H-однородные lambda-пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.124

и-однородные ^-пространства

С.В. Медведев1

Пусть X - й-однородное сепарабельное метризуемое несчётное А-пространство. Тогда: 1) X является СБИ-пространством, 2) X гомеоморф-но X \ А для любого счётного множества А из X.

Ключевые слова: СОИ-пространство; к-однородное пространство;

А-пространство; гомеоморфизм.

Все пространства предполагаются сепарабельными метризуемыми.

Сепарабельное топологическое пространство X называется счётно плотно однородным, если для любых двух счётных всюду плотных множеств А и В из пространства X существует такой гомеоморфизм /: X ^ X, что /(А) = В . Кратко такое пространство X называется СБИ-пространством. Это понятие применяется только для сепарабельных пространств. Термин «СБИ-пространство» был введён Беннетом в 1972 г. Однако понятие СБИ-пространства является классическим; оно фактически встречалось ещё в работах Кантора, Брауэра, Фреше и других математиков прошлого века. Важными примерами СБИ-пространств служат евклидово пространство Мп и гильбертов куб [0;1]®.

Теорема 1. Любое абсолютно борелевское СБИ-пространство метризуемо полной метри-

Напомним, что абсолютно борелевским пространством называется пространство, гомео-морфное борелевскому подмножеству полного метрического пространства. Теорема 1 доказана М. Хрусаком и Б. Авилес [1] в предположении выполнения аксиом теории ZFС. Отметим также [1], что из аксиомы детерминированности вытекает, что любое СБИ-пространство метризуемо полной метрикой. В то же время, как известно, аксиома детерминированности противоречит аксиоме выбора.

Теорема 1 показывает, что поиск других СБИ-пространств нужно вести среди множеств, устроенных более сложно, чем борелевские множества в польских пространствах. Ниже в теореме 2 указан ещё один класс СБИ-пространств. Теорема 2 доказана в системе аксиом ZFС и представляет собой основной результат заметки; она усиливает утверждение 4.9 из статьи [4].

Обозначения. Запись X ~ У означает, что пространства X и У гомеоморфны. Наименьший бесконечный кардинал обозначается буквой си, также ю = {0,1,2,...}.

Топологическое пространство называется нульмерным, если оно является ^-пространством и обладает базой из открыто-замкнутых множеств. Нульмерное пространство называется к-однородным, если любое его непустое открыто-замкнутое подмножество гомеоморфно всему пространству. Пространство X называется пространством первой категории, если его можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных подмножеств.

Куратовский [2, §40] ввёл так называемые А-пространства. Сепарабельное пространство X называется А-пространством, если любое счётное подмножество из X является б^-множеством в X. Можно доказать [2], что любое несчётное польское пространство содержит несчётное А-множество.

Остальные обозначения и применяемые термины можно найти в монографиях [2] и [6].

Отметим следующие связи между А-пространствами и пространствами первой категории.

Лемма 1 [2]. Любое А-пространство является пространством первой категории.

Лемма 2 [3]. Любое СБИ-пространство первой категории является А-пространством.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

1 Медведев Сергей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет.

E-mail: [email protected]

Лемма 3 [5]. Пусть в нульмерном метризуемом пространстве Xi дано замкнутое нигде не плотное множество Р;, где Iе {1;2}. Пусть дан гомеоморфизм /: р — Р2.

Тогда существует покрытие V множества Xi \ р попарно не пересекающимися открытозамкнутыми (в Xi) множествами для каждого !е {1;2} и биекция /: V — У2 такие, что для любых множеств О1 с и О2 с UV2, связанных произвольной биекцией g: О1 — О2 и удовлетворяющих условию g(О1 П V) = О2 П /(V) для любого V е V, комбинированное отображение /Vg : р и О1 — р и О2 непрерывно в каждой точке множества р, а обратное отображение

(/Vg) 1 непрерывно в каждой точке множества Р2.

