CC BY
15
УДК 537.868.3; 621.37
Б.М. Петров, Д.Е. Титова
ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПОТЕРЬ В ДИЭЛЕКТРИКЕ НА ЧАСТОТНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ СФЕРИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА И НА ВОЗМОЖНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ*
Изучается влияние тепловых потерь в диэлектрике, заполняющем вращающийся сферический резонатор, на форму частотной характеристики последнего. Анализируется новый резонансный способ измерения частоты вращения резонатора, позволяющий применить электромагнитное поле радиотехнического диапазона частот, что дает возможность повысить точность измерений и уменьшить геометрические размеры резонатора. Для этого ставится и строго решается на основе ковариантных уравнений электродинамики граничная задача возбуждения вращающегося сферического резонатора сторонними источниками. При решении введены понятия вращающихся электрического и магнитного потенциалов Дебая, удовлетворяющих выражениям, аналогичными волновым уравнениям. Потенциалы Дебая позволяют разделить электромагнитное поле на поля колебаний электрического и магнитного типов. Нулевые граничные условия на идеально проводящей оболочке резонатора для касательных составляющих векторов напряженностей поля колебаний электрического типа приводят к необходимости решения граничной задачи второго рода относительно электрического потенциала Дебая, а для колебаний магнитного типа -к необходимости решения задачи первого рода относительно магнитного потенциала Дебая. Решения «волновых» уравнений получены в виде разложений по системам электрической и магнитной функции Маркова, определенных для риманова пространства и разложенных в ряды по системе сферических функций. Потенциалы Дебая первичного поля (поля сторонних токов и зарядов) определены так же, как в неограниченном пространстве, а вторичного поля - разложены по системе сферических функций с коэффициентами, определяемыми из граничных условий. Этим путем получены решения для потенциалов Дебая полных полей электрических и магнитных колебаний. Вращение приводит к «расщеплению» собственной частоты резонатора и появлению новых резонансных частот: каждое собственное значение частоты «покоящегося» резонатора «расщепляется» на 2N собственных частот во «вращающемся» резонаторе, сдвинутых относительно друг друга на частоту вращения, где N - тип колебания. Происходит это из-за влияния эквивалентного гравитационного поля на ЭМ-поле тессеральных гармоник, распространяющихся по направлению вращения и против него. Это дает возможность измерить частоту вращения полости как разность между -ой резонансной частотой «вращения» и резонансной частотой «покоя» резонатора на заданном типе ЭМ-колебания, разделив ее (разность) на N, либо как расстояние между соседними резонансными частотами по частотной характеристике резонатора. Изложены результаты выполненных расчетов и дан анализ частотных характеристик при возбуждении вращающегося сферического резонатора несимметричным электрическим вибратором при разных параметрах заполняющих резонатор диэлектриков. Показано, что погрешность измерения частоты вращения и зависимость относительного смещения резонансных частот определяется тангенсом угла электрических потерь диэлектрика, заполняющего резонатор.
Сферический резонатор; гироскоп; тепловые потери в диэлектрике; частота вращения; тангенс угла потерь.
* Работа выполнена в рамках проектной части госзадания № 8.2461.2014^ Минобрнауки России.
B.M. Petrov, D.E. Titova
INFLUENCE OF THE DIELECTRIC LOSS ON THE FREQUENCY
CHARACTERISTIC OF THE RESONATOR AND THE POSSIBILITY OF THE ROTATION RATE MEASUREMENT
The majority of the rotation measurement devices can be differentiated into the optical one, which based on Sagnac effect, and MEMS-gyros, using mainly the effect of Coriolis force. The former are mainly used in aviation and space due to their high sensitivity, while the latter are in most cases simpler in production and cost-effective, what meets the requirements in such spheres as robotics, navigation systems of vehicles and mobile devices. Now the investigations in the sphere are devoted to minimizing the sizes of optical gyros and increasing the sensibility of the MEMS devices. In the article the influence of the dielectric loss of the dielectric a rotating spherical resonator is filled with on the shape of the frequency characteristic of the resonator is studied. That allows analysing the new resonant method of resonator rotation rate measurement using resonators frequency characteristic. The method allows implementing electromagnetic field of radio-frequency band, what gives a possibility of increasing the precision of the rotation rate measurement and decreasing geometrical dimension of gyroscopes. For that purpose, the boundary task of excitation of rotating spherical resonator filled with dielectric with EMR sources is set up and solved rigorously using covariant relations of electrodynamics. The definition of rotating electric and magnetic Debye potentials are introduced, which meet the equations equal to wave equations. The Debye potentials allow to split electromagnetic field into the E-field and H-field. Homogeneous boundary conditions on the perfectly conducting surface of the metal for the tangential components of the electric field vectors lead to the solution of the boundary problem of the second order for the electric Debye potential, andfor the H-filed - to the solution of the boundary problem of the first orderfor the magnetic Debye potential. Solutions of the wave equations are get as the expand in systems of electric and magnetic Markov functions defined for the Riemann space and expanded into spherical functions series. The Debye potentials of the primary field (the EM-field excited) are defined as for the free space, while for the secondary field they are expanded into spherical functions systems with coefficients defined by the boundary conditions. The solutions for the Debye potentials for the total fields of electric and magnetic oscillations are got this way. Rotation leads to the split of the eigen resonant frequencies of the resonator and emerging of the new resonant frequencies. Every eigen frequency of the resonator "at rest" is split into 2N new eigen frequencies inside the rotating resonator, shifted relative to each other by the rotation rate, where N is the number of mode. This results from the influence of the equivalent gravitational field on the EM-field of isometric harmonics which traverse along the direction of rotation and on the direction opposite to it. This allows measuring of the resonator rotation rate as the difference between Nth eigen resonant "rotation "frequency and the "rest" frequency of the resonator for the given EM-oscillation mode in the resonator, divided by N. Another way is to measure the shortest distance between two neighboring resonant frequencies on the frequency characteristics of the cavity. In the article the results of the calculations of the frequency characteristics of the dielectric filled rotating spherical resonator excited with electric vibrator are got for dielectric of different parameters. The results are described and analyzed. It is shown that the rotation rate measurement uncertainty and the relative shift of the resonant "rotation "frequencies is defined by the loss tangent of the dielectric the resonator is filled with. In order to increase the Q-factor of the cavity and the precision of the rotation rate measurement it is suggested to opt for dielectrics with low loos tangent.
