Свойства нечувствительности и предельной нечувствительности для динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

О. А. Тараканов

СВОЙСТВА НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛЬНОЙ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ*

Введение. В теории динамических систем и ее приложениях большую роль играют методы, позволяющие получать приближенные траектории как результат численного моделирования, а также выяснять, как они связаны с реальными траекториями системы. В последние годы интенсивно разрабатывается теория отслеживания для динамических систем [3], которая дает ответы на многие возникающие при решении указанных задач вопросы. Динамическая система обладает свойством отслеживания, если ее приближенные решения в том или ином смысле близки к точным решениям. Введенное М. Бернардесом [1] свойство нечувствительности является одним из вариантов свойств отслеживания. В настоящей работе вводится определение свойства предельной нечувствительности, являющегося одним из предельных свойств отслеживания, связанных с поведением приближенной траектории в случае, когда погрешность вычислений стремится к нулю при увеличении времени.

1. Постановка задачи, основные определения и формулировки результатов. Пусть М — замкнутое гладкое многообразие с римановой метрикой р. Обозначим через С0(М) множество гомеоморфизмов на М с метрикой ро, индуцируемой метрикой р:

ро(ф, Ф) = шах{шах(р(ф(а), ф(а)), р(ф-1 (а), ф-1(а))) : а € М}.

Для ф € С0(М),£ > 0, определим модуль непрерывности:

Д(ф,£) = вир {р(ф(а),ф(Ь))}.

а,ЬЕМ :р(а,Ь)<£

Введем следующие обозначения: Рег(ф) — множество периодических точек ф; ш(ф, х) — множество (^-предельных точек траектории точки х в системе ф. Обозначим для точки х € М ее £-окрестность N(£, х); аналогично будем обозначать £-окрестность гомеоморфизма ф через N(£,ф).

Пусть X —топологическое пространство. Множество А С X называется множеством второй категории (по Бэру), если А содержит пересечение счетного числа открытых всюду плотных множеств.

Свойство Р элементов х € X называется типичным, если множество {х € X : Р(х)} второй категории по Бэру. В этом случае будем также говорить, что типичное х € X обладает свойством Р.

Фиксируем ф € С0(М).

Определение 1. Множество N8^) С М — множество всех таких точек а € М, для каждой из которых выполнено следующее условие: для любого £ > 0 существует такое 6 > 0, что для любой последовательности точек {хь}д>о из того, что

р(хо, а) <6

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-00675), РФФИ ГФЕН (грант 02-01-39001) и Министерства образования РФ (грант Е02-1.0-65).

© О.А.Тараканов, 2005

и

р(ч>(хк), xk+i) < S при к > 0

следует, что

р(ф(a), Xk) < £ при к > 0.

Определение 2. Множество LNS(ф) С M — множество всех таких точек a G M, для каждой из которых выполнено следующее условие: для любого £ > 0 существует такое S > 0, что для любой последовательности точек {xk}k>o из того, что

p(xo, a) < S,

p(p(xk),Xk+i) < S при к > 0, р(^(хи), Xk+i) ^ 0 при к ^ж,

следует, что

р(ф(a), Xk) < £ при к > 0,

р(ф(a), Xk) ^ 0 при к ^ ж.

Замечание. Если a G NS(y>) (соответственно, a G LNS(y>)), будем говорить, что гомеоморфизм ф нечувствителен (соответственно, предельно нечувствителен) в точке a.

Было доказано, что для типичного гомеоморфизма ф G C°(M) существует множество второй категории D(p) С NS(^) [1].

Основным результатом данной работы являются две следующие теоремы.

Теорема 1. Если dim M > 2, то для типичного ф G C°(M) существует множество второй категории D(^) С NS(^)\LNS(^).

Теорема 2. Если dim M = 1, то для типичного ф G C°(M) существует множество второй категории D(^) С NS(^) П LNS(^).

2. Доказательство теоремы 1. Сначала докажем лемму.

Лемма 1. Фиксируем гомеоморфизм ф G C°(M) и точку x G M. Тогда для любого £ > 0 найдется гомеоморфизм f G N(£, ф) со следующими свойствами:

x G Per(f); существует такая точка z G ui(f,x), что z = x.

Доказательство. Рассмотрим множества

Ak = {f G C0(M) : fk(x) = x} С C0(M).

Ясно, что Ak открыты; если фУ<" (x) = x, то сколь угодно малым шевелением ф можно добиться, чтобы новый гомеоморфизм f принадлежал множеству Ak. Это значит, что множества Ak открыты и всюду плотны, поэтому множество A = р| ^o Ak —второй категории. Следовательно, по теореме Бэра оно всюду плотно, что и доказывает первое утверждение леммы.

