CC BY
13УДК 621.039.533; 621.81-25.001.4
И.В. Друмов, А.В. Ходыкин
РАСЧЕТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗГОНА РОТОРА ТУРБОМАШИНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОДШИПНИКАХ
ОАО «Опытное конструкторское бюро машиностроения им. И.И. Африкантова»
В работе приведены результаты расчетных исследований разгона ротора турбомашины в электромагнитных подшипниках. При этом оценивается величина дифференциального коэффициента регулятора, при которой обеспечивается отсутствие касания ротором страховочного подшипника. Кроме того, показывается возможность за счет изменения дифференциального коэффициента регулятора исключить нелинейные эффекты системы.
Ключевые слова: электромагнитный подшипник, турбомашина, ротор, дифференциальный коэффициент, разгон.
Введение
В рамках проекта высокотемпературного гелиевого реактора с прямым газотурбинным циклом ГТ-МГР ОАО «ОКБМ Африкантов» [1] проводит исследования движения ротора турбомашины на электромагнитном подвесе. Вертикальный ротор турбомашины общей массой 65 тонн состоит из роторов генератора и турбокомпрессора, соединенных между собой диафрагменной муфтой. Каждый из роторов имеет по две собственные изгибные резонансные частоты. Наличие изгибных частот, большая масса (вес ротора генератора составляет 35 тонн) при частоте вращения до 73 с-1, высокие требования надежности, гелиевое охлаждение существенно отличают конструкцию турбомашины от других известных машин, в которых достаточно широко применяются ЭМП. Необходимость снижения степени риска изготовления подобной турбомашины предопределяет необходимость всесторонних исследований динамики ротора на электромагнитном подвесе - аналитическими методами, расчетами и экспериментами на моделях различного масштаба и в составе полномасштабного турбокомпрессора.
В методическом плане исследования ведутся от наиболее простых к постепенно усложняющимся расчетным моделям. При этом исследования динамики ротора на электромагнитных подшипниках целесообразно проводить по моделям, учитывающим основные нелинейности. Из литературных источников [2-4] известно, что основными нелинейностями, приводящими к неоднозначности зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты гармонической вынуждающей силы (т.е. качественное изменение динамики ротора), являются нелинейная зависимость силы электромагнита от управляющего тока. При этом наличие неоднозначности амплитуды колебаний ротора может приводить к значительному повышению данной амплитуды, вызывающее касание ротором страховочного подшипника.
Данные, полученные расчетным путем, сопоставляются с экспериментальными данными, проводится верификация расчетных программ, а наиболее важные части уточняются на более сложных физических моделях.
С целью верификации расчетных программ созданы два исследовательских стенда: маломасштабная модель ротора турбомашины, имитирующая некоторые условия его эксплуатации; масштабная модель ротора турбомашины массой 1100 кг, которая позволяет расширить возможности получения экспериментальных данных по электромагнитному подвесу.
© Друмов И.В. , Ходыкин А.В., 2010.
Главной задачей расчетных исследований на сегодня является определение возможности разгона ротора до номинальных оборотов без касания страховочных подшипников и условий, при которых это реализуется. При этом исследуется зависимость амплитуды вынужденных колебаний ротора под воздействием вынуждающей силы (при разных настроечных параметрах регуляторов). Определяются величины настроечных коэффициентов регуляторов, при которых отсутствует неоднозначность зависимости амплитуды колебаний от частоты.
1. Нелинейная математическая модель ротора и системы управления электромагнитным подшипником
Модель одно-массового ротора без токов смещения и с учетом выражения для пропорционально-дифференциального регулятора имеет вид [1,5]:
L0 S0 mx = - 0 0
• \ 2
(кпx + кдx)
если к„x + клx > 0
2
/о , Л2 ' п д
(Sn + x)
(0 -)2 «
(Kпx + кAx)
, если киx + клx < 0,
(S0 - x? • п д
где т - масса ротора; £0 - номинальный воздушный зазор при центральном положении ротора; Ь0 - индуктивность электромагнитов при центральном положении ротора; х - смещение
ротора из центрального положения; кп - пропорциональный коэффициент пропорционально-дифференциального регулятора; кд - дифференциальный коэффициент пропорционально-
дифференциального регулятора.
Исходное уравнение (1) динамики ротора исследуется при воздействии сил дисбаланса.
