Влияние дисбаланса на нелинейную динамику вертикального ротора на электромагнитных подшипниках Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 4, с. 110-114

УДК 534.01

ВЛИЯНИЕ ДИСБАЛАНСА НА НЕЛИНЕЙНУЮ ДИНАМИКУ ВЕРТИКАЛЬНОГО РОТОРА НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОДШИПНИКАХ

© 2009 г. Ф.М. Митенков 1, В.В. Знышев 2, Е.В. Кирюшина 2, Н.Г. Кодочигов 1,

М.Я. Николаев 2, В. Ф. Овчинников 2

1 Опытное конструкторское бюро машиностроения им. И.И. Африкантова

2 НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

znyshev@mech.unn.ru

Псступила в редакцию 23.03.2009

Исследованы особенности динамики разгона ротора на электромагнитном подвесе в области нелинейных резонансов, обусловленных возбуждением субгармонических колебаний. Показано, что параметры движения ротора в двух взаимно ортогональных плоскостях могут количественно не совпадать, а при превышении дисбалансом ротора некоторого порогового значения уровень колебаний ротора может резко снижаться.

Ключевые слсва: динамика, дисбаланс, математическая модель, нелинейная система, ротор, субгармоническое колебание, устойчивость, частота, электромагнитный подшипник.

при формировании сил реакции электромагнитных опор.

В общем случае математическая модель динамики неоднородного гибкого ротора на электромагнитном подвесе представляет собой сложную многомерную многосвязную нелинейную систему. Перед практическим применением в исследованиях динамики конкретной роторной машины модель должна быть верифицирована. Программа начальной стадии верификационных исследований, очевидно, основывается на достаточно грубом исходном представлении о части основных динамических свойств системы, проявляющихся в различных рабочих условиях.

Начальное изучение предполагаемых свойств системы, пригодных для верификации, рационально проводить с помощью простых моделей, так как:

а) при экспериментах и в случае сложной модели временные затраты на многовариантное исследование динамики в различных эксплуатационных ситуациях могут неприемлемо увеличиться;

б) в множестве состояний многомерной многосвязной нелинейной модели трудно заранее выделить и устранить при верификации те из них, при которых возможна компенсация одного исследуемого динамического эффекта другим;

в) одним из множества признаков адекватности сложной модели является совпадение результатов исследования, полученных при согла-

Объектом исследования является вертикальный неоднородный гибкий ротор на электромагнитном подвесе (рис. 1). Ротор может быть одновальным или состоять из нескольких упруго связанных между собой частей. В рабочем положении ротор поддерживают осевые электромагнитные подшипники (ОЭМП) и радиальные электромагнитные подшипники (РЭМП).

Рис. 1

При моделировании данная конструкция рассматривается как две взаимодействующие подсистемы, первая из которых характеризует динамику ротора как механической системы, а вторая - динамику системы управления (СУ)

сованных исходных условиях для сложной и простой моделей.

Данная работа выполнена в соответствии с такой идеологией и является естественным продолжением исследований [1] особенностей нелинейной динамики ротора на электромагнитном подвесе и верификации компьютерной модели ДИРОМ [2]. В [1] показано, что в динамике рассматриваемого ротора проявляются эффекты, характерные для нелинейных систем: явление «скачка» при прохождении резонансных частот и возбуждение субгармонических и ультрагармонических колебаний, в частности с частотой субгармоники ю = ¥!Ъ (р - частота внешнего возмущения, совпадающая с частотой вращения ротора). Это соотношение в дальнейшем используется в качестве исходного для решения задачи о влиянии на динамику ротора величины его дисбаланса в области нелинейных резонансов, обусловленных возбуждением субгармонических колебаний.

Для качественного анализа используем простую одномассовую модель движения ротора при синусоидальном возмущении и перемещениях ротора от нулевого положения, много меньших номинального зазора между ротором и магнитами ЭМП:

m

d 2 x dt2

I = I о z,

To —,

12 = I о =

m

aKT2

П = шТо, ca

, a = 9—,

получим:

d 2 z

2 dz 3 + 3z — + z =

плитуд A, B и сдвигов фаз ¥, y получается система четырех уравнений

-Q2 A + (l + Q 2) • Hl = о,

Q3 A + (l + Q 2) • H 2 = о,

- 9Q2B • cos ¥ - 3Q • H4 + H3 = a Q2 cos y,

- 9Q2B • sin ¥ + 3Q • H3 + H4 = a Q2 sin y. В (2) использованы обозначения

Hl = - A3 + - AB2 - - A2B • cos ¥,

l 4 2 4

(2)

32

H2 =— A2B • sin ¥, 24

l A3 4

H3 =— A3 +| - A2 B + -B3 I cos ¥,

3 B3

4

H4 = | - A2B + - B3 I sin ¥.

