CC BY
29
DOI: 10.18698/0236-3933-2016-2-91-102
УДК 535.14
ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КОЛЬЦЕВОГО ГИРОМЕТРА В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В.Ф. Судаков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: vvffss@inbox.ru
Рассмотрен кольцевой оптический резонатор на вращающемся основании с учетом обратного отражения распространяющихся в нем бегущих волн. Предложена модель резонатора с учетом указанных факторов. Исследование сведено к решению спектральной задачи, порождаемой уравнениями этой модели. Получены выражения для собственных частот и мод (собственных колебаний). Показано, что разность собственных частот функционально зависит от угловой скорости вращения резонатора, т.е. является частотной характеристикой кольцевого гирометра. Эта характеристика сохраняет основные особенности частотной характеристики реального лазерного гирометра: имеет зону нечувствительности и характерную зависимость вне ее. Это позволяет рассчитанную в статье частотную характеристику считать приемлемым линейным приближением частотной характеристики реального (нелинейного) гирометра. Показано, что моды кольцевого резонатора с обратным рассеянием бегущими волнами не являются. На каждой собственной частоте существует смешанная волна. Выполнен расчет таких волн. Приведен график частотной характеристики, построенный на компьютере.
Ключевые слова: лазерный гирометр, кольцевой резонатор, связь волн, собственные частоты, собственные типы колебаний, зона захвата.
THE FREQUENCY RESPONSE OF THE RING GYROMETER IN THE LINEAR APPROXIMATION
V.F. Sudakov
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: vvffss@inbox.ru
We consider an optical ring resonator on a rotating basis taking into account the back reflection of the traveling waves propagated in it, and offer a model of the resonator including all of the above factors. Within the study we solve the spectral problem generated by the equations of this model, and obtain the expressions for the natural frequencies and modes (natural vibrations). The findings of the research illustrate that the difference of the natural frequencies functionally depends on the angular rotation velocity of the resonator, i.e. it is the frequency response of the ring gyrometer. This feature preserves the main features of the frequency characteristics of the real laser gyrometer: has a dead band and a characteristic dependence outside of it. It enables us to consider the frequency response calculated within the research to be an acceptable linear approximation of the frequency response of the real (nonlinear) gyrometer. Consequently, we conclude that that the modes of the ring resonator with backscattering are not the traveling waves, and on each of the natural frequencies there is a mixed wave. As a result, we make the calculation of such waves and build the computer graph of the frequency response.
Keywords: laser gyrometer, ring resonator, wave coupling, natural frequency, natural vibrations, capture zone.
Постановка задачи. Под лазерным гирометром (ЛГ) понимают лазер с кольцевым резонатором, в котором обеспечен режим генерации двух встречно распространяющихся волн и имеется система выделения и индикации разности частот этих волн. Требования к режиму генерации в ЛГ достаточно жесткие. Прежде всего, должны быть сведены к минимуму конкуренция встречно распространяющихся волн, частотная нестабильность волн (как естественного, так и технического происхождения), связь волн через обратное рассеяние на неоднород-ностях, многомодовость и т.д. Выполнение этих требований вызывает определенные трудности при разработке ЛГ. Но если они преодолены, то ЛГ является измерительным преобразователем, так как измеренная разность частот Аш встречных волн функционально (т.е. известным образом) связана с угловой скоростью П вращения ЛГ. Линейная функциональная зависимость Аш = КП при известном коэффициенте преобразования — это недостижимый идеал. Реально можно рассчитывать только на относительно известную зависимость Аш = / (П), которая называется частотной (или рабочей) характеристикой ЛГ. Получение этой характеристики в аналитическом виде с учетом основных физических процессов в ЛГ представляет собой трудную задачу, которая может быть решена только приближенно. С различных позиций и в различном приближении это было сделано во многих работах [1-4]. Эти работы являются фундаментом различных обобщений задачи о частотной характеристике ЛГ и в настоящее время. Обратим, однако, внимание на одно существенное обстоятельство: чем качественнее выполнен ЛГ как измерительный преобразователь, тем в меньшей степени на частотную характеристику должны влиять специфические особенности активного вещества. Другими словами, есть основания считать, что частотную характеристику можно рассчитать, решая задачу в линейном приближении, т.е. вообще игнорируя процесс генерации. Именно так ставится вопрос в настоящей статье. Мы хотим получить частотную характеристику со всеми ее основными особенностями, исходя только из спектральных свойств кольцевого резонатора (КР). Сложность этой задачи вытекает из одной важной особенности КР: при отсутствии вращения спектр его собственных частот вырожден (достаточно подробно об этом указано, например, в работе [5]). Вращение есть возмущение, и оно должно снять вырождение, т.е. должна появиться Аш. Однако вращение есть возмущение специфического типа, и обычная теория возмущения вырожденного спектра не работает. Необходим другой подход. Он и будет изложен далее в аналитическом виде Аш = / (П). Соответствующая формула — это линейное приближение к истинной частотной характеристике, поскольку она не учитывает нелинейных эффектов генерации. Все приведенное ранее поясняет, в каком смысле надо понимать термин "частотная характеристика кольцевого гирометра" (а не ЛГ).