В ситуации, описанной леммой 3, мы будем говорить, что:

1) покрытие V множества Xi \ р образует остаточное семейство множеств относительно множества р для каждого ; е {1;2};

2) биекция /: V — У2 согласована с гомеоморфизмом /: р — Р2 ;

3) тройка ^, V2,/ образует КЯ-покрытие для (X1 \ Г1,X2 \ Г2,/).

Результат, аналогичный лемме 3, был также получен А.В. Островским и ван Энгеленом. Отметим, что термин «КЯ-покрытие» был предложен ван Энгеленом.

В доказательстве теоремы 2 используются некоторые идеи из статьи [4].

Теорема 2. Любое к-однородное несчётное А-пространство является СБИ-пространством.

Доказательство. В И-однородном несчётном А-пространстве X зафиксируем счётные всюду плотные множества А и В.

Так как пространство Xнульмерно, то согласно [6, теорема 7.3.1] существует такая последовательность Ц,и2,... дискретных открытых покрытий пространства X, что семейство и = {и е 1Ап : п ею} образует счётную базу пространства X, состоящую из открыто-замкнутых множеств, причём для любого п покрытие ип+1 вписано в покрытие ип. По определению И-однородного пространства, для каждого множества и е и существует гомеоморфизм (Р и: X —^ и.

Счётное множество А и Ц{ри(А): и е и} расширим до счётного множества А = {ап : п е ю} таким образом, чтобы множество А \ А было бы всюду плотно в X. Аналогично, счётное множество В и и{ри (В): и е и} расширим до счётного множества В = {Ьп : п е ю} таким образом, чтобы множество В' \ В было бы всюду плотно в X.

Так как пространство X - несчётное, то X' = X \ (А и В') - всюду плотное множество в пространстве первой категории X; следовательно, X' также является множеством первой категории в X. По определению А-пространства, А и В' - множество типа бд в пространстве X. Тогда X' = и{ Xn : п ею}, где каждое множество Xn замкнуто и нигде не плотно в X. Так как пространство X нульмерно, то без ограничения общности можно считать, что множества Xn, п ею, попарно не пересекаются. По построению, для любых и е и и п ею множество ри (Xn) замкнуто и нигде не плотно в X, причём ри (Xn) с и , ри (Xn) П А = 0 и ри (Xn) П В = 0 .

Построим гомеоморфизм /: X — X, для которого /(А) = В .

Для этого по индукции в пространстве X построим замкнутые нигде не плотные множества

Рп и Еп , гомеоморфизм /п : Рп — Еп , КЯ-покрытие (Уп , Щ /п) для ^ \ Рп , X \ Еп, А) , удовлетворяющие следующим условиям для любого п ею :

1) Xn и Рп и {ап} с Рп+1;

2) Xn и Еп и {Ьп} с Еп+1;

3) /п (А П Рп ) = В П Еп ;

38

Вестник ЮУрГУ, Серия «Математика. Механика. Физика»

4) сужение /п \Р = / для любого ! < п;

5) семейство Уп+1 вписано в Уп, а семейство Щп+1 вписано в Щп ;

6) если V е Уп и V* е Ут для п < т, то V* с V о /т (V*) с/п (V).

База индукции. Для п = 0 положим Р0 = Е0 =0 , У0 = Щ0 = {X}, /0 (X) = X и /0 (0) = 0 .

Индуктивный переход. Предположим, что множества Еп и Еп, гомеоморфизм /п : Еп — Еп и КЯ-покрытие ^Уп,Щ,/п^ для (X\Гп,X\Еп,/п) построены согласно условиям (1)-(6).

Сделаем следующий шаг. Зафиксируем множества V е Уп и Ж = /п (V) е Щ .

Положим У = V П Xm , где т - наименьший индекс, для которого множество У Ф0 . Аналогично, положим Z = Ж П Xk, где к - наименьший индекс, для которого множество Z ^ 0 .