Spherical resonator; gyroscope; dielectric loss; rotation rate; loss tangent.
Введение. Большинство устройств измерения частоты П (скорости) вращения можно разделить по принципу работы на оптические, в основе которых лежит эффект Саньяка, и МЕМС-устройства, работающие в основном на эффекте действия силы Кориолиса [1]. Первая группа, включающая лазерные и волоконно-оптические гироскопы, отличается высокой чувствительностью и подходит для использования в космическом и авиастроении [2, 3]. При измерении скорости (частоты П) вращения с помощью эффекта Саньяка информация о параметрах вращения извлекается из фазовых характеристик электромагнитного (ЭМ) поля [4]. Устройства второй группы - роторный и вибрационные гироскопы [5, 6], гироскопы на основе пьезоэлектриков [7] - зачастую просты в исполнении и малоза-
тратны в производстве, хотя их точность подходит только для таких областей, как робототехника, системы навигации автомобилей и мобильных устройств [8]. В настоящее время в данной области исследования направлены на минимизацию размеров оптических [9, 10] и повышение точности МЕМС -гироскопов [11-20], а также исследование новых типов гироскопов [21-23].
В настоящей статье рассматривается новый резонансный способ измерения частоты вращения вращающегося резонатора по его частотной характеристике. Для этого ставится задача возбуждения вращающегося сферического резонатора сторонним источником ЭМ-поля. Ранее в [24] было показано, что для измерения угловой скорости (частоты) вращения сферического резонатора гироскопа может быть использован резонансный способ, преимуществом которого является возможность минимизации геометрических размеров гироскопа и увеличения точности измерений за счет применения ЭМ-поля радиотехнического диапазона частот. В [25] решена в строгом виде задача о возможности существования ЭМ-поля во вращающемся сферическом резонаторе с идеально проводящими стенками и предложен резонансный метод измерения частоты вращения. Ниже на основе ковари-антных уравнений электродинамики поставлена и решена в строгой форме граничная задача о возбуждении сторонними источниками ЭМ-поля во вращающемся сферическом резонаторе, заполненном диэлектриком с параметрами е и ц. Решение позволяет построить частотные характеристики вращающегося резонатора и изучить резонансный метод измерения частоты вращения по полученным частотным характеристикам возбуждаемого ЭМ-поля. Точность измерения параметров вращения зависит от добротности резонатора, а также определяется величиной сдвига собственных резонансных частот вращающегося резонатора, которые в свою очередь определяются параметрами заполняющего резонатор диэлектрика.
1. Постановка и решение задачи. Введем в свободное пространство инерци-альную (декартову) систему отсчета (СО) К(х',у',г',ЫР£) = К'(И',в',р',1мРЬ) = , где - мнимая единица, - время, - скорость света в неограниченном пространстве, , - сферические координаты, , , и покоящуюся в ней точку наблюдения Р'(х^', ЫрЬ). Резонатор, образованный металлической сферической оболочкой радиуса и проводимости , пространство внутри которой заполнено изотропной однородной линейной средой без гистерезиса с диэлектрической и магнитной проницаемостями, где и - электрическая и магнитная постоянные, вращается относительно точки Р' с постоянной угловой частотой П. Введем жесткую вращающуюся СО К (И, в, р, Ь) = К (ха, Ь) , а = ( 1 , 2,3 ) . Начала сферических систем координат поместим в центре шара, а полярную ось направим вдоль оси вращения. Обозначим через Р(ра, Ь), где ра = (х1, х2, х3 ) = (И, в, р), покоящуюся в СО К точку наблюдения. При этом И' = И , в = в', р' = р + П Параметры а1, е, ^ и считаем измеренными в СО .
Обозначим область сторонних источников, расположенных в объеме резонатора и возбуждающих ЭМ-поле на частоте , измеренной в мировом времени (Я0 - длина волны), через . Зависимость сторонних токов и зарядов от времени £ принимаем в виде ехр (1 со 0 Ь) . Считаем, что линейные скорости всех точек области V]- меньше скорости света.
В трехмерном пространстве, соответствующем пространству внутри сферы, тензор кривизны отличен от нуля, поэтому пространство является римановым V3 -пространством. Следовательно, уравнения Максвелла для ЭМ-поля внутри сферы могут быть записаны в трехмерной форме для трехмерных объектов, - ко-вариантного вектора напряженности электрического поля
, для напряженности магнитного поля - контравариантной би-
векторной плотности веса + 1 - Н = 0 ^ = (02 3,- 0 1 3 ,0 1 2 ) = (Нк ,И Нв ,И б тв Нр) , для электрической индукции - контравариантной векторной плотности веса +1 - 0 = 0 а = (01,02,03) = ( И2 б ( п в О" ,Иб I пв О в, И О р) , для магнитной индукции -ковариантного бивектора В = Вар = (В2 3 ,-В1 ■3,В12) = (И2 б тв Вв р ,-Иб тв Вк р, И Вк в):
г о ги = — + ]Е,го1Ё = — -тн, аш = ре,сИуВ = рн, (1)
где ] = ]Е,а = (И2б тв]Е,п, ИБтв]Е,в, И]Е,р) - контравариантная векторная плотность объемного стороннего электрического тока, рЕ - скалярная плотность стороннего объемного электрического заряда, ]н = = (И2бтв]нр , -Ибтв]нр, - бивектор плотности объемного стороннего магнитного тока, - простая скаляр-плотность объемного магнитного заряда [25].
