CC BY
1
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 1 (2024). С. 54-80.
УДК 517.956.328:517.956.8
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА^СТЕКЛОВА НА СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО ВЕСОМОГО ТЕЛА
С.А. НАЗАРОВ
Аннотация. Рассмотрена спектральная задача для пространственной системы уравнений теории упругости. На малых участках поверхности тела поставлены условия Винклера-Стеклова, моделирующие пружинные крепления, а остальная часть границы свободна от внешних воздействий. В нескольких случаях (варьируются относительная жесткость пружинок и их взаимное расположение) построена асимптотика собственных частот колебаний тела и соответствующих собственных мод. В качестве предельных задач выступают задача для самого тела (спектральная или стационарная в некоторых случаях) и задачи теории упругости для полупространства с условиями Винклера-Стеклова на плоских множествах (изолированные или объединенные в единую спектральную задачу в некоторых случаях). Дискретность спектра задачи в полупространстве обеспечена полиномиальным свойством системы уравнений теории упругости. Разобраны частные случаи, сформулированы открытые вопросы и обсуждены патологические ситуации, в которых спектр теряет привычные свойства. Построены асимптотические модели задачи, предоставляющие двучленные асимптотики собственных пар исходной задачи и использующие технику самосопряженных расширений дифференциальных операторов или гильбертовы весовые пространства с отделенной асимптотикой.
Ключевые слова: упругое тело, пружинные крепления Винклера-Стеклова, сингулярное возмущение, асимптотика частот собственных колебаний.
Mathematics Subject Classification: 35Р05, 74В05, 35J47
1. Введение
1.1. Постановка задачи. Пусть Q — выпуклая область в евклидовом проетранетве R3 с гладкой (класса С^ для простоты; ер, п, 4.1) границей Г = dQ и компактным замыканием Q = Q U dQ. На поверхноети дQ выберем попарно различные точки Р1,..., РJ и введем мелкие множества
Д) = [х = (х1,х2,х3) Е дQ : (e-ls{, £-1s32) Е Wj}, j = 1 ,...,J. (1.1)
Здесь е > 0 — малый пара метр, Wj — области на плос кости R2, ограниченные простыми гладкими замкнутыми контурами Ej = dwj, Д = 9^ (х — Р^) — локальные декартовы координаты, причем 9^ — ортогональпая (3 х 3)-матрица, введенная для того, чтобы ось х33 была направлена вдоль внешне й нормали п(Р^) к поверхности Г в точке Р\ а ос и х\ и х32 располагаются в касательной плоскости П э РР Наконец, {s\,s32,ri>) — криволинейные координаты в окрестности V2 э Р2, — ориентированное расстояние до Г, < 0 в Q П V7',
а Д — ориентированное расстояние до точки Р\ измеренное вдоль проекции оси Д на Г, i = 1,2. Множеств то чек Р1,..., РJ обознач им V.
S.A. Nazarov, Influence of the Winkler-Steklov conditions on natural oscillations of an
ELASTIC WEIGHTY BODY.
© Назаров C.A. 2024.
Поступила 24 декабря 2022 г.
54
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
55
В области П рассмотрим задачу теории упругости
L(V)u(x) := D(-V)TAD(V)u(x) = Хри(х), х Е П, (1,2)
N(х, V)u(x) := D(n(x))TAD(V)u(x) = 0, х Е П \ ш£, (1,3)
N (х, V)u(x) = \peQ(x)u(x), х Е uf = U ...ш3. (1,4)
При этом используется матричная1 запись определяющих соотношений линейной теории упругости, т.е. вектор смещений и = (щ, и2, и3)т интерпретируется как столбец в!3 (Т — знак транспонирования), N(х, V)u(x) — вектор нормальных напряжений, найденный по столбцу напряжений
а(и) = i(u),a22(u),a33(u), л/2а23(и), V2a31(u), /2ах2(и)^
т
(1.5)
где apq(и) — декартовы компоненты тензора напряжений, вызванного смещениями и и подчиненного линейному закону Гука
а(и) = AD(V)u,
V = (д1, д2, d3)T — градиент-оператор, D(V)u — столбец деформаций той же структуры (1.5) и
(д i 0 0 0 2-1/2д3 2-1/2д2 \ а = д , р дхр.
D(V)T = | о д2 0 2-1/2д3 0 2-1/2дг I (те)
V 0 0 <92 2-1/2д2 2-1/2д1 0 /
Множители 2±1/2 введены в формулы (1.5) и (1.6) для того, чтобы уравнять естественные нормы тензора второго ранга и изображающего его столбца высотой шесть. Наконец, в уравнениях (1.2) колебаний тела П фигурируют симметричная положительно определенная (6 х 6)-матрица А упругих модулей, постоянная плотность р > 0 материала и спектральный параметр Л, т.е, квадрат частоты колебаний, а в спектральных краевых условиях (1.4), называемых условиями Винклера-Стеклова и моделирующих [4] густые семейства мелких жестких пружинок, которые реагируют только на нормальные смещения поверхности Г _ ортогональный проектор в евклидовом пространстве R3
Q(x) = n(x)n(x)T (1,7)
и коэффициент податливости пружинок
ре = £аро, ро > 0, а Е R. (1,8)
В следующих разделах показатель а варьируется для достижения разных асимптотических эффектов. Наконец, условия (1.3) означают, что поверхность Г \ ш£ свободна от внешних воздействий.
Вариационная формулировка задачи (1.2)—(1.4) апеллирует к интегральному тождеству
И, [6]
Е(и,ф;П) = X (р(и,ф)п + р£(и,ф)шв), ф Е Н 1(П)3, (1,9)
где (, )п — натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега Ь2(П), скалярном или векторном, а собственная вектор-функция и ищется в пространстве Соболева Н1 (П)3, причем верхний индеке 3 указывает количество компонент вектора, но такой индекс отсутствует в обозначениях норм и скалярных произведений. Кроме того, Е(и, и; П) — удвоенная упругая энергия, запасенная телом П и порождающая билинейную форму
Е(и, ф; П) = (AD(V)u, D(V^)n. (1.10)
ХВ англоязычной литературе она называется the Voigt-Mendel notation, но в русскоязычной связывается с именем С.Г. Лехницкого; см. соответственно монографии [1] и [2], [3].
56
С.А. НАЗАРОВ
Благодаря неравенству Корна (ем,, например, [7])
1к Н 1(П)|2 ф К(Е(и,и;П) + р\\щс2(П)||2),
в котором множитель К зависит от параметров задачи, билинейную форму
(и, ф) = Е(и, ф; П) + р(и, ф)п + ре(и, ф)шс (1.11)
можно назначить скалярным произведением в пространстве Соболева % = Н 1(П)3. Введем еще положительный, симметричный и непрерывный, а значит, самосопряженный оператор К в % при помощи тождества
(Юи,ф) = р(и,ф)п + ре(и,ф)ше, и,ф Е%. (1.12)
Этот оператор компактный, и согласно теоремам 10.1.5 и 10.2,2 [8] его существенный спектр состоит из единственной точки к = 0, а дискретный образует монотонную положительную бесконечно малую последовательность
1 Ф «1 Ф В2 Ф вз Ф ... Ф ке Ф---— +0. (1.13)
В силу определений (1,11) и (1,12) интегральное тождество (1.9) эквивалентно абстрактному уравнению
Юи = ки в %, (1-14)
причем спектральные параметры связаны соотношением
к =(1 + Л)-1, (1.15)
которое переделывает последовательность (1,13) в монотонную неограниченную последовательность собственных чисел задачи (1.2)—(1.4)
0 = А1 = ■ ■ ■ = Аб < А7 Ф А% Ф ... Ф Хт Ф ■ ■ ■ —— +^о. (1.16)
Соответствующие собственные векторы и,... ие^т), ■ ■ ■ Е % можно подчинить условиям ортогональности и нормировки
(щт),щр)) = 8т,р, т,р Е N, (1.17)
где 5т,р — символ Кронек ера и N = {1,2, 3,... } — натуральный ряд.
Корневое подпространство для А = 0 — шеетимерный линеал жестких смещений
Е = {и(х) = d(x)c | с = (с1,..., сб)Т Е R6}, (1.18)
где
/ 1 0 0 0 2-1/2Хз -2 - 1/2x2 \
d(x)= I 0 1 0 -21/2х3 0 2-1/2щ I . (1.19)
V 0 0 1 2-1/2Х2 -21/2Х1 0 )
Столбцы а* = (а1,а2,а3)Т и аг = (а4,а5,аб)Т отвечают поступательным и вращательным смещениям. Столбцы матриц (1,19) и (1.6) образуют базис в двенадцатимерном пространстве линейных вектор-функций в R3,
Форма (1.10) обладает полиномиальным свойством [9], т,е, для любой области 5 С R3 с липшицевой границей и компактным замыканием имеет место импликация
и Е Н 1(5)3, Е(и,и;5) = 0 и еЕ|3. (1.20)
Это свойство предоставляет полезную информацию о разрешимости и свойствах решений рассматриваемых задач (см, обзор [10]).
1.2. Содержание статьи. В статье исследуется поведение спектра (1.16) при е — +0, р > 0 и при р — +0 е > 0, причем сопутствующие объекты снабжаются индексами е и р соответственно. В п, 1,3 выводится асимптотически точное относительно названных параметров неравенство Корна.
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
57
В разделе 2 строится асимптотика собственных пар (\£т; и£т)} задачи (1.9) (или (1.2)-(1.4) в дифференциальной форме), а оценки асимптотических остатков приведены в разделе 3. Эти результаты нуждаются в дополнительном описании. Именно, при фиксированной плотности р > 0 рассматриваются три случая: а > —1, а < — 1 и а = —1.В первом спектр (1.16) получается возмущением спектра задачи в области Q, причем условия Неймана (1.3) распространены на всю границу Ж, Во втором случае положительные собственные числа задачи (1.9) принимают вид
А
в
6+т
£
1—а
й
г
тэ
а последовательность (^}meN пределов множителей р£т — дискретный спектр совокупности (j = 1,... ,J) задач о пограничных слоях около точек Р1,..., РJ, которые (задачи) состоят из статических — без спектрального параметра — систем дифференциальных уравнений в полупространстве Ri со спектральными условиями Винклера-Стеклова на подобласти Wj С дRi и условиями Неймана на оетальной части Ж3 \ W] плоскости. Примечателен тот факт, что каждое условие Винклера-Стеклова на Wj становится интегро-дифференциальным и включает вес средние собственных вектор-функций по множествам Шк-, к = 1,..., J, объединяя тем самым задачи с индексами j = 1,..., J в единую спектральную задачу. Подобное «дальнодействие» малых сингулярных спектральных возмущений уже появлялось в иных задачах (см. [11], [12] и др. публикации). В особом случае а =1 обсуждаемое взаимодействие предельных задач пропадает, однако последовательность (А^}тем пределов собственных чисел Л£т задачи (1.2)—(1.4) становится объединением спектров задач в количестве J + 1 штуки, а именно, J экземпляров независимых задач в полупространстве М! и одной задачи в области Q,
Оценки асимптотических остатков в полученных представлениях собственных пар (\£т; и£т} основаны на асимптотически точном неравенстве Корна, выведенном в п, 1.3, а также предложении 3.1 о сходимости и классической леммы 3.1 о «почти собственных» числах и векторах. Впрочем, теоремы 3.1 и 3.2 относятся к наиболее представительному, но частному случаю, разобранному в и. 2.3, хотя их приспособление к иным случаям, например, рассмотренным г, и. 1 и и. 2.2. а также для изучения частичных сумм бесконечных асимптотических рядов (ср. и. 4.1) легкодоступно и вполне традиционно. Так или иначе обоснование асимптотик при а < — 1 или а > —1 можно извлечь из публикаций [13, г л. 4] и [12].