Множество А всюду плотно в X. Зафиксируем точку а{ е V П А с наименьшим возможным индексом !. Выберем точку Ьj е Ж П В с наименьшим возможным индексом у по следующему правилу: Ьу е В о а{ е А.

Множество У и {а;} нигде не плотно в V, поэтому существует такое базисное множество и е и, что и с V и и П (У и {а;}) = 0 . Положим Ру = У и {а;} и ри ^). Аналогично, найдётся базисное множество и *е и , удовлетворяющее условиям и * с Ж и и * П^ и {Ьу}) = 0. Пусть ЕЖ = Z и {Ьу} и ри* (У). Определим гомеоморфизм /у : FV — ЕЖ по следующему правилу:

нутые нигде не плотные множества в пространстве X. Зададим отображение /п+1 : Рп+1 — Еп+1 по следующему правилу:

Из построения вытекает, что отображение /п+1 является локальным гомеоморфизмом в точках множества Рп+1 \ Рп, а из индуктивного предположения и леммы 3 следует, что отображение /п+1 является гомеоморфизмом в точках множества Рп .

Семейство Уп+1 ={и еV: Vе Уп} образует покрытие множества X \ Рп+1, а семейство

/п+1: Уп+1 — Щп+1 определяется естественным образом: /п+1(и) = / (и), если и е VV для некоторого V е Уп . Несложно проверить, что биекция /п+1 согласована с гомеоморфизмом /п+1. Итак, (Уп+1,Щп+1,/п+^ образует КЯ-покрытие для (X \ ^ X \ En+1, /п+1).

Ясно, что все условия (1)-(6) выполняются. Индуктивный переход завершён.

Из условий (1) и (2) следует, что X = и{Рп : п е ю} = и{Еп : п ею}.

Зададим отображение /: X — X по правилу /(х) = /п (х), если х е Рп для некоторого п. Это определение корректно в силу условия (4). Более того, / - биекция. По построению, сужение / \р является гомеоморфизмом. Из леммы 3 вытекает, что / - гомеоморфизм.

Из условия (3) следует, что /(А) = В .

Теорема 2 доказана.

Ьу, если х = а;,

/у (х) = < ри* (х), если х е У,

(ри) 1(х), если хери^).

По лемме 3 существует КЯ-покрытие ^Уу,ЩV,для (V \ Ру ,Ж \ЕЖ,/^ .

Несложно проверитЬ, что Рп+1 = Р и и{Р : V е уп } и Еп+1 = Еп и и{Е/п(V) : V е уп }

- замк-

/V (х), если х е для некоторого V е Уп,

/п (x), если х е Р.

образует покрытие множества X \ Еп+1. Биекция

Из теоремы 2, леммы 1 и леммы 2 вытекает следующая неожиданная характеристика А-пространств.

Следствие 1. Пусть дано h-однородное несчётное пространство X. Тогда X является Я-пространством тогда и только тогда, когда X - CDH-пространство первой категории.

Следствие 2. Пусть X = ©{Xn : nе ю}, где каждое Xn является h-однородным несчётным

Я-пространством. Тогда X- CDH-пространство.

Установим ещё одно свойство h-однородных Я-пространств.

Теорема 3. Пусть дано h-однородное несчётное Я-пространство X. Тогда X гомеоморфно своему подпространству X \ A для любого счётного множества A с X.

Доказательство. Так как пространство X нигде не счётно, то дополнение X \ A является всюду плотным подмножеством в X. Согласно лемме 1, X - пространство первой категории. Тогда [2] дополнение X \ A также будет пространством первой категории относительно себя.

Так как пространство Xнульмерно, то согласно [6, теорема 7.3.1] существует такая последовательность U1,U2,... дискретных открытых счётных покрытий пространства X, что семейство U = {U е Un : n е о} образует счётную базу пространства X, причём для любого n покрытие Un+1 вписано в покрытие Un. По определению h-однородного пространства, для каждого множества U е U существует гомеоморфизм (pU : X ^ U.

