Влияние вибраций магнитного подвеса на динамику сверхпроводящего сферического ротора Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 539.3

ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИЙ МАГНИТНОГО ПОДВЕСА НА ДИНАМИКУ СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО СФЕРИЧЕСКОГО РОТОРА

© 2007 г. С.И. Кузнецов 1, Ю.М. Урман 2

1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский государственный педагогический университет,

Нижегородский институт менеджмента и бизнеса

vestnik_nngu@mail.ru

Поступила в редакцию 15.02.2007

Исследованы собственные колебания сверхпроводящего ротора в неконтактном магнитном подвесе, образованном постоянными магнитами, а также колебания, вызванные вибрацией подвеса.

Рассмотрена модель подвеса - сверхпроводящий шар в поле двух магнитных полюсов. Для этой модели вычислена область устойчивости. Изучены собственные и вынужденные колебания ротора в линейной и нелинейной постановках. Получены условия, при которых ротор не покидает области устойчивости.

При осуществлении неконтактного подвеса твердого тела сила тяжести компенсируется силой, действующей со стороны подвеса на тело. При этом необходимо, чтобы состояние равновесия было устойчивым, то есть возникающая при смещении от состояния равновесия сила была возвращающей. Устойчивость обычно имеет место в некоторой окрестности состояния равновесия - области устойчивости.

В любой точке этой области на тело действует сила, возвращающая его в положение равновесия. На практике для обеспечения надежного вывешивания тела эту область стараются сделать возможно больше. В случае криогенного и диамагнитного подвесов эта область, как правило, мала.

Вывешиваемое тело может совершать колебания вблизи состояния равновесия, обусловленные начальными условиями. При движении подвеса на него действуют силы инерции - как постоянные, так и переменные. При этом отклонения тела от положения равновесия могут оказаться достаточно большими. Тело выйдет за пределы области устойчивости и выпадет из подвеса. Это нарушит работу прибора, использующего неконтактный подвес. В некоторых случаях возможность такого выхода из области устойчивости может найти и полезное применение, например в сенсорах, срабатывающих на вибрацию или на ускорения.

В предлагаемой работе изучаются собственные колебания ротора в криогенном подвесе на

постоянных магнитах и влияние вибраций на динамику ротора. Считается, что силы трения отсутствуют.

Математическая модель

Возможность осуществления криогенного подвеса на постоянных магнитах изучалась в [1, 2]. В работе [1] получено выражение энергии сферического ротора в магнитном поле через коэффициенты разложения поля, создаваемого источниками в отсутствие ротора, по сферическим функциям

Я 21+1

W = 2ж/Ло2-^аыа*ы , (1)

іт і+1

где Ц0 - магнитная постоянная, Я - радиус ротора, а1т - коэффициенты разложения, звездочка означает комплексное сопряжение. Если источниками поля являются N магнитных полюсов, то коэффициенты зависят от положения полюсов и их зарядов

ат =І\і4Л(Ш) Г'т(в'РХ (2)

где qi - заряд /-го полюса; У1т - сферические функции; Ь/, в/, р/ - сферические координаты /-го полюса в системе координат, начало которой совпадает с центром ротора. Для осесимметричного подвеса

Z^T P (с0/в1 ')■

(3)

где - полиномы Лежандра.

В случае конечного числа точечных зарядов формула для энергии может быть записана в виде

,, N Г 1 1 и2 1

ж = ^ У д2 Я

8п ,=, '

+ ^ У qq,R< 8п

1 Ь2 - R2 R2 П Ь , ^ і і 2 - R2 j '

л/(Ь2 - R 2Ш - R2) + n^R

1 ^(Ь,2 - R2 )(Ь2 - R2) +nR2

------- ln--------

R2

- (Ь, - Ьк )2

Ь - ь2)+2 r 2+п2 П - (Ь - Ьк )2 ,

F =

дх

ду

F =

дг

г

Будем рассматривать осесимметричный подвес, когда сила тяжести и вибрации направлены вдоль оси симметрии. В качестве примера выберем подвес, образованный двумя одноименными магнитными полюсами, расположенными друг от друга на расстоянии 2й (рис. 1). В [1] показано, что для такого подвеса поперечная (в направлении, перпендикулярном оси симметрии) устойчивость имеет место, если параметр у = Я / й принадлежит интервалу 0 <у< 0,37, при этом поперечная жёсткость kx = максимальна при у = = 0, 32 . Будем рассматривать именно этот случай. Для подвеса из двух одинаковых зарядов энергию можно записать в безразмерном виде:

2 С 1 Й2 Л

1 +

(4)

Y

где П = Ь= + Ь2 - 2Ьрк COS вік - расстояние между 1-м и k-м полюсами, COS вік =

= COS в COS вк + sin в sin вк COs(p - рк).

