Научная статья на тему 'Влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа'

Влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
408
160
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВОЛНОВОЙ ТВЕРДОТЕЛЬНЫЙ ГИРОСКОП / РЕЗОНАНС / НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ / ПОГРЕШНОСТЬ ГИРОСКОПА / ТОЧНОСТЬ / МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Астахов Сергей Владимирович, Меркурьев Игорь Владимирович, Подалков Валерий Владимирович

Рассматриваются нелинейные эффекты волнового твердотельного гироскопа с резонатором в виде тонкой упругой оболочки вращения. Построена математическая модель свободных и вынужденных колебаний тонкого упругого резонатора, учитывающая влияние нелинейной упругости конструкционного материала. При помощи метода усреднения Крылова − Боголюбова исследована динамика резонатора в медленных переменных, измеряемых электронным контуром прибора. Показано, что нелинейные упругие свойства материала резонатора приводят к дополнительным погрешностям гироскопа, возникновению неустойчивых ветвей резонансных кривых и срыву колебаний

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Астахов Сергей Владимирович, Меркурьев Игорь Владимирович, Подалков Валерий Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE INFLUENCE OF NONLINEAR ELASTIC PROPERTIES OF STRUCTURAL MATERIAL ON THE DYNAMICS OF WAVE SOLID-STATE GYROSCOPES

The present paper studies the influence of nonlinear elastic properties of structural material on the dynamics of wave solidstate gyroscopes. The resonator is manufactured as a thin elastic hemispherical shell, which is mounted on a mobile basis. It is assumed that the elastic properties of the cavity material are nonlinear and obey Hooke's law. We obtained quasi-linear timedependent system of differential equations, which describe the fluctuations of the sensor by two generalized coordinates. The study of this system is conducted in a quasi-linear formulation of the small-parameter method of Krylov − Bogolyubov. It is shown that the nonlinear elasticity properties of the resonator leads to the precession of the wave pattern of the resonator and introduces an additional error in the instrument.

Текст научной работы на тему «Влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 47-49

УДК 531.383

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СВОЙСТВ РЕЗОНАТОРА НА ДИНАМИКУ ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА

© 2011 г. С.В. Астахов, И.В. Меркурьев, В.В. Подалков

Московский энергетический институт (технический университет)

Merkury evIV @y andex. ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассматриваются нелинейные эффекты волнового твердотельного гироскопа с резонатором в виде тонкой упругой оболочки вращения. Построена математическая модель свободных и вынужденных колебаний тонкого упругого резонатора, учитывающая влияние нелинейной упругости конструкционного материала. При помощи метода усреднения Крылова - Боголюбова исследована динамика резонатора в медленных переменных, измеряемых электронным контуром прибора. Показано, что нелинейные упругие свойства материала резонатора приводят к дополнительным погрешностям гироскопа, возникновению неустойчивых ветвей резонансных кривых и срыву колебаний.

Ключевые слова: волновой твердотельный гироскоп, резонанс, нелинейные колебания, погрешность гироскопа, точность, метод малого параметра.

Введение

Волновой твердотельный гироскоп (ВТГ) является одним из перспективных датчиков инерциальной информации, применяемых в составе навигационных систем подвижных объектов. В основе функционирования ВТГ лежит физический принцип, заключающийся в инертных свойствах упругих волн в осесимметричном твердом теле [1, 2]. Чувствительным элементом ВТГ является тонкий упругий осесимметричный резонатор, изготовленный из материала, обладающего малым коэффициентом потерь при колебаниях.

Основы теории волновых гироскопов были заложены в работе [2], исследование погрешностей таких гироскопов с различными формами колеблющегося резонатора выполнено в [3-6]. Было показано, что погрешности изготовления резонатора (переменная плотность, толщина, анизотропия упругих свойств материала и др.), нелинейность колебаний резонатора, изученная в [3, 5, 6], вызывают раздвоение собственной частоты изгибных колебаний, которое отражается на волновой картине колебаний резонатора и характеризует точность гироскопа.

Постановка задачи

Математические модели волновых твердотельных гироскопов используют различные уравнения теории распределенных упругих сис-

тем — оболочек и колец [3, 7, 8]. Линейная теория оболочек основана на допущении о бесконечной малости перемещений точек тела и линейной зависимости между напряжениями и деформациями тела. Как показано в [7], в основе закона Гука, выражающего в общей форме для любой точки тела связь между напряжениями и деформациями, лежат два различных процесса линеаризации, названные геометрической и физической линеаризацией.

С помощью линейной теории с достаточной точностью определяются основные характеристики колебательной системы: частота изгибных колебаний, масштабный коэффициент гироскопа и др. Однако в рамках линейной теории невозможно объяснить явления, наблюдаемые в ходе эксперимента: срыв колебаний, зависимость частоты колебаний от амплитуды колебаний, уходы гироскопа, вызванные малым расщеплением частоты колебаний.

Эти явления присущи нелинейным системам и могут быть объяснены дополнительными слагаемыми в модели движения, учитывающими конечные (нелинейные) деформации геометрической природы или нелинейную зависимость напряжений и деформаций тела от физических свойств конструкционного материала.

При выводе уравнений движения тонкого упругого резонатора учитывается физическая нелинейность упругих свойств материала. Влияние геометрической нелинейности колебаний резонатора исследовано в [3, 6].

