CC BY
15
УДК 533.951.8
ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ НА РАЗВИТИЕ ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПИРСА В ПЛАЗМЕННОМ ВОЛНОВОДЕ
Д. Н. Клочков, М. Ю. Пекар, А. А. Рухадзе
Исследуется влияние теплового движения электронов пучка и плазмы на развитие нерезонансной излучателъ-ной неустойчивости Пирса в плазменном волноводе. Показано, что инкремент верхней оптической ветви колебаний чувствителен к разогреву пучка, в то время как инкремент нижней звуковой ветви колебаний зависит от параметров плазмы.
В работах [1, 2] была построена линейная теория нерезонансной излучательной неустойчивости Пирса моноэнергетического релятивистского электронного пучка (РЭП) в вакуумном резонаторе и резонаторе, заполненном холодной плазмой. Излучательная пирсовская неустойчивость РЭП в вакуумном волноводе представляется перспективно;: для создания СВЧ генератора-монотрона в сантиметровой и миллиметровой области длин волн, в то время как эта же неустойчивость в плазменном резонаторе открывает новые возможности для генерации дециметрового излучения. В работе [3] имен но на это обстоятельство обращалось внимание и был рассчитан такой плазменный монотрон-генератор с параметрами сильноточного РЭП, эксплуатируемого в лаборатории плазменной электроники ИОФАН. Однако все используемые на сегодняшний день РЭП имеют разброс по скоростям, функцию распределения которого можно приближенно считать максвелловской. Поэтому анализ влияния теплового разброса по скоростям представляет не только теоретический, но и практический интерес. Для вакуумного случая влияние теплового разброса электронов пучка было исследовано в работе [4].
Рассмотрим гладкий металлический резонатор, заполненный однородной плазмой, который пронизывает сплошной РЭП. Вся система помещена в достаточно сильное
стабилизирующее магнитное поле, так что поперечным движением электронов плазмы и пучка можно пренебречь. Дисперсионное уравнение такой системы, полученное из линеаризованного уравнения Власова, имеет вид (ниже используются обозначения, принятые в монографии [5]):
,2 \
к]_ + к,.
ш
= 0,
(1)
где
Здесь
-
шь7~3 гг / \ 2
2
ТЬ
1-Л
Ш — ¿ни
(*и - ¥)
VТь
0.
АО)
1 + -|92(1-7+(9))
ш'
(2)
(3)
- невозмущенное значение компоненты тензора диэлектрическои проницаемости плазмы в отсутствие пучка. Параметр <7 = и>/к^тр —
Как известно, в плазменном волноводе возможны две ветви электромагнитных колебаний. Верхняя ветвь колебаний имеет оптический закон дисперсии
* - + к1с2 + ц*,
нижняя ветвь имеет звуковой закон дисперсии
ш
к\\с
илп
(4)
(5)
для которой фазовая и групповая скорости совпадают V] — уд. Кроме этого в присутствии пучка еще имеются пучковые волны: быстрая и медленная. Для малоточных моноэнергетических пучков, когда /к^и << 1 имеем для пучковых волн и> яз к\\и
с точностью до слагаемых порядка иц.
Рассмотрим теперь отдельно верхнюю и нижнюю ветви колебаний.
Для оптической ветви колебаний и>/к\\ > с, поэтому для безразмерного параметра q получаем соотношение
ш с
<7=7-> -»1 (б)
к\\УТр утр
Другими словами, высокочастотные волны оказываются малочувствительными к разо греву плазмы. Аналогичная ситуация имеет место для пучковых волн РЭП, так как
и
и
к\\г>тР
- >> 1.
«Тр
Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением модели, в которой плазма считается холодной, а пучок имеет некоторую тепловую скорость уть- Используя асимптотическое разложение J+(x)
Мх) =
1 + + £ + ... - , х >> 1, Иех >> 1шх;
|х| « 1,
(8)
получаем уравнение
ш
+ (*Н ~ с2
иЗ иг
Ч27"3
(*11 - ¥) »
1-Л
ш
- кии
Ут
= 0,
(9)
определяющее дисперсию кц„(ш) для электромагнитных и пучковых волн, как для верхней (4), так и для нижней (5) ветвей колебаний.
Если электроны пучка имеют разброс по скоростям, т.е. если начальная функция распределения электронов имеет конечную полуширину Ау, удовлетворяющую условию
иЬ Ау
(10)
7Г
--> О'
и и 1
то не все электроны пучка находятся при резонансных условиях по пролетному углу {1. 2]. Это приводит к уменьшению инкремента неустойчивости, снижению эффективности вынужденного излучения, даже если имеет место условие Уть << и. Как следует из (10). наибольшее влияние тепловой разброс оказывает в длинных системах, когда пролетнып угол иоЬ/и принимает большие значения.