В последнем, четвертом, параграфе представлен сопутствующий материал. Сначала обсуждаются возможные обобщения: кусочно-гладкая граница, бесконечные ряды и пр. Затем проводится асимптотический анализ спектра задачи (1.2)—(1.4) при исчезающе малой плотности тела Q, т.е. при р ^ +0 Кроме того, исследуется предельный случай р = 0, когда спектральный параметр отсутствует в системе (1.2). Своеобразие такой задачи состоит в том, что в некоторых ситуациях ее спектр заполняет всю комплексную плоскость С, так как элементы некоторого нетривиального подпроетранетва Р0 С Р удовлетворяет соотношениям (1.2)—(1.4) при любом A Е С. Укажем несколько таких ситуаций.
10. Допустим, что Y = (х Е Г : х3 = 0} — непустая область на плоскости и V С X, т.е. ш£ С Y. Тогда Р0 = (d(x)c | с3 = с4 = с5 = 0} u dimР0 = 3.
20. Если участок Y D V поверхности Г расположен на сфере (х : |ж| = R} и ш£ С Y, то Р0 = (d(x)c | с1 = с2 = с3 = 0} u dimР0 = 3.
3°. Пусть Q — цилиндр (х : xf + х"2 < R2, |ж3| < L}. Тогда Р0 С (d(x)c | с1 = ■ ■ ■ = с5 = 0} но в случае V С (х Е дQ : |ж3| < L} (точки Р 1,...,РJ лежат на, цилиндрической поверхности,) размерность dim Р0 равна двум, так как в Р0 попадают и поступательные смещения вдоль оси, х3.
58
С.А. НАЗАРОВ
Во многих разделах статьи вводится исключающее упомянутую патологию требование: линейная оболочка С столбцов (ер, обзор [14, § 2])
d(P 1)п(Р*)т,..., d(PJ)п(РJ)т (1.21)
имеет размерность шесть, т,е, совпадает с пространством R6 и, в частности, J ^ 6.
Наконец, в и, 4,3 обсуждаются вопросы моделирования сингулярно возмущенной задачи (1.2)—(1.4). Первый способ традиционен и состоит в построении подходящего самосопряженного расширения 6£ симметричного замкнутого неограниченного оператора S в гильбертовом пространстве Р2(П)3 с дифференциальным выражением L(VX) и областью определения
V(&) = {u е Н 2(П)3 : N (х, Vx)u(x) = 0, ж е д П, u(Pj) = 0,j = 1 ...J}. (1.22)
К сожалению, характеристики нужного расширения зависят от спектрального параметра, что снижает прикладную значимость первой модели. Второй способ соотносится с постановкой задачи на пространстве вектор-функций с отделенной асимптотикой (допускаются сингулярности 0(1х — Pi |-1) в точках Р^,j = 1,... ,J) и назначением в этих точках асимптотических условий (алгебраических связей, наложенных на коэффициенты в разложениях собственных вектор-функций). Как продемонстрировано в [15], [16] и [17, гл. 7], оба подхода тесно связаны с методом сращиваемых асимптотических разложений (см, [18], [19], [13, гл, 2] и другие монографии),
1.3. Неравенство Корна. Пусть сначала р е (0,р*] и р* > 0, Представим поле и е Н 1(П)3 в виде
и(х) = d(x)u° + и±(х), J d(x)Tu±(x) dx = 0 е R6
п
где
и0 = ф/ / d(x)Tu(x)dx е R6, dn = I d(x)1 d(x)dx
\Т,
(1.23)
(1.24)
п п
При этом (6 х 6)-матрица Грама dn симметрична и положительно определена, так как столбцы матрицы (1,19) линейно независимы в пространстве Лебега L2(Q)3. Ввиду последних условий ортогональности в списке (1,23) справедливо такое неравенство Корна [7]:
|ф±; Н У)||2 ^ СЕ (и±,и±;П) = СЕ (и,и;П). (1.25)
Здесь множитель С зависит от Пи Д но, разумеется, не от параметров р и е. Кроме того,
ну r II ^ С(Цщ L2m2 + ||U±; L2m2)
dnu° = J d(x)T(u(x) — u±(x))dx ^ п
а значит,
IIdu0; H 1(П)Н2 ^ с(Ци; Ь2(П)Ц2 + E (и,и;П)). Окончательно получаем, что
||щ Н 1(П)Н2 ^ ср-1 Ни; щ2.
(1.26)
Теперь рассмотрим случай р = 0 при дополнительном требовании dim С = 6 к линейной оболочке С столбцов (1,21), Присоединим к формуле (1,25) соотношение
||г-У; Ь2(П)Н2 + УУ; Ь2(и£)Ц2 ^ с3 |ф±; Н ЧДЦ2,
(1.27)
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
59
где rj = \х — Pi| = \х^\ и j = 1,..., J. Оценка первой — весовой — нормы в левой части обеспечена классическим неравенством Харди
r2dr, U Е C^fO, +го), (1,28)
о о
\U(r)\2 dr ^ 4
dU, .
л(г)
примененного к произведению Хзих-> которое (неравенство) записано в сферических координатах (rj ,pi) и проинтегрировано то угловым пвременным рй Здесь и далее Хз ~ гладкая срезающая функция с носителем в окрестности VJ', равная единице вблизи точки Р\ причем suppxj П suppXk = 0 при j = к (ем, (2,5)), Оценка второй нормы из левой части (1.27) получается при помощи растяжения координат х м £J = £-lxJ и использования обычного следового неравенства (ем,, например, [5, гл, 1]),
Умножим первое равенство в (1,23) слева на d(x)Tп(х)п(х)т и проинтегрируем по ш£. Просуммировав результаты по j = 1,..., J, приходим к системе алгебраических уравнений
М£и° = Н£ := / d(x)Tп(х)п(х)т(и(х) — и±(х)) dx
3 = 1
(1.29)
где для (6 х 6) матрицы М£ и столбца Н£ Е R6 выполнены соотношения М£ = M£w + ■ ■ ■ + M£{J), \\M£U) — e2M0U); R6x6\| ^ cs3,
K) = \Ар1 Уп(р1 >Api УАр1 )• i = i-...-J-
И
\\H';R6\|2 < c
E H*\ <»"Tu-p2Ei)\2 + К;р2Ш2)-
з=1
(1.31)
a \w£j\ = 0(e2) — площадь фигуры (1.1). Матрица M(01) + ■ ■ ■ + M®j) симметРична и положительно определена в силу ограничения dim С = 6, В самом деле, симметричность и положительность матриц М-7 очевидны; кроме того, в силу ограничения, наложенного на столбцы (1.21), имеем
bTMb = 0 ^ bTMU)b = 0,з = 1,...,J, ^ n(Pj)Td(Pj)b = 0,з = 1,...,J, ^ b = 0 Е R6. Итак, выводим из формул (1.27)-(1.31) и (1,25) оценку
\Д;R6\|2 « ce2(\\nTu; Г2(и‘)|2 + Н 1(Q)|\2)
^ с£-1(Е(и, и; Q) + £-1 \\nTu; L2(ш£) ||2),
(1.32)
а затем и неравенство Корна
||щ H1(Q)\\2 ^ С (|ф±; H1(Q)\\2 + |ф0; R6||2) ^ С£-1(Е (u,u;Q) + £-1\\nTu; L2 (ш£ )||2), (1.33)
в котором множитель С те зависит от параметра е Е (0, е0] при некотором £0 > 0,
Соотношения (1,33) и (1,26) предоставляют оценки для собственных чисел задачи (1.2)-(1,4), однако в разделе 2 и п, 4,2 будет получена более точная информация об их поведении при е м +0 и р м +0 соответственно.
2. Формальная асимптотика.