В СО К ЭМ-поле, удовлетворяющее уравнениям (1), с помощью материальных уравнений, полученных в [25], разделяется в сферической системе координат с помощью электрического Vе и магнитного Ун потенциалов Дебая на ЭМ-поле электрического типа (Е-типа), когда радиальная компонента бивектора магнитной индукции Вв р = 0, и на ЭМ-поле магнитного типа (Н-типа), когда радиальная компонента векторной плотности электрической индукции . Вспомогатель-
ные функции Vе и V11 - электрический и магнитный потенциалы Дебая в СО К удовлетворяют волновому уравнению:
д2УЕ'н 2 дУЕ'н 1-в2 д2УЕ'н 1 д дУЕ'н
__I____I______|___С 7 77 й__I-
5Д2 Д ЗД Д2Бт2в дер2 Д2Бтв дв дв
| 2/? д2УЕ'Н 1 д2УЕ'Н = д
тв дрдг V^ дг2 , ( )
где / = £1Ибтв /ур, V р = 1 / -е)!
Потенциалы Дебая разлагаются по системе функций Маркова [3]:
VЕ=pia>0t1_Y уп тЕ vH = p^^otlY °°пУп !}Н (3)
' ° е п=0 ¿-¡т. = -пипт, ' ° ¿-¡п=0 ¿-¡т=-пипт, (3)
где , - функции Маркова, определенные для пространства . В случае, когда граница раздела отсутствует, то функции Маркова ТТ^' известны [25], назовем их, потенциалы Дебая VЕ,н,p, соответствующие им, и напряженности Ер, Нр ЭМ-полей первичными. Они определяются распределениями сторонних токов и зарядов в :
цЕ,н,р = р т (с о б в) е-т р {Кп 2 (ктИ) Рпт *' И>р (4)
ипт рп (с оБ в2 е ] . ( 1) е,н „ . (4)
Чп\К-тк)^пт • К < Р • где Рт (с о б в) - присоединенные полиномы Лежандра, к ^ 2(х) , ]п (х) , - сферические функции Ганкеля и Бесселя соответственно, ,Е,н - коэффициенты, определяемые сторонними токами.
Вторичное электромагнитное поле электрического типа с векторами напря-женностей , и магнитного типа с векторами напряженностей , возбуждаются вторичными эквивалентными поверхностными токами и зарядами, существующими на границе раздела сред при . Обозначим через функции Маркова вторичных ЭМ-полей. Тогда
и'гш = апт Р¡П (сОБв)]п (ктш1(р, 0 < Д < а
= КтРпт(соБв)]п(ктИ)е-т, 0 < И < а, (5)
где , - коэффициенты, определяемые из граничных условий, а функции Маркова полных ЭМ-полей Е-типа и Н-типа:
ПЕ = иЕ,Р + и"'* ин = и"'р + ин А (6)
ипт ипт ' ипт, ипт ипт ' иш- (6)
В результате разделения полей получаем составляющие компонент напря-женностей ЕЕ, НЕ и Ен, Нн:
1 хчол пл (в и пт)
,Н _ „Н,Р
рЯ _ Р1Шо^ — У00 у _
П8 ~ е ЕПЬп=йЬт=-п дддк ,
1 уоо уп д2(Д Ц-дт) еП 5 т в Ь п=0 Ь т=~ "
ыБ _ Г '"О уоо V"
глБ _ Г'^О уоэ V1
пср — е | д ¿т=0 ¿1
д<рд Я
-I-— Vю Vй —Я
1 а^э ^2^11=0 2-,т=-пяоР
п
а (я £/#т) и^
рЕ _
£я —
1-/3'
=0^ш=-п ае Б щЕ — 1/1/-1/
уоэ уп ¿-¡п=0 2-1т=-
д рЭ(№°т)1 дв? дв ]
д<рдв
ня - рш н", н" = ш-1 реЕ,
+
(7)
^ у*00 уп .
и* 5 п *вь п=оЬ т=-п д<р* ];
рН _ г1Шг,Ь Г 1шо уоо уп "("-"пгги . " уоо уп Сд — е \Rsine ^п=0 ¿-"т=-п Ят "Г ,,„2 ¿п=0 Ьт=--,
Э(Я £/йп) . IV
Э<р
^íflz
рЯ _ С'^о уоо уп д(пи%т) уур уц, уп
чР 1я ^п=0^ш=-п эв ^8твЬп=оЬт=-
ттН _ £c^^0í _!_у°э уп д2(йипт) Нв=е ццЬп=°Ьт=-п двдЯ ,
иЯ _ 1 уоо уп ^2(Яипт)
<Р ¿-¡п=0 ¿-¡т = -
д „ д(Ш]%т)Л 1д вР д в ] ,
э^эе
,
/¿Я' тН
д<рд Я
(8)
ЕН = -ршнн, нн = ^вв„ + Ш-1 р ЕН
в, ' ' 1
д(ПЦЦт)
1 усо уп 1
2. Граничные условия. Из (6), (7) и (6), (8) видно, что граничные условия
на идеально проводящей оболочке резонатора удовлетворяются для колебаний электрического типа, если при
, а для колебаний магнитного типа, - если при .
Подставляя иЕт из (6) с учетом (4) и (5), (7) в граничное условие, находим ат; подставляя инт из (6) с учетом (4) и (5), (8) в граничное условие, находим Ьт.
