CC BY
68
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородско го универси тета им. Н.И. Лобачевского, 20 11, № 4 ( 1), с. 179-184
УДК 621.81
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ РОТОРА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОДВЕСЕ
© 2011 г. С.А. Малкин
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет
ser-malkin@yandex.ru
Поступила рредакцию 04.04.2011
Рассмотрены вопросы управления движением ротора в электромагнитном подвесе, приведено описание объекта управления, построена математическая модель, описана модель системы управления электромагнитного подвеса (ЭМП). Обсуждаются возможные известные пути физической линеаризации системы ЭМП в предположении управления по току, предложен метод альтернативной физической линеаризации. В расчетном эксперименте на примере реального стенда проведено сравнение линейной и нелинейной систем, показаны преимущества линейной системы.
Ключерые слора: электромагнитный подвес, управление, линеаризация обратной связью.
Введение
В ОАО «ОКБМ Африкантов» производится обоснование возможности создания АЭС с газовым реактором с турбомашиной (ТМ) на электромагнитном подвесе (ЭМП) [1]. Альтернативных решений электромагнитному подвесу ротора в ядерном реакторе с газовым теплоносителем по ряду причин не существует.
Для исследования динамики ротора на электромагнитном подвесе в обоснование работоспособности ТМ, получения экспериментальной информации для использования при проектировании системы ЭМП и ротора натурной ТМ, а также для получения данных для верификации расчётных кодов в ОКБМ был создан маломасштабный (1:40) стенд ТМ на трех ЭМП (двух радиальных и одном осевом) - стенд «Минимакет».
Как известно, система электромагнитного подвеса (ЭМП) изначально нелинейная [2, 3]. Нелинейность вызвана квадратичной зависимостью силы электромагнита от тока и зазора, а также тем, что токи определяются прикладываемым к обмоткам напряжением. В ОКБМ, вопреки традиционной практике создания линейных систем, была создана и эксплуатируется нелинейная система «ротор-ЭМП». К нелинейной системе электромагнитного подвеса, как и к любой другой нелинейной системе, невозможно применить хорошо разработанные и изученные методы синтеза законов управления, исследования устойчивости и т. д. [4]. Поэтому первостепенной задачей исследования нелинейной системы является ее линеаризация [5].
Обычный способ избавиться от нелинейности токов - это введение так называемых токов
смещения, которые симметрично прибавляются и вычитаются, соответственно, к току в каждой обмотке. Такой прием называется якобиан-линеаризацией и позволяет разложить функцию силы электромагнита в ряд Тейлора, тем самым математически линеаризовав систему. Очевидно, что считать систему линейной в этом случае можно только при небольших отклонениях от положения равновесия (нулевой точки). На практике при работе роторных машин на ЭМП амплитуда колебаний часто достигает значительных величин. Работоспособность машины при рассмотрении в условиях математической линеаризации невозможно гарантировать [5]. Поэтому было бы предпочтительно, чтобы электромагнитная сила линеаризовалась не математически, а физически.
В данной статье рассмотрены объект управления, математическая модель ротора, модель системы управления ЭМП. Описаны возможные известные пути физической линеаризации системы ЭМП в предположении управления по току, предложен метод альтернативной физической линеаризации. В расчетном эксперименте на примере реального стенда проведено сравнение линейной системы с нелинейной, показаны преимущества линейной системы.
1. Объект управления
Объектом исследований является ротор на полном электромагнитном подвесе стенда «Минимакет».
Ротор стенда «Минимакет» состоит из вала, на который установлены ротор электродвигателя, диск осевого ЭМП, втулки радиальных ЭМП и диски датчиков радиального положения рото-
Таблица 1
Конструктивные характеристики стенда «Минимакет»
Наименование параметра Значение
Масса ротора т, кг 14
Момент инерции относительно оси вращения J, кг-м2 0.0179
Общая длина ротора, м 0.985
Момент инерции относительно всех осей, лежащих в экваториальной плоскости А, кг-м2 0.826
Максимальная частота вращения, об/мин 10 000
Расстояние от осевого ЭМП до центра масс аА, м 0.215
Расстояние от нижнего радиального подшипника (РП) до центра масс арн, м 0.186
Расстояние от верхнего РП до центра масс арв , м 0.336
Номинальный зазор в радиальном ЭМП до статора S0, мм 0.6
Номинальный зазор в осевом ЭМП до статора S0A , мм 0.6
Номинальный зазор в радиальном ЭМП до РП, мм 0.3
Номинальный зазор в осевом ЭМП до РП, мм 0.5
ра, на которых предусмотрены отверстия для размещения балансировочных грузов [1].