Компоненты силы, действующей на ротор со стороны подвеса, получаются дифференцированием энергии по соответствующей координате

дW ^ дW ^ дW

+

в-г

Y

—ln.-

Y в- -Y2

У

в(os2 -y2)^2 L ~+4у2

1. 2.\(fi2 -y2)(/S22-Y2 ) + 4Y:

----ln-----

4 - в -в2)2

Y

(в - 02 ) + 2y2 + 4

(5)

где

4 - (в1 - в2 )

W0 = fi0qq2 / (8nd), в = Ьі / d.

(?)

Положение равновесия устойчиво, если жесткость - вторая производная от полной энергии по соответствующей координате - больше нуля, то есть

, д2Ж _ , д2Ж _

* =~дХг>0 =-& >0

(6)

Рис. 1

Область устойчивости и положение равновесия

На рис. 2 показана зависимость безразмерной энергии от безразмерных координат Є = z / й, 5 = у / й. Из рисунка видно, что

при некотором значении безразмерной координаты є поперечная устойчивость теряется -жесткость становится отрицательной. Границы области устойчивости определяются из условия д2w / 352 = 0, оно определяет замкнутую

кривую, которая построена на рис. 3.

Границы этой области не зависят от заряда полюсов и расстояния между ними, определяются лишь параметром у. Если положение равновесия ротора принадлежит этой области, то оно будет устойчивым. Ротор вблизи этой точки может совершать колебания, обусловленные начальными условиями или силами инерции. Если ротор сместится за пределы области, то устойчивость пропадет и ротор выпадет из подвеса.

N

1

2

На рис. 4 представлена зависимость вертикальной компоненты безразмерной силы

f = Fz /F0 =дw/де, ^ 2/8пй2 от

координат. Сила возвращающая, то есть направлена к центру подвеса, увеличивается при удалении ротора от центра в направлении оси симметрии и уменьшается при удалении ротора от оси. Поэтому движения в поперечном и продольном направлениях взаимосвязаны - движение в поперечном направлении вызывает изменение вертикальной силы, в результате чего смещается положение равновесия. Уравнения для движений в продольном и поперечном направлениях должны интегрироваться совместно.

В дальнейших рассуждениях будем считать, что движения в поперечном направлении нет и ротор находится на оси. Будем рассматривать только движения вдоль оси 1 . На рис. 5 построена зависимость вертикальной компоненты силы, действующей со стороны подвеса на ротор, находящийся на оси, от безразмерной координаты е, а также прямая, соответствующая силе тяжести. Зависимости построены при следующих численных значениях параметров подвеса: Ц = 600 А-м, й = 3,125 см, Я = 1 см, т = = 100 г, в дальнейшем численные результаты получаются также при этих параметрах. Точка пересечения графиков сил определяет положение равновесия е0 = -0,065 (10 = -2 мм), в этой

точке ротор будет покоиться в отсутствие других сил и при нулевых начальных условиях. Заряд выбран таким, чтобы положение равновесия находилось внутри области устойчивости.

Свободные колебания

Рассмотрим сначала колебания ротора в отсутствие вибрации. В этом случае на ротор действуют только сила тяжести Ш^ и компенсирующая ее сила со стороны подвеса, имеющая только вертикальную компоненту Fz. Уравнение движения ротора в безразмерных координатах имеет вид:

е=^

тй

где Л =( ^ - ^) / ^>-

Сделаем замену переменной С, = £ — £„, чтобы положение равновесия имело координату С, = 0. На рис. 6 представлены зависимости безразмерной магнитной энергии W и суммарной энергии Ws = W + Ш£^ / F0 от положе-

энергия ротора сохраняется и определяется начальными условиями:

Е.