При возбуждении резонатора радиальным электрическим вибратором, расположенным в точке , получаем функции Маркова для вращающегося резонатора:
[а-7п(/ста)],^2)(;стЯ)-[а-^2)(;ста)],7п(;стЯ)
£/пш = Р™(сОБв)е~1т<р
1а-]п(кта)]'
(1 )£■ _ [а-^2)(/ста)] (2)в
/7(2)В Д > п,
1 ПШ ' '
Уп (Нт Ю, Жр;
]п(кта)к\?\ктЯ)-к(,?\кта)]п(ктЯ) Я>Р,
цН _ рш иш ' п
Рпт(со5б0е-
17П<р ч
]п(кта)
(2)
р(1)И _ К (кта) р(2)Н
Пт Мкта) пт
(9)
(10)
где
_
п(п + 1)47Г
/
<¿7 ■ е™^
И/ ■}
п(п + 1)
РЦЧсОБ-д) 1__
ктр йр
к-тР
Р™(с05тп(ктр) +
(11)
H = SfeU, dV ■ ^ [ i №
так как jE,e = jE,<< = f1 = 0, dV = p2sinddpdp, p,d, p - переменные интегрирования, RI (x) = h((2) (x) , Rl (x) = jn (x) .
Выражения (7), (8) и (9), (10), совместно с (11), определяют ЭМ-поле внутри вращающегося резонатора с идеально проводящей оболочкой.
3. Влияние тепловых потерь в диэлектрике, заполняющем резонатор, на его частотную характеристику. В математической модели считается, что тепловые потери, затрачиваемые на нагревание металлических стенок, отсутствуют. Поэтому функции Маркова (9), (10) при отсутствии тепловых потерь в диэлектрике на частоте генератора, равной одной из резонансных частот вращения резонатора, обращаются в бесконечность.
Рассмотрим вопрос об учете влияния на частотные характеристики вращающихся резонаторов тепловых потерь за счет нагревания диэлектрика. Применяемые в резонаторах диэлектрики должны иметь возможно меньший тангенс угла электрических потерь. Тогда в радиотехническом диапазоне частот проводимость диэлектрика является очень малой величиной. Например, полистирол имеет г = е'а — ie'' = 2 , 5 5 е0 — ia/co0, где е'а = г'е0, г' = 2 , 5 5 а = 3 ,99 ■ 1 0 " 4 См/м. При этих условиях коэффициент распространения
кт= Рт — iam = (е'а — ie'' )ц = шт J ( e'fi — i^j (12)
является комплексным числом. Для того, чтобы вычислить коэффициент фазы Рт (волновое число) и коэффициент затухания ат, возведем в квадрат обе части равенства (12) и приравняем правые и левые части. Получаем систему двух уравнений, решая которую, находим
Рт = Cm 1^(М + 1), где М = 11 + (-Z-T)2.
Рт \ 2 ыо £а
В реальном диэлектрике а/c0е'а « 1 , поэтому ат « —aW', рт « а>тл/е'аца, _ 2й)0 v
где W' = J ц /е'а. Тогда можно считать фазовой скоростью vp « c 0 / Рт « c 0 /(шт ■ V е'аРа) . Значит, аргументами сферических функций в решениях (9) и (10) являются к^1 а = Рта — iата « е'аца — i^-aW'а.
2си0
Выберем тип колебаний или . При идеальном диэлектрике все
собственные значения u^q известны. Тогда кIHnq а = и^q и аргументы сферических функций в (9) и (10) определяются зависимостями
кЕтна ъсОтУы — ^ W'] ¿¡Р-, (13)
L lk0,MNQ
где a = cо е'а , - резонансная частота выбран-
ного типа колебаний, , , , .
4. Вычислительный эксперимент. Частотная характеристика вращающегося сферического резонатора, заполненного диэлектриком. Решение задачи, (9)-(12), дает возможность рассчитать по функции Маркова частотные характеристики идеально проводящего вращающегося сферического резонатора, заполненного диэлектриком с параметрами и (рис. 1).
Форма частотной характеристики (рис. 1,а) определяется параметрами заполняющего резонатор диэлектрика: с увеличением tg Д (потерь энергии ЭМ-поля на нагревание диэлектрика) ширина резонанса увеличивается (рис. 2,а) и разделение собственных резонансных частот «покоя» и «вращения» уменьшается при неизменной частоте стороннего источника (рис. 1,а, 3,а). Таким образом, чтобы максимумы частотной характеристики на резонансных частотах «вращающейся» сферы были разнесены от максимума на резонансной частоте «покоящейся» сферы
необходимо, чтобы для частоты вращения й выполнялось условие й > Д^°/2 (рис. 1,б). При этом, с уменьшением тепловых потерь и увеличением частоты вращения максимумы частотной характеристики на резонансных частотах «вращающейся» и «покоящейся» сферы будут разделяться более явно (рис. 3,а,б).
6.280-10 а
6 280*10 " 6.285 * 10 ш. [rad/s]
б
Рис. 1. Частотная характеристика для функции Маркова иЕт(ш), N = 1 для разных диэлектриков, заполняющих резонатор [13] при частоте вращения й = 2п ■ 2 ■ 106 рад/с (а) и для разных частот вращения й при заполнении резонатора кристаллическим кварцем (б). Резонансная частота /0 = 10 ГГц, радиус сферы
выбран из условия существования основного типа колебаний (13), в (б) а = 6,7 мм, поле возбуждаетсярадиальнът вибратором длины А°/4, конец которого расположен в точке с координатами (а, 30°, 30°), снимаются показания в точке с координатами (а, 60°, 60°). Ширина резонанса в (б) = 5,64 ■ 106 рад/с.
