CC BY
39
УДК 515.128
О ВЛОЖЕНИИ БЭРОВСКОГО ПРОСТРАНСТВА В{к)
В АБСОЛЮТНЫЕ А-МНОЖЕСТВА
С.В. Медведев
В статье доказывается теорема о вложении бэровского пространства В(к) в абсолютные А-множества в качестве замкнутого подмножества.
Ключевые слова: абсолютные А-множества, бэровское пространство.
Все пространства, рассматриваемые в статье, предполагаются метрическими.
В теории ^-множеств важную роль играет пространство иррациональных чисел I, поэтому интересен вопрос о том, когда некоторое пространство содержит копию I. В 1928 г. Гуревич выяснил условия, при которых сепарабельное абсолютное ^-множество содержит замкнутую копию пространства /, и, соответственно, сепарабельное абсолютное С4-множество содержит замкнутую копию пространства рациональных чисел В 1976 г. А.В. Островский доказал теорему о том, что несепарабельное не ст-компактное абсолютное ^-множество содержит замкнутую копию пространства /. Несепарабельным аналогом пространства / является бэровское пространство В(к) веса к, ведь пространство В(оз) гомеоморфно I. В статье [1] описано пространство (){к) веса к, которое можно рассматривать как обобщение пространства рациональных чисел Q на несепарабельный случай; в частности, пространство <2(со) » Q. Топологическая характеристика пространства 0(к) даётся следующей теоремой.
Теорема 1 [1]. Пусть X- метрическое ст-дискретное однородное по весу пространство веса к. Тогда X гомеоморфно £)(к).
В настоящей статье обобщается теорема Гуревича на случай несепарабельных пространств; а именно, доказывается следующая теорема 2 (определения и обозначения даны ниже):
Теорема 2. Пусть дано ^-множество У в полном метрическом пространстве X и 2 = Х-У. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) множество У не представимо в виде У- У^Уг, где У\ - множество типа Б,, в пространстве X, а У2 является аЬЩ<А;)-пространством;
2) множество 2 не представимо в виде 2 - 2\-1г, где 2\ - множество типа 05 в пространстве X, а 2-1 является оЬ ^(-^-пространством;
3) существует такое замкнутое множество МсX, что МоГ« В(к), Мп2 » 0(к), В*(к), а множества МпУ и Мп2 всюду плотны в М.
Основные определения и обозначения - стандартные [3]. Запись X « У означает, что X и У -гомеоморфные пространства. м>(Х) - вес пространства X. Чертой сверху ^ обозначается замыкание сЬР множества Р в пространстве X. Дня индексированной системы множеств 21={{/а: аеА} из пространстваXчерез |21| обозначается мощность этого семейства, и521 = и{иа: аеА} - тело семейства 21, тезЬ( 21) - мелкость семейства (верхняя грань диаметров множеств из 21).
Под ординалом а понимается множество (Р - ординал: Р < а}, а под кардиналом - наименьший ординал данной мощности; в частности, со = {0, 1, 2, ...} - наименьший бесконечный кардинал. Через к+ обозначается кардинал, непосредственно следующий за кардиналом к. Для множества X через X1 обозначается множество упорядоченных последовательностей (кортежей) 5 = (дсо, XI,..., длины п элементов из X; в частности, (хч) = А - единственный кортеж нулевой длины. Если длина 1115 кортежа л равна п и /' < п, то УУ/ - это начальный фрагмент (х0, ..., хм) длины г кортежа 5. Если яеХ" и х„еХ, то кортеж /х„ = (х0, х\,...,х„). Пусть Xе® = и{Хп \песо}. Через В*(к) обозначаем бэровское пространство В(к)=ка веса к при к <со или канторово множество С при к -= СО. Если кортеж 5 = (/'о, 1],..., /„_1)еС0И, ТО ПОЛОЖИМ |л’| = /'о + 11+...+ г„_ь по определению |Л| = -1. Пусть V - некоторое топологическое свойство, тогда мы говорим, что пространство X нигде
не V, если никакое непустое открытое множество из X не обладает свойством V. Пространство X называется ЬШ{<Купространством [6], если у каждой точки из X найдется окрестность веса < к.