2.1. Преамбула. В данном параграфе для разных значений показателя а в представлении (1.8) построена асимптотика собственных пар {Pm,u(m)} заДачи (1.2)-(1.4). В п, 2,2 и п, 2,4 расположение множеств (1.1) на границе dQ не играет роли, но в п, 2,3 считаем выполненным ограничение dim С = 6 для линейной комбинации столбцов (1,21), Кроме того, для упрощения изложения п, 2,4 предполагаем, что участки Г = дQ П V7' плоские (ер, п, 4,2), При построении главных асимптотических членов это допущение не играет
60
С.А. НАЗАРОВ
существенной роли, но при нетривиальных кривизнах границы в точках Р3 поправочные члены нуждаются в правильном истолковании (см, п, 2,5),
2.2. Простейший случай а > — 1. Назначим следующие асимптотические анзацы для собственных пар задачи (1.2)—(1.4):
Кп = ^°т + £2+аКп + ..., (2-1)
и£(т){х) = и(т){х) + £1+а ^ Хз(x)wlm)(¥) + £2+аи{т){х) + .... (2.2)
3 = 1
Здесь многоточие заменяет младшие асимптотические члены, не существенные в предпринимаемом анализе, {^т,и°(т)} ~ собственная пара предельной задачи
L(Vx)u°(х) = \°ри°(х), х G N, (2,3)
N(х, Vx)и°(х) = 0, х G 0Q, (2,4)
а пара {Л Х,м(т)} подлежит определению вместе с членами пограничного слоя W(m),..., W(m), записанными при помощи растянутых координат £3 = e~lx3. Кроме того, срезающие функции G C^°(V3) введены для локализации пограничных слоев, причем
Xj = 1 вблизи точки Р3 и sирру^ П suppx> = 0 при j = к. (2,5)
Наконец, множитель е1+а при сумме по j = 1,...,J в (2,2) подобран так, что замена х м £3 и формальный переход к е = 0, спрямляющие границу Г и трансформирующие область Q в полупространство R^ = {£3 = (£1 ,£2,Сэ) : Сз < 0}, после подстановки анзацев (2,2) и (2,1) в задачу (1.2)—(1.4) и сбора коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра е дают систему дифференциальных уравнений
L3(V#WM(?) = 0, ? G R-, (2.6)
с краевыми условиями
N3 (V, )^ 3,0), § :=(d,d) g r2 \щ, (2.7)
N3 (VN <)( Ci \, 0) = g3(^) := >&Pon(Pl)n(P3)Tu0m)(P3), $ G W3. (2.8)
Подчеркнем, что правая часть краевого условия (2,8) возникла в результате замораживания ортогонального проектора (1.7) в точке Р\ формулы (1.8) с показателем а = —1 и учета определения (1.1) малых множеств оф При этом переход к локальным координатам сопровождаем преобразованием дифференциальных операторов
и (V,,) = D> (—V(, )\AD> (V£,), N> (V(l) = D> (em)T AD’ (Vs,),
D> (Vs, )= D((D> )-1V(,), e{3) = (0,0,1)T,
но поля смещений в противоположность правилам механики не изменяем. Благодаря полиномиальному свойству (1,20) общие результаты [10, и, 3 § 5] и [17, гл, 3 и 6] показывают, что задача (2,6)-(2,8) имеет единственное затухающее на бесконечности решение
™U(?) = х (? )ф (? )ЪР + & (?), (2-ю)
где остаток w3m) G Н 1(R-)3 допускает оценки
)i ^ стр(1+Рз)-2-р, Рз , р g N0 = {0}и n,
радиус зафиксирован так, что W] С B2(Rro) = Щ : pj < R}, а срезающая функция
X G С^(R3) определена формулами
X(£) = 0 при pj ^ Rro и X (£) = 1 при pj ^ 2Rro.
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
61
Кроме того, (3 х 3)-матрица Ф-7 = (Ф2^, Ф(2), Ф(з}) составлена из столбцов — решений трехмерной задачи Фламана (сосредоточенные силы на границе полупространства), удовлетворяющих соотношениям
ФФ (С3 ) = р-1 Ф (р-1^), (2-11)
и
- f Щ (Р, V{, Ф (,") Д, = 1з, (2.12)
S__(Rm)
где фигурирует единичная (п х п)-матрица Д и оператор
Nb(С3, V#) = D3 (р-1^)TAD3 V)
краевых условий на поверхности полусферы S2 (Rm) = {Д : Pj = Rm,7з < 0}, Наконец, столбец коэффициентов b3 G R3 вычисляется по формуле
V = 93 (£{ X
Х°тРоп(Р3 )п(Р3 )Ти°т) (Р3 Ж |,
(2.13)
причем, как и ранее, |Wj | — площадь фигуры Wj С П7, Представление (2.13) выводится при помощи соотношения (2.12) интегрированием по частям в полушаре {Д G R3 : Pj < 0} и предельным переходом при R ^ +го.
Найдем поправку гладкого типа в анзаце (2.2). Еще раз подставим разложения (2.2) и (2.1) в задачу (1.2)—(1.4) и соберем коэффициенты при е2+а, записанные в координатах х при учете вытекающего из (2.11) равенства Ф3(Д) = £Ф3(х3), В результате приходим к задаче
в которой
L(Vx)u{m)(x) - \°три(т)(х) = Х!три°(т)(х) - fl(x), X G Q,
N(х, Vx)u(m)(x) = -д(т)(x), х О дQ,
fCf(m)(x)\ v /
V 9(m)(^)J j=[ V
c[L(Vx),XjЖ [N(x, Vx),XjЖ
^ Ф3(x3)V
5
(2.14)
(2.15)
(2.16)
a [P, Q] = PQ — QP — коммутатор операторов P и Q,
Для того чтобы определить пару {Х'т,и'(т)}, уточним информацию об исходной паре w„ ,и°(т)} а именно, предположим что = Xq собственное число задачи (2.3), (2.4) с
кратностью Хд, т.е.
Ад_1 < Хд
X
q+Kq _1
< X
q+Kq .
(2.17)
Вектор-функцию и(т) представим в виде
33(т) (А)
a™U(q)(x) + ••• + a™+Xq _1u g+Kq _1(X),
(2.18)
где базис U(g),..., uq+Kq_1 в корневом подпространстве подчинен равенствам
P(u(m), u(p) )П &m,p, ^, Р ^, . . . , Q + Kq 1,
(2.19)
а столбцы коэффициентов ат = (а™,..., а^+кg-1 )т G RKg — равенствам
(ар)Тат = 8т,р,
т,р = q,...,q + xq - 1.
(2.20)
62
С.А. НАЗАРОВ
В такой ситуации у задачи (2,14), (2,15) имеется xq условий разрешимости, которые соблюдаются следующим образом:
X'rnak = ^шP(^{ш), U(fc)b - ^1)+
U(fc)(^)T(/(m}(^)
Q(R)
+ (L(VX) - X0mpl3)u(m)(x)) dx = ^ llm^ (u(k)(x)T)ф^(xq) (2.21)
3 = 1
S (R) J
- (Щ(P, Vхз)и(к)(х))Тфз(xq)) dsxV = -^ U(k)(P3)TV.
3 = 1
Выкладка нуждается в пояснениях. Сначала умножили систему (2,14) екалярно на U(fc)(x) и, приняв во внимание соотношения (2,19) и (2,20), применили формулу Грина в области Q(R) = {х G П : щ = |tj'| > R}. Затем оставшиеся интегралы по сферическим множествам S-7 (R) = {х G П : щ = R} малого радиуса R > 0 вычислили согласно формуле (2,12), При этом учтены несколько обстоятельств. Во-первых, вектор-функция f' гладкая, так как область П выпуклая U (Vxj )Ф^' (xq) = 0 при х G П П V-7, а вектор-функция д' ограниченная благодаря гладкости поверхностей Г П V7, т.е. интегралы сходящиеся. Во-вторых, множество S-7 (R) отличается от полусферы {х : rj = R,x33 < 0} лишь внутри полоски шириной 0(R2) около экватора, не замечаемой в результате предельного перехода R ^ +0, Наконец, равенства (2,18) и (2,13) позволяют преобразовать соотношения (2,21) с индексами к = q,...,q + Kq - 1 в систему алгебраических уравнений
Мq am = X'mam,
где элементы симметричной (к1 х xq)-матрицы Mq имеют вид
К
-XmPoYl |U(fc)
3=1
(Рq )Тп(Рq )п(Рq )Т U(p)(Pq)
T
Эта отрицательная матрица обладает собственными числами
(2.22)
а; $ У+1 $... $ лщ,-1 $ 0, (2.23)
которые вместе с соответствующими собственными векторами aq,... ,aq+Kq -1 G RKg, подчиненными условиям ортогональности и нормировки (2,19), и найденными из ставших разрешимыми задач (2,14), (2,15) поправками гладкого типа u(q),... ,u(q+K -1) конкретизируют отделенные члены асимптотических анзацев (2,1) и (2,2), Впрочем, упомянутые поправки определены с точностью до линейных комбинаций вида (2,18), коэффициенты ат' которых вычисляются на следующих шагах асимптотической процедуры (ер, п, 4,1), Сформулируем вытекающие из общих результатов [13, гл,4 и 9, 10] оценки остатков в асимптотических представлениях (2,1) собственных чисел.
Теорема 2.1. Пусть а > —1 и Хд — собственное число задачи (2,3), (2,4) в области П с кратностью кч (см. соотношение (2,17)ф причем q > 6. Тогда, найдутся такие положительные equ cq, что собственные числа Xq,..., Xq+ -1 задачи, (1.2) —(1.4) удовлетворяют неравенству
^ - \ - £2~а^ш1 $ Cq£3-а при £ G (0,£g], (2.24)
где фигурируют собственные числа (2,23) матрицы Mq с элементами, (2,22). Первые шесть собственных чисел, Х\,..., А| нулевые.
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
63
Отметим, что количество и расположение множеств (1.1) на поверхности Г не играют роли. Итерационные процессы, разработанные в монографии [13], позволяют построить бесконечные асимптотические ряды для собственных пар (Л£т,и\т)}-
2.3. Взаимодействие пограничных слоев при а < — 1. Согласно общим результатам [12] при таком показателе а в формуле (1.8) асимптотические анзацы изменяются существенно:
^6+т, £
— 1—а
Ц>т + • • •
^(6+т) W
(ж) = d{x)c\m) Хз (х)ш\ш)(^) + £и{ш) (^) + • • • •
3 = 1
(2.25)
(2.26)
При этом число ^т, столбец с0 Е R6 и вектор-функции w(m), • • • ,w(rm) удовлетворяют задачам в полу пространстве, которые состоят из дифференциальных уравнений (2.6), а также краевых условий (2.7) и
N1 У,, , 0) = д„,Р0 п(Р‘ )п(Р> )т ; 0) + d(P> Д,,»),
CJ Е &
г
(2.27)
Подчеркнем, что правая часть краевого условия (2.27) включает постоянное слагаемое d(P3)с0°гп), порожденное первым членом анзаца (2.26).
