Нелинейные резонансные колебания гибкого ротора на электромагнитном подвесе при наличии дисбаланса Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 534.01

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГИБКОГО РОТОРА НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОДВЕСЕ ПРИ НАЛИЧИИ ДИСБАЛАНСА

© 2013 г. В.Ф. Овчинников,1 Е.В. Кирюшина,1 М.Я. Николаев,1 Е.В. Фадеева,1

А.С. Чистов,1 В.Н. Литвинов,1 Ф.М. Митенков,2 Н.Г. Кодочигов,2 С.А. Малкин1

1НИИ механики ННГУ им. Н.И. Лобачевского 2ОАО «ОКБМ Африкантов»

minick@mech.unn.ru

Поступила в редакцию 14.06.2013

Проведен анализ особенностей динамики гибкого ротора на электромагнитном подвесе в области нелинейных резонансов. В результате качественного исследования математической модели однородного ротора получены необходимые условия возбуждения субгармонических колебаний. Для реальных конструкций ротора представлены экспериментальные результаты, подтверждающие сделанные качественные выводы.

Ключевые слова: динамика, дисбаланс, математическая модель, нелинейная система, ротор, субгармоническое колебание, устойчивость, частота, электромагнитный подшипник.

Объект исследования - гибкий неоднородный ротор на электромагнитном подвесе [1-9]. Возможность соединения в подобных роторах разнородных машин (турбин, электрогенераторов, компрессоров и т.п.) делает такие роторы привлекательными для применения в различных областях энергетики (атомная [1, 2, 5-9], ветроэнергетика [3, 4] и др.).

Многотонные гибкие неоднородные роторы удовлетворяют сформулированным в работе [10] критериям, определяющим сложную уникальную систему. В общем случае математическая модель динамики подобных объектов представляет собой сложную многомерную многосвязную нелинейную систему. Перед практическим применением в исследованиях динамики конкретной роторной машины модель должна быть верифицирована. Начальное изучение предполагаемых свойств системы, пригодных для верификации, рационально получать с помощью простых моделей, так как в множестве состояний многомерной многосвязной нелинейной модели трудно заранее выделить и устранить при верификации те из них, при которых возможна компенсация одного исследуемого динамического эффекта другим. Кроме того, одним из множества признаков адекватности сложной модели является совпадение результатов исследования, полученных

при согласованных исходных условиях эксперимента, сложной и простой моделей.

Данная работа по выявлению особенностей нелинейной динамики ротора на электромагнитном подвесе и верификации компьютерной модели ДИРОМ выполнена в соответствии с такой идеологией и является естественным продолжением исследований [8, 11, 12].

Качественное исследование условий возбуждения нелинейных резонансных колебаний проведено на примере однородного вертикального гибкого ротора с симметричным относительно середины расположением радиальных электромагнитных подшипников (РЭМП) и симметричным распределением дисбаланса (рис. 1).

В вертикальном направлении ротор поддерживает осевой электромагнитный подшипник (ОЭМП). Для анализа симметричных относительно середины колебаний ротора в вертикальной плоскости Оху используется разложение решения по симметричным формам с удержанием в разложении двух слагаемых и (х, t) = а0 ^ )и 0 (х) + а1 ^ )и1 (х), ио (х) = 1,

Ь

^ т,П і (x)Uj (х)^ =

т при і = ],

і, І = 0,1.

0 при і ^ І

В этой записи т* - погонная масса ротора, Ь -длина ротора, т = т*Ь - полная масса ротора,

рэмп а

рэмп зэ

Рис. 1

т-

dt2

- + 2KJ = me0ra cos(rat + ф0),

d a.

m-

1 + ти,2 a1 + 2pKJ3 =

Ц = -

2aK

m

(1 + p2)Jo2To2, P = —,

aT

Y =

0

ea

l+p2

е = 7 1+ р 2О2 X

^ л/ёГ+2рё0е^со8(ф7-ф1) + Р2е1Г.

