О замкнутых подмножествах в (лоднородных пространствах первой категории Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.83

О ЗАМКНУТЫХ ПОДМНОЖЕСТВАХ В ^/-ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПЕРВОЙ КАТЕГОРИИ

С. В. Медведев

В заметке описывается некоторый класс нульмерных метрических пространств, которые можно вложить в качестве замкнутого нигде не плотного подмножества в и-однородное пространство первой категории.

Все пространства, рассматриваемые в статье, предполагаются нульмерными метрическими.

В классической дескриптивной теории множеств большое внимание уделяется борелевским, аналитическим и проективным множествам. В частности, для изучения некоторых свойств универсальных множеств оказались полезными топологические методы исследования. С одной стороны, универсальные множества часто обладают некоторой однородной структурой, а с другой стороны, универсальность пространства X понимается с точки зрения возможности вложения в X пространств, принадлежащих некоторому классу множеств. Поэтому представляет интерес описание класса пространств, которые можно вложить замкнутым образом в и-однородное пространство.

Определения и обозначения. Основные определения и обозначения - стандартные [1].

Нульмерное метрическое пространство называется и-однородным, если в нем любое непустое открыто-замкнутое подмножество содержит замкнутое подмножество, которое гомеоморфно всему пространству. Запись X » У означает, что пространства Хи У- гомеоморфные. м>(Х) - вес пространства X. Чертой сверху F обозначается замыкание множества Р в пространстве X. Для индексированной системы множеств т = {1/а: аеА} из пространствах через |т| обозначается мощность семейства г, иг = и{£/а: аеА}, шезЬ(г) - мелкость семейства х (верхняя грань диаметров множеств из г). Используем обозначение: со = {0, 1, 2, ...}.

Для пространства X положимР(Х) = {У - пространство: У гомеоморфно некоторому непустому замкнутому множеству из X}. Пусть ЬР(Х) = {У - пространство: любая точка из У лежит в некоторой открыто-замкнутой окрестности, принадлежащей семейству Р(Х)}. Далее, введем

класс пространств аЬР(Х) - {У, пространство У представимо в виде 7= и{7„: пе со}, причем каждое множество У„ замкнуто в У и У„ е ЬР(Х)}. Если сНтХ= 0, то из теоремы о счетной сумме [1, с. 293] вытекает, что с!нп7= 0 для любого пространства Уеа1Р(Х). Через Н0(Х) обозначим семейство всех замкнутых нигде не плотных множеств из X. Пусть Н(Х) = {7: У и 2, где 2<=Нц(Х) }.

Лемма 1. Пусть пространство У е аЬР{Х) для некоторого ^-однородного пространства X первой категории, причем м’(Х) = к и МУ) < к. Тогда пространство У представимо в виде конечной или счетной суммы замкнутых множеств, каждое из которых гомеоморфно некоторому замкнутому нигде не плотному (в X) множеству из X.

Доказательство. По определению 7 = и{7„: песо}, где каждое множество У„ замкнуто в 7и У„ е1Р(Х). Тогда сНт7„ = 0 для любого п е со.

Зафиксируем индекс п. Для каждой точки уеУ„ выберем такую открыто-замкнутую окрестность и(у), что и(у)еР(Х). В покрытие {Щу): уеУ„) множества 7„ впишем дискретное подпокрытие {иа: аеА} мощности \А\<к.

Выберем дискретное покрытие {Ха\ ссек} пространства X мощности к. В силу и-однородности пространства X для каждого аеА существует такое замкнутое множество 2(Хо¥0(, что 11а « 2а', положим 2п - и{2а\ аеА}. Тогда множество 2п замкнуто в X и 2п « У„\ пусть

2„~>У„ - некоторый гомеоморфизм. Так как X - пространство первой категории, то X =и{Хт: /песо}, где каждоеХт нигде не плотно вX, причем без ограничения общности можно считать, что каждое Х,„ замкнуто в X. Тогда при любых пит множество 2„ПХт замкнуто и нигде не плотно в

X (в частности, 2„Г\Хт может оказаться пустым множеством). Множества 7„>да =/„{2пГХт) замкну-

ты в 7„, значит, и в пространстве 7. Но Y„ = U{ 7,v„: те со), следовательно, 7 = U{ 7„,„: песо, те со).

