О продолжении гомеоморфизмов в нульмерных однородных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.126

О ПРОДОЛЖЕНИИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ В НУЛЬМЕРНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

С.В. Медведев1

Пусть X - нульмерное однородное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Доказана теорема о продолжении гомеоморфизма %\Л ^ В между счётными непересекающимися компактными подмножествами А и В пространства X до гомеоморфизма /: X ^ X. Если, дополнительно, пространство X не псевдокомпактно, то гомеоморфизм g можно продолжить до гомеоморфизма/: X ^ X \ А.

Ключевые слова: однородное пространство, гомеоморфизм, первая аксиома счётности, псевдокомпактное пространство.

В статье изучается возможность продолжения гомеоморфизмов в нульмерных однородных пространствах с первой аксиомой счётности. Интерес к этому вопросу появился после знакомства с одним результатом ван Дауэна [1]. Ван Дауэн показал, что любое нульмерное однородное не дискретное метрическое пространство гомеоморфно своему собственному подмножеству.

Обозначения. Запись X ~ У означает, что пространства X и У гомеоморфны. w(X) - вес пространства X. Наименьший бесконечный кардинал обозначается буквой ю.; также ю = {0,1,2,...} . Мы будем предполагать, что любая рассматриваемая последовательность точек состоит из различных точек. Если в пространстве X последовательность {ап : п ею} точек сходится к точке а е X, то положим Б(а) = {а} и Ц1{ап : п е ю} .

Пространство X называется однородным, если для любых двух точек а и Ь из X найдется гомеоморфизм /: X ^ X , для которого /(а) = Ь . Топологическое пространство называется нульмерным, если оно является ^-пространством и обладает базой из открыто-замкнутых множеств. Отметим, что каждое нульмерное пространство является тихоновским пространством. Тихоновское пространство называется псевдокомпактным, если любая непрерывная вещественная функция, определенная на этом пространстве, ограничена. Пространство называется сжимаемым, если оно гомеоморфно некоторому своему собственному подмножеству.

Остальные используемые определения и обозначения можно найти в [2].

Лемма 1. Пусть X- нульмерное однородное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Пусть в пространстве X даны две сходящиеся последовательности точек {ап : п е ю} и {Ьп : п ею} , причем Нш п^ ап = а, Нш п^ Ьп = Ь и Б (а) П Б (Ь) = 0.

Тогда для любой открыто-замкнутой окрестности и точки а существуют открытозамкнутая окрестность V точки а и гомеоморфизм /: X ^ X, такие, что: V с и, /(а) = Ь, /(V) П V = 0, / ° / = idX, /(х) = х для любой точки х й V и У/(а;- е V о Ьi е /(V)).

Доказательство. Так как пространство X однородное, то существует гомеоморфизм g : X ^ X , переводящий точку а в точку Ь . Найдем такую открыто-замкнутую окрестность W

точки а , что W с и и g (^) П W = 0 .

Рассмотрим два множества: { ею:а( е W, Ь( й g ^)} и Ть = { ею: а( йW, Ь( е g ^)} .

Множества и Ть - конечные, так как мы имеем дело со сходящимися последовательностями.

Для каждого i е выберем открыто-замкнутую окрестность Qi точки а1 таким образом, чтобы Qi с W и Qj П Б (а) = {а.} . При этом можно считать, что множества :i е } попарно не пересекаются, так как последовательность {ап :пею} состоит из попарно различных точек.

1 Медведев Сергей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет.

E-mail: [email protected]

Возможны два случая в зависимости от того, принадлежит точка g(а.) множеству Б(Ь) или нет. Поэтому ^ = Уа1 и 2 , где .^1 = {i е ^ : g(аj ) й Б(Ь)} И 2 = {. е : g(aj ) е Б(Ь)} .

Первый случай: i е Та1. Тогда легко найти такую открыто-замкнутую окрестность Д точки а., что Д с Qi и g (Д) П Б (Ь) = 0 . В этом случае положим gi = g .