Коэффициент нормировки /0 для тока выбирается из условия малости параметра ц<<1. После соответствующих преобразований уравнений (1) и подстановки в них соотношений (2) итоговые уравнения принимают вид

d2 z

2 dz 3 dy

— + 3|apz — + mz + р—+ У = ах ах ах

ио (х) - форма, характеризующая плоскопараллельное движение ротора как твердого тела, и1(х)- первая форма собственных изгибных колебаний ротора, соответствующая частота которой равна ю1. С использованием в системе управления ЭМП пропорционально-дифференциального регулятора (ПД-регулятора) зависимость тока I от перемещений ротора и(і) в сечении расположения РЭМП задается выражением

I = аи + Ъй, и = а0 +ра1, р = и1( хй).

В этой записи хй - координата установки РЭМП и соответствующего датчика; а и Ъ - коэффициенты ПД-регулятора. Положительное значение I > 0 соответствует току в правом магните, а отрицательное I < 0 - в левом. Рассматривая коэффициенты разложения а0, а1 в качестве обобщенных координат, с использованием уравнений Лагранжа 2-го рода для исследования динамики ротора получим систему уравнений й 2а„

d2 у dx2

= a0O2 cos(Ox + ф*),

+ у + ^yz3 =a1Q 2cos(Оx + ф1).

(З)

Входящая в первое уравнение (3) фаза ф. определяется отношением дисбалансов e0, e\, параметрами р и Р, разницей углов (ф0 -ф1) и

частотой Q.

Исследование системы уравнений (3) выполнено с использованием метода малого параметра. Частное решение системы (2), необходимое для построения приближенного решения, является решением системы (3) при ц=0 (линейная система) и имеет вид

z0 = B0 cos Qt, y0 = A0 cos(Qt + T0). (4)

Для упрощения соответствующих выкладок при построении решения системы (3) в первом выражении (4) начальная фаза принята нулевой. Это всегда можно сделать соответствующим сдвигом нулевого момента времени. После подстановки (4) в (3) определяются параметры частного решения

a,Q2

A = —

0 1 -О2

(1)

B0 = ^/a0 +a2 - 2a0a cos^ + Аф),

&2

= те1ш2 cos(ю t + ф1).

В этих уравнениях ю - частота вращения ротора, е0, е1 - эффективные дисбалансы ротора по используемым формам колебаний, ф0, ф1 -углы дисбаланса. Силы F, действующие на ротор со стороны РЭМП, пропорциональны току I в обмотках магнитов: F = -X/3.

При исследовании (1) выполнен переход к безразмерным уравнениям с использованием замены переменных

I■ = I = 10 ^ а1 = 70 У,

Т0 = —, Ц = aP7о, ^ = ®T0, (2)

ш,

a =a

Vl+р2о2

(5)

1 1 -О2 ’

tg0 = pО, Дф = ф,-ф1, % =ф1.

В зависимости от соотношения частоты внешнего воздействия О, характерной частоты колебаний ротора как твердого тела О0 и частоты изгибных колебаний ротора О1 «1 в рассматриваемой системе могут реализовываться субгармонические колебания нескольких видов: О = 3О0, О = 3О1, О = 2О0,

О = 2О1, О = О1 + 2О0.

Для субгармонических колебаний, связанных с изгибными колебаниями ротора, при частоте вращения О = 3О1 решение системы уравнений (3) ищется в виде

г = z0 + В1 cos(О1 х + Ф1),

у = У0 + A-cos(0-x + Ti).

(6)

2

р

e

1

ao _

0

0

После подстановки (6) в первое уравнение (3) получены две связи между входящими в (6) параметрами:

A = B

q 2

1 1 Vi+P2Q2

(7)

ч. -<x>i +©i = 0, tg©i = pQ..