= Ж

Ж

(0 +

ту

.2

(4 =0 ) +

2

т у\, =о2 2

В переменных ^ (8) будет иметь вид: » Р, (</£) = Fо

<Т =

■/, (О-

(11)

md md На интервале устойчивости (9) зависимость силы fs от координат мало отличается от прямой и в первом приближении может быть представлена в виде

¥

/, = а'С, а' =

(12)

^=0

В линейном приближении колебания ротора будут гармоническими с частотой

1 А0а' = д2 ж

^ md А md д£2 С=0

Рис. 7

ния ротора на оси, а на рис. 7 - зависимости магнитной силы / (О и суммарной силы,

действующей на ротор, / = / -mg/ ^.

Границы области устойчивости в новых переменных:

С ' = £с — £0 > С > С" = —£с — £0 , (9)

где ±£с - границы области устойчивости (рис. 3).

Неравенство (9) представляет собой условие устойчивого удержания ротора. При его нарушении ротор потеряет поперечную устойчивость и выпадет из подвеса. Условие может быть записано с использованием энергетического критерия:

Ег < ws (С = 0) + Aws, (10)

Aws = Ws (£') — Ws (0) , Ег - полная энергия ротора. В случае свободных колебаний

®0 =

и амплитудой А, определяемой начальными условиями. Для выбранных значений параметров подвеса собственная частота СО0 =71,98 рад/с.

Поскольку сверхпроводящий подвес обычно используется в приборах очень высокой точности, важно учитывать даже небольшие поправки. Рассмотрим, как изменятся собственные колебания с учетом нелинейной зависимости суммарной силы Fofs при смещениях ротора от

положения равновесия.

Для этого в разложении силы учтем слеГ , и у2 , Л у3

дующие

члены: fs = а' £ + Ь' £ + С' £ .

Уравнение движения примет вид:

'2

а£ + ЬС + <3 = 0

(13)

где

а = —

■а = —

Л.

md

F

Ь = —-^ Ь' = — md

с =

А

md

■с =

А ¥

md д^ "=0

д 2Г

md д£2 С=0

А) д 7

md д£

£=0

их численные значения для выбранных параметров подвеса: а= 5181, Ь= -9208, с= 53355.

Из-за наличия нелинейности частота колебаний может зависеть от амплитуды, кроме того, поскольку сила несимметрична относительно начала координат, то следует ожидать, что колебания будут несимметричны относительно точки Z = 0, то есть будет присутствовать постоянная составляющая.

Численный счет по формуле (11) показывает, что свободные колебания представляют собой гармонические колебания с постоянной составляющей и частотой, зависящей от амплитуды, которая определяется начальными условиями. Для исследования уравнения (13) воспользуемся методом гармонической линеаризации [3]. Он позволяет найти зависимость частоты от начальных условий и определить постоянную составляющую. Решение ищется в виде

Z (t )= A0 + A sin (wt + p0), (14)

где A o - постоянная составляющая, A - амплитуда колебаний, p0 - начальная фаза. Амплитуда колебаний определяется начальными условиями A = |Zo — Ao|.

На рис. 8 и 9 приведены соответственно зависимость частоты свободных колебаний и зависимость постоянной составляющей от начальной координаты Zo, полученные методом

гармонической линеаризации.

Таким образом, нелинейность силы приводит к зависимости частоты колебаний и величины постоянной составляющей от начальных условий. В рассматриваемом здесь подвесе область устойчивости мала и переменная Z принимает малые значения, поэтому нелинейные эффекты выражены слабо, несмотря на большие величины коэффициентов в (13). В подвесе другой конструкции область устойчивости может быть больших размеров, тогда нелинейные эффекты будут играть существенную роль.

Ротор будет совершать колебания, если при движении он не будет выходить за область устойчивости, то есть A 0 — A > Z'.

Колебания ротора под действием вибраций

Уравнение движения ротора под действием вибраций можно записать в следующем виде:

mz = Fz — mg + V cos Qt, (15)

где V - амплитуда, Q - частота вибраций. Переходя к переменной Z и заменяя суммар-

Рис. 8

0

0,001

\ 0,0006- /

\. 0,0002-

-0,02

0,02

Рис. 9

40

Рис. 10

ную силу F0 fs = Fz — mg ее разложением, получим уравнение

Z + aZ + bZ + cZ = v cos Qt, (16)

V = V/F0. Это нелинейное уравнение известно

как уравнение Дуффинга.