6*10' 5 х 107 4 х 107 Лыо, [rad/s] зх ю7 2* 107 1*107
- шо=2-jt- 1 ■ 10"[rad/s]
— (iio=2-ii-5-109[rad/s] Ciio=2-jf10-10s[rad/s] --— iiio=2-JT 20 103[rad/s]
14000 12000 10000' j 8000 6000 4000 2000
- Teflon ..... Aluminium oxide
...... Beryllium oxide
\ ------ Fused silica
\ -Crystalline silica
Л
V ! --------
—- -.' 1
4 «10' 5*10'
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 " 1"10' 2*ю' 3"10' гпЛ П. М/®]
а б
Рис. 2. Зависимость ширины резонанса частотной характеристики (а), построенной по функции Маркова N = 1, и связанной с ней добротностью резонатора (б)
от параметров заполняющего резонатор диэлектрика [26]. Зависимость ширины резонанса приведена для разных частот возбуждаемого в резонаторе ЭМ-поля. Прочие условия расчетов такие же, как и для рис. 1
Общее число максимумов резонансной характеристики определяется типом колебания (^ и равно 2N + 1. При этом, при возбуждении колебаний высших порядков ^ > 1) энергия распределяется в основном между максимумами на резонансных частотах «вращающейся» сферы, + шй, т < N близким к резонансной частоте «покоя», (рис. 4, рис. 7). Таким образом, амплитуда -го максимума, соответствующего собственной резонансной частоте «вращающегося» резонатора + N0, уменьшается по сравнению с амплитудами максимумов на резонансных частотах + шй, т < N что может затруднить обнаружение первого. Например, амплитуда частотной характеристики на частоте + МП при N = 3 составляет 0,15 от максимума на резонансной частоте «покоящегося» резонатора (рис. 4,а,б). Разделение максимумов на собственных частотах «вращающегося» резонатора и «покоящегося» резонатора увеличивается при выборе диэлектрика с низкими тепловыми потерями и увеличением частоты вращения резонатора (рис. 4,а,б).
I "L l-
- Teflon, tgA=4-10-4 Beryllium oxide, tgA=3-10~4 Fused silica, tgi=2-10~4 Crystalline silica, :дД=1 1
1 »10'
2*107 3«107
Г> ГгяН.,'^1
a
4*10' 5x10'
б
Рис. 3. Зависимость степени разделения максимумов частотной характеристики, построенной по функции Маркова иЕт(ш), N = 1 (а) и N = 3 (б), соответствующих собственным резонансным частотам «вращающегося» и «покоящегося» резонатора, рассчитанная как отношение минимального значения
функции на частотном интервале между максимумами «покоящейся» и «вращающейся» сферы (ш0 + ш0+П) (минимум функции) к значению функции на собственной резонансной частоте «вращающегося» резонатора (ш0 + П). Равенство отношения единице говорит о невозможности разделения двух максимумов. Прочие условия расчетов аналогичны условиям для рис. 1
б
Рис. 4. Частотная характеристика для функции Маркова и%т (ш), N = 3 для разных диэлектриков, заполняющих резонатор [13] при частоте вращения П = 2 7Г ■ 2 ■ 106 рад/с (а) и для разных частот вращения при заполнении резонатора кристаллическим кварцем (б). Прочие условия расчетов аналогичны
условиям для рис. 1
Из рис. 1 видно, что максимумы частотной характеристики, соответствующие собственным резонансным частотам «вращающейся» сферы ш0 + тП смещены в сторону от центрального максимума частотной характеристики на резонансной частоте «покоящейся» сферы (ввиду комплексности коэффициента распространения кт (12)). Это происходит вследствие тепловых потерь и уменьшения длины волны в диэлектрике. Величина этого смещения для заданных частот вращения П и возбуждаемого сторонним источником ЭМ-поля, ш 0, определяется тангенсом угла тепловых потерь (рис. 5,а) и самой частотой возбуждаемого во вращающемся резонаторе ЭМ-поля (рис. 5,б) и проиллюстрирована соответствующими зависимостями на рис. 5. Максимумы приведенных на рис. 5 кривых соответствуют значению частоты вращения, выше которого начинается разделение максимумов частотной характеристики, соответствующих резонансным частотам «вращения» и «покоя» вращающегося сферического резонатора.
а
Таким образом, тепловые потери на нагревание диэлектрика, описываемые тангенсом угла потерь, определяют форму частотной характеристики вращающегося резонатора при заданных частоте вращения П и частоте возбуждаемого ЭМ-поля с0. Именно от Ьд Д зависит степень разделения резонансных частот «покоя» и «вращения», величина смещения максимумов частотной характеристики, соответствующих резонансным частотам «вращающегося» резонатора, и ширина резонанса Д с 0.
Щгай/з] О, [гаа/5]
а б
Рис. 5. Зависимость относительного смещения собственных резонансных частот вращающегося сферического резонатора от параметров заполняющего его материала (а) и частоты возбуждаемого в нем ЭМ-поля (б), вычисленная как
отношение смещения собственной резонансной частоты, обусловленного тепловыми потерями, Л с, к частоте вращения резонатора П. Прочие условия расчетов аналогичны условиям для рис. 1
Другой параметр, характеризирующий диэлектрические свойства материала, диэлектрическая проницаемость, е, в свою очередь, определяет размер резонатора, а, необходимый для возбуждения в нем колебания определенного типа N (13). При этом, использование материалов с высокой относительной диэлектрической проницаемостью позволяет возбуждать колебания заданного типа при частоте возбуждаемого ЭМ-поля в резонаторе с меньшим радиусом (рис. 6).
- ^=2л-10-10э[га^®] ^,=2л'15-109[гаЛз] -л^=2-тт-20 109[гас)/5]
........
----- ^=2-7г50Ю9[гай/Б] — ЦЙ-П'ЮО■ю8[г«1/1].;
...............