С учетом (6), (7) из второго уравнения (3) получено уравнение для определения амплитуды субгармонических колебаний

X[(2 + X)2 - 2^2 + X) + d] = 0, (8)

в 2

X = Щ-, d = 2 + £2,

в2

h =1 - , Я 2 Vi+p 2q2

s = -

4q2 (i -q2)

+ р 2О2 3цуВ02Л/1 + р2 О2

Тривиальное решение уравнения (8) Х=0 соответствует чисто гармоническим колебаниям. Для существования субгармонических колебаний вида (6) дискриминант D стоящего в скобках квадратного уравнения в (8) должен быть положительным:

7

D = h2 - d =------------

S

P2q2 s 2

> 0. (9)

4 71+^02 1+р2о2

Необходимое условие выполнения неравенства (9) S < 0 задает нижнюю границу частот существования субгармонических колебаний:

01 > 1, О = 301 > 3, ю> 3ш1. (10)

Выражение D(S) является параболой с отрицательным коэффициентом перед старшим членом. D(S) может принимать положительные значения при условии существования у параболы действительных корней, что в свою очередь реализуется при положительном дискриминанте Dl у квадратного уравнения D(S) = 0:

D =i+p2Q2 (i - 7p2Q2) > 0,

p4Q4

qi <

i

q <

3

3 a

ra<^=—.

(ii)

рл/7 ’ рТ7’ л/7 ь

Выражение (11) задает верхнюю границу диапазона частот, где возможно существование субгармонических колебаний. Диапазон изменения параметра S, внутри которого выполняется условие (9), может быть преобразован к виду

Si < S < S2,

Si,2 = -

± J i - 7p2Q:

8P2q4(q2 -1)

< B2 <

3цу(1+p2Q2 )(i + 7 i - 7p2Q2)

< 8P2q,4(q2 -1)

3цУ(1 + p2Q2)(i -V i - 7p2Q2).

(12)

В этих выражениях S12 - корни квадратного уравнения D(S) = 0. Как следует из (5), амплитуда гармонических колебаний В0 пропорциональна уровню дисбаланса ротора. В связи с этим из последнего неравенства (12) можно сделать вывод, что на каждой частоте вращения ротора из диапазона существования субгармонических колебаний (10), (ii) имеются верхняя и нижняя границы значений дисбаланса, выше и ниже которых субгармонические колебания не реализуются. В диапазоне значений дисбаланса (12) уравнение (8) задает два режима субгармонических колебаний, один из которых устойчив и практически может реализоваться, а второй -неустойчивый.

Ранее [8] было проведено исследование модели (3) для субгармонических колебаний, связанных с колебаниями ротора как твердого тела при частоте вращения Q = 3Q0, Q0 < 1. Качественные результаты этого исследования совпадают с изложенными, с той только разницей, что нижняя граница диапазона возбуждения субгармонических колебаний ramm =0. Таким образом, установлен ряд особенностей динамики ротора в области субгармонических колебаний вида Q = 3Qi, i = 0,1:

1. Частотный диапазон возбуждения субгармонических колебаний ограничен сверху пороговым значением, величина которого определяется коэффициентами ПД-регулятора (11).

2. Частотный диапазон возбуждения субгармонических колебаний, связанных с изгибными колебаниями ротора, ограничен снизу пороговым значением, величина которого определяется частотой собственных колебаний ротора (10).

3. На каждой частоте вращения ротора имеется минимальный и максимальный уровень дисбаланса, ниже и выше которого субгармонические колебания не возбуждаются.

4. В области существования субгармонических колебаний имеются два устойчивых стационарных режима колебаний, один из которых соответствует чисто гармоническим колебаниям, а второй характеризуется сложением гармонических и субгармонических колебаний.

Исследование возможности возбуждения в системе (3) нелинейных резонансов Q = 2Q0, Q = 2Q. , Q = Q. + 2Q0 сводится к анализу достаточно громоздких систем нелинейных алгебраических уравнений, не поддающихся аналитическому решении. В связи с этим для указанных резонансных ситуаций рассмотрен предельный случай Р=0, соответствующий отсутствию механизмов рассеяния энергии в системе (3).