Пространство Xназывается <зЬТ¥{<к)-пространством [6], если оно представимо в виде X = и{Х„:
иесо}, где каждое Х„ является ХРГ(<Л:)-пространством. В частности, а£Щ< со)-пространства - это просто а-дискретные пространства. Стоун [6] доказал, что бэровское пространство В(к) нигде не является <зЬ й7(<А:)-пространством. ст-дискретное семейство 53 называется о-дискретной базой [4]
для семейства 21 в пространстве X, если каждое множество из 21 является объединением некоторых множеств из 53. Хансел доказал, что сг-дискретное семейство 53 можно представить в виде 53 = и{53„: иесо}, где каждое семейство 53п Е„-метрически дискретно для некоторого 8П > 0. Отображение /Х->У называется ко-о-дискретным [4], если образ любого дискретного семейства множеств из X имеет а-дискретную базу в У.
Множество У называется А-множеством в пространстве X, если оно допускает представление вида У - и{п{^/Уи): «ею}: t есою}, где каждое множество Д/Уп) замкнуто в X. Если пространство X фиксировано, то через Тт 9ъ и Ск обозначаются соответственно семейства всех Рст-
множеств, Од-множеств и <зЬЩ<&)-множеств из пространствах.
Теорема 2 была анонсирована автором в [2].
Доказательство теоремы 2. Проверим, что 3) => 1). Допустим, что условие 1) не выполняется, т.е. У = Ух'оУг, где 7, - множество типа Рст в пространстве X, а У2~ о1Щ<к)-пространство. Если предположить, что У\ =0, то получим М ~ В*(к)еСк, а это противоречит теореме Стоуна [6].
Итак, У\ Ф 0. Тогда множество М~У\ является абсолютным Оз-множеством, которое содержит всюду плотное подмножество Мг\2 « £}(к), следовательно, М-У\ является однородным по весу пространством веса к. Для к > со по теореме Стоуна [5] это означает, что (.М-У\) « В(к); в то же время по построению (М-У{)е£к• Получили противоречие, ведь В(к)<£Ск. Для к = со множество М-У\ оказывается с-дискретным абсолютным Оз-множеством без изолированных точек, что также невозможно. Итак, импликация 3) => 1) доказана.
Равносильность условий 1) о 2) проверяется очевидным образом.
Докажем 1) => 3). Рассмотрим множество = и{£/ - открытое подмножество У: множество
и представимо в виде объединения стХРГ(<А:)-множества и множества типа Рс из X). Учитывая, что: а) если множество локально имеет тип Рст, то оно и в целом имеет тип Ра, б) если множество является локально о£Щ<А:)-пространством, то оно и в целом будет а! ^(^-пространством [6], приходим к выводу, что множество Б = У-РЬ не пусто, замкнуто в У и нигде не типа Та+£к, т.е. никакое непустое открытое в У множество не представимо в виде где РеТа(Х), Ье£к.
Изучим свойства множества Е— О-У = где О - замыкание множества £> вХ. Очевидно, что УпЕ = 0. Покажем, что Е всюду плотно в Б. Допустим, что нашлось непустое открытое в О множество 11’ которое не пересекается с Е. Тогда множество £/п/) = 1/пВ имеет тип Р0 в X, что противоречит свойствам множества И. Далее, множество Е нигде не типа Я^-£к, т.е. никакое непустое открытое в Е множество не представимо в виде О-Ь, где СеЩХ), а Ье.Ск.
Действительно, пусть открытое в Е множество II = О-Ь, где Сгс И, Ьа Б ,0 - множество типа в £> (значит, и в X), а Ье£к. Возьмём такое открытое в В множество V, что £/= УпЕ, тогда множество Уп У=( РЧ5)и( УглЬ) имеет тип Та+£к, что противоречит свойствам множества /).
Искомое множество М будет принадлежать множеству £>, поэтому в дальнейшем, для упрощения обозначений, мы будем считать, что Х= /), 7= Д У нигде не типа Та+£к, 2-Е и 2 =Х.
Лемма А. В условиях теоремы 2 существует нульмерное полное метрическое пространство Т и такое непрерывное отображение <р:Т-+У, что <р(Т) = Хи для любого открытого множества УаТ, Уф 0, верно следующее: ср(У) нигде не стХЖ(<£)-пространство и <р(У)п2Ф 0 (замыкание вХ).
