а Б(д) = {(дх + ДХ, ) | |ДХ | < к^}. Отсюда, учитывая тот факт, что Б(д) С ^(д), получаем требуемое соотношение

(14).

Поскольку / принадлежит классу С2, учитывая соотношение (¿4), мы можем написать

ф(х, у) = х3 + су + хуФ(х, у) + у2Ф(х, у), (19)

где Ф, Ф — непрерывные функции и с = §^(0, 0).

Отметим также, что для всех х, у € К выполнено неравенство

22

х2+3ху + 3у2 > у + (20)

Мы рассмотрим только подслучай (Х1) (в подслучае (Х2) рассуждения аналогичны). Неравенства (17) и (18) доказываются аналогично, поэтому мы ограничимся доказательством (17).

Так, из (19) получаем соотношение

ка ^ ка / ка \2 / ка\3\

— ,у)~Ф{х,у)= (Зх2— +3х( — 1 +( —) ] +

+ —уФ(ж + Кй, у) + жуДФ(ж, у) + у2АФ(х, у), (21)

где

ка

АТ(х,у) = Т(х+ —,у) -Т(х,у), Т = Ф, Ф.

Уменьшая do, если нужно, можем считать, что |ДФ(ж, у)| < 1, |ДФ(ж,у)| < 1 при (ж, у) С В(О). Положим

М = тах |Ф(р')|.

р'ев, (о)1

Отсюда, учитывая (20) и (21) и увеличивая, если нужно, К > 0, получаем требуемую оценку:

ф(х+—,у\ -ф[х,у)>—------К<Р-<?>£<?.

4-3. Доказательство пункта 4• Пусть а\ = = 4, = ¡3\ = Ь = 2^,

= (-4, -2) х (-1,1), У2 = (2,4) х (-1,1), О = (-1,1) х (-1,1), <5 = Положим

в(х, у) =---, ж, у ф 0,

(ж2 +у2)2 • 11оё |ж|| • 1|у11

в(ж, 0) = 0,

0(0, у) =0.

Ясно, что функция в обладает классом гладкости С1. В качестве функции ф(ж, у) возьмем

ф(х,у) = у + ж3 + ИЫ

(ж2 +у2)2 • |1с^|ж|| • 1|2/11

Несложно построить диффеоморфизм /: К2 ^ К2, удовлетворяющий условиям ^1)-^4) с заданными нами параметрами.

Мы покажем, что такое / не обладает гёльдеровым свойством отслеживания с показателями Гё ль дера 7 € (1].

Предположим противное. Тогда найдутся такие константы Ь, do > 0 и е > 0, что для любого d С (0, do) любая d4-e-псевдотраектория может быть Ьd-отслежена точной. Мы построим псевдотраекторию, для которой это не так.

Зададим псевдотраекторию С по следующему правилу:

, ( d3-Со = 0, ■

М

С-п = /-пЫ, п С N ( 1 d3-e

а = лео) + (о,й4-е) = (2-, — + <11-° Сп = /п-1(С1), п с ы,

где константа М > 0 такова, что - 4Ьс1 + > 4Ь^ Е ■

Ясно, что построенная нами последовательность С = {Сг}»еж является d4-e-псевдотраекторией.

Предположим теперь, что нашлась точка р С К2 Ьd-отслеживающая С, т.е. удовлетворяющая неравенствам

ам(/»(р),С») < Ьd. (22)

Уменьшая, если нужно, а > 0, мы можем применить лемму 2 к системе /-1 и точке £0 и к системе / и точке £1 соответственно. Откуда получаем следующие соотношения (отметим, что в обоих случаях /3 = 4, 5 = у^):

С+(М£0,/-1)Н(х,у) | |х| < ьа,у €

а

3-£

м

192а4-£ а3-£ 192а4-£ +

м

м

м

С+(ьа,£1,/)Н(х,у) € г | х €

у €

2- - Ь(1,2- + Ь(1 2 '2

"¿3-е ¿3-Е

___ + ¿4-е _ 192фь __ + ¿А-е + 1Шу1

гдеу1 = (£1), = (^ + й4-е).