Идеальный кольцевой резонатор на вращающемся основании.
Кольцевой резонатор — это открытый оптический резонатор, образованный несколькими отражателями (зеркалами, призмами полного внутреннего отражения), которые формируют пространственное распределение собственных типов колебаний (мод). Идеальный (однородный) КР не имеет обратного рассеяния волн, т.е. волны в таком КР не связаны. Высокодобротные моды КР иП± (х,у,г) имеют достаточно разреженный спектр частот, и в хорошем приближении их можно считать плоскими волнами: (^) = иП±)в±гкп2. Волновые числа таких волн не зависят от направления их распространения и эквидистант-2п
ны: кп = — п (Ь — периметр КР). Здесь использованы периодические ь
граничные условия на периметре КР. Учтем, что превышение усиления активного вещества над уровнем потерь в КГ берется предельно малым, чтобы обеспечить селекцию спектра, т.е. реально в спектре
2п 2п
остается только кП0 = — п0 = —, где Ло — длина волны генериру-
Ь Ло
ющего лазерного перехода. Это означает, что в генерации участвуют только две волны. Колебания в модах гармонические.
Если идеальный КР неподвижен, то частоты в обеих волнах одинаковы и равны шп0 = с0кП0, где с0 — фазовая скорость обеих волн, равная скорости света. Уравнение КР в этом случае может быть записано так
Т К иП0) 0.
dz2
Если идеальный КР вращается с постоянной скоростью, его уравнения изменяются:
Нц(±) ш(±)
Т ^ )=»• <1»
Здесь с±,шП±) — фазовые скорости распространения и частоты колебаний прямой и обратной волн. Волновые числа этих волн равны
к,„ = £ и не зависят от скорости вращения. Естественно, справед-
Л0
шпо ,
ливо дисперсионное уравнение-= кп0.
с±
Вращающийся КР можно рассматривать как неинерциальную систему отсчета Б, вращающуюся с постоянной угловой скоростью П относительно исходной неподвижной системы Б0. Постулат СТО1, эквивалентный справедливости преобразований Лоренца в Б, вообще говоря, неприменим. Однако под действием сил инерции, действующих в неинерциальной системе Б, эталоны длины и времени в этой
1СТО — специальная теория относительности.
системе неизбежно изменяются. Основное допущение, которое делается в ОТО2, заключается в том, что эти изменения эталонов (за счет сил инерции) точно такие же, как в инерциальной вспомогательной системе отсчета S', которая в данный момент времени связана с эталоном длины в S. Это значит, что ОТО постулирует справедливость преобразований Лоренца в локальном смысле. Справедливы также и отношения эталонов длин и времени [6]
di ,_ dt ,_
I = ^ ж = ^
Qr
В данном случае в = —, где r — фиксированный радиус на вра-
Со
щающемся диске, с0 — скорость света. Локальные эталоны длины dl0, dl и времени dt0, dt относятся соответственно к системам S0 и S.
Наблюдатель в So, пользуясь своим эталоном, получит расстояние между точками на вращающейся окружности r = const (т.е. в S), равным da0. Но это же расстояние, измеренное в S меньшим эталоном,
будет казаться большим da2 = | —. 0 |. Геометрия на вращаю)
щемся диске не будет евклидовой.