Доказательство леммы А. Пусть т = и'(У). По теореме 4.1 [4] возьмём непрерывное ко-ст-дискретное отображение <р:В(т)^У, причём (р(В(т)) = У. Назовём открытое множество иаВ{т)
особым, если <р(Ц)с РиЬ с У, где РеТ<,(Х), ЬеСк- Покажем, что открытое множество Т\ = и{11:
и - особое множество в В{т)} само является особым. Возьмём а-дискретное покрытие у множества Т\ из особых множеств. Тогда семейство {(р{Ц)'. 1/е у} имеет а-дискретную базу 25 = и{2$„:
и ею}, где каждое семейство ©„ 8п-метрически дискретно для некоторого 8П > 0. Для каждого 2?еЯЗ зафиксируем некоторое 17в еу так, что В<^<р(ив) с РвиЬв с У, где РвеТ^Х), а 1веСк- Множество Р* = ^> {В Г\РВ: Ве\8} имеет тип Ра в X, так как оно является счётным объединением множеств локального типа Ра. Множество Ь* - и{ В глЬв. БеОЗ} является <зЬй^(<&)-пространством как
счётное объединение локальных аЬРГ(<&)-пространств. По построению Р*иЬ* с У. Покажем, что (р{Т\) с ^иХ*. Возьмём произвольную точку хеТ\ и найдём особое множество С/еу, содержащее точку х. Так как (р{Ц) = и {2?: Ве*В0} Для некоторого подсемейства ©о<=®, то найдётся элемент
ВхеУ$0, содержащий точку <р(х). Тогда (р(х)е Вх с Вх п(РВхиЬВх) с
Итак, (р{Т\) с: /Л_а£* с У, следовательно, Т\ - особое множество. Так как У нигде не типа Тс+Ск, то множество У-(Р*и£*) не пусто и всюду плотно в У. Без ограничения общности [6] можно считать, что множество Ь* имеет тип в У; тогда прообраз Т= (р1{У-{Р*^>Ь*)) имеет тип вз в В(т) и по теореме Александрова-Хаусдорфа множество Тметризуемо полной метрикой.
Возьмём произвольное непустое открытое в Т множество V; пусть V = 1¥пТ, где IV - открыто в В(т). Тогда <р(Ж) - (р(У}оу(\¥-Т) с р(У) и(Р*и£*). Множество <р(У) замкнуто в X, множество РУ не особое, поэтому множество (р(У)-У- <р(У) сл2 не пусто. Далее, пусть существует открытое в <р(У) множество иеСк. Возьмём открытое в В(т) такое множество Н, что <р\Ц) = НглТ, тогда <р(Н)с: ии(Р*и1*) с. У, следовательно, Н - особое множество. Поэтому НаТ\, значит, пересечение НпТ пусто, тогда и £/= 0. Итак, (р(У) нигде не а/,Щ<А:)-пространство. Лемма А доказана. Продолжаем доказательство теоремы. Пусть р - полная метрика на X, с1 - полная метрика на Т, причём сНат(Х) < 1 и сНат(7) < 1, где пространство Т взято из леммы А.
Сначала рассмотрим случай сГ(&) > ю. Индукцией по и, «ею, построим точки г(я; а)е7, открытые в Xбазы {[/(ж /'; а): гею} в точках а), открытые в Xмножества У(я; а), относительно дискретные системы 11(5; а)={Г(5 /; а ап): /ею, а„ек}, открыто-замкнутые множества Г(5; а)сТи
дизъюнктные системы множеств 3(д; а) = {^(Г(/г; «<%)): /ею, а„ек}, связанные следующими соотношениями при любых фиксированных 5 ею", аек", и ею:
1) г(л; а)е(2п^(Г(5;ог)) )-и{V : Уе И(5; ос)};
2) с1*(и{К: Уе 11(5; а)}) = {ф; а)}и (и{К: Уе 11(5; а)});
3) с1*(и{Г: Же 3(5; а)}) = {г(5; а)}и(и{¥: Же 3(5; а)});
4) (Нат№ а)) < 2Чз|~", сИат(Г(5; а)) < 2“";
5) ^(Т(5;аг)) с У(я; а), причём У(я; а) = £/(5*0; а);
6) £/($(/ +1 );а) с £7(5*/; а) для любого /ею, причём #(/7; а)п<^Т(5; а)) * 0, где #(5/; а) = £7(5/; а)-£/(/(/ +1 );а);
7) У(зпг,аЛап) с Щ/'г, а) и 7’(5 /; а с^) с Г(5; а) для любых /ею и апек;
8) семейство {К(5 /; а о^): а^ек} дискретно в Xдля любого /ею;
9) К(5;а) г\У(Г,р) = 0, если (5; а) Ф {V, (3), где /ею", (Зекп.