Счетное семейство множеств {Y„m: песо, те со] - искомое. Лемма 1 доказана.

Опишем построение изоморфных систем остаточных множеств; похожая конструкция применялась автором в [2].

Пусть даны два нульмерных метрических пространства X, с метрикой d„ г = 1,2; без ограничения общности можно считать, что диаметр множества X, в метрике d, меньше 1. Пусть F) -замкнутое множество в Х\, В\ - граница множества F\, тогда В\еНй{Х\). В дальнейшем мы будем предполагать, что множество В\ не пусто, или, эквивалентно, что множество Ь\ не является открыто-замкнутым в X). Пусть F2- замкнутое нигде не плотное множество в Х2; и пусть дан гомеоморфизм f. F\-^F2\ тогда множество В2 = _/(В])еН0(Х2). При выполнении этих предположений можно построить [2] последовательность покрытий т1п = {У\ „л: аеЛ„} множества В, и последовательность покрытий т2п ={ Vjftji'- осе А„} множества В2, которые удовлетворяет следующим условиям для любых песок i = \,2:

si) семейство г,я дискретно в X, и состоит из открыто-замкнутых множеств пространства^,;

s2) mesh(r,„) < 2~" в метрике d,-,

s3) покрытие измельчает покрытие х|>п;

s4) В, U (X,\F,) с Urho ;

s5) Ux,„ - открыто-замкнутая окрестность множества В, и n{Ux,n \песо} = В,:

s6) множество f/)>a,n=^,a,n\ (F, U(Ux, „+i)) не пусто для любого аеА„; в частности, Ui an(lF, =0;

s7) U{U,A/I: аеА„, песо} =X,\F,;

s8) mesh({UiA/. aeA„, песо} )< 2~n в метрике d,\

s9) ЛУ\>апГ\В\ ) = V2stnC\B2 для любого ae А„.

Семейство множеств {Bj ПК,а„: аеАп, песо} образует обычную базу пространства В„ / = 1,2. Семейство {х,„: песо} будем называть внешней базой множества F„ а семейство 21г = {Uiari: аеАп, песо} - системой остаточных множеств для множества F, в пространстве X, , i = 1,2. Определим биекцию ц/. 21, —» 212 между системами остаточных множеств по правилу =

U2,a,n для любых аеА„, песо. В этом случае будем говорить, что системы 21,и 212 остаточных множеств в пространствах X, и Х2 соответственно связаны биекцией ц/ и согласованы с гомеоморфизмом /: F\->F2. Сами системы 21, и 212 будем называть изоморфными.

Отметим важное свойство изоморфных систем остаточных множеств [2].

Лемма 2. Пусть в пространстве Х\ дана последовательность остаточных множеств {U,e 21,: /ею}. Выберем произвольно точки x,eUj и точки у,е I/AJ-J,), ieco. Пусть точка хеВ] и у = /(х)е В 2. Тогда последовательность точек {х,: ieco) сходится к точке х в пространстве Х\ тогда и только тогда, когда последовательность точек {у,: ieco} сходится к точке;/ в пространствеХ2.

Лемма 3. Пусть пространство 7 = 7iU72, причем множество 7, замкнуто в 7 и 7,е#(Х) для

некоторого w-однородного пространствах, /=1,2. Тогда YeH{X).

Доказательство. Зафиксируем гомеоморфизмы f : 7,—»Хтакие, что/(7) - замкнутые непере-секающиеся нигде не плотные множества в X, / = 1, 2. Положим F, = 7,; тогда границей множества F] будет множество В\ = 7in72 \7, . Так как f - гомеоморфизм, то множество F2 = f(F\) е ЩХ).

Если множество В\ пустое, то множество 72\7] - замкнутое и искомое вложение/: 7-»Х определяется по правилу fly) =/i(y), ecnnyeYh и fly) =f2{y), еслиуе72\71.