0 8 10
Ег
Рис. 6. Зависимость радиуса резонатора от параметров заполняющего его диэлектрика при разных частотах возбуждаемого ЭМ-поля. Условия расчетов аналогичны условиям для рис. 1
По частотным характеристикам (рис. 1) определяется добротность резонатора как отношение резонансной частоты «покоящегося» резонатора к ширине резонансной кривой Дс0 по уровню половинной мощности: (( = с0 /Дс0. Согласно рис. 1 и 2, добротность резонатора, как и Дс 0, определяется тепловыми потерями диэлектрика и уменьшается с ростом . Так, например, для обеспечения сравни-
тельно высокой добротности порядка <2 > 1 0 4 следует заполнять резонатор диэлектриком со значением тангенс угла тепловых потерь при возбуждении в резонаторе поля на частоте /0 = 1 0 ГГц (рис. 2,б). По рис. 2,б также можно определить значение частоты вращения, при которой наступает разделение максимумов частотной характеристики резонатора.
5. Измерение частоты вращения. Форма полученных частотных характеристик (рис. 1, 3, 7) дает возможность измерить скорость П вращения резонатора по его собственным резонансным частотам. Для этого необходимо измерить частотный интервал между двумя соседними резонансными частотами или частотный интервал между резонансными частотами типов колебаний (или ) и (или ) и разделить этот интервал на . При
этом точность измерения частоты вращения определяется точностью измерения максимума частотной характеристики, т.е. добротностью резонатора (рис. 2,б), а относительная величина смещения собственой резонансной
частоты вращающегося резонатора описывает погрешность метода измерения (рис. 5,а,б). Например, для резонатора, заполненного тефлоном, максимальная погрешность измерения частоты вращения составит 1 8 % (¿4 ш /П = 0 . 1 8 , рис. 5,а), уменьшаясь при этом до 3% и ниже на частотах вращения резонатора свыше 1 0 7 рад/с, а для резонатора с кристаллическим кварцем погрешность составит 11 % при частоте вращения 1 , 5 ■ 1 0 7 рад/с. Минимальная измеряемая частота вращения определяется шириной резонансной характеристики из условия и степенью разделения соседних резонансных частот «по-
коя» ш 0 и «вращения» ш 0 + П (рис. 2a, б) и зависит от материала, которым заполнен резонатор, увеличиваясь с увеличением тепловых потерь в этом материале (рис. 2,а). По графику зависимости отношения амплитуды максимума частотной характеристики на собственной резонансной частоте «вращения» резонатора к предшествующему ему минимуму характеристики на ин-
тервале от до можно определить минимальные и максимальные зна-
чения измеряемых частот. Так, если при и при частоте возбуждаемого
поля /0 = 1 0 ГГц задаться значениями описанного выше отношения от 0,8 до 0,2 как пороговыми и измеряемыми используемым датчиком, то диапазон измеряемых частот вращения в случае заполнения резонатора плавленым кварцем будет от П = 1 , 5 ■ 1 0 7 рад/с и до П = 1 ■ 1 0 8 рад/с (рис. 3,а). С ростом N распределение энергии по ширине частотной характеристики происходит таким образом, что максимумы характеристики при частотах, равных в разы меньше (рис. 6а) максимумов на других собственных резонансных частотах , , что может затруднить определение первых при измерении частоты вращения по расстоянию между частотами ш 0 — NП и ш 0 + NП. Более того, разрешение максимумов частотной характеристики на частотах , начинается при более высоких частотах вращения и низких значениях тангенса угла тепловых потерь, чем при N = 1 , (рис. 3а,б), что увеличивает минимальную измеряемую частоту вращения. Также неравномерное распределение энергии по максимумам частотной характеристики может стать причиной необнаружения последних, что повлечет за собой неправильное определение частот вращения. Например, на рис. 7 при максимум на резонансной частоте «покоя» отсутствует, а измерение частоты вращения по интервалу между соседними максимумами, в данном случае и , даст завышенное в два раза значение частоты вращения. Вышеперечисленное делает основной тип -колебания, предпочтительным для измерения частоты вращения.
1.0
0.8
| ^ | 0.6
I Ццп I та* 0.4 0.2 0.0- :
6.275 Х1010 6.280х Ю10 6.285 х Ю10 6.290ХЮ10 üj, [rad/sl
Рис. 7. Частотная характеристика для функции Маркова и%т(ш) при разных значениях N для резонатора, заполненного кристаллическим кварцем (а). Условия расчетов аналогичны условиям для рис. 1
Заключение. В статье поставлена и строго решена граничная задача возбуждения ЭМ-поля во вращающемся сферическом резонаторе, заполненном диэлектриком. При решении использованы ковариантные выражения для векторов ЭМ-поля. Рассчитаны частотные характеристики вращающегося резонатора, заполненного различными диэлектриками, и определены добротности резонатора. Последние (частотные характеристики) могут быть использованы для измерения частоты вращения резонатора и анализа точности данного измерения, которая (точность) определяется добротностью резонатора и величиной смещения его собственных резонансных частот вращения, определяемых тепловыми потерями в заполняющем резонатор диэлектрике. Показана возможность измерения частоты вращения резонатора по его частотной характеристике и возможные ограничения и погрешности предложенного метода. Применение электромагнитного поля радиочастотного диапазона для измерения частоты вращения позволяет повысить точность измерений и уменьшить размеры измерительных устройств. Сделан вывод о том, что для повышения точности измерения частоты вращения сферического резонатора, заполненного диэлектриком, и повышения его добротности следует выбирать материалы с малым значением тангенса угла тепловых потерь. При этом геометрические размеры резонатора можно уменьшить, используя диэлектрик с высокой относительной диэлектрической проницаемостью.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Armenise M.N., Ciminelli C., Dell'Olio F., Passaro V.M.N. Advances in Gyroscope Technologies. - Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH and Co. KG, 2014.
2. Dennehy N. Chapter 2. Vision for Micro Technology Space Missions // Technical Report. - NASA Goddard Space Flight Center, United States, 2005. - P. 40.
3. Armenise M.N., Ciminelli C., De Leonardis F., Diana R., Passaro V., Peluso F. Gyroscope technologies for space applications // 4th Round Table on Micro/Nano Technologies for Space, Noordwijk, 20-22 May 2003. - Noordwijk, 2003.