Для субгармонических колебаний, связанных с колебаниями ротора как твердого тела,

при частоте вращения Q = 2Q0 решение системы уравнений (3) ищется в виде

z = z0 + В. cos Q0t + В2, y = 0. (13)

После подстановки (13) в первое уравнение (3) получены две связи между входящими в (13) амплитудами колебаний:

ЗХ2 - 6Y - 6Х Y - 4Y3 = 0,

Х3 + 2Х - 4Ш + 4Ш2 - RХ = 0,

(14)

Х = А, Bn

Y = - B Bn ’

4О2

R = - 0

ЗцВ2

Тривиальное решение X = У = 0 уравнений (14) соответствует чисто гармоническим колебаниям. При X ф 0 из второго уравнения (14) можно выразить X:

Х2 = 4Y - 4Y2 + R - 2 > 0.

1 -8 <2Y < 1 + 8, 8 > 0,

и > 2.382^|B0

(18)

Из выражения (18) с учетом (5) следует, что с увеличением уровня дисбаланса растет и нижняя граница частот возбуждения субгармонических колебаний.

Для субгармонических колебаний, связанных с изгибными колебаниями ротора, при частоте вращения Q = 2Q. решение системы уравнений (3) ищется в виде z = z0 + В. cos Q.t + В2, y = y0 + A. cos Q.t. (19) После подстановки (19) в первое уравнение (3) получены две связи между входящими в (19) амплитудами колебаний:

3X2 - 6Y - 6Х2Y - 4Y3 = 0,

(1З)

Условие существования субгармонического режима в виде (13) может быть выполнено только при положительном дискриминанте входящего в (15) квадратного многочлена, что реализуется при выполнении неравенства R > 1.

Если ввести обозначение R = 1 + 82, то область изменения параметра 7, где выполняется неравенство (15), задается условием

Л Z - О Х +

я; b;

+ Ц0- Х - 3 ХТ + ЗХ72 + З Х31 = 0, Х = Bi Y = -B2 Z = Ai

(20)

B

B

B

Из второго уравнения (3) получено еще одно уравнение связи для амплитуд

(16) MB

1-О2

,2

Z + y| -Х - 3ХY + ЗХТ2 + ЗХ3 | = 0. (21)

4

а первое уравнение (14) с учетом замены (15) преобразуется к кубическому уравнению относительно параметра 7

2073 - 3672 + (12 - 682)7 - 3 + 382 = 0. (17)

Действительные корни этого уравнения, удовлетворяющие условию (16), совместно с тривиальным решением 7 = 0 задают все возможные стационарные режимы вида (13). Эти режимы на плоскости (5, 7) в окрестности значения 5=1 представлены на рис. 2.

На рис. 2 следует выделить два характерных значения параметра 5. При 5 < 5 і = 0.944 у рассматриваемой системы существует одно устойчивое стационарное решение 7=0, соответствующее чисто гармоническим колебаниям ротора. В диапазоне 5 1 < 5 < 52 = 1 у системы существуют два устойчивых (на рис. 2 обозначены кружочками) и один неустойчивый (обозначен крестиками) стационарный режим. Устойчивый стационарный режим с 7 > 0 соответствует двухчастотным колебаниям ротора с безразмерными частотами О и 0.0 = ~. При этом

колебания совершаются относительно смещенного положения ротора (В2 ф 0). Условие 8 > 81 задает нижнюю границу частот возбуждения субгармонических колебаний вида О = 200

Из уравнения (21) и второго уравнения (20) следует

R =

Х(Х2 + 2 - 4Y + 4Y2 - R) = 0, 4(О2 - 1)О2 Z = уО2

ЗмВ2(у + О2 -1)’ y + Oj2 -1

Х.