Пусть x G Per(f). Из-за компактности M существует точка z G ui(f,x). Если z = x, то вместо z можно взять точку f(z) G w(f,x); тогда f(z) = f(x) = x, иначе бы выполнялось включение x G Per( f), это доказывает второе утверждение леммы.

Фиксируем плотное множество {zk}^z С M. Для целого к и положительного n введем множества An,k С C°(M) следующим образом.

Гомеоморфизм ф € Ап,к, если существуют числа ц > 1,т > 1 и замкнутые шары Ш С М, V С М со следующими свойствами:

(о) хк € 1П V;

(b) фЧ(V) С 1ПШ;

(c) фт(Ш) С 1ПШ;

(с1) множества фг(у), ф3(Ш) дизъюнктны при 0 < г < ц < з < ц + т;

(е) Лат фг(у), ^ат ф3 (Ш) < 1/п при 0 < г < ц < з < ц + т.

Ясно, что Ап,к открыты при всех п и к.

Утверждение 1. При любых п, к множество Ап,к всюду плотно. Доказательство. Фиксируем числа п,к, гомеоморфизм ф € С°(М) и число £ > 0. Надо найти ] € N(£,ф), ц > 1, т > 1, V С М, Ш С М, удовлетворяющие условиям (а)-(е).

По лемме 1 можно считать, что хк € Рег(ф) и существует такая точка х* = хк, что х* € ш(ф, гк).

Фиксируем

0 < £1 < шап(£,р(гк,х*), А(ф-1,£)).

Обозначим Шо = С1N(£1,х*). Так как траектория 0(гк ,ф) состоит из счетного числа точек, можно выбрать £1 так, чтобы

0+(гк ,ф) П дШо = 9.

Так как траектория 0(гк,ф) пересекает Шо бесконечное число раз, то существуют такие числа ц > 1 и т > 1, что выполняются следующие условия:

(1) ф1(гк) € Шо при 0 < г < ц;

(2) фЧ(хк) € 1П Шо;

(3) ф3 (хк) € Шо при ц< з < ц + т, если т> 1;

(4) фЧ+т (хк) € 1П Шо.

Обозначим £ = фЧ(хк).

Так как фт(£) € 1П Шо, то существует такое £2 < £1, что для Ш = С1N(£2, £) верно включение

фт(Ш) С 1П Шо.

Кроме того, так как хк непериодическая, можно выбрать £2 таким, чтобы

фг(хк) € ф3(Ш) при 0 < г < ц, 0 < 3 < т;

множества ф3 (Ш) дизъюнктны при 0 < 3 < т.

Кроме того, при необходимости уменьшим £2 так, чтобы выполнялись неравенства

diam ф3 (Ш) < 1/п при 0 < 3 < т.

Возьмем ^ > 0 со следующими свойствами:

£1 + ^ < шт(£,р(хк ,х*), Л(ф-1 ,£));

для Ш1 = С1N(£1 + ^, х*) условия (1) — (4) остаются верными при замене Шо на Шь Рассмотрим гомеоморфизм Н € С°(М) со следующими свойствами:

Н\м\^1 = !&; Н(Шо) С 1П Ш.

Рассмотрим гомеоморфизм I = Нф. По выбору £1 имеем оценку ро(/,ф) < £. Проверим, что для (/,Ш) выполняется условие (с). Действительно, так как при 0 < 3 < т множества ф3 (Ш) не пересекаются с Ш1, то I3 (Ш) = ф3 (Ш). Верны соотношения

Г(Ш) = Н(ф(/т-1(Ш))) = Н(фт(Ш)) С Н(Шо) С 1П Ш.

Аналогично, Iг(хк) € Ш при 0 < г < ц и

IЧ(хк) = Н(фЧ(хк)) = Н(£) € 1ПШ.

Заметим, что хк € Рег(/), так как при г > ц верно включение

Г(хк) € и I3(Ш).

о<3<т

Далее, выберем £3 < £2 и определим множество V = С1N(£3, хк) так, чтобы выполнялись следующие условия:

diam Iг(V) < 1/п при 0 < г < ц; Iг(V) П I3 (Ш) = 0 при 0 < г < ц; 0 < з < т; IЧ(V) С 1П Ж.

Ясно, что для выбранных таким образом I, Ш, V (и для чисел ц, т) выполняются все условия из определения множества Ап,к. В силу произвольности выбора £ мы получаем требуемое утверждение.

Замечание. Множества Ш, V из определения Ап,к будем также обозначать Шп,к, Уп,к, когда будет важно, к какому Ап,к они относятся. Так как они зависят также от гомеоморфизма ф, то будем их также обозначать Шп,к(ф), Уп,к(ф).

Следствие. Для типичного ф € С°(М) существует множество второй категории В(ф) С N3^).

