Некоторые свойства пространства h{x, к) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.124.5

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА П РОСТРАНСТВА ВД к)

С.В. Медведев1

Пространство й(Х, к) - это наименьшее й-однородное пространство первой категории, которое содержит метрическое пространство X в качестве замкнутого подмножества. В заметке доказывается одна внутренняя характеристика пространства й(Х, к).

Ключевые слова: Н-однородное пространство, пространство первой категории, вложение.

В статье рассматриваются только нульмерные (в смысле 1пф метрические пространства.

В заметке продолжаются исследования, начатые в работах [1] и [2]. В [2] доказано, что для любого пространства X веса < к можно построить единственное с точностью до гомеоморфизма Н-однородное пространство Н(Х, к) первой категории и веса к, которое в некотором смысле является наименьшим среди всех Н-однородных пространств, содержащих X в качестве замкнутого подмножества. Для пространства Н(Х, к) выполняются следующие условия: Н(Х, к)е оЬЕ(Х) и Н(Х, к)е и(Х) (расшифровка обозначений дана ниже). Мы покажем, что любое однородное по весу пространство У первой категории, удовлетворяющее условиям w(Y) = к, Уе и(Х) и Уе оЬГ(Х), будет гомеоморфно пространству Н(Х, к).

Основные результаты заметки: теоремы 2, 7 и 9.

Определения и обозначения. Запись Х » У означает, что пространства Х и У - гомеоморф-ные. w(X) - вес пространства Х. Для системы множеств и = {иа :ае А} через I и I обозначается мощность семейства и, ии = и{ и а : ае А}, те$И( и) - мелкость семейства и (верхняя грань диаметров множеств из и). Для отображения / : Х ^ У положим /(и) = {/(и): и е Ы}.

Наименьший бесконечный кардинал обозначается буквой ю; также ю = {0, 1, 2, ...}.

Для пространства Х через З(Х) обозначим семейство всех непустых открыто-замкнутых множеств из Х. Пусть Г(Х) = {У - пространство: У гомеоморфно некоторому непустому замкнутому множеству из Х}. Положим Ь^Х) = {У - пространство: для любой точки уе У найдется такая окрестность УеЗ(У), что VеF(X)}. Далее, введем класс оЬР(Х) = {У: пространство У представимо в виде У = и{Уи: пе ю}, где каждое множество Уп замкнуто в У и Уп е ЬГ(Х)}. Аналогично, пусть Н0(Х) - семейство всех непустых замкнутых нигде не плотных множеств из Х. Положим Н(Х) = {У: У « г, если Zе Н0(Х)} и ЬН(Х) = {У: УуеУ ЗУеЗ(У) (уеУ и УеН(Х))}. Мы пишем УеоЬИ(Х), если пространство У можно представить в виде счетного объединения замкнутых подмножеств, каждое из которых принадлежит семейству ЬН(Х). Очевидно, что всегда оЬН(Х) с о^(Х). Заметим (см. лемма 1 в [2]), что если 1пёХ = 0 и Уе оЬДХ), то 1пёУ = 0.

Пространство Х называется пространством первой категории, если его можно представить в виде счетного объединения нигде не плотных подмножеств. Пространство У называется и-однородным относительно пространства Х, если любое непустое открыто-замкнутое множество из У содержит замкнутую копию пространства Х; запись Уе и(Х). Другими словами, Уе и(Х), если Хе ДУ) для любого УеЗ(У). Мы пишем Уе ип(Х), если Хе Н(У) для любого УеЗ(У). Если Хе и(Х), то Х называется и-однородным пространством. Х называется Н-однородным пространством, если каждое открыто-замкнутое множество из Х гомеоморфно всему пространству Х. Очевидно, что каждое Н-однородное пространство будет и и-однородным пространством.

Замечание. Возьмем пространство Х. Так как в этой статье мы рассматриваем только нульмерные (в смысле 1пф метрические пространства, то можно считать, что Х с В(к), где к = н^Х). Пусть р - стандартная метрика на пространстве Бэра B(k). В дальнейшем мы будем считать, что топология на произвольном пространстве X всегда порождена сужением метрики р на X.