В линейном приближении получим простой гармонический осциллятор под действием синусоидальной силы:

Z + G)qZ = VcosQt . (17)

Движение ротора будет представлять собой совокупность двух колебаний - с собственной частотой

силы Q :

W и с частотой вынуждающей

Z = A cos(w0t + p) + B cos (Qt + p), (18)

В = V / (®02 — О2 ). Для работы прибора, использующего подвес, должно выполняться условие А + В < £' - условие того, что ротор не выйдет за пределы области устойчивости.

Учтем нелинейность и рассмотрим сначала нерезонансный случай, когда частота вибрации О не совпадает с собственной частотой ^ • Уравнение (16) можно записать в виде

£ = п,

b 2 c 3 v (19)

^t] = —Z — Kn—Z —Z +~ cos Qt, aaa

где /Л = 1/ а - малая величина. Это сингулярно возмущенная система с малым параметром перед производной [3]. Здесь учтено также трение, определяемое коэффициентом К > 0. Хотя в криогенном подвесе трение пренебрежимо мало, тем не менее всегда присутствует. Здесь оно потребуется для определения устойчивости медленных движений. Уравнения медленных движений получаются при Л = 0. Поскольку выполняется условие несущественности малого параметра

дF (с,п)

дп

< 0,

F (Z,n) = —кг] ——Z2 — ~Z3 + ~ cos Qt, a a a

то движения ротора полностью определяются

уравнением медленных движений

Z = n, Z = —кп ——Z2 ——Z3 + ~ cos Qt. aaa

(20)

Теперь трением снова пренебрежем. Закон движения ротора определяется вторым уравнением системы (20):

Z +—Z +Z— cos Qt = 0.

a a a

(21)

При полученных численных значениях параметров а, Ь, с это кубическое уравнение имеет один вещественный корень, представляющий гармонические колебания с амплитудой, определяемой величиной V . Зависимость амплитуды от V построена на рис. 10. Что касается постоянной составляющей А 0, то она остается такой же, как и в собственных колебаниях [4].

Условие работы прибора остается в том же виде, как и для свободных колебаний

А0 + А <С".

Теперь рассмотрим уравнение (16) в случае резонанса, когда частота вынуждающей силы близка к собственной частоте. Вводя новое время т =Пґ, уравнения (16) можно переписать в виде:

а

b- Z2

Q Q2

Z+^7 Z+ТГГ Z +

v

— Z3

Q Q2

(22)

Пусть

a

Q0

Wo

Q0

= 1 —

Q 2 — w0

QQ

Q2 2

— W

0

Q2

а,

c

= в'

v

= А,

О О

тогда уравнение примет вид

£ + £ — (££ — а£

— в С + Л cos /) = 0. (23)

Его решение будем искать методом Галер-кина [3], ограничимся первым приближением. Для амплитуды вынужденных колебаний получается уравнение

Р(РР-^)2 = Л, (24)

где р = А 2 - квадрат амплитуды вынужденных колебаний, в = 3в' / 4. Вынужденные

колебания либо совпадают по фазе с возмущающей силой, либо противоположны ей. Выражая из (24) £ , получим

£ = вр±Л/ . (25)

Резонансные кривые получаются следующим образом. В плоскости £, р строят кривые

£ = вР и £ = ±Л / у[р , сложение абсцисс

этих кривых дает резонансную кривую. Ее вид зависит от амплитуды внешнего воздействия V: при увеличении V происходит уширение резонанса. На рис. 11 и 12 построены резонансные кривые для V = 0,01 и V = 0,03 соответственно.

Характерной особенностью резонансных кривых является наличие участка с тремя различными амплитудами колебаний. Точки резонансной кривой, расположенные внутри угла,

b

Рис. 11

Рис. 12

образованного лучами £ = вр и £ = 3вр (рис. 12), соответствуют седлам, они неустойчивы. Остальные участки резонансной кривой отвечают центрам - физически реализуемым колебаниям [3].