Фазовая скорость распространения плоской волны в S0 в среде без
2 da0
диэлектрика равна скорости света , т.е. С0 = —, где пространствен-
dt0
ный da0 и временной dt0 интервалы определены с помощью эталонов в S0. Если волна распространяется по кругу радиуса r, то единственной координатой на круге этого радиуса в S0 и S является угол. Связь между углами естественна: d,90 = d,9 + Qdt0, Q = ± |Q| (в зависимости от направления вращения подвижной системы). Сделаем некоторые преобразования
2 da2 (rd60)2 dt2 dt0
Перейдем в этой формуле к d6. Получим
с; = 0
dal (rde + rüdt0y
dtQ dtQ
Последнее выражение эквивалентно такому
r2dв2 = с0 (1 - в2) - 2Пг2(в(^. (2)
Введем интервал на круге в подвижной системе Б
7 2 Г2(в2
= гт^ • (3)
2ОТО — общая теория относительности.
Смещение волнового фронта в Б, наблюдаемое из Б0, складывается из переносного и относительного
с0аь0 = ^йс^ + ПОз .
относит переносн
Отсюда находим наблюдаемую из Б0 фазовую скорость относительного движения в Б
а/
= С0 - Пг = С0 (1 - в). (4)
и,Ь0
Введем в Б специальное (естественное) время [7] т такое, чтобы измеренная в нем фазовая скорость волны была равна скорости света
с? = ^ ■ (5)
Используя в (5) выражения (2), (3), нетрудно получить
г2ав2 1
¿т2 = с? (1-в2) = с? (1 __ в2) [с0 (1 - в2) ^ - Ыг-чещ =
" Пт2йв '
= dt0
1 - 2
c0 (1 - ß2) dt0.
или приближенно при |в | ^ 1
Qr2dd
dr ~ dt0
1
c0 (1 - в2) dto
ttr2d6
= dto - С|(Г-в)• (6)
Фазовая скорость волны в Б, отнесенная к естественным этало-
й/
нам, есть с = —, где й/ — естественный интервал длины в Б. Как
ат
_
указывалось ранее, —— = \/1 - в2. Используем это отношение, а так-
й/0
й/
же формулы (5), (6) для вычисления скорости с = — в естественных
йт
пространственно-временных координатах:
c
= d = ^ = ívT-Я (С (1 - в)) 1 - ^
2 d<9 4-1
dr dl0 dt0 dr V / \ co (1 — в2)
.__/ Q2 r2 \-1
= /Т^Со (1 — в)(l — .
Отсюда приближенно получим
c - /1 — в2Со (1 — в) (1 — в2) - Со (1 — в) ,
или
С± - Со (1 т|в|). (7)
Таким образом, найдены фазовые скорости волн, встречно распространяющихся во вращающейся системе отсчета. Среда распространения — свободное пространство (не учтено френелевское увлечение света), интервалы длины и времени взяты с учетом эталонов в неинер-циальной системе отсчета.
В известных работах (например [2, 4, 6]) описание вращающегося идеального КР проводилось как с позиций ОТО, так и феноменологически. Однако использованные построения в этих работах (хотя приближенно они также дали результат (6)) нельзя признать полностью корректными, так как остается неясным, о каких скоростях идет речь.
Здесь указано точно, что говорить надо о скоростях вида с = —.
-т
Авторами использованы известные построения ОТО (например, [7, 8]), однако осуществлена их адаптация применительно к рассматриваемой задаче. Именно этим объясняется, почему известная формула (7) не была взята без дополнительного обсуждения.
Уравнения (1) будем впредь связывать с эквивалентной им спектральной задачей: найти собственные функции и(±) и соответствующие им собственные частоты ш, удовлетворяющие системе:
-и(±) ш ( , Ч
—— т — и = 0 -г с±
и граничным условиям и(±) (0) = и(±) (Ь).
Кольцевой резонатор на вращающемся основании с рассеивающей неоднородностью. Модель такого резонатора будем представлять как спектральную задачу. Уравнения должны учитывать связь волн, поэтому запишем их как систему двух связанных уравнений второго порядка (по аналогии с [9])3:
-— + гк+и(+) = к-ш и(-)*, (8)
-г
-ии-) - гк_и(-) = к+ши(+)*. (9)
-г
Граничные условия периодического типа
и(±) (0) = и(±) (Ь). (10)
Неизвестная частота (спектральный параметр) введена через величины ш
к± = —• (11)
с±
Уравнения первого порядка позволяют наиболее естественным образом учесть взаимодействие волн встречного направления распространения. Комплексная величина ш — распределенный коэффициент
3— комплексно сопряженные с u(±).