Второй случай: i е Та2, т.е. g(а.) = Ьу для некоторого индекса у . Так как X - не дискретное пространство, а множество g(Qi) П Б(Ь) - конечное, то найдется точка с. е Qi, для которой g(с. ) й Б(Ь) . Зафиксируем гомеоморфизм у/i : X ^ X , переводящий точку а. в точку с. . Выберем открыто-замкнутую окрестность Д с Qi точки а. таким образом, чтобы Д и у. (Д) с Qj, Д П у (Д) = 0 и g(у (Д)) П Б(Ь) = 0 . Определим отображение gi: X ^ X по правилу:

> у (х), если х е Д,

■у-Чх), если хе у1 (Д), g(х), если хе X \ (Д II у (Д)).

Несложно проверить, что отображение g i является гомеоморфизмом и gi (Д) П Б(Ь) = 0 . Определим отображение g* : X ^ X по правилу:

Гgi (х), если х е Д для некоторого. е Та,

&(х) =

g *(х) = *

[g(х), если х е X \ и{Д :. е Та}.

Несложно проверить, что g * - гомеоморфизм. По построению, W* = W \ и{Д :. е За } - открыто-замкнутая окрестность точки а . При этом g *(а) = Ь и Б(Ь) П g(W) = Б(Ь) П g * ^*). Отметим, что если Та =0, то полагаем W* = W и g* = g .

Аналогично, для каждого . е .Д выберем открыто-замкнутую окрестность Е( точки Ь( таким образом, чтобы Е( с g *(W*), Е( П Б(Ь) = {Ь.}, Б(а) П к~х(Е{) = 0, а сами множества {Е. :. е Ть }

попарно не пересекались бы. При этом гомеоморфизм к{ : X ^ X определяется через g * тем же способом, как был построен гомеоморфизм gi на основе отображения g .

Множество V = W *\ и {к-1 (Е.):. е Ть } - искомая открыто-замкнутая окрестность точки а . Сначала рассмотрим отображение к : X ^ X , определенное по формуле:

I к (х), если х е к-1 (Е1) для некоторого. е Ть , к(х) = < .

^g *(х), если х е X \ и{к. (Е{):. е Ть}.

Затем определим отображение / : X ^ X по правилу:

к(х), если х е V,

/(х) = •! к_1 (х), если х е к(V),

х, если х е X \ (V и к{у)).

Рутинная проверка показывает, что отображение / - искомое. Лемма 1 доказана.

Теорема 1. Пусть X - нульмерное однородное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Пусть в пространстве X даны две сходящиеся последовательности точек {ап : п ею} и {Ьп : п ею}, причем Нш п^ ап = а, Нш п^ Ьп = Ь и Б (а) П Б (Ь) = 0.

Тогда существует такой гомеоморфизм /: X ^ X, что / ° / = idX, /(а) = Ь и /(ап) = Ьп для любого п ею.

Доказательство. Возьмем убывающую базу {и* : п ею} в точке а , образованную открытозамкнутыми множествами. По лемме 1 существуют открыто-замкнутая окрестность и0 точки а

и гомеоморфизм go : X ^ X , такие, что: ио с и0, go(a) = Ь , go(Uо) П и о =0, go ° go = idx , g0(х) = х для любой точки х йио и У-'(а( е и0 о Ь( е g0(U0)). Продолжая этот процесс по ин-

Медведев С.В. О продолжении гомеоморфизмов

в нульмерных однородных пространствах

дукции, для любого п > 1 построим открыто-замкнутую окрестность ип точки а и гомеоморфизм gn : x ^ x , такие, что: и„ с и* п gn (а) = Ь , gn (ип) П ип =0, gn ° gn = idx ,

gn (х) = х для любой точки х й ип и У.(а. е ип о Ь( е gn (ип)). Ясно, последовательность множеств {ип : п ею} образует убывающую базу в точке а , а последовательность ^п (ип): п ею} образует базу в точке Ь . Для любого п ею определим множество индексов Тп = {. ею: а1 й ип }.

Для каждого . ею зафиксируем гомеоморфизм : X ^ X, для которого х ^ (а у) = Ь. . Возьмем открыто-замкнутую окрестность О. точки а. . Тогда х . (О.) - открыто-замкнутая окрестность точки Ь. . Без ограничения общности можно считать, что множества {О. :. ею} и {Х. (О.): . ею} попарно не пересекаются, Нш.^ О. = {а}, Нш .^^Х. (О.) = {Ь}, О. с ик \ ик+1 и Х. (О.) с gk (ик) \ gk+1 (ик+1), если точка а. с ик \ ик+1 для некоторого к ею.