Рассмотрим случай В\ Ф 0. Используем обозначения из определения изоморфных систем остаточных множеств. В пространстве 7 построим систему остаточных множеств 21, для множества F], а в пространстве X- систему остаточных множеств 212 для множества F2 = f{F\). Тогда U 21,= Y2 \ 7,. Пусть ш: 21, —> 212 - соответствующая биекция между системами остаточных мно-жеств, согласованная с гомеоморфизмом/: F\-^F2.____________________________________________

Так как пространство X- w-однородное, то для любых индексов аеА„, песо существует такое гомеоморфное вложение срау. Х-^и2л,п, что множество Za„ = срап{Х) замкнуто в U2,a,n (а, значит, и ъХ). Можно считать, что множества Za„ и f (Y,) не пересекаются, ведь множество f( Y<) нигде не плотно в X. Каждое t/iA„ замкнуто в Г2, поэтому множество Wan = <pt,„ -/(/Да,,) замкнуто в!и гомеоморфно множеству как композиция двух гомеоморфизмов. При фиксированном п семейство {U2^„: аеАп} дискретно в пространствеX, поэтому множество W„ = U{ fVa„: аеА„} замкнуто вХ, гомеоморфно множеству U» = U{f/j аи: аеА„} и не пересекается с образом /Неопределим отображение/: 7—»X следующим образом: если ye 7ь то fly) =/(у); если7е7Л7ь то уе и]я>п для некоторых индексов аеА„, песо, тогда положим fly) = cpafl °f2(y).

Из построения следует, что образДУ) '=f(Y\)u('J{W„\ песо}). Несложно проверить, что отображение f. Y—>ftY) является биекцией. Сужение отображения /на замкнутое множество 7, является гомеоморфизмом по построению. Сужение/на замкнутое множество U„ также является гомеоморфизмом для любого п. Так как Un П11 т- 0 при п -t- т, то отображение/непрерывно в точках множества U{£/„: песо}. Замыкание Y2 \7j = fi]U(U{[/„: песо}). Непрерывность отображения/ в точках из множества В] вытекает из леммы 2. Итак, сужения / на замкнутые множества 7] и Y2 \71 непрерывны, поэтому отображение f.Y->X~ непрерывно. Аналогично проверяется непрерывность обратного отображения/ l:flY)~>Y. Следовательно,/7—гомеоморфное вложение.

Для любых индексов аеА„, песо множество lJ2fLn\W„_r, является открытым как разность открытого и замкнутого множеств, поэтому множество X\flY) = U{U2>a>n\ Wa„: аеА„, песо} - открытое, следовательно, образ flY) - замкнутое множество в X. Для любых индексов аеА„, песо множество W,x„ является нигде не ПЛОТНЫМ подмножеством семейство {и2л/1\ аеА„, песо}

состоит из открытых не пересекающихся множеств, поэтому множество U{W„: песо}- flY2\Y:) нигде не плотно в X. По построению множество f(Y\) = flYx) нигде не плотно в X, следовательно, множество/}') =/7) U/Y2\7i) нигде не плотно вХкак объединение двух нигде не плотных множеств. Лемма 3 доказана.

Теорема. Пусть дано м-однородное пространство X первой категории, вес w{X) = к. Пусть пространство YeaLFiX) и вес w(Y) < к. Тогда пространство 7гомеоморфно некоторому замкнутому нигде не плотному подмножеству из пространства X.

Доказательство. По лемме 1 множество 7= U{7„: песо}, где каждое 7„ замкнуто в 7и Y„ « Z„

для некоторого Z„eH(y{X). Если множество индексов {п: 7„ ^0} конечное, то теорема вытекает из леммы 3, примененной последовательно конечное число раз.

Далее предполагаем, что 7„ ^ 0 для любого песо. Так как dim7= 0, то можно [1, с. 357] дополнительно считать, что Y„ П7„, = 0 при п^т. Так как X- пространство первой категории, то X = U{Хп\ песо}, где каждоеХ„ не пустое замкнутое нигде не плотное множество вX.