связи волн. Он учитывает как связь через потери (ш = ш*), так и через неоднородность диэлектрика (—ш = ш*) [4]. Более детально выяснять происхождение связи при данном уровне приближения не имеет смысла.
Решать задачу (8)-(10) в исходном виде затруднительно, поэтому сделаем некоторые преобразования. Заменим систему уравнений (8), (9) системой
-и(+) - гк+и(+) = к-ши(-)*; (12)
dz du-
-г
Введем новые переменные
— ik-u(-)* = k+m*u(+). (13)
u(+) = и(+)eik0z. u(-) = U(-)e-ik0z, (14)
7 —0 7
где к0 = — = кп 0 — ранее введенное волновое число.
Со
В этих переменных система (8), (12) примет следующий вид:
(гко - гк+) и(+) - к-ши(-)* = 0; (15)
(гко - гк-) и(-)* - к+ш*и(+) = 0, (16)
Отсюда можно найти собственные значения спектрального параметра ш1, ш2 и соответствующие каждому их них и(-)*, и(+).
Будем искать собственные значения из условия обращения в нуль определителя:
гк0 - гк+ -к-ш -к+ш* гк0 - гк-
(17)
Учитывая (11), получаем из (16) уравнение для определения ш:
= (гко — ik+) (ik0 — ik-) — |m|2 k+k- = 0.
(1 + M2)-1 c+c-k2 — 2 (1 + M2)-1 ko" (-t+h) + ^ = 0.
Корни этого уравнения ш12 таковы:
|2\-1, ( С+ + С-
ui,2 = (1 + |m|2)-1 ho(±
± (1 + |m|2)-^ko2 ()2 — (1 + |m|2) k0-+--. (18)
В силу (7)
c + c c — c
ko( + 2 ) = ko—о = ^ k0 ( + 0 ) = k0-0|в|2 = ш0|в|2; |m|2 -+-- = |m|2 -0 f1 — |в |2).
Тогда получим (17) в следующем окончательном виде:
^1,2 = (1 + |m| )
2 4-1
1
|2 -|m|2 (1 -|в|2)
Частотная характеристика КР. Структура его мод. Частотная характеристика КР есть функциональная зависимость разности собственных частот резонатора с обратным рассеянием от угловой скорости вращения КР. Из (18) следует, что частотная характеристика такова (ввиду малости как в, так и коэффициента т, можно сделать некоторые приближения):
^1,2 (в) - ^о = |в|2 - |m|2.
(20)
График частотной характеристики приведен на рис. 1, где Д^ (в) =
/--П3 г
= (в) - (в) = 2^0\/|в|2 - |т|2 в силу (19). Параметр вз = -
у с0
соответствует скорости вращения Земли Пз. Зависимость Д^ (в) качественно такая же, как и у частотной характеристики ЛГ (гиперболический вид, наличие зоны нечувствительности). Однако для ЛГ характерным является "затягивание" частот, соответствующих встречным волнам. Зона нечувствительности (зона захвата) — это область столь малых скоростей вращения, в которой частоты указанных генераторов равны (полная синхронизация). Для рассматриваемого случая КР ситуация иная. Собственные частоты неподвижного резонатора с обратным рассеянием всегда одинаковы (спектр соответствующей задачи вырожден). Если такой КР вращается, то вращение может рассматриваться как возмущение. Как известно из теории возмущений [10], малые возмущения могут не снять вырождение (так возникает зона захвата), но при больших возмущениях спектр расщепляется (это область гиперболической зависимости) (см. рис. 1).
Поскольку КР есть линейная часть ЛГ как в физическом смысле, так и в отношении математической модели, то справедливо считать,
что их частотные характеристики сопоставимы: одна из них есть линейное приближение другой. Подобное же толкование можно усмотреть и в теории связанных автогенераторов [11].