4. Herve Lefevre. Fiber-Optic Gyroscope, Second Edition. - Artech House Publishers, 2014.
5. Brand O., Schild S. Vibratory gyroscope utilizing a frequency-based measurement and providing a frequency output // US Patent Pub. No.: US 2012/0111120 A1. Pub. Date: May 10, 2012.
6. Sugibayashi H., Okano K. Vibrating gyroscope // US Patent Pub. No.: US 2009/0314084 A1. Pub. Date: Dec. 24, 2009.
7. Xin Zhou, Yu-lie Wu, Xue-Zhong Wu, Yong-Meng Zhang, Yu Zheng. A novel ring vibrating gyroscope based on side piezo-electrodes // Journal of Central South University. - March 2016. - Vol. 23, Issue 3. - P. 555-561.
8. Stephen C. Spry, Girard A.R. Gyroscopic Stabilization of Unstable Vehicles: Configurations, Dynamics, and Control // International Journal of Advanced Research in Engineering and Technology (IJARET) ELSEVIER USRG. - December 2014. - Vol. 5, Issue 12. - P. 48-54.
9. Dell'Olio F., Tatoli T., Ciminelli C., Armenise M.N. Recent advances in miniaturized optical gyroscopes // Journal of the European optical society. - Rapid publications, 2014. - Vol. 9.
10. Ciminelli C., Campanella C. E., Dell'Olio F., Campanella C.M., Armenise M.N. Theoretical investigation on the scale factor of a triple ring cavity to be used in frequency sensitive resonant gyroscopes // Journal of the European Optical Society. - Rapid Publications, 2013. - Vol. 8.
11. Simon Konge Koldbwk, Luminita-Cristiana Totu. Improving MEMS Gyroscope Performance using Homogeneous Sensor Fusion: Master's Thesis. - Aalborg University, Aalborg 0st, Denmark, May 2011. - P. 139.
12. АпостолюкВ.А. Динамика и погрешности микромеханических гироскопов: дис. ... докт. тех. наук. - Киев, 1999. - 159 с.
13. MEMS Gyroscope Patent Investigation Report // Yole Developpement. - 2013.
14. Hongwei Qu, Deyou Fang, Anwar Sadat, Peter Yuan, Huikai Xie. High-resolution Integrated Micro-gyroscope for Space Applications // The 41st Space Congress (April 27-30, 2004).
- Cape Canaveral, Florida, 2004.
15. Gersh J. Peck. Violet M.A. High-Agility Nanosatellite for Demonstrating Small Control-Moment Gyroscope Prototypes and Steering Laws // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Guidance, Navigation, and Control and Co-located Conferences. - 2009.
16. Seeger J., Lim M. and Nasiri S. Development of High-performance, High-volume Consumer MEMS Gyroscopes // Solid-State Sensors, Actuators and Microsystems Workshop. - 2010.
- P. 61-64.
17. Huiliang Cao, Hongsheng Li, Zhiwei Kou, Yunbo Shi, Jun Tang, Zongmin Ma, Chong Shen, Jun Liu. Optimization and Experimentation of Dual-Mass MEMS Gyroscope Quadrature Error Correction Methods // Optics and Precision Engineering. - 2016. - Vol. 24, No. 1. - P. 134-142.
18. Sipos M. Improvement of Inertial Navigation System Accuracy Using Alternative Sensors: doctoral thesis. - Czech Technical University in Prague - Prague, January 2015.
19. Jian Cheng Fang and Jie Qin. Advances in Atomic Gyroscopes: A View from Inertial Navigation Applications // Sensors. - 2012. - Vol. 12, Issue 5. - P. 6331-6346.
20. Choi Y.A., Rzoelle D.M. Inner-forcer milli-hemispherical resonator gyro // United States Patent Patent No.: US 7,839,059 B2. Date of Patent: Nov. 23, 2010.
21. Delgado A., Schleich W.P., Sussmann G. Quantum gyroscopes and Godel's universe: entanglement opens a new testing ground for cosmology // New Journal of Physics. - 2002. - Vol. 4, Issue 37.137.8.
22. Donley E.A. Nuclear Magnetic Resonance Gyroscopes // Conference Paper. IEEEXplore Conference: Sensors. - 2010. - P. 17-22.
23. Ledbetter M.P., Jensen K., Fischer R., Jarmola A., Budker D. Gyroscopes based on nitrogen-vacancy centers in diamond // Physical Reviews A. - 2012. - Vol. 86, Issue 5.
24. Петров Б.М. Резонансный способ измерение частоты вращения объекта и устройство, реализующее этот способ // Патент России № 2562149. 10 августа 2015.
25. Петров Б.М. Электромагнитные поля во вращающихся интерферометрах и гироскопах.
- М.: Горячая линия - Телеком, 2015. - С. 203-205.
26. Von Hippel A.R. Labounsky A.S. Dielectric Materials and Applications. - Artech House, 1995.
- 456 p.
REFERENCES
1. Armenise M.N., Ciminelli C., Dell'Olio F., Passaro V.M.N. Advances in Gyroscope Technologies. Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH and Co. KG, 2014.
2. Dennehy N. Chapter 2. Vision for Micro Technology Space Missions, Technical Report. NASA Goddard Space Flight Center, United States, 2005, pp. 40.
3. Armenise M.N., Ciminelli C., De Leonardis F., Diana R., Passaro V., Peluso F. Gyroscope technologies for space applications, 4th Round Table on Micro/Nano Technologies for Space, Noordwijk, 20-22 May 2003. Noordwijk, 2003.
4. Herve Lefevre. Fiber-Optic Gyroscope, Second Edition. Artech House Publishers, 2014.
5. Brand O., Schild S. Vibratory gyroscope utilizing a frequency-based measurement and providing a frequency output, US Patent Pub. No.: US 2012/0111120 A1. Pub. Date: May 10, 2012.