База индукции п = 0. Положим Т{А\ Л) = Т, У(Л; А) = X, а в качестве г(Л; Л) возьмём любую точку из непустого пересечения (р(Т) г2. В точке г(Л; Л) выберем такую базу {{/(/; Л): /ею}, что У(Л; Л) = (/(0; Л) и С/(/ + 1;Л)с Л), причём множество //(/; Л) = Щг, Л)-С/(/ + 1;Л) Ф 0 для
каждого /ею. По лемме А для любого /ею множество //(/; Л)п<р(Т(Л; Л))<£Ск, поэтому существует такое метрически дискретное в Xсемейство { У(г, а): аек} из открытых в Xмножеств диаметра
< 2-1-', что каждое V(i;a)a H(i; Л). Множество <р(Т(Л; Л)) = у(Т) всюду плотно в Y, <р- непрерывное отображение, поэтому для любых /ею и аек в прообразе p'(V(i; а)) найдутся такие непустые открыто-замкнутые множества T(i; а)с.Т(Л\ Л) диаметра < 2-1, что <p(T(i\a)) czV(i; а). Нетрудно проверить, что для и = 0 все условия 1-9 выполняются.
Индуктивный переход. Для фиксированных ие со, se со”, аек" возьмём любую точку z(s; а)е Znp(T(s;a)) и построим для неё базу {£/(//; а): /ею} из открытых множеств так, чтобы выполнялось равенство V(s; а) = £/(/0; а) и условие 6. Множество Н' = #(//; a)ntp(T(s; а)) ф 0 по построению, тогда по лемме А имеем Н'&Ск, значит, для любого фиксированного л„есо существует такое метрически дискретное в Xсемейство {V(/i; а а„)\ а„ек} из открытых в Xмножеств диаметра , что V(s'i\ a a„)r\<p(T(s; а)) Ф 0 и V(s"i;a''an)c: H(s'i\ а) для \/апек. Далее стро-
им систему {Г(л/; а а„): л„еа>, а„ек} из открыто-замкнутых множеств, для которой выполняются условия 5, 7 и 4. Из условий 9, 8, 6 и 5 вытекают условия 2 и 3. Индуктивный переход завершён.
Для любого иею положим Z„ = {z(s; а): лею”, аек"}; пусть Z* = u{Z„: иею}. Ясно, что Z*cZ. Из условия 9 следует, что каждое множество Z„ относительно дискретно, поэтому Z будет о-дискретным множеством мощности к. Возьмем произвольно точку zeZ*, тогда z = z(s; а) для некоторых лею", аек", иею. Из условий 1, 2, 6, 7 и 8 следует, что любая окрестность точки z содержит дискретное множество мощности к, следовательно, вес окрестности > к. Тогда по теореме 1 пространство Z* гомеоморфно Q(k).
Для любого иею положим Р„ - u{ cp{T(s;a)): «ею", аек"} и М„ = u{Z,: / < и}иД,+]. Определим множество М=п{М„: иею}. Из условий 1 и 7 следует, что Z*aMn и Mn+\CzMn, поэтому Z*czM.
Лемма В. Множество Мзамкнуто в!и гомеоморфно бэровскому пространству В(к). Доказательство леммы В. Проверим, что множество Z всюду плотно в М. Возьмём точку хеМ-Z и её окрестность U в пространстве X радиуса 2“" для некоторого иею. Так как хеМ„, то хе <p(T(t;]3)) oP„+i для некоторых /есо”+1, /?е£"+1. Из условий 1, 5 и 4 следует, что расстояние
р(х, z{t; J3)) < diam(F(7; /3)) < 2_м~”~1, следовательно, z(t; Р)е Z*c\U. Итак, Z* =М Так как Z*~ Q(k), а Q(k) - однородное по весу пространство веса к, то и М- однородное по весу пространство веса к.