Построим вложение /: Y->X по индукции.

База индукции. Положим ff = Y0 и F2° = Z0. С учетом того, что F2° еН0(Х) и что пространство X- м-однородное, можно считать, что F2° ПХ0 = 0. Зафиксируем гомеоморфизм f0: F® -» F®.

Если множество F,0 открыто-замкнуто в 7, то пусть семейство состоит из одного откры-то-замкнутого множества 7 \ F®. В пространстве X выберем открыто-замкнутое множество V, содержащее нигде не плотное множество X0U F2 так, чтобы множество V = X\ V было непустым. В этом случае семейство 212 состоит из одного множества V .

Далее рассмотрим случай, когда F,0 не является открыто-замкнутым множеством.

Так как Р2 ПХ0 = 0, то найдутся два таких непересекающихся открыто-замкнутых множества V и V, что ХоСV и Р2с; V . Пусть21° = {11^а п : ае А®, песо} - система остаточных множеств для множества/'}0 в пространстве У, а 21° = {и2,а,п '• аеЛ®, песо} - система остаточных множеств для множества Р2 в пространстве V , и ^/0:21? -» 21° - биекция между ними, согласованная с гомеоморфизмом /0: /7° -> ^2° . При этом в обоих случаях и 21° = У \ Р® и Х0П(и 21° ) = 0.

Индуктивный переход. Допустим, что построены замкнутые множества РГ в пространстве У

и замкнутые нигде не плотные множества Р^ в пространстве X и гомеоморфизмы^,: р!п —>Р?; для которых выполняются следующие условия.

VI) Ут с

\2) и21“ = У\^“;

vJ; (и 21" )п хт = 0; иа“ = (и а2 )и

у4/ Р,т~] с и и 21“ с и 21“~', для г = 1,2;

\>5) отображение /т: Г”' —» I™ совпадает с отображением/„, \: Р"' А —» ' на множестве Т7,"11;

убу (//„: 21“ -> 21“ - биекция между объединениями соответствующих систем остаточных

множеств, согласованная с гомеоморфизмом/т: Р[п - Р2 .

Сделаем следующий шаг (переход отткш+1).

Зафиксируем остаточное множество 1/е 21“. Пусть / = гшп{/: У, ПI] &0}. По индуктивному

предположению и {У/-. !<т} с Р"' и /•’“ ГI и = 0, поэтому у > т. Пусть = У, П(/. Возможны два случая: граница 2?) у множества Р1и является пустым или непустым множеством. Если Вщ =0, то будем считать, что семейство 211{/ состоит из одного открыто-замкнутого множества и\Р]:и- В

множестве цст{Ц) выберем открыто-замкнутое множество V, содержащее нигде не плотное множество Х„,и/т(Р]_и) так, чтобы множество V = ///,„(II) \ У было бы непустым. В качестве семейства 212 и возьмем множество V .

Далее рассмотрим случай, когда граница Вщ * 0- Так как Хт - нигде не плотное множество, то остаточное множество ц/т(Ц) можно разбить на два непустых открыто-замкнутых подмножества V и V так, чтобы (//„,{ II) ПХШ с V ; тогда V ГХт = 0. В силу м-однородности пространствах

множество V содержит замкнутую копию пространства X, следовательно, в V существует множество Р21и е#0(Х), гомеоморфное /•’]_//; пусть/(/: Р\и ~>Р2_и - соответствующий гомеоморфизм. Пусть 21, и - система остаточных множеств для ^ в пространстве V, а 21, и - система остаточных множеств для Ри, в пространстве V, и !,%: Щ и -> 212 и ~ биекция между ними, согласованная с гомеоморфизмом /и. При этом и 21 ш = иЩу.