Решение задачи (2.6), (2.7), (2.27) допускает представление (2.10), в котором столбец коэффициентов Ь3 Е R3 выглядит так:
V
йшРоП(Р3)п(Р3)Т(У w(m)(^, 0) di{ + d(P3)С0\wjfj
(2.28)
(ер. формулу (2.13)). Поскольку для а < —1 множитель £-1-а при д,т в анзаце (2.25) мал, приходим к задаче для поправочного члена гладкого типа: стационарной системе уравнений
ь(Ух)и{т)(х) = —f[m)(x)) х Е п, (2.29)
и краевым условиям (2.15). Правые части f'^m)H д^т) вычисляются по формуле (2.16), но сама задача, свободная от спектрального параметра, приобретает шесть условий разрешимости
J d(x)Tf[m)(x) dx + J d(x)Tg[m)(x) dsx = 0 Е R6- (2.30)
n an
Повторив e понятными изменениями выкладку (2.21), обнаруживаем, что согласно (2.28) соотношение (2.30) принимает вид алгебраической системы
j
Мс0 = — Е )ТАРк )п(Рк )Tw(m),
к=1
(2.31)
где
j
М = ^\w3\d(P3)Тп(Р3)п(Р3)Td(P3) Е R6x6, w3
3 = 1
\™з \
1
W3 (С3,0)^' е R3^
(2.32)
Ограничение dim С = 6, наложенное на линейную оболочку столбцов (1.21), обеспечивает положительную определенность симметричной (6 х 6)-матрицы М, а значит, решив
64
С.А. НАЗАРОВ
систему линейных алгебраических уравнений (2,31) и подставив результат в (2,27), получим краевые условия
М (Vj, , 0) = )п(Р> УЫщЦ, 0)
- d(P’)М-1 £ \шId(Pk)Тп(Рк)п(Рк, е,
к= 1 '
(2.33)
' € ™3, j = 1,...,J,
замыкающие совокупность задач (2,6), (2,7),
Присутствие в правой части (2,33) всех средних wkm) вектор-функций wkm),..., wJm), связывают задачи (2,6), (2,7), (2,33) в единую спектральную задачу, вариационная формулировка которой принимает вид интегрального тождества j j ,
^ Е(w3уф3; R-) = цро ^ ((п(Р3)Tw3,п(Р3)Тф3)mj
3=1 3=1 '
• т J \
(d(P3)Тп(Р3)п(Р3)ф^ М-1 ^ d(Pk)Тп(Рк)п(Рк)Tw3 I
к= 1 '
(2.34)
—
з \ J
, Д) € £(R-)
1
При этом £ (R3) — пространство, полученное пополнен нем линеала C^R-)3 (бесконечно дифференцируемые вектор-функции с компактными носителями) по «энергетической» норме Е(w3 yw3; Rl)1/2, Подчеркнем, что неравенство Корна [7]
, W3 € CT(R3-)3,
IVw3; L2(R-)||2 ф caE(w3, w3; R-) и следствие одномерного неравенства Харди (1,28)
llp-V;l2(r3-)||2 ф civ;L2(R-)II2, w3 € c?(W)3
(2.35)
показывают, что левая часть (2,34) — скалярное произведение в пространстве £(Ri)J, которое состоит из векторов w € HjLoc(R3)3xJ, обладающих конечными энергетической нормой и весовой нормой из левой части (2,35), Благодаря неравенствам Коши-Буняковского, алгебраическому и интегральному, множитель В(w, ф) при рр0 в правой части (2,34) удовлетворяет соотношению В(w,w) ф 0, Осталось упомянуть, что жесткие смещения из линеала (1.18), аннулирующие левую часть (2,34), не попадают в пространстве £(R3) из-за расходимости интегралов по R3 в нормах из (2,35),
Теорема 2.2. При условии dim С = 6, наложенном на столбцы, (1.21), задача, (2,34) обладает дискретным спектром, представляющим собой монотонную положительную неограниченную последовательность
0 < Ц1 Ф Щ2 Ф . . . Ф бт Ф ■ ■ ■ —— +^0. (2,36)
Соответствующие собственные векторы w(y),W(2),... ,w(т), ■ ■ ■ € £(R-)J можно подчинить условиям ортогональности, и нормировки
В(w(m),W(p)) = 8т>р, тур € N. Очередное утверждение установлено в статье [12].
Теорема 2.3. При условиях а < —1 и dim С = 6 для любого т € N найдутся, величины £т > 0 и ст > 0, при которых положительные собственные числа задачи, (1.2)-(1.4) удовлетворяют неравенствам
!Л6+т — £-1-абт\ Ф Ст£-" при £ € (0,£т\, где рт — члены, последовательности, (2,36) собственных чисел, задачи, (2,7).
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
65
Ограничение, наложенное на столбцы (1.21), сыграло существенную роль в представленном асимптотическом анализе — при снятии этого ограничения анзацы становятся совершенно другими (ем. работы [12] и [20]). После построения главных членов асимптотик можно при помощи процедур из монографии [13] соорудить бесконечные ряды для собственных пар задачи (1.2)—(1.4). Конструкции поправочных членов в анзацах (2.25) и (2.26) можно извлечь из материала п. 2.2, впрочем, при упрощающем предположении об уплощенноети участков Г-7' = Г П V-7 границы д П области П (ер, п, 4,1),
2.4. Совмещение спектров в предельных задач при а = — 1. Прежние асимптотические анзацы нуждаются в существенных изменениях. Прежде всего, асимптотические разложения приходится вести по степеням параметра у/е. Таким образом, собственные вектор-функции задачи (1.2)—(1.4) ищем в виде
и
(т)(
(т) =и°(т) (х) + у/£и\т)(х) + £и'(т)(х)
М
\т)
+ £
-1/2
^ Хз (х) (W(m)(^ ) + )(f ) + ^(" )(f ))
+ ....
(2.37)
£
При этом главные члены и?т) и е 1/2Xj w\m) приобрети ют Н 1(П)-нормы одного и того же порядка при е — +0, В качестве главных членов асимптотического анзаца для собственного числа
= м! + V^Mm + £Mm + ... (2,38)
выступают элементы объединенной последовательности
0 = М? = ••• = мб < М? ^ М? ^ ... ^ Mm ^-----— +^> (2-39)
собственных чисел задачи (2,3), (2,4) в ограниченной области П и набора (независимых) задач в полупространстве Ri, состоящих из дифференциальных уравнений (2,6), а также краевых условий (2,7) и
N3 (Vp W, ) = р3 р? п(Р ’ )п(Р ’ )Tw^m)(£j?, 0)
С0 е Wj.
(2.40)
'(m)VS,— Е ) ™(т)Щр.
По сравнению с и, 2,3 краевое условие (2,40) не содержит дополнительного постоянного члена именно из-за множителя в-1/2 при пограничном слое.
Как и в теореме 2,2, у задачи (2,6), (2,7), (2,40) имеется дискретный спектр рР, образующий последовательность
0 < р[ ^ д2 ^ ... ^ й’ш ^----— +^, (2-41)
а соответствующие собственные вектор-функции w^1), w^2),..., w^m), ■ ■ ■ е S (R-) можно подчинить условиям ортогональности и нормировки
p?(w3m, w3p)Wj = 8т>р т,р е N. (2,42)
Напомним, что собственные вектор-функции задачи (2,3), (2,4), отвечающие ее собственным числам
0 = А1 = ■ ■ ■ = Аб < А7 ^ As ^ ... ^ Хт ^ ■ ■ ■ —— +^о, (2,43)
удовлетворяют соотношениям (2,19), Спектр (2,43) обозначаем р?.
Покажем, как определяются поправки в анзацах (2,38) и (2,37), В общей ситуации формулы слишком громоздки, и поэтому разберем лишь несколько представительных случаев, 1°. Задача в П. Пусть рРт = Xq е р? — простое собственное число, но
Mm е Р3, 3 = 1,...,J. (2.44)
Тогда и°(т) = u(g) — соответствующая собственная вектор-функция задачи (2,3), (2,4), нормированная согласно равенству (2,19) и
Mm = 0, и(ш) =0, W[m) =0, 3 = 1,...,J.
66
С.А. НАЗАРОВ
Кроме того, — решение (2,10) задачи (2,6)-(2,8), в которой = Xq, а значит, ввиду
предположенной однозначной разрешимости задачи (ем, требование (2,44)) формула (2,13) принимает вид
V = \роП(Р3 )п(Р3 )ти{д)(Р3 )\шд |, j = 1 ,...,J.
В результате вторые поправки и(т) и находятся из задачи (2,14), (2,15) с правыми частями (2,16), Окончательно при помощи упрощенной выкладки (2,21) обнаруживаем, что
j
м! = -\Ро ^ К\иР)(р3)Тп{{Р3)п(Р3)Ти(д){Р3) ^ 0.
3 = 1
2°. Задачи в полупространстве. Пусть рРт = p3mg Е р3 — простые собственные числа при j = 1,... ,К, но уРт Е р0 и уРт Е рР при j = 1 + К,..., J. Тогда
w
з (т)
nmw3
a3 W(m(j)),
J
1,...,К,
(2.45)
где собственные вектор-функции w(m(j)) задач (2.6), (2.7), (2,27) и столбцы ат = (а™,..., a'j?)T подчинены условиям ортонормировки (2,42) и (2,20) соответственно. Кроме того,
w\m) = 0, j = 1 + и0т) =0, д'т = 0,
а и(т) — решение задачи (2.14), (2,15), в которой Х°т = Хт = 0 и правые части (2,16)
включают коэффициенты
Ы
(т)
Ъ3
(т)
m.j п(Р3 )а™,
0, j
m
1 + K,...,J.
3 = ^шР0П(Р3 )T\^j\wlm(j)),
1,...,K,
(2.46)
Благодаря предположению Е р0 сформированная задача в области П задача одно-
значно разрешима, причем ее решение представимо в виде
к
и(т)(х) = ^ <5fc(х)ьк,
к=1
(2.47)
где G3 — регулярная часть тензор а Грина G3 (матрицы-функции размером 3 х 3) с сингулярностью в точке Р\ т,е, решение однородной (f(m) = 0 и д(т) = 0) задачи (2,14), (2,15) в области Q, допускающее представление
G3 (х) = Хз (Ф3 (х3) + & (х). (2.48)
При этом подстановка матриц G3 н Gk в формулу Грина на области Q(R) и предельный переход R ^ +0 (ер, выкладку (2.21)) показывают, что G3(Pk) = Gk(Р3), а значит (КхК)-матрица
G = (Од )* =, = (п(Р> )Т & (Р> )п(Р* ))^=i (2.49)
симметричная.
Таким образом, в силу формул (2,47) и (2,46) получаем, что
к
п(Р>)Ти(т)(Р’) = £ m*G*(2.50)
к=1
и следовательно, число и вектор-функция w3^m(j)) из анзацев (2,38) и (2,37) соответственно удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (2,6), а также краевым
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
67
условиям (2,7) и
NJ СУ W(m) ($ , 0) =РоП{Р3 )п(Р3 )Т (mV(" ) (CJ , 0)
+ MmwJ
mvv ^
1тш(m)\^^ '
У, 0)а]г + vLu'(m)(P3)), G .
Поскольку yPm — простое собственное число задач (2,6), (2,7), (2,40) при j = 1 ,...,К
л»
у каждой из полученных задач для w(m) имеется только одно условие разрешимости, которому согласно нормировке (2,42), а также формулам (2,50) и (2,46) придаем вид
»'La7 = МтРо\\п(Р3)Tw(m0')); L2(Wj)Ц2а™
-УК\ {п(р3)' w
к
'Р \Т
К
п(Р3 )Ти(т)(Р3 )
(2.51)
£ G*m*< =: £ М*<С
fc=1
fc=1
Итак, собственные числа (6 х 6)-матрицы М с определенными в (2,51) элементами предоставляют вторые поправки в анзаце (2,38) для собственных чисел, а соответствующие собственные векторы ат G RK конкретизируют главные члены (2,45) в анзаце (2,37) для собственных вектор-функций задачи (1.2)—(1.4).