1 Медведев Сергей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, механикоматематический факультет, Южно-Уральский государственный университет. e-mail: [email protected]

Математика

Пусть Гг- замкнутое нигде не плотное подмножество из пространства Хг, где г е {1;2}. Пусть дан гомеоморфизм / : Г ^ Г^. Тогда в пространстве Хг можно построить семейства множеств и П = {и 1а,п : а е Ап}, удовлетворяющие следующим условиям для любых п ею и г е {1;2}:

81) семейство и 1п дискретно в Хг и состоит из открыто-замкнутых множеств пространства Хг;

82) те8И (и 1п) < (п +1)-1 в метрике р,

83) для любого и е ип+1 существует такое е игп , что и с W ;

84) и и 1п - открыто-замкнутая окрестность множества Гг и П{и и 1п: п ею} = ;

85) п = и1а п \ (иип+1) - непустое открыто-замкнутое множество в Хг для любого ае Ап;

86) и{У1ап : а е Ап,п е ю} = X, \ Г, и У1ап ПУ1рм = 0 , если ( а,п) * (Дт);

87) / (Г1 П иап ) = Г2 П и1,п для любого а е Ап.

Семейство множеств {Гг П и1ап : а е А, п ею} образует базу для Гг, г е{1;2}. Семейство {и п : п е ю} называется внешней базой множества Гг, а семейство V, = {У1ап : а е Ап, п ею} - системой остаточных множеств для множества в пространстве Хг, г е {1;2}. Используя свойство

(87), определим биекцию X: Ц ^ и2 по правилу Х(и а,п) = и^,п и биекцию /: V ^ V2 по пра-

12

вилу /(У ап) = У ап для любых а е Ап , п ею. В этом случае будем говорить, что V и V2 - изоморфные системы остаточных множеств в пространствах Х1 и Х2 соответственно, связанные биекцией /и согласованные с гомеоморфизмом / : Г ^ Г2.

Отметим важное свойство изоморфных систем остаточных множеств (см. [1], [3]).

Лемма 1. Пусть V1 и V2 - изоморфные системы остаточных множеств в пространствах

X! и Х2 соответственно, связанные биекцией /и согласованные с гомеоморфизмом / : Г1 ^ Г2. Для любой последовательности множеств {иг : г ею} из V1 выберем произвольно точки хг еиг и точки уг е /(иг), где г ею. Пусть точка х е Г1 и у = / (х) е Г2. Тогда последовательность точек {хг : г ею} сходится к точке х в пространстве Х1 тогда и только тогда, когда последовательность точек { уг : г ею} сходится к точке у в пространстве Х2.

Теорема 2. Пусть X и У - пространства первой категории, причем X = и{Хг: г е ю}, где каждое множество Хг замкнуто в X, и Уеи(Хг) для любого гею. Тогда Уеип(Х).

оказательство. Так как пространство Х первой категории, то без ограничения общности можно дополнительно считать, что каждое Хг нигде не плотно в X. Так как У - пространство первой категории, то У = и {У/ _/е ю}, где каждое У^еН0(Т).

Зафиксируем открыто-замкнутое множество WсУ. Так как множество У0 нигде не плотно в W, то существует такое непустое открыто-замкнутое множество D0cW, что В0иУ0=0 и W \В0 *

0. Пусть Ц = {В0}. Положим То = Х0. Так как Wеun(Xi) для любого гею, то существует гомеоморфизм /0: Т0^г0 для некоторого множества г0еН0(В0). Построим изоморфные системы остаточных множеств и и V в пространствах X и В0 соответственно, согласованные с /0 и связанные биекцией /0 : и ^ V, причем ии00 = X \ Т0) и UV0 = Д) \ г0). Так как У1 нигде не плотно в У, то для каждого и е и00 можно найти такое непустое открыто-замкнутое множество Ви с /0)(и), что Ви П У1 =0 и множество /0(и) \ Ви не пусто. Обозначим Ви = <р0(и). Тогда для семейства 2^1 = {Ви : ие и0} определена биекция р0 : и0 ^ 2?1. Очевидно, что р0(и) с /0(и) для любого и е и0 . По построению, замыкание с1( и^’1) = г0 п( и^’1) и г0 и( и^’1 )= 0.