Представляет определенный интерес характер собственных типов колебаний вращающегося КР с обратным рассеянием. Если рассеяния нет, то каждой из собственных частот соответствует бегущая волна этой же частоты. Волна, распространяющаяся по направлению вращения, соответствует меньшей
Рис. 1. Частотная характерно тика вращающегося КР с отра жением
собственной частоте. Модель (14), (15) указывает на то, что каждой из собственных частот будет соответствовать смешанная волна (суперпозиция волн встречного направления распространения). Каково отличие таких мод от бегущей волны определенного направления?
Упростим выражения для собственных частот (18), снова учитывая малость параметров |в|, |т|:
Ш!
шо + \Jш0 |ß|2 - |m|2; ш2 ^ Шо - \J
|2 — ш0 |m|2. (21)
Зададим произвольно вещественную амплитуду волны прямого направления распространения и= иТогда из (15) можно найти амплитуду:
U(-) = i
k+m k0 — k-
U(+)
(22)
бегущей волны встречного направления распространения для любой из собственных частот (20). Для этого достаточно сделать несложные преобразования:
к+т т т т 1
k0 — k_
c+ koc+ 1 -|ß| 1 — |ß|' Шо
k+
1
Для получим
k+m k0 — k-
(Ш1)
c_
m
Ш1,2
1 + |ß |
Ш1,2 1 + |ß |
1 -|в |
= Hl (ß), (23)
1 + V|ß|2 - |m|2 1 + |ß|
а для ш2 получим
к+т . .
к~к. ("2) "
m
1 -|ß|
= H2 (ß). (24)
1 - ^|в|2 - |m|2 1 + |в|
Эти формулы в соответствии с (21) дают возможность найти амплитуду и (-> при любом вещественном и (+) , т.е. определить их отношение. При заданном и(+) = 1 построим зависимости:
Н\ (в)= т 1
1 -|в |
1
1
1 + ^ß|2 - |m|2 1 + |в|
— см. выражение (22),
H2 (ß) =
m
1 - | ß|
1 ->|2 - |m|2 1 + |ß|
— см. выражение (23).
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1,7-10"15 2,78-10"15 3,86-10"15 ß 1,7-10"15 2,78-10"15 3,86-10"15 ß a 6
Рис. 2. Относительная амплитуда волны на частоте ш ± (а), распространяющейся против направления вращения (волны "основного направления" распространения), и на частоте ш2 (б), распространяющейся по направлению вращения (волны "встречного направления" распространения)
Соответствующие графики, представленные на рис. 2, дают представление4 об относительной величине волны, рассеянной в обратном направлении, по отношению к волне прямого ("основного") направления распространения. По направлению вращения КР волной основного распространения является волна на частоте . Поэтому амплитуда рассеянной волны меньше: и< и. Против направления вращения КР волной основного распространения является волна на частоте . Соответственно, амплитуда рассеянной волны также меньше:
и(+) < и(-).
Выводы. Предложена математическая модель вращающегося КР при наличии в нем обратного рассеяния. В силу линейности она значительно проще нелинейной модели ЛГ, учитывающей по существу взаимодействие двух автогенераторов. Тем не менее, предложенная модель позволила значительно более простым способом получить качественно ту же частотную характеристику, которая ранее была получена в нелинейной теории ЛГ. Кроме того, установлено, что предлагаемая модель дает правильное представление о структуре волн во вращающемся КР с обратным рассеянием. На каждой из собственных частот такого КР существует (при ненулевых начальных условиях) смешанная волна. Ее основную часть образует та волна, которая была единственной бегущей волной при отсутствии обратного рассеяния. Другая часть есть волна встречного направления распространения с относительной амплитудой, меньше единицы, имеющей относительный порядок модуля коэффициента отражения.
Реальная (частотная) характеристика ЛГ, конечно, зависит от многих факторов, не учитываемых моделью КР. В основном — это параметры активного вещества (в том числе изотопный состав, температура, общее и парциальное давление в смеси, ее объем и т.д). Качественый
4Числа очень малы, и возникли трудности с правильным округлением на ПК, которые до конца преодолеть не удалось, что привело к искажениям (кривые должны быть гладкими). Но ход кривых правилен.
