О спектре задачи Стеклова в области с пиком Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

С. А. Назаров, Я. Таскинен Вестник СПбГу. Сер. 1 2008 вып. 1

О СПЕКТРЕ ЗАДАЧИ СТЕКЛОВА В ОБЛАСТИ С ПИКОМ1

1. Постановка задачи. Пусть Q —область в евклидовом пространстве Кп, п А 2, с компактной границей dQ, гладкой (для простоты) всюду, кроме точки О, начала декартовой системы координат х = (у, 7) О ЙЯ'1 х К. В окрестности и точки О область Q имеет заострение (см. рис.) и определена соотношениями

z > 0, г'ьУу О *№, (1)

где У > 0 — показатель заострения, а — область, ограниченная (п — 2)-мерной поверхностью dw, гладкой, опять-таки, для простоты.

Рассмотрим спектральную задачу Стеклова:

—Дхи(х) = 0, х О Q, dNu(x) = Аи(х), х О 5Q(e) \0. (2)

Здесь Дх —оператор Лапласа, а d_N —производная вдоль внешней нормали. Введем гильбертово пространство Н, содержащееся в пространстве Соболева Н 1^) и снабженное нормой

||и;Н|| = (уУхи; L2(Q)||2 + ||и; Ь2^)| | 2)1Л. (3)

Интегральное тождество [1], обслуживающее задачу (2),

(Ухи, Уху)п = А(и,у)ап, V ОН, (4)

перепишем в виде абстрактного уравнения

ви = Ли О Н. (5)

В (4) Ух — градиент и (, )х — скалярное произведение в пространстве Лебега L2(T), а в (5) л — новый спектральный параметр и в — оператор в пространстве Н, определяемые формулами

М = (1 + А)-1, (6)

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №06-01-257). © С. А. Назаров, Я. Таскинен, 2008

(ви, V) = (и, у)ап, и, V О Н,

причем (,) —скалярное произведение в Н, порожденное нормой (3). Понятно, что в — симметрический, положительный и непрерывный оператор в Н с бесконечномерным ядром №(0) (символ ° указывает на условие Дирихле и = 0 на дП).

Если бы поверхность дП была липшицевой, то выполнялось бы равенство Н = Н'(п), и благодаря компактности вложения Н'(Н) С Ь2(дП) (см., например, [1, 2]) оператор в

оказался бы компактным, а его спектр состоял бы из собственного числа Мо = 0 бесконечной кратности и последовательности нормальных собственных чисел

1 = М > М2 > • • • > Мс >.....► +0, (8)

которые в списке (8) указаны при учете их кратностей. Первое собственное число М совпадает с нормой оператора в. Таким образом, задача Стеклова в области с липшицевой границей имеет бесконечно большую последовательность собственных чисел

0 = А < А2 < • • • < Ас <.....> +то, (9)

а первое собственное число А простое ввиду принципа максимума. Соответствующие собственные функции (шев„Н) 1,2 = ио, ш,..., и&,... можно подчинить условиям ортогональности

и нормировки (шс, и^ч = Лсд-, где ) к = 1, 2,... и Лад--символ Кроне- кера.

Известно (см., например, [2]), что для пикообразных областей вложение Н'(Н) С Ь2^п) может нарушаться или терять компактность. Исследование спектра задачи (2)=(4) (или

оператора в из (7)) в таких ситуациях (7 > 1 или 7 = 1) и составляет предмет статьи.

2. Весовое следовое неравенство. Следующее утверждение известно (см., например, [2]), а его элементарная проверка приводится здесь для удобства читателя.

Предложение. Для функции и О Н выполнено соотношение

|| г—1'и; Ь2(£Т)|| + || г(7—1)/2и; Ь2(йй)| | < с||и; Н| |, (10)

где г(х) = |х| —расстояние до вершины пика.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку при любом малом d > 0 верна оценка

|| и; Ь2(п \ п,,/2) || < cd (| | Ухи; Ь2(п \ Пл)|| + | | и; L2(dn \ дПл)||) ,

без потери общности можно считать, что носитель функции и О Н расположен на замыкании множества П = {х О П ОИ : г < d} (см. (1)). Представим эту функцию в виде

и(х) = У,(г) + и_1(х),

г — (1+У)(п— 1) Г Г (11)

и(г) =............. / и(у,г)ёу, / и_((у,х)ёу = 0 при п.в. г Е (0Д),

шеБп—1 w J J

w(z) ш(г)

где w(z) = {у : г—1 Уу О w} — сечение пика, а г(1+7)(п—1ОшеБп — 1 w —его площадь.