Для любого п ею множество Тп конечно, поэтому два множества Vn = ип и и{О. : . е Тп} и Wn = gn (ип) и их. (О.): . е Тп } открыто-замкнуты в X, причем Б (а) с Vn, Б (Ь) с Wn, ^+1 с Vn, ^п+1 с и V, П ^ =0 . Более того, /п (Vn) = для гомеоморфизма /п : X ^ X , определенного индуктивно следующим образом:

п (х), если х е ип,

_1(х), если х е gn (ип ),

/п (х) = \ х. (х), если х е О. для некоторого . е Тп,

Х'1 (х), если х е х . (О.) для некоторого . е Тп, х, иначе.

Очевидно, что /п ° /п = idx .

Определим отображение /: X ^ X по правилу /(х) = Ншп^ /п (х). В частности, /(а) = Ь и /(Ь) = а . Покажем, что это определение корректно. Действительно, так как П{ип : п е ю} = {а} И П^п (ип): п ею} = {Ь}, то для точки х е X \{а,Ь} найдется п, для которого х й ип и gn (ип). Тогда /п+1(х) = /п (х); поэтому предел Ншп^^ /п (х) всегда существует. Несложно проверить, что / - искомый гомеоморфизм. Теорема 1 доказана.

Точка а называется точкой накопления множества А в пространстве X, если а е А \{а} , где

чертой сверху обозначается замыкание в X. Множество Аd всех точек накопления множества А называется производным множеством множества А. Для п ею определим по индукции производное множество А(~п'> порядка п множества А по правилу: А(0) = А и А(п+1) = (А(п))d . Говорят,

что множество А имеет ранг п, если А( п-1) ^0 , а А(п) = 0. Если А(п) =0 для некоторого п ею, то говорят, что множество А имеет конечный ранг.

Следующая теорема усиливает результат теоремы 1.

Теорема 2. Пусть X - нульмерное однородное пространство с первой аксиомой счётности. Пусть в пространстве X даны два счётных непересекающихся гомеоморфных компактных множества А и В конечного ранга. Тогда любой гомеоморфизм g : А ^ В продолжается до гомеоморфизма /: X ^ X, удовлетворяющего условию / ° / = idx.

Доказательство. Если X- дискретное пространство, то А и В - конечные множества первого ранга. В этом случае несложно построить нужный гомеоморфизм / .

Рассмотрим случай, когда пространство X не дискретное. Тогда А и В - нигде не плотные множества. Доказательство проведем индукцией по рангу п множеств А и В.

База индукции: п = 1. Так как А® = В® =0 , то А и В - дискретные конечные множества. Значит, А = {а^...,ак} и В = {Ь^...,Ьк}, где Ь1 = g(а.) для 1<. < к. По определению, для каждого . существует такой гомеоморфизм /: X ^ X, что /■ (а.) = Ь(. Найдем попарно непересекающие-

ся открыто-замкнутые окрестности и( и V. точек а. и Ь. соответственно. При этом можно считать, что /■ (и.) = V.. Требуемый гомеоморфизм /: X ^ X определим по правилу:

/■ (х), если х е и( для некоторого /(х) = < /_ (х), если х е V для некоторого., х, если х е X \ ии. и Уi :1 <. < к}.

Допустим, что утверждение верно для любых множеств ранга не больше, чем п. Возьмем множества А и В ранга п +1. Тогда ранг множеств Л(1) и 5(1) равен п. Ясно, что g(А(1)) = В(1). По индуктивному предположению существует продолжение гомеоморфизма g до гомеоморфизма

точки множества

к : X ^ X , для которого к ° к = idx, к( В(1)) = А(1) и к(А(1)) = В(1). Занумеруем А \ А(1) в последовательность {ат : т ею}. Тогда В \ В(1) = ^ (ат): т е ю} . Применяя рассуждения как в доказательстве леммы 1, можно считать, что g(ат) Ф к(ак) для любых индексов т и к. Тогда к (А \ А(1)) П В = 0 и к(В \ В(1)) П А = 0. Для любого тею зафиксируем гомеоморфизм хт : X ^ X, переводящий точку ат в точку g(ат). Множество А и к(А) и В и к(В) нигде не плотно в X, поэтому существуют такие открыто-замкнутые окрестности ит и Vm = хт (ит) точек ат и g(ат) соответственно, что множества ит, Vm , к(ит) = к~1(ит) и к(Vm) = к~1(Vm) по-