3°. Общее собственное число задач в П и R-. Пусть ^°т — простое собственное число задачи (2,3), (2,4) в области П и задач (2,6), (2,7), (2,40) в полупроетранетве при
j = 1,..., X, а соответствующие собственные вектор-функции U(m(0p и wy^),..., w^^ ортонормированы согласно формулам (2,19) и (2,42),
В анзаце (2,37) возьмем
„о
а(т)
т 1 = а0иы о), w\m)
= nmwJ = a3 w(m(j)),
J =
к,
£ «г
р=о
(2.52)
1
1
а столбцы ат = (а™,..., )Т подчиним аналогичным (2,20) условиям ортогональности и
нормировки, В итоге обнаруживаем, что поправку и(т) следует искать из системы дифференциальных уравнений
L(Vx)U(m)(x) — ц,три(т)(х) ц,mpU(m)(x) — f{m)(x), х G П,
с краевыми условиями (2,15), причем в формуле (2,16) для правых частей суммирование ведется по j = 1,...,К, а столбцы коэффициентов заданы равенствами (2,46), Кроме того, поправочные члены типа пограничного слоя удовлетворяет системе уравнений (2,6) в полупространстве Ri, а также краевым условиям (2,7) и
к (% , 0) =Соп(Р‘ )п(Р’ , 0)
+ МтДт) (ц . °) + АЩЩ)). Ц G ■
Теперь условия разрешимости сформированных краевых задач при учете соотношений (2,52) превращаем в систему алгебраических уравнений для столбца ат
Мат = ^тат G R1+K (2.53)
с симметричной ((1 + К) х (1 + К))-матрицей М, у которой верхняя (с индексом j = 0) строка принимает вид
(0, -mira(PУиМо))(Р1), ■ ■ ■ , -mkn(Pk)TuMop(Pk)) , а остальные строки с номерами j = 1,..., К — вид
(-mi п(Р3 )Ти{тШ(Р3), 0,..., °) .
68
С.А. НАЗАРОВ
Несложные вычисления показывают, что у такой матрицы имеется нулевое собственное число с кратностью К — 1 и еще два собственных числа выглядят следующим образом:
Мш± = ±РоМ,
(
к
£
3 = 1
К |>(Р' )т^'
w
(m(f))1
|>(Р > )ТИ(т(о))(Р’ )|
* )|2)
1/2
Итак, вычислены первые поправки в анзаце (2,38) для собственных чисел задачи (1.2)-(1,4), Собственные столбцы алгебраической системы (2,53) конкретизируют начальные члены (2,37) анзаца для собственных вектор-функций. Полученные формулы демонстрируют, что в рассмотренном случае асимптотические разложения действительно ведутся по степеням малого параметра у/е.
2.5. Заключение. Асимптотические процедуры, описанные для трех конкретных ситуаций, без особого труда приспосабливаются и к другим ситуациям, в частности, для кратных собственных чисел задач (2,6), (2,7), (2,40), Требование уплощенноети участков Г1,..., rj было востребовано только в ситуации 3° из п, 2,4, в которой пришлось строить пару членов гладкого типа и типа пограничного слоя, В тех случаях, когда главные члены асимптотики определялись на первом же шаге процедуры, растяжение координат
X М ^3 = £-1(s{, s2,nj)
спрямляет границу, а переменные коэффициенты преобразованных дифференциальных операторов (2,9) проявляются лишь в младших асимптотических членах. Этот вопрос будет прокомментирован в и, 4,1,
3. Обоснование асимптотики.
3.1. Преамбула. Как упоминалось, обоснование асимптотических разложений собственных пар задачи (1.2)—(1.4), построенных в и, 2,1 и и, 2,2, обеспечено общими результатами [13, г.I. I и 10] и [12] (ем, также [20] для схожей задачи теории упругости), В принципе разработанные схемы можно приспособить и к ситуации а = —1, рассмотренной в и, 2,3, однако для полноты картины в данном параграфе будет предоставлено оправдание асимптотических конструкций, впрочем не в полном объеме, но только для главных асимптотических членов, так как поправочные члены в анзацах (2,38) и (2,39) были построены в § 2 лишь при определенных ограничениях.
3.2. Теорема о сходимости. Пусть и^т) — собственная вектор-функция вариационной задачи (1.9), отвечающая собственному числу
А! £ С„
(3.1)
и нормированная согласно равенству (1.17), где (, ) — скалярное произведение (1.11), в котором р£ = е-1р0, а р > 0 и р0 > 0 — фиксированные числа. Тогда в силу неравенства Корна [7]
Над н чад2 < с(Е («ададад) + нкт,; Щп)||2)
найдется положительная бесконечно малая последовательность {егфеад вдоль которой верны сходимости
А™ М (3,2)
и1^) М u0m) слабо в Н 1(П)3 и сильно в L2(Q)3. (3,3)
Соотношение (3,1) будет проверено в замечании 3,1, Перепишем вектор-функцию ие^т) в локальных криволинейных координатах (см, п, 1,1) и положим
w
ад
М
(£J)
£1/2Xj (x)u^m)(s3 ,п3),
(3.4)
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
69
где = е i = 1,2, и ф = е 1и-7', Имеем
1км; £(R-)|2 ^ с£ J (\Ve(Хзи1ш))\2 + (1 + РзГЪ«м\2) С
Ri (3.5)
^ се J (е2\УжМ(т)(ж)|2 + (1 + е" 1rj)-2\и£{т)(х)\2) е"3 dx ф с\\и\т); Н1 (n)||2. nnv j
Пояснение: при переходе от растянутых криволинейных координат Д к исходным декартовым координатам х использованы соотношения
V?i = T£(x)Vx, dC = £-3£(ж) dx
X
D 3 X 3
ИД) - в’; R3X'’\| + \f(x) — 1| < CTj, x e П П Д, (3'6)
а в последней оценке из выкладки (3.5) применено следствие (1.27) неравенства Харди (1.28).
Итак, вдоль подпоследовательность (не изменяем обозначение {ее}) имеет место сходимость
W'
'(т) ^ w^) слабо в £ (R-) и сильно в L2(wj)3
М
(3.7)
Далее для краткости индекс I у символа ее не пишем.
В интегральное тождество (1.9) подставим пробную вектор-функцию ф° e C°°(Q \V)3. Заметив, что ф = 0 на множестве ш£ при малом е > 0, в силу соотношений (3.2) и (3.3) приходим к формуле
0 = Е(u\m)Ohn) - Хфр(и^т),ф)п ^ Е(и0т),Дп) - A^p(u0m),^)n = °. Поскольку подпространство С°°(П\V) плотно в Н 1(П), получаем интегральное тождество
Е(и°{т),ф°;П) = Х°тр(и0{т),ф0)п, ф e Н 1(П)3, (3.8)
обслуживающее спектральную задачу (2.3), (2.4).
При j = 1,..., J для ф^ e C°°(R_)3 аналогично формуле (3.4) положим
ф?£(х) = £~1/2фЗ (Д).
Имеем
Л(Д(У„,),УЫ < Г2(П)||е3/2|к-1/У; L2(R-)\| < c„,e (ф>
И
Е(и1т),ф’£;П) ^ E(w\m)^; R-)
(т) >
Xempe(u£m)^j£)^ = хет£ VoV 1/2Ы(£т),£ VvVf ^ л1а)(w\m),^jV,.
Следовательно, предельный переход при е ^ +0 в равенстве (1.9) с указанными ингредиентами приводит к интегральному тождеству
Е(w(m),i’1;R-) = УпРч(wlm-,,4’’V,, <£ e £(R-),
(3.9)
T.e. к вариационной формулировке задачи (2.6), (2.7), (2.40).
Предложение 3.1. Если а = — 1 в формуле (1.8), то предельный переход (3.2) дает собственное число Хф одной из задач (3.8) и (3.9), j = 1,...,J, а, предельные переходы
(3.3) и (3.7) — набор вектор-функций
и
(т)
ДО
e Н1(n)3 w wl{m),
w
ряющих указанным задачам, и подчиненных равенству
j
J0
(т)
e £ (R3), удовлетво-
р\\им;L2(n)\\2 + Ро^2 llw(V);L2(^j)|2 = (1 + х!ф) 1.
(3.10)
3 = 1
о
70
С.А. НАЗАРОВ
Доказательство. Осталось проверить равенство (3,10), означающее, в частности, что хотя бы одна из перечисленных вектор-функций не равна нулю, т.е. — собственное число в самом деле. Согласно формулам (1.17) и (1.11), (1,9) имеем
1 (Т(т),^(т))£ (^т
(К, +1) (ЛАш),i2(n)B + ?-1лЕ iw^2)Т“'; Р'(Н)И2)
V j=i /
(^m + 1^ Pll u°m); L2(Q)||2 + Р0 ^ lw(m); L2(Wj )||2^ .
Предложение доказано.
□
3.3. «Почти собственные» числа и векторы. Сформулируем задачу (1,9) как абстрактное уравнение (1.14). Следующее утверждение, известное как лемма о «почти собственных» числах и векторах, вытекает из спектрального разложения резольвенты (см, первоисточник [21] и, например, книгу [8, гл, 6]),
Лемма 3.1. Пусть U е Щ и Л е R+ таковы, что
||U; Щ|| = 1, ||HU — Ли; Щ|| =: S е (0, Л). (3.11)
Тогда, у оператора, К есть собственное число кп на сегменте [Л — 5, Л + £]. Более того, для любого 5* е (8, Л) найдутся коэффициенты Сф,..., С^+х—1, при которых верны формулы
Я+Х-1 л Я+Х—1
\W — £ С„щ„у, Щ « 2£ \С„|2 = 1, (3.12)
к=Я к=Я
где U(N),... ,U(^+x-1) — набор всех собственных векторов оператора, К, отвечающих его собственным, числам, из сегмента [Л — 8*, Л + ф] и подчиненных условиям ортогональности и нормировки (1.17).
Пусть ДО > 0 ноетыо Яд, т.е.
собственное число из объединенной последовательности (2,39) с крат-
1 <
Mg+кд — 1 < Mg+кд ,
(3.13)
причем ДО = ■ ■ ■ = Дд+ко—1 — собственное число задачи (2,3), (2,4), а я°° ^ 0 его кратность
(не исключается случай Д е р0 и я°0 = 0), Кроме то го, ДО = ДД(£) — собственное чис-
ло задачи (2,6), (2,7), (2,40) с номером j(I) е (1,...,J}. Соответствующие собственные вектор-функции u(m) и w 0^(1) подчинены условиям ортогональности и нормировки (2,19) и (2,42) соответственно. Кроме того, т(£) = m(k) при j (I) = j (к), но £ = к.