Исходные данные по стенду «Минимакет» приведены в таблице 1.
2. Математическая модель
Движение подвеса в осевом направлении описывается уравнением [2, 3]
ті = -mg +
Lo S о
2
(
її
У
(
у
, (1)
О = -її (F2v - Flv) +12 ^п - рп) - Jz ш Р, Jyр = її^ -FVv) -Ї2^п -F;) + JzшО, ті = Fзv - Fvv + р3п - F4n, т^ = F2v - F1v + р2п - F1n,
(2)
Fv -1 2 1 1
Ц S о
V S0 - yv
V S0 + yv
рп - рп = і 2 ■* 1
2
V Sо - уп У I S0 + У,
2
п 2
где Sо, і - номинальный зазор в ЭМ и смещение ротора от центрального положения, І1, І2 -токи в верхней и нижней обмотках, соответственно, Цо - индуктивность при і = о.
Движение подвеса в радиальном направлении в предположении жесткого ротора описывается дифференциальными уравнениями
2
п
2
V S о + хп у
(3)
где ху, у„,хп, уп - измеряемые величины зазоров в верхних и нижних электромагнитных подшипниках. Эти величины для жесткого ротора связаны с переменными х, у, а, в кинематическими соотношениями
X, = х +р 1^ х„ = х -р 12 , Уv = У -а l1, Уп = У + а 12 .
(V)
где х, у - координаты центра масс ротора, а , р - углы поворота ротора относительно осей у и х соответственно, Ї1, Ї 2 - расстояния до верхнего и нижнего электромагнитных подшипников соответственно, индексы v и п указывают на электромагнитные силы, действующие на ротор со стороны верхних (v) и нижних (п) электромагнитных подшипников, Jх, J , Jі - главные моменты инерции ротора, ш - заданная угловая частота вращения ротора относительно оси і.
Пары электромагнитных сил, фигурирующие в уравнениях (2), определяются следующим образом:
3. Система управления ЭМП
Традиционно канал управления ЭМП, как осевого, так и радиального, состоит из датчика перемещений ротора, пропорционально-дифференциального регулятора (ПД-регулятора) и исполнительного органа, состоящего из электромагнита. Функциональная схема канала управления ЭМП приведена на рис. 1.
В блоке формирования сигнала перемещения строится последовательность координаты ротора от времени ^:
хк = х(^), ^ = t0 + кТ2 , к = о, 1, 2, (5)
где Т2 - дискретное время опроса датчика; ^ -сдвиг во времени между опросами датчиков разных ЭМП, х^) - координата ротора в момент времени tk.
2
2
2v
и
2
2
3v
2
2
2
2
ПД-регулятоір
Кд
Усилитель ісм+Цір 'ос..___Электромагнит
' та
к
1см
( >
Отклонение
^см ^уп: ю г П Ґ
' *ос
Улекто о магн ит
Рис. 1. Структурная схема системы управления ЭМП с ПД-регулятором
ПД-регулятор, используя последовательности (5), формирует ток управления /упр:
iупр=kпхк-1 +кд(хк-1 — хк-2)/ Т2 , ^к tk+1, (6)
где кп - коэффициент пропорциональности; кд -коэффициент дифференцирования.
Следует отметить, что в управляющем токе /упр информация о взаимных смещениях ротора относительно статора в месте установки датчика х появляется с задержкой во времени, равной Т2.
При математической линеаризации в блоке формирования тока управления вычисляется ток, необходимый в обмотке ЭМП, i, который состоит из двух составляющих, первая из которых учитывает ток смещения 1см в обмотке электромагнита, а вторая - ток управления /упр:
^1 1см + ^^,
^2 1см ^пр. (7)
Усилитель путем подачи управляющего напряжения обеспечивает равенство i1, /2 току обратной связи iос в обмотке магнита ЭМП.
4. Линеаризация обратной связью
В предположении управления по току подберем токи управления осевым ЭМП таким образом, чтобы замкнутая система приняла вид линейного осциллятора, не проводя при этом математической линеаризации силы ЭМ в (1):
жг = -аг - Ьг, (8)
где а, Ь - произвольные положительные коэффициенты, характеризующие жесткость и
демпфирование. Такой прием называется ли-
неаризацией обратной связью.