Пусть семейство 21“+| ={ 21, и : 11е 21™ }, где / = 1,2, является объединением всех систем остаточных множеств, полученных при переходе от т к т+1; отметим, что само 21''н! не будет системой остаточных множеств. Биекция ^/т+]:21“+1 —> 21“+1 задается естественным образом: если остаточное множество 1¥е 21, и для некоторого Не 21'", то <//„,. |(IV) = щ (IV).

Определим множества Р{]т+] = Р™ и(1){Р,Л}\ 11е 21“ }), где / = 1, 2. Тогда У„,+1с/;’1“+!; значит, свойство у 1) выполняется. Свойство у2) выполняется: и 21“+1 = и{1ЛРии: Це 21^} = У\^ш+1, так

как по индуктивному предположению U{U: Ue 21 f} = U2tf = Y\F™ . Вторая часть свойства vi) доказывается с помощью леммы 2, а первая часть свойства v3) и свойство v4) проверяются непосредственно. Построим отображение fm+\.F™*x -> F2+] следующим образом. Если точка ye F{", то

(у)=/и(у); а если уеР\Л для некоторого Ue 21“, то fm+l (у) =/(}>)■ Поэтому свойство v5) выполняется. По построению отображение fm+1 является взаимно однозначным. Сужение fm+x на замкнутое множество F'"‘ непрерывно по индуктивному предположению, сужение fm+] на каждое замкнутое множество F\p непрерывно по построению, а сужение /т+1 на замыкание множества\Ftm в точках из F’" будет непрерывным по лемме 2, следовательно, отображениеfm+\ является непрерывным. Непрерывность обратного отображения устанавливается аналогично.

Итак,^+1: F™+x -» /s"+l - гомеоморфизм. Индуктивный переход завершен.

Пусть F2 = U{ F2 : тесо}. Из условия vl) следует, что Y- U{ Fxm : mem}. Определим отображение /: Y—>X по формуле: fly) -fm{y), если точка ye F™ для некоторого т. В силу свойства v5) это определение является корректным. Ясно, что flY) = F2. Так как F™~1 с F"1 и сужение/на каждое замкнутое множество F™ является гомеоморфизмом, то/- тоже гомеоморфизм.

Проверим замкнутость множества F2.

Допустим, что нашлась точка хе F2\F2 и пусть j - min{/: хеХ,}. Из свойств vi) и v4) следует,

что xgU2l“ при т >j, в то же время F2 с и^г ^F2 = значит, xeF2a F2. Получили

противоречие с тем, x&F2. Итак, множество F2 замкнуто.

Возьмем произвольное открытое множество W, пересекающее множество F2. Выберем номер

т = min{/: W П F2 ^0}. Возможны два случая.

Первый случай: множество WDB2i!/ ^0 для некоторого Ue 21“ (напомним, что В2,и - образ границы множества F\j/ при гомеоморфизме f;). Тогда из свойств .у 5) и 58) вытекает, что множество WrXBijj содержит некоторое остаточное множество V из семейства 21“4-1, а в нем содержится непустое множество V, которое не пересекается с F2. Поэтому, согласно одной из характеристик нигде не плотных множеств, множество F2 будет нигде не плотным в X.

Второй случай: множество Wr\B2}U ~0 для всех Ue 21“. Тогда D = WD F™ имеет открытозамкнутую окрестность 0D, которая не пересекается с замкнутым множеством U {B2j/. Ue 21'”}. В силу выбора номера т можно считать, что 0//l(U{ F2 : i < т}) = 0. По построению множество F2 нигде не плотное, поэтому внутри множества 0D найдется непустое множество V, которое

не пересекается с F2 , а, следовательно, и V Г) F2 = 0. Итак, и в этом случае множество F2 оказывается нигде не плотным в X.

Теорема доказана.

Литература

1. Куратовский, К. Топология / К. Куратовский. Пер. с англ. - М.: Мир, 1966. - Т.1. - 595 с.

2. Медведев, С.В. О строении метрических /г-однородных пространств / С.В. Медведев // -В кн.: Общая топология. Отображения топологических пространств. - М.: Изд-во МГУ, 1986. -С. 77-98.

Поступила в редакцию 6 сентября 2007 г.