6. Sugibayashi H., Okano K. Vibrating gyroscope, US Patent Pub. No.: US 2009/0314084 A1. Pub. Date: Dec. 24, 2009.
7. Xin Zhou, Yu-lie Wu, Xue-Zhong Wu, Yong-Meng Zhang, Yu Zheng. A novel ring vibrating gyroscope based on side piezo-electrodes, Journal of Central South University, March 2016, Vol. 23, Issue 3, pp. 555-561.
8. Stephen C. Spry, Girard A.R. Gyroscopic Stabilization of Unstable Vehicles: Configurations, Dynamics, and Control, International Journal of Advanced Research in Engineering and Technology (IJARET) ELSEVIER USRG, December 2014, Vol. 5, Issue 12, pp. 48-54.
9. Dell'Olio F., Tatoli T., Ciminelli C., Armenise M.N. Recent advances in miniaturized optical gyroscopes, Journal of the European optical society. Rapid publications, 2014, Vol. 9.
10. Ciminelli C., Campanella C. E., Dell'Olio F., Campanella C.M., Armenise M.N. Theoretical investigation on the scale factor of a triple ring cavity to be used in frequency sensitive resonant gyroscopes // Journal of the European Optical Society. Rapid Publications, 2013, Vol. 8.
11. Simon Konge Koldbwk, Luminita-Cristiana Totu. Improving MEMS Gyroscope Performance using Homogeneous Sensor Fusion: Master's Thesis. Aalborg University, Aalborg 0st, Denmark, May 2011, pp. 139.
12. Apostolyuk V.A. Dinamika i pogreshnosti mikromekhanicheskikh giroskopov: dis. dokt. tekh. nauk [Dynamics and errors of micromechanical gyroscopes. Dr. of dr. eng. sc. diss]. Kiev, 1999, 159 p.
13. MEMS Gyroscope Patent Investigation Report, Yole Developpement, 2013.
14. Hongwei Qu, Deyou Fang, Anwar Sadat, Peter Yuan, Huikai Xie. High-resolution Integrated Micro-gyroscope for Space Applications, The 41s'Space Congress (April 27-30, 2004). - Cape Canaveral, Florida, 2004.
15. Gersh J. Peck. Violet M.A. High-Agility Nanosatellite for Demonstrating Small Control-Moment Gyroscope Prototypes and Steering Laws, AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Guidance, Navigation, and Control and Co-located Conferences, 2009.
16. Seeger J., Lim M. and Nasiri S. Development of High-performance, High-volume Consumer MEMS Gyroscopes, Solid-State Sensors, Actuators and Microsystems Workshop, 2010, pp. 61-64.
17. Huiliang Cao, Hongsheng Li, Zhiwei Kou, Yunbo Shi, Jun Tang, Zongmin Ma, Chong Shen, Jun Liu. Optimization and Experimentation of Dual-Mass MEMS Gyroscope Quadrature Error Correction Methods, Optics and Precision Engineering, 2016, Vol. 24, No. 1, pp. 134-142.
18. Sipos M. Improvement of Inertial Navigation System Accuracy Using Alternative Sensors: doctoral thesis. Czech Technical University in Prague - Prague, January 2015.
19. Jian Cheng Fang and Jie Qin. Advances in Atomic Gyroscopes: A View from Inertial Navigation Applications, Sensors, 2012, Vol. 12, Issue 5, pp. 6331-6346.
20. Choi Y.A., Rzoelle D.M. Inner-forcer milli-hemispherical resonator gyro, United States Patent Patent No.: US 7,839,059 B2. Date of Patent: Nov. 23, 2010.
21. Delgado A., Schleich W.P., Sussmann G. Quantum gyroscopes and Godel's universe: entanglement opens a new testing ground for cosmology, New Journal of Physics, 2002, Vol. 4, Issue 37.137.8.
22. Donley E.A. Nuclear Magnetic Resonance Gyroscopes, Conference Paper. IEEEXplore Conference: Sensors, 2010, pp. 17-22.
23. Ledbetter M.P., Jensen K., Fischer R., Jarmola A., Budker D. Gyroscopes based on nitrogen-vacancy centers in diamond, Physical Reviews A, 2012, Vol. 86, Issue 5.
24. Petrov B.M. Rezonansnyy sposob izmerenie chastoty vrashcheniya ob"ekta i ustroystvo, realizuyushchee etot sposob [Resonance method measuring the frequency of rotation of the object and a device realizing this method]. Patent RF No. 2562149. 10 august 2015.
25. Petrov B.M. Elektromagnitnye polya vo vrashchayushchikhsya interferometrakh i giroskopakh [The electromagnetic field in rotating interferometers and gyroscopes]. Moscow: Goryachaya liniya - Telekom, 2015, pp. 203-205.
26. Von HippelA.R. LabounskyA.S. Dielectric Materials and Applications. Artech House, 1995, 456 p.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Б.Д. Мануйлов.
Петров Борис Михайлович - Южный федеральный университет; e-mail: bmpetrov@sfedu.ru; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; кафедра антенн и радиопередающих устройств; заслуженный деятель науки РФ; д.т.н.; профессор.
Титова Дарья Евгеньевна - e-mail: daria.titova1@gmail.com; 347922, г. Таганрог, ул. Петровская, 17, ком. 207/3; тел.: +79094408014; кафедра антенн и радиопередающих устройств; аспирант.
Petrov Boris Mikhaylovich - Southern Federal University; e-mail: bmpetrov@sfedu.ru; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; the department of antennas and radio transmitting devices; Honoured worker of science; dr. of eng. sc.; professor.
Titova Dar'ya Evgen'evna - e-mail: daria.titova1@gmail.com; 17, Petrovskaya street, room 207/3, Taganrog, 347922, Russia; phone: +79094408014the department of antennas and radio transmitting devices; postgraduate student.