(22)

Первое уравнение (20) и первое уравнение (22) с точностью до выражения параметра Я совпадают с уравнениями (14). Следовательно, зависимость амплитуды субгармонических колебаний от параметра 5 (Я = 1+ 82) идентична представленной на рис. 2. Для субгармонических колебаний, связанных с изгибными колебаниями ротора, условие 8 > 81 задает нижнюю границу частот возбуждения субгармонических колебаний:

ю> 2ш1(1 + 0.709цуВ2). (23)

Как и в случае возбуждения субгармонических колебаний вида О = 200, нижняя граница частот возбуждения субгармонических колебаний О = 2О1 растет с увеличением уровня дисбаланса.

При нелинейных колебаниях, связанных с изгибными колебаниями ротора и движениями ротора как твердого тела, при частоте вращения

О = О1 + 2О0, О ф 1, О0 > 0 решение системы уравнений (3) ищется в виде

Рис. 2

z = z0 + В. cos Q.t + В2 cos Q0t, y = y0 + A. cos Q.t + A2 cos Q0t.

После подстановки (24) в уравнения (3) получены следующие связи между входящими в (24) амплитудами колебаний:

Y(R0 -2X + 2 + 2X2 + Y2) = 0,

- RX + Y2 - 2X - 2XY2 - X3 = 0,

(24) R=

Х = -B^, Y = B2,

B

B

(2З)

4(О2 - 1)О0 ЗмВ (у + О0- -) 4(о2 - i)O2

я = , , •

3цВ2(у + О12 -1)

Тривиальное решение У = X = 0 уравнений

(25) соответствует чисто гармоническим колебаниям. При У ф 0 из первого уравнения (25)

Т/2

можно выразить У :

У2 = -2X2 + 2X - 2 - Я0 > 0. (26)

Условие существования субгармонического режима в виде (24) может быть выполнено только при положительном дискриминанте входящего в

(26) квадратного многочлена, что реализуется при выполнении неравенства Я0 <- 3/2.

Если ввести обозначение Я0 = - 3/2 - 282, то область изменения параметра X, где выполняется неравенство (26), задается условием

1 - 28 < 2 Х < 1 + 28, 8 > 0.

Рис. 3

На рис. 3 кривая 1 соответствует значению Я=1, кривая 2 - значению Я=0, кривая 3 - значению Я= -1. При 5 > 0.5 у рассматриваемой системы существует один устойчивый стационарный режим с X > 0, соответствующий колебаниям ротора с безразмерными частотами

О, О1 «1, О0. При 5 < 0.5 имеется устойчивое стационарное решение X = 0, соответствующее чисто гармоническим колебаниям ротора, а также вблизи 5 = 0.5 при Я < 0 еще один устойчивый стационарный режим с X > 0.

Условие 5 > 0.5 определяет диапазон возбуждения многочастотных колебаний системы (24)

Я < ^ 2Оо - 2О0 + 3МВр2 (5~- О0) > 0

0 , ^ -о2 ,

s = 1 - у =

1+p2

при |мВ02 << 1, О2 > s,

(29)

О = О1 + 2О0 > 1 + 2^fs,

и >ю

1+

V-

+ p

(27)

а второе уравнение (25) с учетом замены (26) преобразуется к кубическому уравнению относительно параметра X

3 X3 - 6X2 +

1 (28)

+ (1 - 482 - — + 282 = 0.

Действительные корни этого уравнения, удовлетворяющие условию (27), совместно с тривиальным решением У = 0 задают все возможные стационарные режимы вида (24). Эти режимы на плоскости (5, X) в окрестности значения 5 =1/2 представлены на рис. 3.

В отличие от (18) для резонансного соотношения О = 200 и от (23) для резонансного соотношения О = 201 из условия (29) следует, что граница частот возбуждения колебаний (24) не зависит от уровня дисбаланса и определяется только параметрами ротора.