Если выбрать токи управления 11,12 в виде
az+Ъх
К
& + х) при ах+Ъх < 0,
Нг+М(Хо + х) при ах+Ъх>0,
(10)
где е > 0 - неотрицательное число, служащее для введения токов смещения, F0 = mg, сила тока 10 компенсирует силу тяжести и опреде-
ляется из условия
ал;
2Я„
= mg, то получим тре-
буемое уравнение (8).
В предположении, что для рассматриваемой системы требуемое значение тока управления обеспечивается точно в любой момент времени (для легких роторов и при наличии достаточно большого ресурса напряжения такой подход вполне оправдан) в рамках управления по току систему в этом случае можно считать линейной.
Закон управления, при котором замкнутая система управления оказывается линейной, будем называть линеаризующим (Л).
Уравненения движения ротора в ЭМП на двух опорах в радиальном направлении линеаризуются аналогично осевому. Выберем управляющие токи таким образом, чтобы исходная система (2) стала линейной по фазовым переменным. Тогда, например, выражения для тока в верхнем ЭМП получим в следующем виде
ау, +ь&\(е , ) п
—-—чХ) + у,) при ау, + Ьу < о,
А И
К)1
(,+е2 Х-У + Ьу ](Х + у,) при ад + Ьу. > о,
(11)
К)1
1+
(1 + б)ах+ЪЬ\ _ (Х0 _ х) при ^+Ьх < °, [|(1 + 51 ^Ку. + Ь1 у,1 (Х - у,) при аЛ + Ьу < 0
-*0 /пч _ V К
Ъ{й2 + ЪХ)
(9)
12, =<
(12)
1 +
Ко
(Х _ х) при ах+Ъх > о,
+ Ъу) (Х - у.) при а,у, + Ьу,, > о.
8
ь
Время, с
Рис. 2. Процесс вывешивания ротора в осевом направлении при управлении с помощью ПД- и Л- регуляторов
Рис. 4. Процесс подхвата ротора с г = 0.2 мм с начальной скоростью -0,05 мм/с с управлением с помощью ПД- и Л- регуляторов
г. L0 S0
где F01 --у1
F" - F" - -(a4xn + Ь4xn )
Рис. 3. Процесс подхвата ротора с г = 0.2 мм с нулевой начальной скоростью при управлении с помощью ПД- и Л- регуляторов
а в. - заданные неотрицатель-
ные параметры, определяющие ток смещения при необходимости. При таком задании тока управления система (3) перепишется в виде
F2 - F\ - -(а1 У + Ь1 yv )>
F2 - F" - (a 2 yn + Ь2 yn )
F3 - F4 - -(a3 xv + Ь3 xv ^
Время, с
Рис. 5. Отработка вывешенным ротором внешнего возмущения силой +50 Н с продолжительностью 0.005 с при управлении с помощью ПД- и Л- регуляторов
скопические силы, а матрица Г - циркуляционные силы.
Чтобы тривиальное решение системы (14) было асимптотически устойчиво, достаточно
выбрать параметры а1, i = 1,4, таким образом, чтобы обратить в нуль матрицу Г. Это легко сделать, полагая
(13)
После подстановки выражений для токов типа (11), (12) в исходную систему (2) с учетом кинематических соотношений (4) получим линейную систему дифференциальных уравнений, представленную в матрично-векторной форме
МI = -В^ - С^ + О^ + , (14)
где (^ = (а Р х у)Т , матрица М определяет инерционные свойства системы, матрица В -диссипативные свойства, матрица С - жестко-стные свойства, матрица О определяет гиро-
ц - a -
b - Ьз
i,
l1 +l2
a, a, - a4:
l1
l1 +12
a,
l
Ь,
Ь2 - Ь4
l1
Ь
/1 +12 2 4 11+12
и ограничиваясь для практики всего двумя параметрами а и Ь . В этом случае уравнения замкнутой системы принимают наиболее простой вид
3ха = -1112 (аа + ьа) - 32юр,
3ур = -1112 (аР + Ьр) + 32 юа, тХ = -(ах + Ьх), ту = -(ау + Ьу).
Время, с
Рис. 6. Отработка синусоидального возмущения 50эт(200/) Н продолжительностью 0.05 с с управлением с помощью ПД- и Л- регуляторов
Время, с
Рис. 8. Вывешивание в радиальном направлении с импульсной нагрузкой в 10 Н
Рис. 7. Процесс вывешивания в радиальном направлении при использовании ПД- и Л-регуляторов
Время, с
Рис. 9. Вывешивание в радиальном направлении с гармонической нагрузкой в 10эт(200/) Н
В соответствии с техническими требованиями, предъявляемыми к системе управления, возможны различные постановки задач выбора параметров а и Ь в системе (15).