Здесь в — любой положительный коэффициент. Положив в = 1/4, при учете (12) и (16) заключаем, что каждый из интегралов /1, /2 и /з не превосходит величины с 11УхМ; L2(nd)| |2. Само неравенство (10) вытекаетиз соотношений (11) и (13)-(15). Н

Замечание. Формулы (15), (16) и (12) означают, в частности, что для любого е > 0 можно найти такое d(e) > 0, что при У = 1 и d О (0, d(e)) выполнено неравенство

I \ Ухи(х) \ 2 dxzUn - lAj тев„^ ^) — е] ]г2А\ й{z) \2ёг. (17)

Па Л ' 0

Для проверки этого факта нужно в неравенстве (16) взять в = в(е) достаточно малым, а затем

ограничить множитель в-^У за счет условия d л d(e). Н

Итак, при У О (0,1) вложение Н х(0) С L2(dn) компактно. Соотношения | |УхЛт; L2(Л) |2 = О(т-(п-1)(1+У)+1т2), ||Лт; L2(dn)||2 = О(т-(п-1)(1+У)+1т1+У)

для функций х л Лт(х) = Л(тг), где т = 1,2,... и л О СТО(К), у>(г) = 0 при г G (1, 2), показывают, что

вложение Н х(0) С L2(dn) не является компактным при У = 1 и нарушается при У > 1.

3. Вспомогательные асимптотические конструкции. В переменных п = г-1 Уу и Z = г оператор Лапласа принимает вид

-Дх = -2-2(1+у4 - (ас - (1 + у^-1п ■ УЛ2; (18)

здесь п ■ Уп = |п^|п|, точкой обозначено скалярное произведение в евклидовом пространстве Кп-1. Согласно определению (1) нормаль N на поверхности дП РШ выглядит так:

Ы(х) = d(n, Z)'1/2 Мп),..., Vn_l(п), -(1 + У^7П ■ v(n)) . (19)

При этом V = (V!,..., Vn-l) —единичный вектор внешней нормали к границе области ш С Ип-1, а d(n,Z) = 1

+ (1 + У)^2У 1п ■ v(n)| 2 —нормирующий множитель. Следовательно,

d(n, Z)1/2dN = Z'1'Уv(n) ■ Уп - (1 + У)Z7n ■ v(n) (д< - (1 + У)Z'1П ■ ул . (20)

Подставим формулы (18) и (20), а также асимптотический анзац

w(Z) + Z2(1+7)W (n,Z) (21)

для функции и в задачу (2), суженную на окрестность Ш точки О. Отбрасывая несущественные для

предпринимаемого формального асимптотического анализа члены, приходим к задаче Неймана на сечении единичного размера:

-ДпШ(п^)= Е(п^):= &^@), п О w,

(22)

v(n) ■ УпШ(п, Z) = О(п, Z) := (1 + У)Z'1n ■ v(nRw(Z) + AZ'1'Уw(Z), п О dw.

Условием разрешимости задачи (22) служит равенство

Л Е(п, Z) dn + Л О(n,Z) dsn =0,

w dw

J n • v(n) dsn = J Vn • ndn = (n — 1)mesn-iw Эш Ш

преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение

dcZ(n-i)(i+Y)dcw(Z) = ЛС(п-2)(1+7)ад(0, z G (0, +то). (23)

Здесь введено обозначение

Л = A (mesA,_1w)AmesA,_2dw.

Если 7 = 1, то (23) —уравнение Эйлера и его решения определены формулами

™± (C) = О1, "± = -(n - 3/2) ± y/(n- 3/2)2-A. (24)

В случае Л а ЛА := (n — 3/2)2 показатели к± вещественные, но при Л > ЛА они становятся комплексными. Если Л = ЛА, то к+ = к-, w- = w+ и дополнительно появляется логарифмическое решение w1(Z) = Z-n+3/2 ln Z.

При 7 > 1 замена Z i t = Z-(7-1)/2 преобразует (23) в уравнение Бесселя:

d2 w . . . . 7 + 1 1 dw . . 4Л . .