3 2 *

+ К1 = 9тсю sm(3юt + у ), dx

I = ах + Ь —, dt

где т - масса ротора, х - перемещение, К3-аппроксимация зависимости электромагнитной силы ЭМП от тока I в обмотке ЭМП, с - дисбаланс ротора, 3ю и Y* - частота и начальная фаза внешнего возмущения, а и Ь - коэффициенты ПД-регулятора.

Продифференцировав дважды второе уравнение системы, заменим в полученном выражении вторую производную переменной х соотношением, задаваемым первым уравнением, и, перейдя к безразмерным переменным

- Л2В + - °3

2 4

Система (2) допускает решение Л = 0, соответствующее колебаниям только с частотой внешнего возбуждения. В этом случае квадрат амплитуды колебаний 7 = В2 определяется решением кубического уравнения. На рис. 2 представлены резонансные кривые, соответствующие нескольким уровням дисбаланса а (кривая

1 соответствует а = 0.1, кривая 2 - а = 0.25, кривая 3 - а = 0.5).

dxz dx (l)

= a •Q2Vl + 9Q2 sin(3Qx + y),

где y - начальная фаза возмущения.

После подстановки в уравнение (l) решения в виде z = A • sin Qt + B • sin(3Qx + ¥) для ам-

Рис. 2

В зависимости от частоты вращения существует один или два устойчивых режима колебаний ротора.

При А ^ 0 из (2) можно получить два уравнения относительно амплитуд субгармонических X = А и гармонических 7 колебаний

a

о

Рис. 3

Рис. 4

Ф1( X ,7,О) = 0,

Ф 2( X ,7,О)-а 2 (1 + 9О2 X = 0. (3)

На плоскости (X, 7) задаваемая функцией Ф1 кривая является эллипсом, расположенным в первом квадранте, малая ось которого образует с осью 0Y угол п/8. Следует отметить, что функция Ф1 зависит только от частоты вращения ротора О, но не зависит от уровня дисбаланса (параметр а). Первое уравнение системы (3) имеет решение только при О < 0.378, что следует рассматривать как необходимое условие существования субгармонических колебаний.

На рис. 3 показано расположение эллипсов в зависимости от частоты О (кривая 1 соответствует О = 0.1, кривая 2 - О = 0.2, кривая 3 -О = 0.25, кривая 4 - О = 0.3, кривая 5 -О = 0.31). Из рис. 3 следует, что с ростом часто-

ты вращения О эллипс удаляется от начала координат и, следовательно, амплитуды субгармонических и гармонических колебаний также растут.

Второе уравнение системы (3) определяет на плоскости (X, 7) кривую четвертого порядка, положение которой зависит и от частоты вращения ротора О, и от уровня дисбаланса а. На рис. 4 для О = 0.25 показано расположение этой кривой при разных значениях параметра а (кривая 1 соответствует а = 0.5, кривая 2 -а = 0.6, кривая 3 - а = 1.0, кривая 4 - а = 1.2).

На рис. 4 в интервале изменения дисбаланса 0.55 < а < 1.2 существуют точки пересечения кривых, задаваемых уравнениями (3), то есть система уравнений (3) имеет два решения. Одно из этих решений, более удаленное на плоскости (X, 7) от начала координат, соответствует устойчивому стационарному режиму, а второе -неустойчивому.

Таким образом, проведенный качественный анализ модели (1) выявил ряд особенностей динамики ротора в области субгармонических колебаний:

1. Частотный диапазон возбуждения субгармонических колебаний ограничен сверху пороговым значением, величина которого определяется коэффициентами ПД-регулятора

ю< 0.378 -I.

Ь )

2. На каждой частоте вращения ротора имеется минимальный уровень дисбаланса, ниже которого субгармонические колебания не возбуждаются.

3. На каждой частоте вращения ротора во всем диапазоне частот имеется максимальный уровень дисбаланса, выше которого субгармонические колебания не возбуждаются.

4. В области существования субгармонических колебаний имеется два устойчивых стационарных режима колебаний, один из которых соответствует чисто гармоническим колебаниям, а второй характеризуется сложением гармонических и субгармонических колебаний.

Сделанные выводы подтверждены численными исследованиями динамики вертикального неоднородного ротора на двух радиальных ЭМП, проведенными с помощью компьютерной модели ДИРОМ [2]. В компьютерной модели учтены основные особенности динамики ротора на ЭМП, в частности:

- гибкость и неоднородность ротора;

- силы дисбаланса, гироскопические и циркуляционные силы, эффекты, связанные с рассеянием энергии в конструкции ротора;

- нелинейная зависимость сил в магнитах ЭМП от тока в обмотках электромагнитов и от перемещений ротора;

- инерция датчиков положения ротора, время на обработку информации с датчиков и релейные звенья в СУ ЭМП.

Результаты численных исследований приведены на рис. 5-8.