Связь (1.15) спектральных параметров подсказывает, что в качестве почти собственных чисел оператора К£ следует взять Яд экземпляров величины
Ле = (1 + Д) 1, 1 = Q,...,Q + Hq — 1.
В согласии с анзацем (2,37) почти собственные векторы
Щ )(х) = || ); neH—1W^t )(х)
удовлетворяющие первому соотношению (3,11), включают вектор-функции
Ще)(х) = u(t)(x), 1 = Q,...,Q + к° — 1,
Щ)(х) = Хт(хД~ 1/2w(„(i))(Cj(l)), 1 = Q + K°0,...,Q + Kg — 1
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
71
Лемма 3.2. В указанных условиях для вектор-функций (3.16) и (3.17) верны формулы \(W££),W£k))e — 5e,k (1 + )| S cq е при е е (0,£g ], l,k = q,...,q + xg — 1, (3.18)
где £q > 0 и cq — некоторые числа.
Доказательство. При l,k = q,...,q + к° — 1 неравенство (3.18) вытекает из соотношений (3.8), (2.22) и оценки
Ре \ (u(1), u (k)')uis \ S c (lk)£ Ро|^е| S Cq£, очевидной для гладких вектор-функций иц) и и(^).
Пусть теперь £,к = q + к°,... ,q + xq — 1. Если j(I) = j(к), то носители вектор-функций W(£) и W^k) те пересекаются и формула (3.18) вер на даже при cq = 0, В случ ае j (1) = j (к) аналогичное выкладке (3.5) преобразование при учете соотношений (3.6) показывают, что
д(1) „гз(к) .тп>з\ | ^ f„J(£) „J(k) ) + 0(e)
Щр Щк))е = Еw^k))';R-) + P°(w
(т(£)), W(m(k)))^j
(М° + 1)Ро (w
М w3(k)
(m(l)), W(m(k))
}) ro. + 0(e) = (1 + М°Кщ + 0(£).
Здесь приняты во внимание формулы (2.42) и (3.9). Наконец, для I = q,...,q + к° — 1 к = q + к0,... ,q + Kq — 1 оценка (3.18) получается просто:
(W^e),W^k))e\ = (1 + M°V (^(£),W[k))Q + £ Vo {W(e),W(k))
за)
S J (1 + £ lTj) 1 dx + £ 1 J dsx^ S C£. QnV j ( к)
Лемма доказана.
□
и
&
3.4. Обработка невязок. Оценим величину 8££j найденную согласно второй формуле (3.11) по почти собственным числу (3.14) и вектору (3.15). Имеем
Д = sup \ (K£U(££) — As£U(££),V)£\
=(1 + цд r^W^Wt1 sup\Е (Wfo,V; П) (3.19)
— Mg{p(Wyi)),V)n + £“ 1po(nTWf£),nTV)ше \,
где супремум вычисляется по единичному шару в пространстве т.е. \\V; %£|| S 1 и в силу формул (1.11), (1.8), а = —1, и (1.26), (1.32) ингредиенты V0 a V± представления (1.23) пробной вектор-функции V допускают оценки
||П°; R6|| S с£~1/2 ж ||П±; Н1(П)! S с.
При I = q,...,q + к° — 1 рассмотрим выражение Ц(У) между последними знаками модуля в цепочке (3.19). Поскольку , и^)} — собственная пара задачи (3.8), при помощи
весового неравенства (1.27) выводим оценку
\I£(V )\ = е~ 1pol(nTU(e),nT(dV0 + V± ))ше |
S с£е~ W2 (И ||П°; R6||2 + ||П±; 12(и£)Ц2)1/2 S QД~£.
Пусть теперь I = q + к°°,... ,q + xq — 1. Совершим обычные действия: переход к растянутым криволинейным координатам при учете соотношений (3.6), использование интегрального тождества (3.9) для пары , w2'^))}, устранение срезающей функции Xj(i) 110
причине затухания собственной вектор-функции и, наконец, следующая выкладка:
е1/2 р
(Xj(£)
w
т
(т(£)),
V)п S С£1/2\\(£ + r-jp))
-1„ Р(1)
(т(е))
w
L2(V nV ЛДЦ ||(е + rm )V; L2 (ОД
S c,s1/2s 1/2£3/2\(1+ pjV)) ‘w2”); i2(K-)\ ^1V°; K6J + Щ; i2(fi)B) < Ct Л-
72
С.А. НАЗАРОВ
В итоге получаем оценку
" " \4(V)| « С,Ре.
Кроме того, лемма 3,1 означает, в частности, что ЦИ7^; Н£|| ^ (1 + )/2 при мал ом £, и
следовательно,
Д ^ сд /, I = q,...,q + К — 1.
Итак, согласно лемме 3,1 находим собственные числа ,..., ^оператора К,£,
для которых выполнены неравенства
K(i) - (1 + Mg )-1\ ^ cq /~e, 1 = Q,...,Q + Kq — 1 (3-20)
3.5. Теорема об асимптотике собственных чисел. Завершим проведенные вычисления следующим утверждением.
Теорема 3.1. Пусть а = — 1. Положительные члены последовательности (1,16) собственных чисел, задачи (1.2)-(1.4) и последовательности (2,39), объединяющей спектры задачи (2,3), (2,4) е области П и задач (2,6), (2,7), (2,40) е полупространстве R-, j = 1,... ,J, находятся в отношении
\Кп — Мт\ ^ cmVe при е е (0,ет], (3.21)
где т е N а ет и ст — некоторые положительные числа.
Доказательство. Ближайшая цель — убедиться в том, что номера n(q),... ,n(q — Kq — 1) из формулы (3,20) можно считать различными. Для этого употребим вторую часть леммы 3,1, в которой возьмем 8 = СдДе и 8* = 8/т, где т е (0,1). Обозначим через С£.) е и S(i) столбцы и суммы по к = ,Д£,..., N£ + Х£ — 1, предоставленные формулами (3,12) для почти собственного вектора (3,15), I = q,...,q + Kq — 1, Благодаря этим формулам и условиям ортогональности и нормировки (1.17) находим, что
\(qfc))Tqi) — Si,k \
| {S(l), S(k))e &
T,k
^ \(^(Т) Щ.:e),S£k)}e \ + 1 (U(
J(l)
Sfk) — U?k))e\ + \(Ufi),Ufk))s — Sl,k
(3.22)
Каждое из первых двух слагаемых в правой части не превосходит 2т, а последнее — СдДе (ем, формулы (3,12) и (3,18), причем последнюю применяем дважды: сначала при I = к для выяснения асимптотик и нормы ||W£l); Н ||, а затем при задействованных в (3,22) индексах). Таким образом, при малых т и е столбцы C£q),..., C£q+K -1) «почти ортонорми-рованы» в евклидовом пространстве МД что возможно лишь в случае
к ^ xq.
Итак, зафиксировав подходящую величину т и ограничив малый параметр е ^ £q обнаруживаем на сегменте
[(1 + М0) 1 — сят 1^, (1 + М0) 1 + cqт 1/ё]
собственные числа пДе,..., M£+Kq _1; которые благодаря связи (1,16) спектральных параметров превращаются в члены
Ад,..., AMi+Kq _1
последовательности (1,16), При этом
\к£е — (1 + Д0)-1\ ^ CqТ-1Дё при £ е (0, £q]
[с 1 + \£(, ^ 1 + Д00 + CqТ 1 /Е(1 + К0)(1 + А|)
\ М — М°\ ^ cqт 1/Д1 + М°)(1 + М
\с1 + К < 2(1 + /Д1 ) ПРИ Cq Г-1/ё(1 + Mq) ^ 1/2 | М — »°д\ ^ Cq/ := 2Cqт-1/i(1 + Mq)2
при £ е (0, £q] при £ е (0, eq],
(3.23)
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
73
где eq = min{eg,т2(2cq(1 + р0)) 2}. □
Замечание 3.1. Для каждого некратного собственного числа (см. формулу (3,13)J в его окрестности, найдены, не менее кя собственных чисел, задачи, (1.2) —(1.4), удовлетворяющих последнему соотношению в (3.23). Отсюда, в частности, вытекает неравенство (3.1), а значит, предложение 3.1 доказано в полном, объеме.
Осталось убедиться в том, что М£ = q. Согласно сказанному в замечании 3.1 имеем к; > q. Если случилось, что ■Ч' > q, то найдется собственное число задачи (1.9), для которого
^ М0 + cqV£ < (М0 + М0+кч)/2 < К°д+кч, М£д ^ q + ня.
При этом собственная вектор-функция подчинена условиям ортогональности
P((^(Mq), фт.) )0 + £ Р0 (И Дм|), ^ фт.) )^£ 0, ^ 1, . . . , Q + Kq 1.
Предельные переходы (3.2) и (3.3), (3.7) предоставляют член
мМ§ е [0, М0+кд) (3.24)
последовательности (2.39) и нетривиальную линейную комбинацию собственных векторфункций предельных задач (2.3), (2.4) и (2.6), (2.7), (2.40), j = 1,...,J, при сохранении условий ортогональности (2.19) и (2.42). Этот вывод противоречит способу составления монотонной последовательности (2.39): собственное число (3.24) «лишнее». Доказательство теоремы 3.1 закончено.
3.6. Заключение. Несколько важных моментов схемы обоснования асимптотики сознательно оставлены в стороне. Мажоранта в оценке (3.21) отражают наихудшую из возможных погрешностей в асимптотических формулах для собственных чисел \£т при т > 6, обнаруженную в ситуации 3° из п, 3.3. Построение поправочных членов в анзацах (2.38) и (2.39) и повторение проведенных в этом параграфе выкладок позволяют уточнить теорему 3.1, как непосредственно — в ситуациях 1° и 2° мажоранта становится равной c!qе, так и после детализации асимптотики, а именно,
|Лт - Mm - £^ш\ < Сд ^, т = Q^.^Q + К — 1, (3-25)
в ситуациях 1° (при К = 1) и 2°, а также
\Кп — Mm - V^Mm \ ^ С'д£, т = Q^.^Q + K, (3-26)
в ситуации 30, Здесь принять обозначения из п. 3.3 и теоремы 3.1.