Мы покажем, что выполнено соотношение

/ (С+ (ьа,£0,/-1)) П С+(ьа,£1,/) = 0,

что противоречит включениям р € С+(Ьй, £0, /-1), /(р) € С+(Ьй, £1, /), которые также следуют из леммы 2 и соотношений (22).

Так, пусть (х, у) € С+(Ьй, £0,/-1). Для краткости запишем

х = мЬй,

¿3-£ 19204- , ч

+ (23)

где |и|, |V| < 1. Мы покажем, что

¿3-е

ф{х,у) < — + ¿4-е - 192^ (24)

для всех таких точек (х, у), откуда следует, что /(х, у) € С+(Ы, £1,/), что и требуется. Для доказательства (24) мы вычтем из правой части неравенства левую и оценим:

¿3-£

+ (¿4-£ - 192с%1 - </>(ж, у) >

м

> - 192^ - \и\*Ь*<Р +„ , ^ ГVм.........■ (25)

Здесь мы приняли во внимание |V | < 1 и неравенства

а3-£ 192а4-£ а3-£ 192а4-£

> -гт-г >

м м 2м м

которые выполнены при достаточно большом М и достаточно малом

192 М

Уменьшая а и увеличивая М, мы можем считать, что 1 - Цт<1 > 1/2. Учитывая

это неравенство, продолжим оценку (25):

+ dA-£ - I92dyi - ф{х,у) >

M

+ M 3d3(-L3 + L

2 ^ ((ULd)2 + (2^)2)^2. | lQg |X||. | log MJ ■

Отметим, что при малом d выполнено неравенство

(<■">■+(тг)У<1-

откуда при достаточно малом d следует цепочка неравенств

\u\3d3 f-L3 +-—-^-) >

\ ((uLdy + (2*^)2)^2.1 log N|.| log \y\\J -

> \u\3d3 (^-L3+ . | log . [logl^ll) -

Откуда и следует (25). □

Литература

1. Tikhomirov S. Holder shadowing om finite intervals // Ergodic Theory and Dynamical Systems, FirstView Article. Cambridge University Press, 2014.

2. Sakai K. Shadowing Property and Transversality Condition // Dynamical Systems and Chaos. Vol.1. Singapore: World Sci., 1995. P. 233-238.

3. Pilyugin S. Yu. Shadowing in dynamical systems // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1706. Springer, 1999.

4. Pilyugin S. Yu. Spaces of Dynamical Systems // De Gruyter Studies in Mathematical Physics. 2012. Vol.3.

Статья поступила в редакцию 25 декабря 2014 г. Сведения об авторе

Петров Алексей Алексеевич — [email protected]

HOLDER SHADOWING IN THE CASE OF CUBIC TANGENCY

Alexey A. Petrov

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]

We consider a model example of a diffeomorphism f of a compact surface with Axiom A in the case of cubic tangency of one-dimensional stable and unstable manifolds. We prove that if f is of class C2, then f has the Holder shadowing property with exponent i. We construct an example of a diffeomorphism / that is of class C1, has the Holder shadowing property with exponent -j but fails to have the Holder shadowing property with exponent 7 > j. Refs 4.

Keywords: dynamical systems, shadowing, cubic tangency, Axiom A.

References

1. Tikhomirov S. "Holder shadowing om finite intervals", Ergodic Theory and Dynamical Systems, FirstView Article (Cambridge University Press, 2014).

2. Sakai K. "Shadowing Property and Transversality Condition", Dynamical Systems and Chaos 1, 233-238 (World Sci., Singapore, 1995).

3. Pilyugin S. Yu. "Shadowing in dynamical systems", Lecture Notes in Mathematics 1706 (Springer, 1999).

4. Pilyugin S. Yu. "Spaces of Dynamical Systems", De Gruyter Studies in Mathematical Physics 3, (2012).