На рис. 5 представлена зависимость от частоты вращения Е (частота возмущения) амплитуды колебаний ротора и в сечении расположения верхнего радиального ЭМП для двух значений одностороннего дисбаланса ротора: черная кривая соответствует дисбалансу 0.006 мм, а серая - 0.0065 мм. На рис. 6, 7 для варианта с дисбалансом 0.006 мм приведены амплитуды колебаний ротора и в двух взаимно ортогональных направлениях в верхнем ЭМП с разными значениями коэффициента Ь ПД-регуля-тора: Ь = 20 А-с/м - черные кривые, Ь = = 15 А-с/м - серые кривые. Анализ колебаний ротора в диапазоне частот вращения Е от 20 Гц до 40 Гц показал, что увеличение уровня колебаний обусловлено возбуждением субгармонических колебаний ротора с частотой Е/3 Гц.

Из анализа рис. 5-7 можно сделать ряд выводов.

Во-первых, в рассматриваемом диапазоне частот вращения ротора имеется максимальный уровень дисбаланса, равный 0.0065 мм, выше которого субгармонические колебания не возбуждаются. Это согласуется с третьим сделанным выше качественным выводом. Во-вторых, с ростом дифференциального коэффициента ПД-регулятора (Ь) максимальная частота вращения ротора, до которой реализуется возбуждение субгармонических колебаний, уменьшается, что согласуется с первым сделанным выше качественным выводом. В-третьих, практически при одинаковых условиях движения ротора в двух взаимно ортогональных плоскостях количественно не совпадают. При некоторых значениях частот вращения в одном направлении субгармонические колебания возбуждаются, а в другом - нет, что является следствием существования в этом диапазоне частот по крайней мере двух устойчивых стационарных режимов колебаний ротора, реализация которых зависит от попадания изображающей точки в фазовом пространстве в область притяжения соответствующего режима (т.е. от начальных условий). Этот эффект согласуется с четвертым сделанным выше качественным выводом.

На рис. 8 представлены зависимости амплитуд (Ц) гармонических (штриховая линия) и субгармонических (сплошная линия) колебаний

Ц, мм

Ц, мм

Ц, мм 0.04 -і

0.03

0.02-

0.01-

0.00

Рис. 5

Рис. 6

0 10 20 30 Е, Гц

Рис. 7

от величины одностороннего дисбаланса ротора (с) при его вращении с частотой 26 Г ц.

Из рис. 8 следует, что субгармонические колебания реализуются в диапазоне изменения дисбаланса от 0.0045 мм до 0.008 мм, что хорошо согласуется со вторым и с третьим сделан-

U, мм

Рис. 8

ными выше качественными выводами. Увеличению дисбаланса на рис. 4 соответствует движение точки пересечения кривых, задаваемых уравнениями (3), по дальней от начала координат стороне эллипса. При этом движении амплитуда субгармонических колебаний (X = А2) уменьшается, а амплитуда гармонических колебаний (7 = Б2) растет. Именно такие тенденции движения демонстрирует рис. 8.

Таким образом, в результате проведённого исследования обнаружены особенности дина-

мики ротора на ЭМП в области нелинейных резонансов, обусловленных возбуждением субгармонических колебаний несбалансированного ротора. Эти особенности необходимо учитывать при построении систем управления электромагнитным подвесом ротора, при анализе нелинейных эффектов, возникающих в процессе эксплуатации роторных машин и при экспериментальных верификационных исследованиях моделей динамики роторов на ЭМП. В частности, полученные результаты служат одним из обоснований адекватности компьютерной модели ДИРОМ.

Работа поддержана грантом РФФИ № 08-01-97034-р_поволжье_а.

Список литературы

1. Митенков Ф.М., Знышев В.В., Кирюшина Е.В. и др. Особенности динамики вертикального гибкого ротора на электромагнитном подвесе // Проблемы машиностроения и надёжности машин. М.: РАН, Изд-во «Наука», 2007. № 5. С. 3-6.

2. Знышев В.В., Кодочигов Н.Г., Кирюшина Е.В. и др. Моделирование динамики вертикального неоднородного гибкого ротора на электромагнитном подвесе // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Механика. 2006. Вып. 1(7). С. 14-20.

DISBALANCE INFLUENCE ON NONLINEAR DYNAMICS OF A VERTICAL ROTOR SUSPENDED ON ELECTROMAGNETIC BEARINGS

F.M. Mitenkov, V. V. Znyshev, E. V. Kiryushina, N.G. Kodochigov, M. Ya Nikolaev, V.F. Ovchinnikov

Some peculiarities have been investigated of acceleration dynamics of an electromagnetically suspended rotor in the range of nonlinear resonances caused by the excitation of sub-harmonic vibrations. It has been shown that the rotor motion parameters in two mutually orthogonal planes may not coincide quantitatively; and when the disbalance of the rotor exceeds some threshold value its vibration level may fall abruptly.

Keywords: dynamics, disbalance, mathematical model, nonlinear system, rotor, sub-harmonic vibration, stability, frequency, electromagnetic bearing.