Как обычно, обоснование асимптотических представлений для собственных векторфункций проводится при помощи лемм 3.1 и 3.2, точнее неравенств из списков (3.12) и (3.18). Поскольку поправочные члены в анзаце (2.37) находятся только с точностью до линенйных комбинаций собственных вектор-функций предельных задач, оценки остатков в формулах для и(т) хуже, чем в формулах (3.21) или (3.25), (3.26) для собственных чисел \£т. Более того, в случае кратного еобетвеиного числа спектр матриц М из алгебраических систем (2.51) или (2.53) также может быть кратным, а значит, их собственные векторы, удовлетворяющие соотношениям (2.20), не определяются однозначно, а вместе с ними и главные члены анзаца (2.39). В итоге утверждения об асимптотике собственных вектор-функций становятся излишне громоздкими, и поэтому ограничимся частным случаем простого собственного числа предельных задач.
Теорема 3.2. В ситуации, описанной в п. 2.3 (1°), в частности, при а = —1, для, собственной вектор-функции, задачи, (1,2)-(1,4), отвечающей, ее собственному числу \£т из формулы (3.25) и нормированной согласно равенству (1.17), верна, оценка
IKrn) — u(q)'; Н 1(^)|| ^ СтД~£ при £ е (0,£т],
74
С.А. НАЗАРОВ
где u(9) — собственная вектор-функция, задачи, (2,3), (2,4) для, ее простого собственного числа Xq = рРт, причем выполнено соотношени, е (2,19), ает > Ом ст — некоторые числа.
4. Варианты, обобщения и открытые вопросы.
4.1. Гладкость границы и бесконечные асимптотические ряды. Разумеется, все рассуждения и выкладки сохраняют силу в предложении о гладкости участков Г = dQ П V-7', а остальная часть границы области Q может быть только липшицевой, Уплощенность этих участков упрощает асимптотический анализ тогда, когда требуются по крайней мере два члена пограничного слоя (ер, п, 2,3 (10),), однако итерационные процессы, разработанные в монографии [13], дают возможность распространить результат и на случай ненулевых кривизн. Более того, соответствующие процессы позволяют построить бесконечные асимптотические ряды в рамках метода составных асимптотических разложений. Впрочем, такие итерационные процессы, включающие сложную процедуру перераепределения невязок между предельными задачами, достаточно громоздки и редко применяются в конкретных задачах математической физики, имеющих прикладную направленность, С другой стороны, в некоторых вопросах достаточна информация о возможности разложения собственных чисел и векторов в обсуждаемые ряды,
В принципе точки Р1,..., РJ могут быть коническими, однако для них приходится пересмотреть требование dim С = 6 к линейной оболочке столбцов. Например, для веретена
Q = [х : х3 Е (-1,1), Я(x3)-1(xhX2) Е 0}, (4,1)
где Н Е С^[-1,1], Н(z) > О при z Е (-1,1) Н(±1) = О щdzН(±1) > О и 0 — эллипс е неравными осями, при постановке условий Винклера-Стеклова в двух концевых зонах = [х Е dQ : ±х3 Е (1 — е, 1)} спектр задачи (1.2)—(1.4) становится дискретным и в случае р = О, Вместе с тем асимптотические анзацы для собственных пар задачи (1.9) для тела (4,1) остаются неизвестными. Также открытым вопросом является построение асимптотики при условии, что сферическая поверхность в примерах 20 и 30 из п, 1,3 заменены многогранной поверхностью и многоугольником еоответетвенно,
4.2. Невесомое тело. Зафиксируем размер е областей (1.1) на поверхности dQ и устремим к нулю плотность р тел a Q. Если симметричная положительная (6 х 6)-матрица
J d(x)Tп(х)п(х)Тd(x) dx (4,2)
невырождена, то билинейную форму
{ир, фр)£,Р = Е(ир, фр; Q) + р£(пТир, птфр)шс (4,3)
можно назначить скалярным произведением в пространстве Соболева Н 1(Q)3. При указанном ограничении на матрицу (4,2) задача (1.2)—(1.4) оказывается регулярным возмущением предельной (р = О) задачи, в которой система уравнений равновесия
L(VX)и£р(х) = О, ж Е Q, (4.4)
снабженной краевыми условиями (1.3) и (1.4), а для собственных чисел Хф исходной задачи справедливы асимптотические представления
Х£ф = А^° + рХф + 0(р2),
где [A)j°}meN — спектр предельной задачи, а поправки Хт легко вычисляются.
Для приведенных в п, 1,3 примеров 1°-3° и многих других ситуаций матрица (4,2) и билинейная форма (4,3) теряют нужные свойства, а спектр предельной задачи (4,4), (1.3), (1,4) занимает всю комплексную плоскость: при любом А£° Е C элементы нетривиального
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
75
подпространства Е* в линеале (1,18) жестких смещений удовлетворяют предельной задаче полностью, так как n(x)Tr*(x) = 0 при х G ш£ для r# = da* G Е*. Вместе с тем задача
Е(и£*,ф*;П) = \е#р£{пти£#,птф*)ш*, ф* G Н*(П)3,
суженная на подпространство Н*(П)3 = Н3(П)3 QЕ* приобретает дискретный спектр р*, в котором нулевое собственное число имеет кратность 6 — dim Е*. Автор не знает механическую интерпретацию такого сужения.
Нетрудно построить асимптотику при р ^ +0 неоднородной системы уравнений
L(Vx)u£p(x) — \£°ри£р(х) = f (х), х G П,
снабженной краевыми условиями (1.3), (1.4) и содержащей параметр А£° G С\р*, а именно,
иер(х) = p-1d(x)a* + и£/(х) + ...,
где первое слагаемое в правой части принадлежит подпространству Е*, а столбец а* находится из условия разрешимости задачи для и£'.
Матрица (4,2) невырожденная, например, при ограничении dim С = 6, наложенном на столбцы (1,21), При этом предельный переход е ^ +0 в задаче (1,2)-(1,4) возможен и при р = 0 — соответствующая предельная задача (2,34) (или (2,6), (2,7), (2,33) в дифференциальной форме) выводится при помощи представленного в и, 2,2 анализа. Отметим полученный в п, 1,3 результат: выражение
(Е (и,и;П) + |ф°; R6||2)1/2
с указанным первой формулой (1.24) столбцом и° является нормой в пространстве Соболева Н 1(П)3,
При обсуждаемом ограничении dim С = 6 совместный предельный переход при е ^ +0 и р ^ +0 может привести к отличной от (2,34) задаче. Пусть, например,
Ре = £-1р° и р = £рп, рп > 0. (4,5)
Анзац (2,26) для собственной вектор-функции сохраняется полностью и, поскольку а = — 1 в определении (1,8), анзац (2,25) для собственного числа становится таким:
^6+m, dm + ....
Согласно предположению (4,5) правая часть fm задачи (2.29) для по правки и(т) гладкого типа приобретает дополнительное слагаемое
РтРП ^(х')С(т),
а значит, прежние вычисления из п, 2,2 показывают, что матрица М (см, формулу (2,32)) в предельных краевых условиях (2,33) приобретает вид
М = рПр-1 f d(x)T d(x) dx + |Wjld(Pj)Tn(Pj)n(Pj)T d(Pj). (4,6)
П ^=1
Матрица (4,6) остается положительно определенной и при снятии требования dim С = 6, т,е, для задачи (2.34) с новой матрицей М теорема 2,2 верна при любом количестве и расположении множеств ш\,... ,u£j С дП, на которых поставлены условия
76
С.А. НАЗАРОВ
Винклера-Стеклова, Как и в п. 2.2, при J > 1 предельные задачи (2,6), (2,7), (2,33) объединены в единую спектральную задачу. Если J = 1, то краевое условие на т1 для единственной задачи в полупространстве принимает вид
N 1(V?i 0) = ртроп(Р^
П(Р1 0)-
- d{i)( р^/ d(x)T d(x) dX + ^ \wl\dJi)n(p3 )Т^ы) , ^ Е ^
П
где d(f) = n(Pf)T d(Pf) — строка длиной шесть,
4.3. О моделировании сингулярно возмущенных задач. В механике и других прикладных дисциплинах многие модели, полученные посредством частичного асимптотического анализа, сохраняют малый параметр. Ярчайший пример — теория оболочек (ем, монографию [22] и др,), уравнения которой в отличие от уравнений теории пластин (ем,, например, книги [23], [3]) включают кривизны срединной поверхности и относительную толщину оболочки — естественный малый параметр, В случае малых сингулярных возмущений границы действенной оказывается техника самосопряженных расширений дифференциальных операторов (ем, [24]—[30], [15], [16] и др,). Для рассмотренной задачи е условиями Винклера-Стеклова на малых участках границы аппарат самосопряженных расширений приобретает своеобразную черту — параметры расширения помимо размера включает искомое еобетвенное число. Продемонстрируем эту специфику для показателя а = 0 в формуле (1.8) и воспользуемся результатами асимптотического анализа из п, 2,1, Извлечем из анзаца (2,2) сумму
и£(х) = и0 (х) + е2[ и\х)
(■и!(х) + ^
' 3=1
Xj (х)Ф3 (х3 )Ъ3
)
(4.7)
е коэффициентами (2,13), оставив в стороне быстро затухающие члены пограничного слоя w3 (Д) (индекс т не пишем). Заметим, что вектор-функция (4,7) оставляет в системе дифференциальных уравнений
L(Vx)ue(x) = lepue(x), х Е И, (4,8)
с взятым из формулы (2,1) параметром
[£ = А0 + е2Х',
невязку, Е2(И)-норма которой равиа 0(е4). Для вектор-функции и£ краевые условия
N (х, Vx)us(x) = 0, ж Е дИ \V, (4.9)
выполнены всюду, кроме точек Р1,...,РJ, где она приобретает сингулярности 0(г-1), Заметная малость невязки позволяет принять задачу (4,8), (4,9) как модель исходной сингулярно возмущенной задачи, причем, как обычно (ем, первоисточник [24] и обзор [26]), условия Винклера-Стеклова на малых окрестностях точек Р1,..., РJ имитируется дельтафункциями Дирака е подходящими коэффициентами, т.е. в рамках теории обобщенных функций имеем
j
N(х, Vx)u£(x) = [£ро£2 ^ \wj|£(sJ)п(Р3)п(Р3)Ти£(Р3), ж Е дИ. (4.10)
3 = 1
Здесь коэффициент при функции Дирака 5(s3) с сингулярностью в точке Р3 Е дИ найден по формуле (2,13) с допустимыми заменами А0 м [£ и и°(Р3) м \и£(Р3), а именно,
b3£ = \£poe2\w]\п(Р3 )п(Р3 )Тии£(Р3), (4.11)
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
77
где й£ £ Н2 (П) — регулярная часть вектор-функции
j
и£(х) = и£(х) + ^ Хз(т)Ф3(xj)b3£. (4.12)
3 = 1
В правой части равенства (4,10) присутствуют неизвестные [£ и и£, т.е. его следует интерпретировать как спектральное краевое условие, однако для его строгой формулировки приходится обратиться к оператору A, введенному в п. 1.2.