Покажем по индукции, что каждое множество М„ замкнуто в X. По условию 3 множество Мо замкнуто в X. Предположим, что множество МпЛ замкнуто в X, и проверим замкнутость множества М„. Так как М„сМ„-ъ то М„ сМ„_\. Возьмём точку хе Мп. Если xeZ*, то хеМ„. Если хgZ*, то
хе <p(T(s;a))czP„ для некоторых лею", аек"; из условий 5 и 9 следует, что эти кортежи s и а определяются однозначно. Тогда, учитывая условия 7 и 3, получаем следующую цепочку: хе (р{T(s;a))nPn+l с c\x(u{<p(T(s'i; а ап)): /ею, апек}) - {z(s; «)}и (u{ W : We3(s; а)}).
Из дизъюнктности семейства 3(л; а) вытекает, что хе (p{T{s"i\a"an)) для некоторых /ею и а„ек, следовательно, по определению хе Р„+\ с М„. Итак, каждое множество М„ замкнуто в X.
Но М=п{М„: иею}, следовательно, множество Мзамкнуто вХ. Так какХ- полное метрическое пространство, то и М- полное метрическое пространство.
Докажем, что diniM = 0. Для каждого иею множество S„ = {лею<ш: |л| + Ills = и+1} конечное; например, jSj = {<2), (1,0), <0,1), <0,0,0)}. Рассмотрим семейство 21 „={£/(//; a): lhs = lha, /ею, s"ieSn, аек*0}. Возьмём два разных множества U\ = U(/i; а) и U2 - U(tj; р) из семейства 21„. Если lhs = Ш, то £/, п U2 = 0 согласно свойствам 9, 6 и 5. Если lhs < lhf, то найдём т = max {/ею: siYl = fjYl}. Так как lh(//)<lh(/y) и |//| < \fj\, то случай т = lh(//) невозможен. Значит, т <
< lh(//). Из свойств 5, 6 и 7 вытекает, что f7icF(//Y(ffj+l); aY(т+1)) и U2cV(fjY(m+\); pY{m+\)). Следовательно, по свойству 9 JJX nU2 = 0, ведь /7Y(m+l) Ф fjY(m+\). Случай lbs > lh/ разбирается аналогично. Итак, замыкания в X множеств из семейства 21„ попарно не пересекаются.
Из свойств 5, 6 и 7 вытекает, что семейство 21и+1 вписано в семейство 21и для любого иею.
Проверим, что M„cuSl„ для любого «ею. Возьмём точку z(s; a)e Z*cz M„. Если |s|+lh« = «, то z(s; a)e (p{T(s;a))c. U(sO; a), значит, s OeS„ и z(s; o)eu2l„ . Если |«|+lh« = i > rt, to z(s; a)eu2l, с u 2ln. Если |s|+lh« = i <n, to z(s; a)e U(s\n-i); a)e 2l„ . Итак, доказано, что Zcu 2l„ . Покажем, что P„+\c:u 2ln. Возьмём множество (p(T(s;a)) &P„+\ для некоторых «ею"*1, areA”+1. Если «=(0,0,...,0), то по свойствам 7 и 5 (p(T(s;a))cU(s; aYn), значит, ^(Г(«;аг))си21п . Если s - ненулевой кортеж, то |j|+lhs = /> и+1 и ср(Т(s;a))czU(s*0; a))e 21,, тогда q>(T(s;a))c\j9lt ciu2t„ . Итак, доказано, что Ma М„ с Z*uP„+\ си 21 „ для любого «ею. С учётом свойств 4 и 5 делаем вывод о том, что для любого «ею семейство {UnM: Ue %n } образует открытое в Мдискретное покрытие множества Ммелкости < 2~". Тогда по теореме 7.3.1 [3] получаем, что dimM= 0.
В целом, мы доказали, что М - нульмерное однородное по весу полное метрическое пространство веса к, причём в нашем случае к > ю, следовательно, по теореме Стоуна [5] М гомео-морфно бэровскому пространству В(к). Лемма В доказана.