#г® + (2- - 3)AiAW + §7AwW - °. 4 е (°' +0°)-

Таким образом, решения w± уравнения (23) выражаются посредством функций Бесселя (см., например, [3] гл.2, 2.162 (9) и, следовательно, удовлетворяют соотношениям

w±(Z) = exp (±2гAЛ(7-1ГЧ-(7~1>/2Л-(п-3/2)(1+7)/2 (b°±+0 (Z(7~l)/2)) , Zл +0, w±(Z) = Z■л■lл+л+1 (b£ +

(25)

O (Zl-Y)) , Z 1 +то, где b± и bj? — некоторые ненулевые постоянные.

4. Спектр в случае 7 = 1. Если A G C \ Sg0, где

SЛ = {A G C : Im A = 0, Re A G (а, b)} , то по понятным причинам задача

(Vxu, Vxv)n = A(u,v)aЛ + </,v>, v GH, (26)

при любом функционале f G H имеет единственное решение u G H и для него верна оценка

||u;H|| < сл l|f;H||. (27)

Поскольку интегральное тождество (Й6) эквивалентно абстрактному уравнению

Su — ju,u = —лf g H,

соотношение (Й7) означает, что множество C \ Sj (образ множества C \ Sg0 при замене (6) спектрального параметра) лежит в резольвентном поле оператора S.

Убедимся в том, что при

л = (1+ Лі|)-1, Ли = (п - 3/2)2 (шевп-

2(І'№))'1 ШЄВп-1 (w)

отрезок "л содержит лишь нормальные собственные числа названного оператора, т.е.

"м

на него попадает дискретный спектр. Рассмотрим новое интегральное тождество

(4хи,4хУ}еі + Н(и,и)е1 + тевп-2(ёи)(гп 2и,гп Ч)(о,сі) =

= (I + \)тевп_2(ёи;)(гп-2й^п-2ь){ом) + ((,и), V О Н, (29)

где Ь и d — фиксируемые далее положительные числа. Согласно предложению левую часть можно взять в качестве скалярного произведения (и, V)] в пространстве Н — этот факт вытекает из оценок (15)-(18), а также простых соотношений

|| и; Ь2^п \ дЩ)| | < с||и; Н 1(П \ П„) ||, ||и; Ь2(дП П ап<,)|| < с(\\ гп-

2и -Ь2(0, d)|| + | К; Ь2(сЕ2 П сВД), (30)

||г-1-¥хи±; Ь2^£Т)| < с | |Ух(хи); Ь2(п)| < с(| Ухи; Ь2(у| | + ||и; Ь2(п \ Щ)| |),

в которых X — гладкая срезающая функция, х^) = 1 при z < d и х^) = 0 при z > 2d (число d мало и n2d С ^). Пространство Н, снабженное скалярным произведением (, ] обозначаем Н]]. Разумеется, существует изометрический изоморфизм Т : Н л Н]. Определим оператор в] в Н] формулой

(Б, 1М,ш)1 = mesп_2(9ш)(хп-2М,хп-2ш)(оій), и^ОН. (31)

Поскольку оператор Т-1в]Т наследует все свойства от оператора в], нужная информация о спектре оператора в на отрезке "л обеспечена следующими двумя утверждениями.

Лемма. 1) Разность в - Т-1в]Т —компактный оператор в пространстве Н. 2) Для любого Л О "е1 найдутся такие Ь > 0 и d > 0, что задача (29) имеет единственное решение и О Н и справедливо неравенство (27), т.е. оператор в] - А1 — изоморфизм (I — тождественное отображение в пространстве Н, а числа Л| и л О (М|, 1] определены по формулам (28) и (6)).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Согласно определениям (7) и (31) имеем ((Б - Т-15]Т^, w) = {Би, V) - (Sjw,

V) = ^, w)sQ - шев,^^)^-^, zn~2v)(oid) =

= (М^Ьп\аш + («,«)аппаш - ^ 1/2и^)сіппаш = = («,«)ап\ап + ((і - ё~А2)й, v)annauа +

(и±, v)a5іпа^ + ^,«±)аппа^-

Вложение Н С Ь2(dQ \ дЩ) компактно, а отображение Н Э и А й О Ь2(dQ Б 9Щ) непрерывно (см. соотношение (15) при У = 1). Поскольку d(y,z) - 1 —бесконечно малая 0(г2т) (см. соотношение (19)), отображение Н Э и а (1 — а~1/2)й О Ь2(dQ Б дЩ) оказывается компактным. Осталось заметить, что в левой части неравенства (14) фигурирует весовой множитель z-1 У и поэтому отображение Н Э и л ил О Ь2^п Р дЩ) также компактно.