Зафиксируем U е U00. Найдем наименьшее число j такое, что пересечение Xv = X j П U не пусто. Так как p0(U) е un(Xj), то существует гомеоморфизм f1U : XU ^ ZU для некоторого множества ZU е H0(p0(U)). Возьмем изоморфные системы остаточных множеств и Viu в пространствах X и Po(U) соответственно, согласованные с f1U и связанные биекцией у/ш : U1U ^ Viu , причем U^1U = U \ XU и UV1U = p0(U) \ ZU . Без ограничения общности можно

считать, что mesh( UiU ) < 2-1 и mesh( V1u ) < 21. Определим множества Т1 = !0U(U{XU: U е U0 }) и

Zi = Z0U(U{ZU: U е U0 }). По построению X1c T1, T1eH0(X) и Z1eH0(W). Зададим отображение f1:T1^Z1 по правилу: f1(x) = f0(x), если хеТ0, и f(x) = f1U (x), если xеXU. Используя лемму 1, несложно проверить, что f1 - гомеоморфизм. Положим Ц = {и*: U* е Uu , Uе Ц)} и V1={V*:

V* е V1U , U е U0}. Определим биекцию щ : U1 ^ V1 по правилу ^1(U*) = Щ1и (U*), если

U е Ци . Затем зафиксируем U е Ux. Внутри множества Щ_(и) найдем множество Du = p^U), не пересекающееся с Y2, и повторим указанную выше процедуру. В результате, по индукции мы построим множества T^H^X) и Z^H^W); семейства Un и Vn , состоящие из непересекающихся

открыто-замкнутых множеств в пространствах X и W соответственно; семейство Т>п , состоящее из непустых открыто-замкнутых подмножеств W; биекции pn : Un ^ ^n+1; биекции y/n : Un ^ Vn и гомеоморфизмы fn : Tn ^ Zn , удовлетворяющие при любом n ею следующим соотношениям: a1) Т0 = X0, X„+1 n Тп с Tn+1 и UUn = X \ Tn,

a2) для любого U е Un+X существует единственное множество U е Un, для которого U с U*, a3) UT>n+1 с UVn, причем pn (U) с yn (U) и yn (U) \ pn (U) ^ 0 для любого U е Un ,

a4) (Zn+1 \ Zn ) с UVn и UVn = U^n \ Zn ,

a5) замыкание cl(UVn+1) = (UVn+1) U Zn, причем (UVn+1) ПZn =0 ,

a6) (UT>n) u (n{Y;: i < n}) = 0,

a7) mesh(Un)< (n +1)-1 и mesh(V„)< (n +1)-1,

a8) fn+1(U П Tn+1) = Pn(U) П Zn+1 для любого U е Un ,

a9) сужение fn+1 на Tn совпадает с fn.

Из a1 следует, что X = U{Tn: nею}. Положим Z = U{Zn: nею}. Определим отображение

*

f : X ^ Z по правилу: f (x) = fn(x), если xе Tn. Из a9 вытекает корректность этого определения. Ясно, что f - биекция. Из леммы 1 вытекает, что f - гомеоморфизм.

Проверим, что Z - замкнутое множество в Y. Допустим, что существует точка уе cl(Z*)\ Z*. Тогда уе Yn для некоторого n. Из a4 и a3 следует, что U^^ с UT>n для любого m > n. Значит, множество An = n{Zm: m>n} с UT>n. Но cl(An) с (UT>n) UZn-1 согласно a5. Учитывая, что cl(Z*) = cl(An) n Zn-1, заключаем, что уе cl(An) n Zn-1. Так как у£ Z*, то у£ Zn-1. Поэтому у е UVn. С другой стороны, у £ UT>n согласно a6. Получили противоречие. Итак, cl(Z*) = Z*.

Остается проверить, что множество Z* нигде не плотно в Y. Возьмем произвольное открытое множество О из Y и точку уе OuZ . Тогда О содержит окрестность V точки у радиуса j для некоторого j. По построению каждое множество Zn нигде не плотно в Z*. Тогда множество индексов {n: Zn uV ^ 0} бесконечно. Поэтому найдется такое m > j, что Zm uV ^ 0. Пусть zеZmuV . Из свойств s2, s3 и s4 системы остаточных множеств вытекает, что найдется множество V е Vm , лежащее в окрестности точки z радиуса (m+1)1. Тогда VсV*сO, ведь m > j. Пусть V=^m(U) для некоторого U е Um . Из a3 следует, что множество V (следовательно, и О) содержит непустое открытое подмножество y/m (U)\Pm (U), которое не пересекается с Z*. Поэтому Z* нигде не плотно в Y. Таким образом, Wе un(X). Следовательно, Yе un(X). □

Следствие 3. Пусть X и Y - npocmpancmea первой ттегории, причем Ysu(X). Tozda Ysun(X).