парно не пересекаются, а также не пересекаются с множеством А® и В(1). Более того, так как и В(Г> - компактные множества, то можно считать, что последовательность {ит :. ею} сходится

к точке а* е

А(1)

о последовательность {Уm : . ею} сходится к точке g (а*) = к(а*) е В(1) о последовательность множеств {к(Уm ): . е ю} сходится к точке а* = к ° к(а*) е А(1). Определим искомое отображение / следующим образом:

хт (х), если х е ит для некоторого т,

/ (х) =

х 1 (х), если х еУm для некоторого т, к ° х~_ ° к(х), если х е к_ (Уm) для некоторого т, к_1 ° хт ° к_ (х), если х е к(ит) для некоторого т, к( х), иначе.

Индуктивный переход закончен. Теорема 2 доказана.

Рассмотрим вопрос о продолжении гомеоморфизма g: А ^ В между двумя замкнутыми множествами А и В в пространстве X до гомеоморфизма /: X ^ X \ А .

Лемма 2. Пусть в топологическом пространстве X даны такие две последовательности {ип : п ею} и {Уn : п ею} открыто-замкнутых множеств, что:

1) и0 ^ и1 ^ ••• ^ ип ^--,

2) и0 П V = 0, где V = \J{Уn : п ею},

3) семейство множеств {Vn : п ею} дискретно в пространстве X,

4) для любого п ею существует гомеоморфизм gn : ип ^ Vn.

Тогда для множества А = П{ип : п ею} существует такой гомеоморфизм /: X ^ X \ А , что /(А) = go(А) с Vo .

Доказательство. Определим отображение /: X ^ X \ А по правилу:

/ (х) =

Медведев С.В. О продолжении гомеоморфизмов

в нульмерных однородных пространствах

' go(х), если х е и0,

gn+1 ° g_1 (хХ если х е gn (ип+1) ДЛЯ п е ю

g_1 (х), если х е Vn \ gn (ип+1) для п е ю, х, если х й и0 и V.

Учитывая, что и0 \ А = ©{ип \ ип+1 : п ею} и / (V,) = (ип \ ип+1) и Уn+1 для любого п е ю, несложно проверить, что /взаимно однозначно отображает пространство X на X \ А . Так как множества gn (ип+1) и Vn \ gn (ип+1) открыто-замкнуты в Vn (следовательно, и в X), множество и0 и V открыто-замкнуто в X, а каждое отображение gn является гомеоморфизмом, то и отображение /будет гомеоморфизмом. По построению, /(А) = g0 (А) с V0. Лемма 2 доказана.

Теорема 3. Пусть в нульмерном однородном не псеедокомпактном пространстве X с первой аксиомой счётности даны две разные точки а и Ь. Тогда существует такой гомеоморфизм /: X ^ X \ {а}, что /(а) = Ь.

Доказательство. Так как пространство X нульмерное и не псевдокомпактное, то в X существует счётная дискретная система ^п : п е ю}, состоящая из открыто-замкнутых множеств. Ясно, что W = и^п : п ею} является открыто-замкнутым множеством в X. Без ограничения общности можно считать, что айW и ЬеW0. В точке а зафиксируем убывающую базу {ип :пею}, состоящую из открыто-замкнутых множеств и удовлетворяющую условию W П Щ =0 .

Так как пространство X однородное, то существует гомеоморфизм g0 : X ^ X , переводящий точку а в точку Ь . Найдем такую открыто-замкнутую окрестность и0 точки а , что и0 с и* и V0 = ЫЦ,) с W0 . Далее, по индукции, для каждого п > 1 найдем гомеоморфизм gn : X ^ X и открыто-замкнутую окрестность ип точки а согласно следующим условиям: ип с ип-1 П и* и множество Vn = gn (ип) открыто-замкнуто в Wn . Очевидно, что П{ип : п ею} = {а} . Для завершения доказательства теоремы 3 остаётся применить лемму 2.

Следствие 1. Пусть дано нульмерное однородное не псевдокомпактное пространство X с первой аксиомой счётности. Тогда X- сжимаемое пространство.

Лемма 3. Пусть в нульмерном однородном пространстве X дана открыто-замкнутая окрестность и * компактного счётного множества А и дана дискретная система {^ :. е ю}, состоящая из открыто-замкнутых множеств. Тогда существуют такие открыто-замкнутые гомеоморфные множества и с и * и V с и{^ :. ею}, что А с и.