2. Для проверки утверждения достаточно выбрать параметры Ь > 0 и й > 0 так, чтобы при некотором в > 0 выполнялось неравенство

1 \ УхЫ-,Ь2(п)\ \2 + Ь\ \ и-,Ь2(п\ий)\ \2 > (А1| — 5)тевп-2(ёи)\ \гп~2й \ Ь2(0, й)\ \2. (32)

Принимая во внимание соотношение (17), получаем

| |Ух(хи); Ь2( Я) Ш2 < (1 + е)уУхи; Ь2^)||2 + сх®(1 + £-1)| | и; Ь2 (й \ Щ) || 2 < <

(1 + е)(| | Ух(хи); Ь2(Я)Ш2 + Ь| | и; Ь2(Я \ Щ)| |2),

(1 + е)Л|| Ул(х'№); Ь2(Я) \\2 > (1 + е)-1 ((п - 3/2)2шевп_1И - е) || z"-2S; Ь2(0, а)||2.

(33)

Здесь X — та же срезка, что и в (30), причем | ^х^)| л Сх(ф, а число е > 0 выбирается

произвольно. Следовательно, в силу формулы (28) для АЛ неравенство (32) можно удо-

влетворить путем уменьшения параметра е: вторая оценка (33) верна при й л а(е) (см. замечание), а первая дает нижнюю границу для коэффициента Ь в тождестве (29). И

Убедимся теперь в том, что непрерывный спектр оператора в заполняет сегмент в®. При 7 = 1 и А л АЛ уравнение (23) имеет решение '№^) = Z'n+3/2+lT (см. определение (24)). В соответствии с анзацем (21) положим

*т(х) = Хт(-1п z) ^^) + z2(^1+'Y>W(z-1-y,z)) , где, как и ранее, 7 = 1, а W — решение задачи Неймана (23) в области ш,

(34)

Хт(г) = Х(Ь - 2т)Х(т - 1) и X О 0Т0(Е.), Х(Ь) = 1 при Ь < 0, Х(Ь) = 0 при Ь > 1. Функция (34) гладкая и ее носитель отделен от точки О, т.е. наверняка Фт О И. Поскольку Хт(-1м) = 1 при z О (е-2т,е-т) и W(z'2y,z) = 0(z'n'1/2), при учете формул (1) и (3) находим

| | Ф™; ИW2 ЛJ |Лт(х)| 2dsx > тевп-2(йи) J z'1(1 - cz2) dz > ст,

(dne'm\dne'2m )ndf1 е-2т

(35)

причем С — положительная постоянная, а натуральное число т считается большим. С другой стороны, обозначив Фт производную функции Ь Л Лт(Ь), имеем

к — -А Ф =

= -Хт (02гШ + AnW + 32х(г4Ш)} + 2z'1Лmdz (w + Z4W) - г-Лт (w + z4W) . (36)

Первые два слагаемых в фигурных скобках справа взаимно уничтожаются в силу (22). Множители при производных Фт и Фт в (36) не превосходят СZ'n'1/2. Такие оценки и очевидное соотношение | d2(z4W(z'2y,z))| Л cz'n+3/2 приводит к неравенству

е

К • л Ф т • А х т

Рл''!'™ ^'ц-| ^ г- (ЗУ)

<<> '.'II..

Итак, принимая во внимание оценку (10) выводим соотношения

(Ухлш, Уху)п - А(*т, и)йп = Ц, V) := (Гт, и)а + (йиФт, ь)ап, \\/;И\\Ае(\\гЕт,Ь2(й)\\ +

\ \dn*N;L2(dй) \\), а значит, сравнивая формулы (37), (38) и (35), обнаруживаем, что при А О вл° неравенство (27) с постоянной с\, не зависящей от функционала ^ в задаче (26), невозможно. Иными словами, при а о в® обратный оператор (Б — л])-1 не может быть непрерывным. Именно это и нужно было установить.