Проверим, что M-Z a Y. Возьмём точку yeM-Z, тогда у&Р„ для любого «ею. Из условий 5 и 9 следует, что для любого «ею существуют и единственные такие кортежи «(у,«)ею”, а(у,п)ек", что je <p(T(s;a)). С учётом свойства вложенности 7 построим единственные последовательности А,еюш и 5еГ так, что XYn = s(y,n) и 5Y« = а(у,п) для любого «ею. По теореме о вложенных шарах 4.3.8 [Eng] в полном метрическом пространстве Т пересечение n{<p(T(XYn; 5Yи)): «ею} не пусто и состоит из одной точки х. Тогда q(x)=y<aY.
Итак, множество Z = MnZ » Q{k). Множество Z имеет тип F0 в полном метрическом пространстве М и всюду плотно в нём, тогда множество MnY = М-Z* по следствию 2.4 [5] гомео-морфно пространству В(к). Теорема доказана полностью для случая cf(A) > ю.
Укажем изменения в доказательстве для случая к > ю, cf(A:) = ю. Пусть к = sup{&„: «ею}, где cf{к„) > ю и к„< к„+] для любого «ею. При построении точек z(s; а) и множеств U(/i\ a), V(s; а) и T(s; а) кортежи «длины « мы будем брать из индексного множества k0xkix...xk„-u а не из множества W, как было выше. Доказательства всех свойств множества М изменяются незначительно; например, множество MnY будет гомеоморфно счётному произведению коХ...хк„Х... в тихоновской топологии, которое по теореме Стоуна [5] гомеоморфно пространству В(к).
Для к — оз доказательство упрощается; укажем на основные изменения. Вместо точек z(s; а) и множеств £/(«/; a), V(s; а) и T(s; а) строим точки z(s) и множества U(s i), V(s) и T\s), удовлетворяющие условиям 1-9, если везде пропустить второй индекс а. Для любого «ею” последовательность {г(/г): ге®} сходится к точке z(s), поэтому Z* - счётное множество без изолированных точек и по теореме Серпинского Z гомеоморфно пространству рациональных чисел Q. Для любого s > 0 найдём такое «, что 2'" <8. Множество S„ ={«ею<ю: |s|+lh« = «+1} конечное, поэтому семейство 2l„ ={U(s'i): гею, s*ieS„} является конечным покрытием множества Ммелкости <8. Тогда М-вполне ограниченное замкнутое множество в полном метрическом пространстве X, следовательно, М- компакт. Так как dimМ= 0 и Z всюду плотно в М, то по теореме Брауэра М« С. По теореме Мазуркевича множество MnY гомеоморфно пространству иррациональных чисел. Доказательство теоремы 2 окончено.
Следствие. Пусть дано ^-множество Yв полном метрическом пространстве Xu Z- X-Y. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) множество Y не является множеством типа F0 в пространстве X; 2) множество Z не является множеством типа G§ в пространстве X; 3) существует такое замкнутое множество М с X, что М гомеоморфно канторову множеству С, MnY гомеоморфно пространству иррациональных чисел, a MnZ гомеоморфно пространству рациональных чисел Q.
Литература
1. Медведев, С.В. Топологические характеристики пространств Q(k) и QxB(k) / С.В. Медведев // Вестн. Моск. ун-та. - Сер. 1. Математика. Механика. - 1986. - № 1. - С. 47^49.
2. Медведев, С.В. Нульмерные однородные борелевские множества / С.В. Медведев. - ДАН СССР. - 1985. - Т. 283, № 3. - С. 542-545.
3. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелысинг; пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 752 с.
4. Hansell, R.W. On characterizing non-separable analytic and extended Borel sets as types of continuous images / R.W. Hansell. - Proc. London Math. Soc.(3). - 1974. - V. 28. - P. 683-699.
5. Stone, A.H. Non-separable Borel sets / A.H. Stone. - Rozpr. Mat. - 1962. - V. 28. - P. 1—40.
6. Stone, A.H. Non-separable Borel sets, II / A.H. Stone. - Gen. top. and appl. - 1972. - V. 2. -P. 249-270.
Поступила в редакцию 15 июля 2008 г.
PLACEMENT OF BAIRE’S SPACE B{k) INTO ABSOLUTE A-SETS
In the article the proof of the theorem of placement of Baire’s space into absolute А-sets as closed subset is given.
Keywords: absolute A-sets, Baire’s space.
Medvedev Sergey Vasiliyevich - Cand.Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Mathematical Analisys Department, South Ural State University.
Медведев Сергей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Южно-Уральский государственный университет.