Математика

Лемма 4. Пусть Уеи(Х) и У - пространство первой категории. Тогда Уеип(Х). Доказательство. Если X - пространство первой категории, то применяем следствие 3.

Пусть X не является пространством первой категории. Положим X* = п{и: и - открытое множество в X первой категории}. По теореме Банаха X - пространство первой категории. Тогда

0 *

замкнутое в Х множество Х = Х \ Х нигде не локально первой категории. При этом В = X 0 П с1( X ) - замкнутое нигде не плотное множество в X; допускается случай В = 0.

Возьмем WеЗ(Y). По условию леммы существует гомеоморфизм /: Х^Х для некоторого замкнутого множества ZcW. Так как X0 нигде не локально первой категории, то/(Х°)е Н0(^).

Первый случай. Пусть В = 0. Тогда /(X*) и /(X0) - непересекающиеся замкнутые множества в Ж Любое метрическое пространство нормально, поэтому у множеств /(X*) и /(X0) в W существуют непересекающиеся открыто-замкнутые окрестности W* и Цр соответственно. Так как Уеи(Х), то Уеи(Х). Следовательно, по следствию 3 найдется множество Z*еH0(W*), которое гомеоморф-но X*. Тогда Х* и /(X0) & X и Х* и /(X0) е Н0(^). В этом случае все доказано.

Второй случай. Пусть В * 0. Так как ВеН0(Х), то можно построить изоморфные системы остаточных множеств и и V в пространствах X и W соответственно, согласованные с / и связанные биекцией /: и ^ V , причем ии= X * \ В и UV = W \ / (В). Для любого и е и множество ииХ* первой категории, поэтому по следствию 3 множество /(и П X ) содержит замкнутое

* *

нигде не плотное множество Wu, которое гомеоморфно и П X ; пусть /и : и П X ^ Wи - некоторый гомеоморфизм. Так как J(X0)еH0(W), то без ограничения общности можно считать, что множества Wu и /(X0) не пересекаются. Определим отображение g : X ^ W по правилу #(х) = /(х), если хеХ0, или g(х) = /и (х), если хе и для некоторого и е и. Несложно проверить, что g -биекция. Множества X* и X0 замкнуты в X, сужения g на X* и X0 - гомеоморфизмы, причем по построению g (X * П X 0) = g (X *) П g (X 0) = / (В), поэтому g - гомеоморфизм. По построению g(X)еH0(W). Второй случай разобран. □

Лемма 5. Пусть X - пространство первой категории и Уеи(Х). Тогда Уеип(Х).

оказательство. Если У - пространство первой категории, то применяем следствие 3.

Пусть У не является пространством первой категории. Как в доказательстве леммы 4, представим пространство У в виде У=У*пУ°, где У* - наибольшее открытое множество первой категории в У, а У - замкнутое множество, которое нигде не локально первой категории. Возьмем произвольное открыто-замкнутое множество WcY. Если WuY не пусто, то WuY еип(Х) по следствию 3. Если WuY* = 0, то МУ0 * 0 и по условию леммы пересечение Wu(intY0) содержит замкнутую копию Х пространства X. Так как У нигде не локально первой категории, то Х нигде не плотно в У (следовательно, нигде не плотно в У). В любом случае Уе ип(Х). □

Лемма 6. Пусть X - пространство первой категории и УеоЬГ(Х). Тогда УеоЬН(Х). Доказательство. Рассмотрим сначала случай УеГ(Х). То есть У гомеоморфно некоторому замкнутому подмножеству В из пространства X. По определению пространства первой категории X = и{Хг : г е ю}, где каждое Хг - замкнутое нигде не плотное подмножество X. Тогда каждое множество В П Хг е Н0( X). Следовательно, У является счетным объединением замкнутых подмножеств, каждое из которых принадлежит семейству Н(Х).

Рассмотрим общий случай Уе оЬГ(Х). По определению У = и{ Уп : п ею}, где каждое множество Уп замкнуто в У и каждое Уп е аЬГ (X). Так как 1пёУ = 0, то 1пёУ„ = 0 для любого пе ю. Тогда Уп & ©{Уп,а : ае Ап}, где каждое множество Уп,а е Г(X). По первой части доказательства леммы каждое множество Уп,а имеет вид Уп,а = и{Уп,а,^ : ае Ап,} е ю}, где любое Уп,а,^ е Н(X). Мно-

* * жества Уп,] = и{Уп,а,^ : ае Ап} замкнуты в У и принадлежат семейству ЬН(Х). Итак, У = и{Уп,^ : п ею, ] ею} е оЬН(Х). □

Теорема 7. Пусть ХеоЬГ(Х) и Уеи(Х) для пространства X, причем ^(Х) < к, У - пространство первой категории и У нигде не локально веса < к. Тогда Уеип(Х).