Условие Р=0 в (3) соответствует варианту отсутствия диссипации энергии в рассматриваемой системе. Исходя из общих закономерностей влияния затухания на динамику систем можно сделать вывод (ожидать), что при Р>0 полученные диапазоны частот возбуждения (18), (23), (29) (см. рис. 2, 3) и соответствующие амплитуды колебаний будут уменьшаться, в частности по аналогии с (11) появится верхняя граница частот возбуждения.

Сделанные выводы о существовании нелинейных резонансов в динамических процессах ротора на ЭМП подтверждены численными ис-

1

2

О . 10 20 30 40

Рис. 4

/ ГЦ

Рис. 6

следованиями динамики вертикального неоднородного ротора на двух радиальных ЭМП, проведенными с помощью компьютерной модели ДИРОМ [12]. В частности, отмеченные выше особенности возбуждения субгармонических колебаний ротора с частотой, в три раза меньшей частоты вращения ротора, представлены в [8].

Эффекты возбуждения нелинейных резонансных колебаний ротора значительной амплитуды имели место и при экспериментальных исследованиях в ОКБМ. На рис. 4 представлена картина изменения спектра колебаний ротора стенда «Масштабная модель ротора» при его разгоне в зависимости от времени. Масса ротора порядка 650 кг, длина 6 м. Низшая частота изгибных колебаний ротора равна 16 Гц. Отношение коэффициентов ПД-регулятора оценивается значением а/Ъ « 200 с 1, и верхняя граница частот вращения ротора (11), где возможно возбуждение субгармонических колебаний на частоте, в три раза меньшей частоты вращения ротора, оценивается величиной 36 Гц.

0.0004 0.0000 0.0004

Рис. 7

Из рисунка 4 четко видно, что на частоте вращения ротора порядка 27 Гц возбуждаются субгармонические колебания с частотой порядка 9 Гц и с амплитудой, превышающей амплитуду гармонических колебаний (с частотой 27 Гц) практически в два раза. Субгармонические колебания связаны с движением ротора как твердого тела.

На рис. 5 представлена картина изменения спектра колебаний ротора стенда «Масштабная модель ротора» в одном из экспериментов при выбеге.

На частоте вращения ротора порядка 12 Гц возбуждаются субгармонические колебания с частотой порядка 6 Гц и с амплитудой, существенно превышающей амплитуду гармонических колебаний (с частотой 12 Гц). Субгармонические колебания на половинной частоте вращения ротора связаны с движением ротора как твердого тела.

На рис. 6 представлена картина изменения спектра колебаний ротора стенда «Минимакет» при его выбеге. Масса ротора порядка 16 кг,

длина 1 м. Первая частота изгибных колебаний ротора равна 30 Гц, и в соответствии с (23) нижняя граница частот вращения ротора, где возможно возбуждение нелинейных резонансных колебаний вида (19) на половинной частоте вращения, превышает значение 60 Г ц.

Из рисунка 6 видно, что в окрестности частоты вращения ротора порядка 74 Гц возбуждаются интенсивные колебания ротора на половинной частоте вращения. Эти колебания связаны с движением ротора по первой изгибной форме собственных колебаний. На рис. 7 представлена траектория движения верхнего сечения ротора на нерезонансной частоте 75 Гц (черная кривая) и при прохождении резонанса (красная кривая). При прохождении резонанса колебания совершаются относительно смещенного положения ротора, что подтверждает полученные выше качественные результаты.

Таким образом, в результате проведённого исследования обнаружены особенности динамики ротора на ЭМП в области нелинейных резонансов, обусловленных возбуждением субгармонических колебаний несбалансированного ротора. Особенности необходимо учитывать при построении систем управления электромагнитным подвесом ротора, при анализе нелинейных эффектов, возникающих в процессе эксплуатации роторных машин, и при экспериментальных верификационных исследованиях моделей динамики роторов на ЭМП. В частности, полученные результаты служат одним из обоснований адекватности компьютерной модели ДИРОМ [12].