5. О спектре в случае У > 1. Как и в предыдущем разделе, множество C\sJ лежит в резольвентном поле оператора в. Ясно, что а = 1 (А = 0) — собственное число этого оператора (собственное число задачи (2)), которому отвечает единственная собственная функция мо = (те^,п) 1/2. Убедимся в том, что а = 1 —точка существенного спектра оператора Б.

Пусть т О Н 1(К+) — функция, обращающаяся в нуль вблизи точки г = 0 и достаточно быстро затухающая на бесконечности. Например, в качестве можно взять одно из решений (25) уравнения (23), считая его равным нулю на отрезке (0, а]), где а] — корень соответствующей функции Бесселя (известно, что а] а +0 при ] а +те; см., например, [3]). Положим

Подчеркнем, что интегралы в (40) при замене z л t = е-^ остаются сходящимися после распространения на луч Б.+ = (0, то) благодаря включениям О Ь1 (К+)пЬ2(К+) и О Ь2(К+), которые как раз и означают затребованное быстрое убывание функции ■№. В силу формул (40) и (3) отношение Рэлея допускает оценку

ІКЬаГШ2

МУжм:Ь(П)1 I 2

Ік НН2 А 11 щЬ2(дй) \\1 " " '

Поскольку по определению (39) функция и ортогональна постоянной в пространстве Н, а параметр е > 0 и функция произвольны, общие результаты (§ 10. 2 [4]) показывают, что либо некоторый сегмент [м., 1] покрыт непрерывным спектром оператора в, либо существует последовательность собственных чисел оператора на [м», 1], сходящаяся к единице. В обоих случаях точка м =1 лежит на существенном спектре оператора в, а значит, и на непрерывном, так как она является простым собственным числом. Авторы не знают более детальной информации о структуре спектра при У > 1.

6. Формулировка результатов. Полученные сведения о спектре оператора в соберем в следующей теореме, пересказав их применительно к спектральной задаче Стек- лова (2).

Теорема. Спектр задачи (2) расположен на замкнутой неотрицательной вещественной полуоси.

1) При У О (0,1) спектр дискретен и собственные числа образуют бесконечно большую последовательность (9).

2) Если У = 1, то на полуинтервале [0, А|) спектр дискретный, а луч [А|, то) представляет собой непрерывный спектр; здесь А | — число, определенное формулой (28).

3) Если У > 1, то точка А = 0 принадлежит непрерывному спектру задачи (2).

При У Л 1 на непрерывном спектре может появиться точечный, и возможно не только собственное число мо = 1 в случае У >1. Например, предположим, что область Q симметрична относительно гиперплоскости {х : Х1 > 0}, и определим

множества Q+ = {x G Q : Xi > 0}, Г+ = {x G dQ : Xi > 0} и S = {x G Q : Xi = 0}. Рассмотрим уравнение Лапласа со смешанными краевыми условиями

-Axu+(x)=0, ж G Q+, dNu+(x) = A+ u+(x), x G Г+, (41)

u+(x)=0, X G S. (42)

Задачу (41), (42) можно переформулировать как интегральное тождество (4) на подпространстве H 1(Q+;S); здесь символ °

указывает на соотношение (42). Благодаря условиям Дирихле на части границы сечения w+(z) пика функция u G H 1(Q+;

S) удовлетворяет весовым неравенствам (13) и (14), т.е. вложение H 1(Q+; S) C L2(dQ+) компактно и задача (41), (42) имеет

бесконечно большую последовательность {A+ }%= 1 положительных собственных чисел. Нечетное продолжение с части Q+

на всю область Q соответствующих собственных функций u+ доставляет собственные функции ufc G H задачи (2),

отвечающие ее собственным числам A+ > 0. Нетрудно убедиться в том, что за счет варьирования (увеличения) множества

Q\W на всякий заданный отрезок (0, A.) можно посадить любое количество таких собственных значений.

Summary

S. A. Nazarov, J. Taskinen. On the spectrum of the Steklov problem in a domain with a peak.

The spectral Steklov problem is investigated in a domain with a peak on the boundary. It is established that the spectrum on the real nonnegative semi-axis can be either discrete, or continuous in dependence on the sharpness exponent.

Литература

1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

2. Мазья В. Г. Пространства Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

4. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.

Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.