Преимуществом такой схемы по сравнению с введением тока смещения является то, что внешняя линеаризация вводится только в той катушке, в которую подается ток управления. Поэтому уменьшаются потери потребляемой электрической энергии в ЭМ.
5. Сравнительный расчетный анализ
В этом разделе приводится сравнительный анализ функционирования системы при ПД- и Л-регуляторах при прочих равных условиях в различных режимах вывешивания и пуска ротора стенда «Минимакет». В приведенных расчетах по специальной программе учитывались инерция нарастания тока, запаздывание в датчиках измерения зазоров и работа усилителя мощности.
5.1. Вывешивание в осевом направлении с нижнего упора при коэффициентах управления кп = 8000 А/м; кд = 50 А-с/м; а = 1.4-106 Н/м, Ь = 9.97-103 Н-с/м. На рис. 2 показан процесс вывешивания ротора при управлении с помощью ПД- и Л- регуляторов.
На рис. 3-6 показан процесс стабилизации ротора с помощью ПД- и Л- регуляторов при различных возмущениях.
Из рис. 2-6 можно заключить, что Л-регулятор обеспечивает лучшее качество переходных процессов: меньшее время установления стационарного режима, меньшую величину перерегулирования, меньшую амплитуду отклонений, вызванных внешними воздействиями.
5.2. Вывешивание в радиальном направлении.
На рис. 7 приведены перемещения ротора
при вывешивании в радиальном направлении при использовании ПД- и Л-регуляторов.
На рис. 8 и 9 приведены перемещения ротора при вывешивании в радиальном направлении при использовании ПД- и Л-регуляторов с импульсной и гармонической нагрузкой в 10 Н по оси у.
-і т т-------1------т-1---т-1-------г
40 60 80 100
Частота, Гц
Рис.Ю. Перемещения ротора при пуске при использовании ПД- и Л-регуляторов.
5.3. Пуск ротора
На рис. 1о приведены перемещения ротора в одном ЭМП вдоль одной оси в радиальном направлении при пуске при использовании ПД- и Л-регуляторов.
Из рис. 2—1о можно сделать следующий вывод: Л-регулятор лучше ПД-регулятора, т.к. время переходного процесса в несколько раз меньше. При пуске ротора при использовании Л-регулятора резонансный отклик выражается значительно слабее из-за высокой степени устойчивости системы, что позволяет проходить резонансные частоты при существенно меньшей амплитуде колебаний ротора.
Заключение
Из проведенного расчетного анализа можно заключить, что предлагаемая система управления ротором с физической линеаризацией без тока смещения является весьма перспективной в плане повышения качества управления ротором.
Список литературы
1. Востоков В.С., Друмов И.В., Колесова Ю.А. и др. // Вестник ННГУ. 2008. № 5. С. 107-112.
2. Журавлев Ю.Н. Активные магнитные подшипники: Теория, расчет, применение. СПб.: Политехника, 2003.
3. Schweitzer G., Maslen E. Magnetic Bearings. London: Springer, 2009.
4. Баландин Д.В., Коган М.М. Управление движением вертикального вращающегося жесткого ротора в электромагнитных подшипниках // Теория и системы управления. 2011. № 5. С. 3-17.
5. Linearizing L. Li. Magnetic Bearing Actuators by Constant Current Sum, Constant Voltage Sum, and Constant Flux Sum // IEEE Transaction on magnetics. 1999. V. 35. № 1. P. 528-535.
6. Hu T., Lin Z., Jiang W., Allaire P.E. Constrained control design for magnetic bearing system // J. of Dynamic system, measurement, and control. 2005. V. 127. P. 601-616.
7. Kato Y., Yoshida T., Ohniwa K. Self-sensing active magnetic bearings with zero-bias-current control // Electrical Engineering in Japan. 2008. V. 165. № 2. P. 69-76.
CONTROL OF ROTOR MOTION IN AN ELECTROMAGNETIC SUSPENSION
S.A. Malkin
The control of rotor motion in an electromagnetic suspension is considered, the control object is described, a mathematical model is built, and an electromagnetic suspension (EMS) control system model is presented. Possible known ways of physical linearization current control of the EMS system are discussed, an alternative physical linearization method is proposed. In the calculation experiment using the example of a real test facility, a comparison of linear and nonlinear systems is made and the advantages of the linear system are shown.
Keywords: electromagnetic suspension, electromagnetic bearing, control, feedback linearization.