Рассмотрим счётное множество A* = A u U{pU (A): U е U}. Из определения А-множества

следует, что А* - множество типа Gg в пространстве X. Несложно проверить, что X* = X \ A * -всюду плотное множество в пространстве первой категории X; следовательно, X* также является множеством первой категории в X. Более того, X* - множество типа Fc в пространстве X. Поэтому множество X* можно представить в виде счётного объединения X* = U{Xn : n е о} замкнутых (в X) нигде не плотных множеств Xn. Из построения вытекает, что множество pU (Xn) замкнуто и нигде не плотно в X, причём pU (Xn) с U \ A для любых U е U и n ею.

Применяя лемму 4 из [5], делаем вывод, что любое открытое множество из пространства X \ A содержит нигде не плотное замкнутое (относительно X \ A) подмножество, гомеоморфное пространству X. Тогда по теореме 3 из [5] пространство X \ A гомеоморфно h-однородному расширению h(X,ю) пространства X относительно пространств первой категории. В [5] было показано, что для любого сепарабельного h-однородного пространства X первой категории расширение h(X,ю) гомеоморфно самому пространству X.

Теорема 3 доказана.

Замечание. Интересно выяснить, останутся ли теоремы 2 и 3 верными для (нульмерных) однородных пространств.

Литература

1. Hrusak, M. Countable dense homogeneity of definable spaces / M. Hrusak, B. Zamora Aviles // Proc. Amer. Math. Soc. - 2005. - Vol. 133. - Issue 11. - P. 3429-3435.

2. Куратовский, K. Топология: моногр: в 2 т. / K. Куратовский; пер. с англ. М.Я. Антоновского. - М.: Мир, 1966. - Т.1. - 595 с.

3. Fitzpatric, Jr. B. Countable dense homogeneity and the Baire property / B. Fitzpatric Jr., H-X. Zhou // Topology Applic. - 1992. - Vol. 43. - P. 1-14.

4. Hernandez-Gutierrez, R. Countable dense homogeneity and А-sets / R. Hernandez-Gutierrez, M. Hrusak, J. van Mill // Fund. Math. - 2014. - Vol. 266. - Issue 2. - P. 157-172.

5. Medvedev, S.V. About closed subsets of spaces of first category / S.V. Medvedev // Topology Applic. - 2012. - Vol. 159. - P. 2187-2192.

6. Engelking, R. General Topology / R. Engelking. - Berlin: Heldermann Verlag, 1989. - 529 p.

Поступила в редакцию 5 июня 2014 г.

40

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics” ________________2014, vol. 6, no. 3, pp. 37-41

h-homogeneous x-spaces

S.V. Medvedev'

Let X be an h-homogeneous separable metrizable uncountable X-space. Then: 1) X is a CDH-space,

2) X is homeomorphic to X\ A for any countable subset A of X.

Keywords: CDH-space; h-homogeneous space; X-space; homeomorphism.

References

1. Hrusak M., Zamora Aviles B. Countable dense homogeneity of definable spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 2005. Vol. 133. Issue 11. pp. 3429-3435.

2. Kuratowskiy K. Topologiya: monografiya (Topology: the monograph). Moscow, Mir Publ., 1966. Vol. 1. 595 pp. (in Russ.). [Kuratowski K. Topology. New York and London, Academic Press, 1966. Vol. 1. 560 pp. (in Eng.).]

3. Fitzpatric Jr.B., Zhou H-X. Topology Applic. 1992. Vol. 43. pp. 1-14.

4. Hernandez-Gutierrez R., Hrusak M., van Mill J. Countable dense homogeneity and X-sets. Fund. Math. 2014. Vol. 266. Issue 2. pp. 157-172.

5. Medvedev S.V. About closed subsets of spaces of first category. Topology Applic. 2012. Vol. 159. pp. 2187-2192.

6. Engelking R. General Topology. Berlin, Heldermann Verlag, 1989. 529 pp.

Received 5 June 2014

1 Medvedev Sergey Vasiljevich is Cand.Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University.

E-mail: [email protected]