Так как для волн в резонаторе всегда выполняется условие е^ ф 0 (а; ф шр), то формальной заменой к\ —» к\/4°'- £>ь —> можно перевести уравнение (9) в урав
нение для вакуумного волновода и воспользоваться уже полученными результатами [6]. Введем следующие обозначения
= кЦ4°л ¿1 = а2 = «2/с2 - к
(о)
(П)
В нашем распоряжении имеются два малых параметра: уть/и << 1 и параметр Пирса
Х = ^2ь1-3/к2±и2 «I, (12)
из которых сконструируем новую безразмерную величину
с = Уть^13/2/ишь-
(13)
Рассмотрим решение уравнения (9) при различных значениях (. Для случая £ > 1 в системе имеются только электромагнитные волны, так как пучковые размываются тепловым движением электронов. Следовательно, неустойчивость Пирса может развиваться только при условии £ < 1. Для асимптотики £ << 1 уравнение (9) имеет решение
к1>2 = ±а ± /?1)2и>ь/2а, кЗА = ш/и ± ашЬ- (14)
Значения коэффициентов /3^2 и а, 8 равны
А,- ^
ш 7
а
(ш ^ аи)2'
-5/2
и у/и2 — а2и2
1 +
\
1 + 12С27-2 1 -
а2и2
и2
-,1/2
(15)
6 =
Здесь обозначено /х = а2и2^5/£2■ Чисто мнимая добавка {8 в волновом числе появилась за счет затухания Ландау пучковых волн, которое определяется детальной структурой функции распределения ¿/о/¿V при резонансном взаимодействии с волной малой части электронов, - только тех, для которых выполнено условие черенковского резонанса ш — ¿ци = 0.
Нетрудно, следуя [1, 2, 4], получить инкремент неустойчивости в граничных условиях Пирса для горячего пучка электронов
6ш = (-1)"^ у . МашьЬ)**-». (16)
а ь (иг —
Отметим, что с возрастанием тепловой скорости уть электронов пучка величина а увеличивается, и как следствие, инкремент падает. В этом проявляется гидродинамический характер взаимодействия, связанный с тем, что с увеличением температуры пучка его средний ток уменьшается. Кинетический характер взаимодействия проявляется через величину <5, и как видно из формулы (17), наиболее сильно выражается в длинных системах.
Рассмотрим теперь звуковую ветвь колебаний. Полученные выражения (14) - (16) остаются в силе и для низкочастотных колебаний при выполнении условия
1, (17)
где Дш = и2 — и2ез - отстройка от частоты черенковского резонанса ш2еа = и>2 — к\и272. Параметр р при этом приближенно равен
1 ( и \2 ш? ,
и как видно, может быть как отрицательной, так и положительной величиной. Отрицательное значение щ соответствует черенковскому резонансу при больших отрицательных отстройках по частоте.
Для верхней ветви колебаний
'(^)2>0. (19)
¿7 \уть
Так как ши » то всегда выполняется условие щ » рь- Следовательно, при
одних и тех же параметрах пучка нижняя ветвь колебаний оказывается менее чувствительной к разогреву пучка по сравнению с высокочастотной модой.
Это согласуется с оценками, вытекающими из условия (10). Действительно, пролетный угол для нижней ветви колебаний
шЬ с ал, .„„.
- = тгп----р --(20)
и и ^ + к\с2 + к2с2
невелик, поэтому тепловая скорость электронов пучка должна быть достаточно велика уть ~ и, чтобы удовлетворять неравенству (10).
Рассмотрим теперь влияние на нижнюю ветвь колебаний теплового разброса по скоростям электронов плазмы.
Для плотной плазмы, когда выполнено условие ш2 » {к]_-\-Ц)с2 = к2с2, из формулы (5) получаем ш ~ к\\с и следовательно,
д = ш/к\\ьТр ~ с/уТр » 1. (21)
Иными словами, для плотной плазмы влияние теплового разброса на инкремент развития неустойчивости плазменной ветви колебаний мало.
Рассмотрим противоположную ситуацию, когда ш2 << к\с2. В этом случае параметр
9 = и/кцУтр ~ шр/к±уТр = шр/к±с(с/уТр) (22)
может быть как больше, так и меньше единицы, в зависимости от отношения обезраз-меренных плотности плазмы и ее тепловой скорости. В случае </ < 1 в системе нет
плазменных колебаний, так как они размываются тепловым движением частиц. Тогда излучательная неустойчивость Пирса на нижней ветви колебаний отсутствует. Поэтому рассмотрим противоположную асимптотику 9 >> 1. Дисперсионное уравнение (1) для моноэнергетического пучка примет в этом случае вид
(*„ - -У
и )
иг
__=г|/с!-"
Ш-
-2
2„,-3
(23)
Здесь а2 = (ш2/с2)(1 + к2±с2/ш2р).