Доказательство. По условию, множество А = и{а. :.ею}. Для каждого индекса . выберем точку Ь( е Wj и гомеоморфизм gi: X ^ X, переводящий точку а. в точку Ь(. Найдем открытозамкнутую окрестность и. точки а., удовлетворяющую условиям: и. с и * и gi (и.) с . Из покрытия {и. :. е ю} компакта А можно выбрать конечное подпокрытие {и. :. < к} . Заменяя множество и. на множество и. \ и{и. :. <.}, можно считать, что семейство {и.:. < к} состоит из попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств. Тогда множества и = и{и. :. < к} и V = и^г (и):. < к} - искомые. Лемма 3 доказана.

Теорема 4. Пусть X - нульмерное однородное не псевдокомпактное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Пусть в пространстве X даны два счётных непересекающихся гомеоморфных компактных множества А и В конечного ранга. Тогда существует такой гомеоморфизм /:X ^X \ А, что /(А) = В.

Доказательство. Так как пространство X не псевдокомпактное, то в X существует счётное дискретное семейство, состоящее ИЗ открыто-замкнутых множеств, не пересекающихся С А и В . Занумеруем это семейство как : п > 1,. ею}. Положим W = и :п > 1,. ею}.

По теореме 2 возьмём гомеоморфизм g : X ^ X , для которого g(A) = B . Так как А и В - не-пересекающиеся компакты, то существует открыто-замкнутая окрестность U0 множества А, для которой выполняются условия: B с g(U0), U0 П W = 0, g(U0) П W = 0 и U0 П g(U0) = 0 .

С помощью леммы 3 для любого n > 1 построим по индукции открыто-замкнутые множества Un , Vn и гомеоморфизм gn : Un ^ Vn , так, чтобы A с Un , Un+1 с Un и Vn с U{Wni: i е а} . При этом можно считать, что A = H{Un : n е а} , так как пространство X удовлетворяет первой аксиоме счётности. Теперь теорема 4 вытекает из леммы 2.

Замечание. Если бы теорему 2 удалось доказать для произвольных счётных компактных множеств, то теорема 4 выполнялась бы для счётных компактных множеств произвольного ранга.

Теорема 5. Пусть X - нульмерное однородное не псеедокомпактное и не дискретное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Тогда для любого счётного компактного множества Z конечного ранга существует такое расширение X* пространства X, что нарост X *\Х гомеоморфен множеству Z, а само расширение X* гомеоморфно X.

Доказательство. Применяя индукцию по рангу множества Z, несложно проверить, что пространство X содержит два замкнутых непересекающихся множеств А и В, каждое из которых гомеоморфно Z. По теореме 4 существует такой гомеоморфизм f: X ^ X \ A , что f (A) = B . Тогда

множество X \ A гомеоморфно X и всюду плотно в X. Полагая X* = f_1 (X \ A), получаем нужное расширение пространства X.

Литература

1. van Douwen, E.K. A compact space with a measure that knows which sets are homeomorphic / E.K. van Douwen // Adv. in Math. - 1984. - Vol. 52. - Issue 1. - P. 1-33.

2. Engelking, R. General topology / R. Engelking. - Berlin: Heldermann Verlag, 1989. - 540 p.

ABOUT EXTENSION OF HOMEOMORPHISMS OVER ZERO-DIMENSIONAL HOMOGENEOUS SPACES

S.V. Medvedev1

Let X be a zero-dimensional homogeneous space satisfying the first axiom of countability. We prove the theorem about an extension of a homeomorphism g: A ^ B to a homeomorphism f: X ^ X, where A and B are countable disjoint compact subsets of the space X. If, additionally, X is a nonpseudocompact space, then the homeomorphism g is extendable to a homeomorphism f: X^X\ A.

Keywords: homogeneous space, homeomorphism, first axiom of countability, pseudocompact space.

References

1. van Douwen E.K. A compact space with a measure that knows which sets are homeomorphic. Adv. in Math. 1984. Vol. 52. Issue 1. pp. 1-33.

2. Engelking R. General topology. Berlin: Heldermann Verlag, 1989. 540 p.

Поступила в редакцию 30 мая 2013 г.

1 Medvedev Sergey Vasiljevich is Cand.Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University.

E-mail: [email protected]