Очередное утверждение — простое следствие теории Кондратьева [31] (ер, рассуждения из работы [27]),
Предложение 4.1. Сопряженный оператор &* для оператора & с областью определения (1,22) сохраняет дифференциальное выражение L(VX), но приобретает такую область определения:
D(&*) = jU = U0 + ^ Gj(x)B
3 = 1
N (х, VX)U0 (х) = 0, х £ д П, B £ R3, j = 1,...,J^.
U0 £ Н2(П)3
5
(4.13)
Здесь Gj — матрица Грина, (2.48) с особенноетью в точке PC Поскольку
{U £ D(&*) : B1 = ... BJ = 0 } = H2N(П)3 := {и £ Н2(П)3 : N(х, Vx)u(x) = 0, х £ дП} и фредгольмово отображение
H2n(П)3 э и ^ L(Vx)u £ Ь2(П)3
з
обладает шестимерными ядром и коядром (ер, условия (2,30) разрешимости задачи (2,29) и полиномиальное свойство (1,18)), индекс дефекта рассматриваемого оператора & равен 3J : 3J, а значит, он допускает самосопряженное расширение. Как и в публикациях [15], [16], [29], [30] и др.. для моделирования требуется одно из всего семейства возможных расширений, С целью сделать правильный выбор сравним разложение
и(х) = ад + ^ хз(х)($3(х3)в + ^ (бk(Рз)B + u0(p3Л
j=1 ' к=1 '
элемента пространства (4,13) и выбранное разложение
j
и£(х) = и£(х) + ^ Хз(х) (Ф(х3)b3£ + Uu£(Р3)) .
3 = 1
При этом остатки Иии£ принадлежат подпространству
Н2(П)3 := {и £ Н2(П)3 : и(Р1) = ••• = 6(PJ) = 0} .
В результате получаем равенства
j
B = bJ£, U0(P3) + ^ Gк(Р3)Bk = и£(Р3), j = 1,...,J,
к=1
78
С.А. НАЗАРОВ
из которых при учете формул (4,11) и (2,49) выводим соотношения
)В’ = 1‘>0?2Д\(n(pi)тя0(р->) + £ G,kп(Рк)®‘),
V к=1 / (4-14)
(Is - n(Pj )n(Pj )T) BJ = 0, j = 1,..., J.
Теорема 4.1. При каждом Г Е R+ и малом £ > 0 сужение 0(Г) оператора, S* на, подпространство
Я(в(Г)) = |Я£ Е &(&*) : выполнены связи (4,14) }
является, самосопряженным оператором.
Доказательство. Для элементов Я(ц, г = 1,2, пространства (4.13) с ингредиентами Bp) и выполнена обобщенная формула Грина
j
(L(VJ%),Я(2)) п - (%),L(vja,2)) п = £ (ДдЫОдр2) - (®;1))Tu02)(P')), Ди)
з=1
которая выводится при помощи выкладки (2,21), Нетрудно усмотреть, что благодаря связям (4,14) правая часть равенства (4,15) обращается в нуль для вектор-функций Я(1),Я(2) Е Я(0(Г)), Остается отметить, что при малом е соотношения (4,14) накладывают в точности 3J связей на коэффициенты B-7',Я0(РJ') Е Rs, j = 1,..., J, а значит 0(Г) — самосопряженное расширение оператора S. та,к как его индекс дефекта равен 3 J х 3 J. □
К сожалению, область определения самосопряженного расширения 0(Г) зависит от спектрального параметра, т.е. спектральная задача
0([£)Я£ = (£Я£ (4.16)
на самом деле оперирует операторным пучком, что затрудняет механическую интерпретацию уравнения (4,16) и создание численных схем его решения.
Предложим иную модель, использующую гильбертово пространство вектор-функций с отделенной асимптотикой
D = Я.2(П)3 х Rsxj х Rsxj, (4.17)
снабженное нормой
nSx J и 2\ 1/2
||u£;D|| = (|Д£; Я2(П)||2 + ||а£; Rsxj||2 + ||b£; Rsxj||
которая содержит остаток и£ и столбцы а£ = (а£1; щего представления элемента пространства (4,17):
a£j)T ь = (be1,..., b£j)T следую
j
Я£(ж) = Я£Д) + ^ Xj(х)(Ф3(x3)bS3 + a£j).
3 = 1
Систему дифференциальных уравнений
L(Vx)u£(x) = i£u£(x), x Е Q,
(4.18)
снабдим краевыми условиями
N (x, Vx)u£(x) = 0, x Е dQ \V, (4.19)
и асимптотическими условиями в точках Р1,..., РJ
bsj = 1£ро£2\ш3\п(Р])п(Р])VJ Е Rs, (4.20)
происходящими от формул (4,11) и (4,12),
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ВИНКЛЕРА СТЕКЛОВА НА COBCTBEHHBIE КОЛЕБАНИЯ
79
Оператор задачи (4.18)-(4.20) реализуется как отображение
D э u£ I—— (Lu£, Nu£, b£)
i£(u£, 0 ,е2Тц£) g R :
Ь2(Д)3 х |0\ш}3 х R3xJ х R3xJ
(4.21)
где
Т = p0diag {\wi\n(Pl)n(Pl)T,..., \wj\п(РJ)n(PJ)т} .
Теорема 4.2. Спектр задачи (4.18)-(4.20) дискретный. Члены соответствующей последовательности собственных чисел,
ll
16 < 17
^ ^ ... ^ [fn. ^ +оо
0
и члены последовательности (1.16) собственных чисел, задачи, (1.2) —(1.4) находятся в отношении
\Ки - [£т\ < сте^ щт е g (0, em], (4.22)
где т ^ 7, а ст и ет > 0 некоторые числа.
Доказательство. Ввиду компактности вложения D С R (не принимаем во внимание нулевую компоненту — третью слева в (4.21)) утверждение о диекретноети очевидно. Соотношение (4.22) вытекает из теоремы 2.3 и оценки (2.24) при а = 0. □
Механическая интерпретация асимптотических условий (4.20) проста: тело Q прикреплено жесткими пружинами к абсолютно жестким профилям (ем. монографию [4] и ер. статью [20]). Вопрос о создании вычислительных схем для решения задачи (1.2)—(1.4) остался полностью отрытым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. A. Bertram. Elasticity and placticity of large deformations. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2005.
2. С.Г. Лехницкий. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука. 1977.
3. С.А. Назаров. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга. 2002.
4. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1988.
5. О.А. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973.
6. Г. Фикера. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир. 1974.
7. В.А. Кондратьев, О.А. Олейник. Краевые задачи для, системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна j j Успехи матем. наук. 43:5 (1988), 55-98.
8. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: изд-во Ленингр. ун-та. 1980.
9. С.А. Назаров. Самосопряженные эллиптические краевые задачи. Полиномиальное свойство и формально положительные операторы j j Проблемы матем. анализа. 43 (1997), 167-192.
10. С.А. Назаров. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач, и алгебраическое описание их атрибутов j j Успехи матем. наук. 54:5 (1999), 77-142.
11. S.A. Nazarov. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions j j RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 27:6 (1993), 777-799.
12. C.A. Назаров. Дальнодействие малых спектральных возмущений граничных условий Неймана для эллиптической системы дифференциальных уравнений в трехмерной области // Матем. сб. 214:1 (2023), 3-54.
13. W.G. Mazja, S.A. Nasarow, В.A. Plamenewski. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertauf-gaben in singular gestorten Gebieten. 1 & 2. Berlin: Akademie-Verlag. 1991.
14. C.A. Назаров. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин и стержней j j Успехи матем. наук. 63:1 (2008), 37-110.
15. С.А. Назаров. Асимптотические условия в точках, самосопряженные расширения операторов и метод сращиваемых асимптотических разложений // Труды Санкт-Петербург, матем. о-ва. 5 (1996), 112-183.
80
С.А. НАЗАРОВ
16. И.В. Камоцкий, С.А. Назаров. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Труды Санкт-Петербург, матем. о-ва. 6 (1998), 151-212.
17. S.A. Nazarov, В.A. Plamenevskv. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruvter. 1994.
18. М.Д. Ван Дайк. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир. 1967.
19. А.М. Ильин. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989.
20. С.А. Назаров. Асимптотика собственных чисел задачи теории упругости со спектральными условиями Винклера-Стеклова // Записки научи, семинаров Петербург, отделения матем. института РАН. 519 (2022), 152-187.
21. М.И. Вишик, Л.А. Люстерник. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 12:5 (1957), 3-122.
22. В.В. Новожилов. Теория топких оболочек. М.: Гос. издание судостроительной лит-ры. 1951.
23. С.Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970.
24. Ф.А. Березин, Л.Д. Фаддеев. Замечание об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом // Докл. АН СССР. 137:5 (1961), 1011-1014.
25. Е.Ю. Карпешина, Б.С. Павлов. Взаимодействие пулевого радиуса для, бигармопического и полиргармонтчекского уравнений // Матем. заметки. 40:1 (1986), 49-59.
26. Б.С. Павлов. Теория расширений и явно решаемые модели // Успехи матем. наук. 42:6 (1987), 99-131.
27. С.А. Назаров. Самосопряженные расширения оператора задачи Дирихле в весовых функциональных пространствах // Матем. сб. 137:2 (1988), 224-241.
28. С.А. Назаров. Двучленная асимптотика решений спектральных задач, с сингулярными возмущениями // Матем. сб. 181:3 (1990), 291-320.
29. С.А. Назаров. Эллиптические задачи, на, гибридных областях // Функц. анализ и его прил. 38:4 (2004), 55-72.
30. С.А. Назаров. Моделирование сингулярно возмущенной спектральной задачи, при помощи самосопряженных расширений операторов предельных задач, // Функц. анализ и его прил. 49:1 (2015), 31-48.
31. В.А. Кондратьев. Краевые задачи, для, эллиптических уравнений в областях с коническими или угловым,и, т,очкам,и, // Труды Московск. матем. общества. 16 (1963), 219-292.
Сергей Александрович Назаров,
Институт проблем машиноведения РАН,
Большой проспект В.О, 61,
199178, г. Санкт-Петербург, Россия
E-mail: srgnazarov@yahoo .co.uk