Уравнение (1), с учетом предположения: С*0==0 (данное предположение справедливо для смещений ротора в пределах всего воздушного зазора, поскольку, характеристика «сила-смещение» при воздушном зазоре больше 80 имеет пологий вид), преобразуется к виду
тх = -±0- • [|кпх + кдх\(к„х + кдх)] + Лё • е", (2)
где Аё - амплитуда внешнего воздействия; ш - частота вращения ротора.
Таким образом, в уравнении системы (2) отсутствует линейный член. Для исследований в данной работе используется метод гармонической линеаризации [2], поскольку он не требует малого значения нелинейности, но требует, чтобы колебания ротора были бы близки к гармоническим. Это имеет место при гармоническом возмущении -дисбалансе.
2. Исследование исходного уравнения методом гармонической линеаризации
Метод гармонической линеаризации позволяет исследовать вынужденные колебания ротора. Структурная схема неавтономной системы представлена на рис. 1.
Передаточную характеристику замкнутой цепи можно записать следующим образом:
1 + Ж (р)Ж (А) х(0 = Ж (р^ (г), (3)
где Жн(р) - передаточная характеристика гармонически линеаризованной отрицательной обратной связи.
Гармонически линеаризованное уравнение (3) может быть переписано следующим образом:
х(г)_ Ж (р)
g (t) 1 + W (p)Wh (A)
<
gtO
kill
W(p)
*
Р(х)
х<1>
Рис. 1. Блок-диаграмма неавтономной системы с отрицательной обратной связью:
Щ(р) - передаточная функция объекта управления; х(0 - перемещение ротора; g(t) - внешняя периодическая сила (например, дисбалансная периодическая сила); Щх) - нелинейная зависимость между силой и перемещением в цепи обратной связи регулятора; р - параметр преобразования (р = )
Примем входной и выходной сигналы в комплексной форме:
g(t) = Ase-J(at, (5)
х(г) = Ае "] (ш+ф). (6)
Тогда уравнение(4)дает
АТе~Л= ^О) + Ъ (А) (7)
или
А
W~\jш) + Wh (A) . (8)
_§_
А
В соответствии с методом гармонической линеаризации решение ищем в виде х=Авт(ш^), где А - амплитуда периодического решения; ш - частота периодического решения; I - текущее время.
Разложим нелинейный член в уравнении (2) в ряд Фурье и ограничимся только первым членом разложения. Это справедливо, так как ротор представляет собой фильтр низких частот. При этом коэффициенты гармонической линеаризации равны:
к
qx = — Ц кп x + кд x| (кп x + кд x) sin udu гА о
Ak 2K
(9)
= — ||кп sin т + кдш cosi|(кп sin т + кдш cosx)sinudu =
п
Я 0
Ак г,, 2 2i2\\ ■ I • 2 7 8 Ак 2 2i2\ = — I (кп +ш кд) sinusin udu =-(кп +ш кд),
г * 3г
ql =— | |кп x + кд (кп x + ^X)cos udu = 0, (10)
где i=at, u=i+Ai, arcsin Ax = д , arccosAi = . 2 , k=L0/2S0.
^k2 + >2 + k«®2
Передаточная функция гармонически линеаризованной обратной связи
„2 ,2 2ч 8 Ak . /,, 2 72 ^8Ak,, . , .
(kn + кдш )-sinu J(kn + кдш )-(kn sin x + кдш cosx)
Wj) =--=-^-=
sin x sin x (11)
= V(k2 + k2®2) ^(kn + = д/(k2 + k2Q2) ^(kn + ^j®).
В соответствии с уравнением (2) передаточная функция объекта управления
Ж_1(» = -ma2. (12)
Таким образом, при Л^ = mea2
форме:
-тШ2 (-П + ^дЮ2) —-(кп + -д7а)
Таким образом, при Л^ = mea уравнение (8) может быть представлено в следующей
mea2
A
где те - величина дисбаланса.
(13)
(mea2f = Л2т2а4 -2ma2J(-n2 + -да2) -А---п + (к2 + -2а2)(—-п)2 Л4 +
3л -л
+ (-2д (-п + -д2ю2)(-- ю)2 Л4.