лазерный гирометр должен использовать минимально возможное количество рабочей смеси (т.е. фактически приближаться к "пустому" резонатору). Это позволяет надеяться, что реальную частотную характеристику ЛГ можно будет построить, исходя из характеристики КР, как линейного приближения. В этом основной результат настоящей работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ароновиц Ф. Лазерные гироскопы. В кн.: Применения лазеров / под ред. В.П. Тычинского. М.: Мир, 1974.
2. Бычков С.И., Лукьянов Д.П., Бакаляр А.И.Лазерный гироскоп. М.: Сов радио, 1975.
3. Круглик Г.С. К теории биений в кольцевом ОКГ. Минск: Наука и техника, 1967.
4. Волновые и флуктуационные процессы в лазерах / С.Г. Зейгер, Ю.Л. Климонто-вич, П.С. Ланда, Е.Г. Ларионцев, Э.Е. Фрадкин. М.: Наука, 1974.
5. Судаков В.Ф. Спектральные свойства кольцевого оптического резонатора с продольной неоднородностью произвольного вида // Квантовая электроника. 2009. Т. 39. № 5. С. 469-473.
6. Heer C.V Resonant Frequencies of an Electromagnetic Cavity in an Accelerated System of Reference // Physical Review. Vol. 134. No. 4A. A799-A804. DOI:10.1103/PhysRev.134.A799
7. Тоннела М.А. Основы электромагнетизма и теории относительности. М.: Изд-во иностр. лит. 1962.
8. Меллер К. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1975. 400 с.
9. Пирс Дж. Почти все о волнах. М.: Мир, 1976. 177 с.
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.МТеоретическая физика, квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Наука, 1989. 768 с.
11. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.
REFERENCES
[1] Aronowitz F. The Laser Gyro in Laser Applications, N.Y., Academic Press, 1971.
[2] Bychkov S.I., Luk'yanov D.P., Bakalyar A.I. Lazernyy giroskop [Laser Gyroscope]. Moscow, Sov. radio Publ., 1975.
[3] Kruglik G.S. K teorii bieniy v kol'tsevom OKGb [The Theory of the Beats in a Ring Optical Maser]. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1967.
[4] Zeyger S.G., Klimontovich Yu.L., Landa P.S., Lariontsev E.G., Fradkin E.E. Volnovye i fluktuatsionnye protsessy v lazerakh [The Wave and Fluctuation Processes in Lasers]. Moscow, Nauka Publ., 1974.
[5] Sudakov V.F. Spectral properties of a ring optical resonator with an arbitrary longitudinal inhomogeneity. Kvantovaya elektronika [Quantum Electronics], 2009, vol. 39, no. 5, pp. 469-473. DOI: 10.1070/QE2009v039n05ABEH013952
[6] Heer C.V. Resonant Frequencies of an Electromagnetic Cavity in an Accelerated System of Reference. Physical Review, vol. 134, no. 4A. A799-A804. DOI:10.1103/PhysRev.134.A799
[7] Tonnelat Marie-Antoinette. The Principles of Electromagnetic Theory and of Relativity. Dordrecht: Springer Netherlands, 1966.
[8] Moller C. The Theory of Relativity. Clarendon Press, Oxford, 1972.
[9] Pierce John R. Almost All About Waves. MIT Press, Cambridge, Mass., 1974.
[10] Landau L.D., Lifshitz E.M. Quantum Mechanics Non-Relativistic Theory (Course of Theoretical Physics, vol. 3). Pergamon Press, 1977.
[11] Landa P.S. Avtokolebaniya v sistemakh s konechnym chislom stepeney svobody [Self-Oscillations in Systems with a Finite Number of Degrees of Freedom]. Moscow, Nauka Publ., 1980.
Статья поступила в редакцию 28.04.2015
Судаков Владимир Федорович — д-р техн. наук, профессор кафедры "Прикладная электротехника и промышленная электроника" МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).
Sudakov V.F. — Dr. Sci. (Eng.), Professor of Applied Electrical Engineering and Industrial Electronics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Судаков В.Ф. Частотная характеристика кольцевого гирометра в линейном приближении // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2016. № 2. C. 91-102. DOI: 10.18698/0236-3933-2016-2-91-102
Please cite this article in English as:
Sudakov V.F. The frequency response of the ring gyrometer in the linear approximation. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Priborostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Instrum. Eng.], 2016, no. 2, pp. 91-102. DOI: 10.18698/0236-3933-2016-2-91-102
