Влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 47-49

УДК 531.383

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СВОЙСТВ РЕЗОНАТОРА НА ДИНАМИКУ ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА

© 2011 г. С.В. Астахов, И.В. Меркурьев, В.В. Подалков

Московский энергетический институт (технический университет)

Merkury evIV @y andex. ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассматриваются нелинейные эффекты волнового твердотельного гироскопа с резонатором в виде тонкой упругой оболочки вращения. Построена математическая модель свободных и вынужденных колебаний тонкого упругого резонатора, учитывающая влияние нелинейной упругости конструкционного материала. При помощи метода усреднения Крылова - Боголюбова исследована динамика резонатора в медленных переменных, измеряемых электронным контуром прибора. Показано, что нелинейные упругие свойства материала резонатора приводят к дополнительным погрешностям гироскопа, возникновению неустойчивых ветвей резонансных кривых и срыву колебаний.

Ключевые слова: волновой твердотельный гироскоп, резонанс, нелинейные колебания, погрешность гироскопа, точность, метод малого параметра.

Введение

Волновой твердотельный гироскоп (ВТГ) является одним из перспективных датчиков инерциальной информации, применяемых в составе навигационных систем подвижных объектов. В основе функционирования ВТГ лежит физический принцип, заключающийся в инертных свойствах упругих волн в осесимметричном твердом теле [1, 2]. Чувствительным элементом ВТГ является тонкий упругий осесимметричный резонатор, изготовленный из материала, обладающего малым коэффициентом потерь при колебаниях.

Основы теории волновых гироскопов были заложены в работе [2], исследование погрешностей таких гироскопов с различными формами колеблющегося резонатора выполнено в [3-6]. Было показано, что погрешности изготовления резонатора (переменная плотность, толщина, анизотропия упругих свойств материала и др.), нелинейность колебаний резонатора, изученная в [3, 5, 6], вызывают раздвоение собственной частоты изгибных колебаний, которое отражается на волновой картине колебаний резонатора и характеризует точность гироскопа.

Постановка задачи

Математические модели волновых твердотельных гироскопов используют различные уравнения теории распределенных упругих сис-

тем — оболочек и колец [3, 7, 8]. Линейная теория оболочек основана на допущении о бесконечной малости перемещений точек тела и линейной зависимости между напряжениями и деформациями тела. Как показано в [7], в основе закона Гука, выражающего в общей форме для любой точки тела связь между напряжениями и деформациями, лежат два различных процесса линеаризации, названные геометрической и физической линеаризацией.

С помощью линейной теории с достаточной точностью определяются основные характеристики колебательной системы: частота изгибных колебаний, масштабный коэффициент гироскопа и др. Однако в рамках линейной теории невозможно объяснить явления, наблюдаемые в ходе эксперимента: срыв колебаний, зависимость частоты колебаний от амплитуды колебаний, уходы гироскопа, вызванные малым расщеплением частоты колебаний.

Эти явления присущи нелинейным системам и могут быть объяснены дополнительными слагаемыми в модели движения, учитывающими конечные (нелинейные) деформации геометрической природы или нелинейную зависимость напряжений и деформаций тела от физических свойств конструкционного материала.

При выводе уравнений движения тонкого упругого резонатора учитывается физическая нелинейность упругих свойств материала. Влияние геометрической нелинейности колебаний резонатора исследовано в [3, 6].

Предполагается, что резонатор в виде оболочки вращения ограничен двумя параллелями или имеет форму купола. Условия на краях оболочки линейные и однородные. В этих предположениях задача исследования свободных колебаний резонатора допускает применение метода разделения переменных и сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вектор перемещения ик элемента резонатора представим в одномодовом приближении:

и* = и^ 5, Р)/() + и[2)( 5, Р) g(t),

где к — номер основной формы колебаний; /(О, g(t) — искомые функции времени; и *) (j = 1, 2) — функции, имеющие для осесимметричного резонатора следующий вид:

и(к1}=||ик(5)008кр, V*(5)8Іпкр, -Жк(5)008кр||г, и к2=||- ик (5)8Іп кр, Ук (5)оо8 кр, Жк (5)оо8кр||г,

где ик (5), Ук (5), Ж* (5) — собственные формы свободных колебаний резонатора.

При вычислении потенциальной энергии упругой деформации тонкой оболочки вращения использованы нелинейные соотношения между напряжениями и деформациями элемента оболочки [7]. При этом в предположении малости колебаний резонатора использованы линейные выражения для деформации.