3л
Исходное уравнение для анализа имеет вид
[(-П + -V)2(—)2]Л4 -2ma2J(-2 + -2a2) —-пЛ3 + m2a4Л2 -(mea2У = 0. (14) д 3л v д -л ^ '
Исследования исходного уравнения проводились с помощью прикладного математического пакета MATHCAD (так как уравнение (14) не разрешается относительно амплитуды периодического решения А) численным образом для параметров модели ротора турбомаши-ны (при вариации a и дифференциального коэффициента кд): дае=2.5-10"3кгм (величина дисбаланса).
На рис. 2 приведена зависимость амплитуды (А) периодического решения от частоты вынуждающей силы (а) при варьировании дифференциального коэффициента. Как видно из рис. 2:
• при малом (в рамках проведенного исследования) значении дифференциального коэффициента 0.01 А-с/м на средних частотах, начиная с 30 Гц, резонансная кривая имеет неоднозначный вид и существуют устойчивое и неустойчивое периодические решения;
• при большом (в рамках проведенного исследования) значении дифференциального коэффициента 5 А-с/м резонансная кривая имеет однозначный вид и существуют только устойчивые периодические решения;
• значение дифференциального коэффициента, равное 1 А-с/м, является найденным в процессе исследования граничным значением, при котором резонансная кривая имеет неоднозначный вид, ниже которого существуют только устойчивые периодические решения, а выше - устойчивое и неустойчивое периодические решения.
0.013
О 40 80 120 160
Част от а,Гц
Рис. 2. Зависимость амплитуды периодического решения от частоты
возбуяедающей силы при различных кд:
I - устойчивое периодическое решение при большом значении
дифференциального коэффициента (5 А-с/м); © - устойчивое периодическое решение при среднем значении дифференциального коэффициента (1 А-с/м); - неустойчивое периодическое решение при среднем значении дифференциального коэффициента (1 А-с/м);
- устойчивое периодическое решение при малом значении дифференциального коэффициента (0,01 А-с/м);
- устойчивое периодическое решение при малом значении дифференциального коэффициента (0.01 А-с/м)
Выводы
Активный магнитный подшипник имеет несколько нелинейностей, которые должны быть учтены при математическом моделировании. Основная из них, квадратичная зависимость силы электромагнита от тока. Представленная математическая модель включает данную нелинейность. Анализ математической модели проводился методом гармонической линеаризации и позволил определить как устойчивые периодические решения, так и неустойчивые. В результате анализа получено следующее:
1) на частоте вынуждающей силы выше 30 Гц и при кд менее 1А-с/м наблюдается неоднозначность амплитуды колебаний ротора, появление двух устойчивых периодических решений и одного неустойчивого периодического решения;
2) при любых параметрах системы до 30 Гц наблюдается только одно устойчивое периодическое решение;
3) когда частота вынуждающей силы превышает 30 Гц, наблюдаются явления скачков;
4) наличие неоднозначности амплитуды и величина амплитуды зависят от кд;
5) при частоте выше 30 Гц и кд < 1А-с/м из-за наличия эффектов скачков возможно касание ротором страховочного подшипника;
6) при кд > 1А-с/м отсутствуют неоднозначность амплитуды и, следовательно, явления скачков.
Библиографический список
1. Расчетно-аналитические исследования процессов в электромагнитных подшипниках при вывешивании ротора турбомашины / Ф.М. Митенков [и др.] // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. № 1. С. 87-90
2. Горяченко, В.Д.. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. - М.: Высш. шк., 2001.
- 395 с.
3. Попов, Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах / Е.П. Попов.
- М.: Наука, 1973. - 584 с.
4. Вибрации в технике: справочник: в 2 т. Т. 2. Колебания нелинейных механических систем / И.И. Блехман [и др.]; под ред. И.И. Блехмана. - М.: Машиностроение, 1979. - 351 с.
5. Обоснование устойчивости полного электромагнитного подвеса / В.С. Востоков [и др.] // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. №2. С. 28-32
Дата поступления в редакцию 17.06.2010
I.V. Drumov, A.V. Hodykin
ANALYTICAL STUDIES OF TM ROTOR ACCELERATION IN ELECTROMAGNETIC BEARINGS
The paper contains the results of analytical studies of turbomachine (TM) rotor acceleration on electromagnetic bearings (EMB). The controller differential coefficient value which prevents the rotor touchdown on catcher bearings is estimated. Besides, the possibility of excluding system non-linear effects by changing controller differential coefficient is shown.
Key words: electromagnetic bearing, turbomachine, rotor, differential coefficient, acceleration.