Работа выполнена при финансовой продержке Министерства образования и науки РФ и Российского Фонда Фундаментальных исследований (13-08-00785 А).

Список литературы

1. Митенков Ф.М., Кодочигов Н.Г. и др. Высокотемпературный газоохлаждаемый энергоисточник для промышленного производства водорода // Атомная энергия. Т. 97. Вып. 6. 2004. С. 432-446.

2. Овчинников В.Ф., Николаев М.Я., Кирюшина Е.В. и др. Модель динамики гибкого неоднородного ротора на электромагнитных подшипниках // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 4(1). С. 171-176.

3. Митенков Ф.М., Овчинников В.Ф., Николаев М.Я. и др. Моделирование динамики вертикальноосевой ветроэнергетической установки на электромагнитном подвесе // В сб.: Проблемы прочности и пластичности. Изд-во Нижегородского госуниверси-тета. 2012. Вып. 74. С. 184-189.

4. Николаев М.Я., Литвинов В.Н., Кирюшин А.А. и др. Математическая модель ротора вертикальноосевой ветроэнергетической установки // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. Вып. 4(5). С. 2398-2400.

5. Митенков Ф.М., Овчинников В.Ф., Николаев М.Я. и др. Балансировка гибкого вертикального ротора на электромагнитном подвесе // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4(1). С. 134-39.

6. Знышев В.В., Овчинников В.Ф., Николаев М.Я. и др. Алгоритм формирования заданной силы электромагнитных подшипников в системе управления электромагнитного подвеса ротора // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 5(1). С. 138-141.

7. Митенков Ф.М., Знышев В.В., Кирюшина Е.В. и др. Применение частотного фильтра в системе управления гибкого ротора на электромагнитных подшипниках //Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. № 3. С. 79-84.

8. Митенков Ф.М., Овчинников В.Ф., Николаев М.Я. и др. Влияние дисбаланса на нелинейную динамику вертикального ротора на электромагнитных подшипниках //Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 4. С. 110-114.

9. Знышев В.В., Кирюшин А.А., Николаев М.Я., Овчинников В.Ф. Вопросы моделирования динамики ротора на электромагнитном подвесе на макетах // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 5. С. 137-141.

10. Митенков Ф.М., Знышев В.В. и др. Проблемы и принципы математического моделирования динамики сложных уникальных систем // Математическое моделирование. М. РАН. Изд-во «Наука». 2007. Т. 19. № 5. Стр. 39-44.

11. Митенков Ф.М., Знышев В.В., Кирюшина Е.В. и др. Особенности динамики вертикального гибкого ротора на электромагнитном подвесе // Проблемы машиностроения и надёжности машин. М. РАН. Изд-во «Наука». 2007. № 5. С. 3-6.

12. Знышев В.В., Кодочигов Н.Г., Кирюшина Е.В. и др. Моделирование динамики вертикального неоднородного гибкого ротора на электромагнитном подвесе // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Механика. 2006. Вып. 1(7). С. 14-20.

NONLINEAR RESONANCE OSCILLATIONS OF AN UNBALANCED ELECTROMAGNETICALLY

SUSPENDED FLEXIBLE ROTOR

V.F. Ovchinnikov, Е. V. Kiryushina, M.Ya. Nikolaev, Е. V. Fadeeva, AS. Chistov,

V.N. Litvinov, F.M. Mitenkov, N.G. Kodochigov, S.A Malkin

An analysis of some dynamics peculiarities of an electromagnetically suspended flexible rotor in the range of nonlinear resonances has been carried out. Necessary conditions for the excitation of subharmonic oscillations have been obtained as a result of a qualitative investigation of the uniform rotor mathematical model. Experimental results for real rotor designs are presented to confirm the qualitative conclusions made.

Keywords: dynamics, unbalance, mathematical model, nonlinear system, rotor, subharmonic oscillation, stability, frequency, electromagnetic bearing.