Предполагается, что резонатор в виде оболочки вращения ограничен двумя параллелями или имеет форму купола. Условия на краях оболочки линейные и однородные. В этих предположениях задача исследования свободных колебаний резонатора допускает применение метода разделения переменных и сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вектор перемещения ик элемента резонатора представим в одномодовом приближении:

и* = и^ 5, Р)/() + и[2)( 5, Р) g(t),

где к — номер основной формы колебаний; /(О, g(t) — искомые функции времени; и *) (j = 1, 2) — функции, имеющие для осесимметричного резонатора следующий вид:

и(к1}=||ик(5)008кр, V*(5)8Іпкр, -Жк(5)008кр||г, и к2=||- ик (5)8Іп кр, Ук (5)оо8 кр, Жк (5)оо8кр||г,

где ик (5), Ук (5), Ж* (5) — собственные формы свободных колебаний резонатора.

При вычислении потенциальной энергии упругой деформации тонкой оболочки вращения использованы нелинейные соотношения между напряжениями и деформациями элемента оболочки [7]. При этом в предположении малости колебаний резонатора использованы линейные выражения для деформации.

В результате вычислений получены нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие в одномодовом приближении изгибные колебания резонатора:

/ + / = -/ + vg +£(/2 + g2)/ + п0 008 ЦТ,

2 2 (1) g + g = -^-vg + £(/ + g )g,

где у — нормализованный коэффициент демпфирования; V — безразмерная угловая скорость основания гироскопа; £ — параметр, характеризующий нелинейную упругость материала резонатора; и0 — безразмерный параметр, характеризующий величину электрических сил, действующих на резонатор; ц — нормализованная частота мягкого резонансного возбуждения колебаний резонатора, точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени т.

Заключение

Для исследования дифференциальных уравнений движения (1) в условиях медленного изменения параметров системы применены асимптотические методы осреднения. Получены дифференциальные уравнения для волновой картины колебаний резонатора в различных наборах медленных переменных [9]. Показано, что частота

колебаний основной формы зависит от квадрата амплитуды колебаний и пропорциональна параметру, характеризующему нелинейные упругие свойства материала резонатора. Основное влияние нелинейные упругие свойства конструкционного материала оказывают на медленную прецессию волновой картины колебаний, характеризующую точность гироскопа.

Построены амплитудно-частотные характеристики стационарных колебаний резонатора ВТГ, позволяющие объяснить явления срыва ко -лебаний резонатора и установить влияние нелинейных слагаемых в модели движения на точ -ность гироскопа в режиме датчика угловой скорости и в интегрирующем режиме. Найдена зависимость амплитуд и фаз стационарных колебаний чувствительного элемента от параметров системы, построены области устойчивости стационарных режимов колебаний в пространстве параметров системы. Показано, что нелинейные упругие свойства материала резонатора приводят к дополнительным погрешностям гироскопа, возникновению неустойчивых ветвей резонансных кривых и срыву колебаний. Предложена методика идентификации параметров системы по измерениям медленных переменных в режиме свободных и вынужденных колебаний, опробованная на стендовых испытаниях опытных образцов гироскопов. Предложены алгоритмы измерения угловой скорости основания и настройки частоты внешнего воздействия, обеспечивающие увеличение полосы пропускания и повышение точности гироскопа.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 09-01-00756-а).

Список литературы

1. Bryan G.H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell // Proc. Camb. Phil. Soc. Math. Phys Sci. 1890 V. 7. P 101-111.

2. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамических эффектах в упругом вращающемся кольце // Изв. АН СССР МТТ 1983. №5. С.17-24.

3. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. 125 с.

4. Журавлев В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) // Изв. РАН. МТТ. 1993. №3. С. 15-26.

5. Мартыненко Ю.Г., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Управление нелинейными колебаниями вибрационного кольцевого микрогироскопа // Изв. РАН. МТТ. 2008. №3. С. 77-89.

6. Меркурьев И. В., Подалков В. В. Динамика волнового твердотельного и микромеханических гироскопов. М.: Физматлит, 2009. 228 с.

7. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд-во

иностр. лит., 1961. 777 с. 9. Журавлев В.Ф. О глобальных эволюциях сос-

8. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: тояния обобщенного маятника Фуко // Изв. РАН. МТТ.

Стройиздат, 1987. 384 с. 1998. № 6. С. 5-11.

THE INFLUENCE OF NONLINEAR ELASTIC PROPERTIES OF STRUCTURAL MATERIAL ON THE DYNAMICS OF WAVE SOLID-STATE GYROSCOPES

S. V Astakhov, I. V. Merkuriev, V.V Podalkov

The present paper studies the influence of nonlinear elastic properties of structural material on the dynamics of wave solid-state gyroscopes. The resonator is manufactured as a thin elastic hemispherical shell, which is mounted on a mobile basis. It is assumed that the elastic properties of the cavity material are nonlinear and obey Hooke's law. We obtained quasi-linear time-dependent system of differential equations, which describe the fluctuations of the sensor by two generalized coordinates. The study of this system is conducted in a quasi-linear formulation of the small-parameter method of Krylov - Bogolyubov. It is shown that the nonlinear elasticity properties of the resonator leads to the precession of the wave pattern of the resonator and introduces an additional error in the instrument.

Keywords: wave solid-state gyroscope, resonance, nonlinear oscillations, the error of the gyroscope, the accuracy of the method of small parameter.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.