Другое характерное отличие нелинейного резонанса от линейного в том, что при совпадении частот О = ^0, то есть при нулевой расстройке £ = 0, амплитуда колебаний остается конечной. Максимума при фиксированной расстройке амплитуда достигает при £ = £ , £

- точка пересечения прямой £ = 3 вр с резонансной кривой. Квадрат амплитуды в точке а *

£ определяется из формулы

р =

/ \2/ 3

ґ ял

2в

Дальнейшее увеличение амплитуды возможно только за счет медленного увеличения расстройки £ .

Если начальная расстройка находится правее

а *

£ , то можно обнаружить следующий эффект. Будем расстройку £ медленно уменьшать. При

прохождении ею точки £ * произойдет так называемое «явление скачка» - конечное увеличение амплитуды колебаний [3].

Быстрые осцилляции. Энергетический подход

Если частота вибраций велика по сравнению с собственной частотой и их можно считать быстрыми, то для определения их влияния на движение можно воспользоваться методом, предложенным П.Л. Капицей [5]. Идея состоит в том, что движение ротора при быстрых вибрациях будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной траектории с одновременными малыми осцилляциями вокруг нее с частотой О. Можно показать, что влияние быстрых вибраций сводится к замене потенциальной энергии W на «эффективную потенциальную энергию»:

V2

Wэфф = w +------------

эфф 2^^?

= W +

где черта над V означает усреднение по периоду быстрых вибраций.

Движение, усредненное по осцилляциям, происходит так, как если бы, помимо постоянного поля W, действовало еще и дополнительное постоянное поле, квадратично зависящее от амплитуды переменного:

W ( 0) +

V2

4mQ.2

Преимущество такого подхода состоит в том, что не нужно решать уравнения движения. Достаточно лишь вычислить потенциальную энергию ротора и знать амплитуду вибраций.

Заключение

Определена область устойчивости сферического ротора в криогенном подвесе на постоянных магнитах, а также условия, при которых ротор не покинет эту область при свободных колебаниях и при действии вибраций в линейном и нелинейном приближениях.

Исследованы свободные и вынужденные колебания ротора. Найдена зависимость частоты собственных колебаний от амплитуды колебаний для нелинейного приближения. Изучены резонансный и нерезонансный случаи колебаний под действием вибраций: получены резонансные

кривые, а также зависимость амплитуды колебаний от амплитуды внешнего воздействия в нерезонансном случае. Для случая быстрых вибраций введен энергетический критерий нахождения ротора в области устойчивости.

Показано, что в собственных и вынужденных колебаниях ротора присутствует постоянная составляющая. Найдена зависимость постоянной составляющей от амплитуды колебаний.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 05-01-00963а).

Список литературы

1. Кузнецов, С.И. Исследование возможности левитации сверхпроводящего тела в поле N магнитных полюсов / С.И. Кузнецов, Ю.М. Урман // Журнал технической физики. - 2006. - Т. 76. Вып. 3. -С. 7-15.

2. Кузнецов, С.И. О возможности левитации сверхпроводящего шара в поле кольцевого магнита / С.И. Кузнецов, Ю.М. Урман // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Механика. - 2006. - Вып. 1(7). - С. 5-13.

3. Горяченко, В. Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. - М.: Изд-во Краснояр. ун-та, 1995. - 430 с.

4. Вульфсон, И.И. Нелинейные задачи динамики машин / И.И. Вульфсон, М. З. Коловский. - Л.: Машиностроение, 1968. - 284 с.

5. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Механика /Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1973. -

EFFECT OF VIBRATIONS OF A MAGNETIC SUSPENSION ON THE DYNAMICS OF A SUPERCONDUCTING SPHERICAL ROTOR

S. I. Kuznetsov, Yu.M. Urman

We analyze free oscillations of a superconducting rotor in a non-contact magnetic suspension formed by permanent magnets, as well as the oscillations caused by the vibrations of the suspension. The model of suspension in the form of a superconducting sphere in the field of two magnetic poles is considered. The zone of stability is evaluated for this model. Free and forced oscillations are studied within the framework of linear and nonlinear formulations. The conditions under which the rotor remains in the stability zone are determined.

208 с.