Доказательство. Возьмем

ф € Ап,к

п,к

и

°(ф) = П и 1П Vn,k. п>о кеЪ

Возьмем точку а € О(ф) и фиксируем £ > 0. Надо найти 6 > 0, чтобы выполнялось свойство из определения 1.

По свойству множества -0(у>) можем найти такие п, к, что е > ^ и а, € Уп^- По непрерывности гомеоморфизма ф и по свойству множества Ап,к существует 6 > 0 и

такие множества V(г), W(j, определенные при 0 < i < q и 0 < j < m, что выполняются следующие включения:

N(S,Vn,k) С Int V(0');

ф(N(S,V(г'))) С Int V(г+1) при 0 < i < q;

N(S, V(q)) с Int Wnk;

N(S,Wn,k) С Int W(0);

ф(N(S,W(j))) С Int W(j+1) при 0 < j < m;

N(S,W(m)) С Int Wn,k.

Возьмем теперь последовательность {xk}k>o, удовлетворяющую свойствам из определения 1. Из свойств этой последовательности и из свойств множеств V(г) и W(j) следует, что выполняются включения

xk G V(k) при 0 < к < q;

Xk G W((k-q)mod(m)) при q < к.

Так как те же самые включения выполняются для точек fk (a) (напомним, что a G Vn,k С V(0)) и 1/n < £, мы получаем требуемое условие из определения 1.

Замечание. Эта конструкция приведена и последнее следствие доказано (см. [1]), за единственным исключением: в определении множеств An,k требовалось, чтобы число q было неотрицательным. У нас наложено более сильное условие положительности числа q (на самом деле, лемма 1 дает нам возможность взять q > 1); это условие нам понадобится в дальнейшем.

Определим теперь множества Bn,k С An,k следующим образом. Гомеоморфизм ф G An,k лежит в Bn,k, если существуют замкнутые шары V1 ,V2,Wi,W2 С M со свойствами

(a) Vг С Int Vn,k, Wi С Int Wn,k, i = 1, 2;

(b) zk G Int V^

(c) V1 П V2 = $,W1 П W2 = 0;

(d) фч(Vi) С Int Wг, i = 1, 2;

(e) фт(Шг) С Int Wг, i = 1, 2,

где числа q и m те же, что и в определении множества An,k. Ясно, что множество Bn,k открыто.

Утверждение 2. Пусть dim M > 2. Тогда множество Bn,k всюду плотно. Доказательство. Фиксируем гомеоморфизм ф G An,k,£ > 0. Возьмем S < min{£/2, А.(ф-1,£/2)}. Из утверждения 1 следует, что можно взять такой гомеоморфизм ф1 G An,k, что

Р0(ф,ф1) <£/2 и max( diam Vn,k(^1), diam Wn,k^1)) <S

(для этого достаточно взять <ф\ из множества An^k для некоторого п' > |-). Поэтому можно считать, что

max(diam Vn,k(ф), diam Wn,k(ф)) < S.

Для краткости обозначим W = Wn,k и V = Vn,k.

Фиксируем точку V € V,v = хк. Как уже было замечено, точки хк и V непериодические. Поэтому можно определить следующие четыре различные точки Р1, Р2, М1, W2, принадлежащие множеству Ш:

Р1 = фЧ(хk), Р2 = фт(Р1); W1 = фЧ (V), W2 = фm(wl).

Эти точки действительно различны, так как, например, если бы р1 = W2, то из этого бы следовало, что хк = фт(V), что противоречит условию (!) определения множества Ап,к. Остальные случаи разбираются аналогично. Поэтому можно выбрать такое !< 6,

что множества N(!,ръ), N(3,, м^) при г = 1, 2 лежат в 1п Ш и дизъюнктны.

Так как ёш М > 2, то по лемме о С°-замыкании [2] существует гомеоморфизм Н со следующими свойствами:

(1) ро(Н, I!) < 26;

(2) н\м\ш = 1!;

(3) Н(р2) = р1, Н(м2) = м1;

(4) Н(р1) € 1п N(!,р1), Н(м1) € 1п N(!, М1).

Далее, существует гомеоморфизм Н2 со следующими свойствами:

(5) ро(Н2,1!) < ! < 6;

(6) Н2(Н^(!,р1))) С 1пN(!,р1), Н2(Н^(!,М1))) С 1пN(3,,м1);

(7) Н2(Н(фтN(!,р1))) С 1пN(!,р{), Н2(Н(фтN(!,м1)))) С 1пN(!,м1).

Обозначим Ш1 = N(!,р1), Ш2 = N(!,М1). По непрерывности выбранных гомеоморфизмов можно взять такое 31 > 0, что множества Р1 = N(31,р2) и Р2 = N(!1,м2) обладают следующими свойствами:

Н2(Н(Р1)) С 1п; ши; (I)

Н2(Н(Р2)) С 1п Ш2.