Доказательство. По определению Z = U{Zn: пєю}, где каждое множество Zn замкнуто в Z и Z^LF(X). Более того, так как IndZ = 0, то каждое Zn =®{Zn,a: cєAn}, где Z„ccєF(X) и мощность IAnI < k для любого пє ю. Возьмем произвольное непустое открыто-замкнутое множество WсY. Так как Y нигде не локально веса < k, то для любого пє ю существует дискретное покрытие {Wa: сє An} множества W непустыми открыто-замкнутыми множествами. Согласно лемме 4, Yєun(X). Тогда каждое Wсє un(Zn,a). Следовательно, Wє un(Zl) для любого пє ю.

Рассмотрим вспомогательное пространство QxZ первой категории, где Q - пространство рациональных чисел. Как известно, Q является объединением счетного числа точек {qm: тє ю}. Очевидно, что всегда {qm}xZn ^ Zn. Следовательно, Wєun({qm}xZП) для любых тєю и пєю. По теореме 2 получаем, что Wє un(QxZ). Так как Z є F(QxZ), то Wє un(Z).

Множество Wє 3(Y) было выбрано произвольно, поэтому Yє un(Z). П

Следствие 8. Пусть пространство первой категории Y нигде не локально веса < k и Yєu(X) для некоторого пространства X. Toгда Yєun(h(X, k)).

Доказательство. Как указано во введении, h-однородное расширение h(X, k) веса k пространства X принадлежит семейству oLF(X). Остается применить теорему 7. П Следующая теорема является основным результатом статьи.

Теорема 9. Пусть дано однородное по весу пространство Y первой категории, w(Y) = k,

YєoLF(X) и Yєu(X) для некоторого пространства X. Toгда Y гомеоморфно пространству h(X,k). Доказательство. Из условия теоремы следует, что w(X) < k.

По следствию В, Yє un(h(X, k)). С другой стороны, из условий h(X, К)є u(X) и Yє oLF(X) вытекает, что Yє oLF(h(X, k)). Тогда h(X, К)є un(Y) по теореме 7. Значит, Y является u-однородным

пространством, т.е. Yєu(Y). По теореме Островского [З] Y будет h-однородным пространством. Тогда Y& h(X, k) по теореме В из [З] (или по теореме 4 из [2]). П

Литература

1. Медведев, С.В. О замкнутых подмножествах в u-однородных пространствах первой категории I С.В. Медведев II Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2007. - Вып. 9. - 5 19(91). - С. З7-41.

2. Medvedev, S.V. On properties of h-homogeneous spaces of first category I S.V. Medvedev II Topol. Applic. - 2010. - V. 157. - P. 2В19-2В2В.

3. Островский, А.В. К вопросу Л.В. Келдыш о структуре борелевских множеств I А.В. Островский II Матем. Сборник. - 19Вб. - Т. 1З1, 5 З. - С. З2З-З4б.

Поступила в редакцию 1 апреля 2011 г.

SOME PROPERTIES OF THE SPACE h(X, k)

S.V. Medvedev1

The space h(X, k) is the smallest h-homogeneous space of first category that contains the metric space X as a closed subset. In the paper we obtain one inner characterization of the space h(X, k). Keywords: h-homogeneous space, space of first category, embedding.

References

1. Medvedev S.V. Vestnik YuUrGU, Seriia «Matematika, fizika, khimiia». 2007. Vol. 9, no. 19(91). pp. З7-41. (in Russ.).

2. Medvedev S.V. On properties of h-homogeneous spaces of first category. Topol. Applic. 2010. Vol. 157. pp. 2В19-2В2В.

3. Ostrovskii A.V. Matem. Sbornik. 19Вб. Vol. 1З1, no. З. pp. З2З-З4б. (in Russ.).

1 Medvedev Sergey Vasiljevich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Mathematical Analysis Department, Faculty of

MechanicsMidMathematicsiSOUthUralSiat£UniVersiiL.£-mail:—edv@“—

Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 5 61