В результате вычислений получены нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие в одномодовом приближении изгибные колебания резонатора:

/ + / = -/ + vg +£(/2 + g2)/ + п0 008 ЦТ,

2 2 (1) g + g = -^-vg + £(/ + g )g,

где у — нормализованный коэффициент демпфирования; V — безразмерная угловая скорость основания гироскопа; £ — параметр, характеризующий нелинейную упругость материала резонатора; и0 — безразмерный параметр, характеризующий величину электрических сил, действующих на резонатор; ц — нормализованная частота мягкого резонансного возбуждения колебаний резонатора, точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени т.

Заключение

Для исследования дифференциальных уравнений движения (1) в условиях медленного изменения параметров системы применены асимптотические методы осреднения. Получены дифференциальные уравнения для волновой картины колебаний резонатора в различных наборах медленных переменных [9]. Показано, что частота

колебаний основной формы зависит от квадрата амплитуды колебаний и пропорциональна параметру, характеризующему нелинейные упругие свойства материала резонатора. Основное влияние нелинейные упругие свойства конструкционного материала оказывают на медленную прецессию волновой картины колебаний, характеризующую точность гироскопа.

Построены амплитудно-частотные характеристики стационарных колебаний резонатора ВТГ, позволяющие объяснить явления срыва ко -лебаний резонатора и установить влияние нелинейных слагаемых в модели движения на точ -ность гироскопа в режиме датчика угловой скорости и в интегрирующем режиме. Найдена зависимость амплитуд и фаз стационарных колебаний чувствительного элемента от параметров системы, построены области устойчивости стационарных режимов колебаний в пространстве параметров системы. Показано, что нелинейные упругие свойства материала резонатора приводят к дополнительным погрешностям гироскопа, возникновению неустойчивых ветвей резонансных кривых и срыву колебаний. Предложена методика идентификации параметров системы по измерениям медленных переменных в режиме свободных и вынужденных колебаний, опробованная на стендовых испытаниях опытных образцов гироскопов. Предложены алгоритмы измерения угловой скорости основания и настройки частоты внешнего воздействия, обеспечивающие увеличение полосы пропускания и повышение точности гироскопа.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 09-01-00756-а).

Список литературы

1. Bryan G.H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell // Proc. Camb. Phil. Soc. Math. Phys Sci. 1890 V. 7. P 101-111.

2. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамических эффектах в упругом вращающемся кольце // Изв. АН СССР МТТ 1983. №5. С.17-24.

3. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. 125 с.

4. Журавлев В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) // Изв. РАН. МТТ. 1993. №3. С. 15-26.

5. Мартыненко Ю.Г., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Управление нелинейными колебаниями вибрационного кольцевого микрогироскопа // Изв. РАН. МТТ. 2008. №3. С. 77-89.

6. Меркурьев И. В., Подалков В. В. Динамика волнового твердотельного и микромеханических гироскопов. М.: Физматлит, 2009. 228 с.

7. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд-во

иностр. лит., 1961. 777 с. 9. Журавлев В.Ф. О глобальных эволюциях сос-

8. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: тояния обобщенного маятника Фуко // Изв. РАН. МТТ.

Стройиздат, 1987. 384 с. 1998. № 6. С. 5-11.

THE INFLUENCE OF NONLINEAR ELASTIC PROPERTIES OF STRUCTURAL MATERIAL ON THE DYNAMICS OF WAVE SOLID-STATE GYROSCOPES

S. V Astakhov, I. V. Merkuriev, V.V Podalkov

The present paper studies the influence of nonlinear elastic properties of structural material on the dynamics of wave solid-state gyroscopes. The resonator is manufactured as a thin elastic hemispherical shell, which is mounted on a mobile basis. It is assumed that the elastic properties of the cavity material are nonlinear and obey Hooke's law. We obtained quasi-linear time-dependent system of differential equations, which describe the fluctuations of the sensor by two generalized coordinates. The study of this system is conducted in a quasi-linear formulation of the small-parameter method of Krylov - Bogolyubov. It is shown that the nonlinear elasticity properties of the resonator leads to the precession of the wave pattern of the resonator and introduces an additional error in the instrument.

Keywords: wave solid-state gyroscope, resonance, nonlinear oscillations, the error of the gyroscope, the accuracy of the method of small parameter.