Также по свойству (6) гомеоморфизмов Н и Н2 имеем

Н2(Н(Ш1)) С 1пШи; (II)

Н2(Н(Ш2)) С 1пШ2.

Возьмем теперь гомеоморфизм I = Н2Нф. Покажем, что I € Вп,к. Действительно, из

(I), (II) следует, что

IЧ(хк) = Н2(Нр)) € 1пШ^ IЧ(V) = Н2(Н(м1)) € 1п Ш2; Г1^) = Н2(Н(фтШ))) с 1пу.

По непрерывности I существуют такие замкнутые окрестности V1, V2 точек хк, V, что

IЧ(V1) С 1п Ши; IЧ(V2) С 1п Ш2,

что и доказывает утверждение.

Следствие. Для типичного ф G C°(M) существует такое множество второй категории О(ф), что О(ф) П LNS(^) = 0.

Доказательство. Возьмем

ф G Bn k

n k

и

°(ф) = П U Vn1,k.

n>0 keZ

Возьмем a G О(ф). Тогда для любого n > 0 существует такое к = к(п), что a G V^k. Возьмем точку b = b(n) G V^ k. Из нашего построения следует, что траектории точки b(n) (рассматриваемые как псевдотраектории) удовлетворяют свойству LNS(^) с S = p(a, b(n)) < 1/n, но не стремятся к траектории точки a, что и доказывает следствие. Теорема 1 является прямым следствием утверждений 1 и 2.

3. Доказательство теоремы 2. Теорема 2 следует из утверждения 1 и следующего утверждения.

Утверждение 3. Пусть dim M = 1. Для типичного ф G An,k и точки a G Vn,k существует такое S > 0, что выполняется условие определения 2 с константами £ = 1/n, S.

Доказательство. Известно, что при dim M = 1 для типичного ф G C°(M) выполняется свойство предельного отслеживания ([3], с. 181). Будем считать, что выбранный гомеоморфизм ф G An,k удовлетворяет этому свойству. Выберем для этого ф такое d > 0, для которого условия определения множества An,k выполняются с заменой Vn,k на N(d,Vn,k). Рассмотрим множество V: = ф:(N(d,Vn,k)). Так как множества V при 0 < i < q + m дизъюнктны и гомеоморфны отрезку, то и множества Vq+jm при j > 0 также дизъюнктны и

diam (Vq+jm) = mes (Vq+jm) ^ 0 при j ^ ж,

так как

mes lu Vq+jm I = E mes (Vq+jm) < 1/n. j>0 j>0

Поэтому существует такое d> 0, что если для некоторой точки b выполняется условие p(a, b) < d, то

lim р(ф (а),фк (b)) = °. k—

Возьмем такое S < d/2, что любая S-псевдотраектория со стремящейся к нулю погрешностью d/2 отслеживается некоторой траекторией со стремящейся к нулю погрешностью. Тогда для такой S-псевдотраектории {x.^^0, что p(a,X0) < S, существует такая точка b, что ее траектория d/2-отслеживает {x:}, причем р(фг(b),Xi) ^ 0 при i ^ ж. Поэтому имеем две траектории с началом в точках a и b, причем p(a, b) < S + d/2 < d и, значит, p(^1 (a),фг(b)) ^ 0 при i ^ ж. Поэтому p(^l(a),Xi) ^ 0 при i ^ ж, что и доказывает утверждение.

Таким образом, доказав теоремы 1 и 2, мы установили, что для типичного гомеоморфизма на многообразии размерности большей или равной двум, типичными являются точки, обладающие свойством нечувствительности, но не обладающие свойством

предельной нечувствительности; для типичного гомеоморфизма на одномерном многообразии типичными являются точки, обладающие как свойством нечувствительности, так и свойством предельной нечувствительности.

Summary

0. A. Tarakanov Non-sensitivity and limit-non-sensitivity properties for dynamical systems.

Limit-non-sensitivity property for homeomorphisms is introduced and its correspondence to the non-sensitivity property introduced by M. C. Bernardes is considered. It is proved that for a generic homeomorphism on a manifold of dimension 2 or more, there exists a residual set of points such that the homeomorphism is non-sensitive but is not limit-non-sensitive at any of these points. It is also proved that for a generic homeomorphism on a manifold of dimension 1, there exists a residual set of points such that the homeomorphism is non-sensitive and limit-non-sensitive at any of these points.

Литература

1. Bernardes M. C. On the Predictability of Discrete Dynamical Systems // Proc. Amer. Math. Soc., 2002. Vol. 130, N7. P. 1983-1992.

2. Pilyugin S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C0-Topology // Lect. Notes in Math. Vol. 1571. Springer, 1994.

3. Pilyugin S. Yu. Shadowing in Dynamical Systems // Lect. Notes in Math. Vol. 1706. Springer, 1999.

Статья поступила в редакцию 30 марта 2004 г.