Рассмотрим решение уравнения (23) вдали от черенковского резонанса, когда имеет место условие (17). В этом случае ш ф аи.
Пучковые волны оказываются малочувствительными к тепловому разогреву плазмы, поэтому для них получаем следующее решение
ш
*||3,4 = " ( 1 ±
и»ь7
—3/2 1
(24)
Напротив, электромагнитная плазменная волна оказывается чувствительной к кинетическим эффектам. Продольные волновые числа имеют следующий закон дисперсии
¿Ц1,2 = ±а ± РышЦ2а,
(25)
где
Здесь
01,2 =
к2 и2
+
и;27"2
.^ь ш2(ш^аи)2
(26)
3 . Г¥
= 72~гУ2
д3е-"2'2.
(27)
Коэффициенты трансформации волн на левом (входном) электроде принимают вид
ь _ ь _ л К1 — К2 — -1)
4 = -к* = -шьк2±и2^2А-^2 (1 -
(28)
Идеальное граничное условие для поля на правом электроде
£ = о
|/=1
приводит с точностью до слагаемых порядка ш2 к дисперсионному уравнению
вшСЬнЬ) + —Б1п '--е' - =0, (30)
' аи \ у/Дш и )
которое определяет дискретный спектр частот и инкременты генерации. Действуя стандартным образом, получаем комплексную поправку
г , «3 • ("ьТ3/2 и>1\
к частоте
7Г п
и = —сшр/у/ш* + к\с\ (32)
Второе слагаемое является декрементом, связанным с затуханием Ландау плазменных волн. Наличие конечной ширины функции распределения электронов плазмы приводит к появлению порога неустойчивости даже в идеальных граничных условиях Пирса, так как появляется канал перекачки энергии излучения в энергию электронов плазмы. Кроме того, в горячей плазме уменьшается коэффициент трансформации обратной электромагнитной волны в пучковую, что приводит к снижению инкремента неустойчивости, который становится равным нулю при
утр _ 1 и>ь —1/2
7 . (33)
Соотношение (33) показывает, что даже при относительно малой тепловой скорости плазмы развитие неустойчивости может быть подавлено. Это может служить объяснением тому, что в экспериментах [7] развитие неустойчивости при малых плотностях плазмы не наблюдалось. Отметим также, что от знака «3 зависят условия генерации четных и нечетных продольных мод электромагнитных волн.
В заключение рассмотрим вопрос о стабилизации пирсовской неустойчивости плазменной волны. Как было уже сказано, пролетный угол для нижней ветви колебаний мал, к тому же тепловой разогрев электронов пучка не влияет на инкремент низкочастотных волн. Поэтому механизм, стабилизирующий амплитуду плазменных волн, не связан с пучком. В плазменной системе происходит генерация сразу нескольких волн близкой частоты. Стохастизация электронов плазмы в поле многих волн приводит к разогреву плазмы и, как следствие, падению инкремента неустойчивости. Под воздействием поля
Ег = Eoe~tut+xkz электроны плазмы приобретают скорость, амплитуда которой равна v — еЕо/тш. Полагая vjp ~ v из соотношения (33) получаем оценку для максимальной амп.'к' Гуды электромагнитного поля
_ m шь i/o
Етах--U}Vg-rÀ=-1-l'\ (34)
е ViÂj
С другой стороны, амплитуда колебаний электронов в электромагнитном поле по порядку величины равна z = еЕо/тш2. Условие насыщения за счет проявления нелинейных эффектов можно представить в виде k\\z ~ 1. Откуда получаем максимальную амплитуду поля в предположении о нелинейном механизме насыщения Е\тах ~ ™u>vj. В условиях (17) Етах < Е\тах, поэтому следует ожидать, что для пучков малой плотности при больших расстройках от черенковского резонанса основным механизмом стабилизации плазменно-пирсовской низкочастотной неустойчивости является разогрев электронов плазмы. Из формулы (34) также следует, что в более плотной плазме можно достичь больших значений амплитуды поля.
ЛИТЕРАТУРА
[1] К л о ч к о в Д. Н., Р у х а д з е А. А. Физика плазмы, 23, 646 (1997).
[2] К л о ч к о в Д. Н., П е к а р М. Ю. Физика плазмы, 23, 650 (1997).
[3] К л о ч к о в Д. Н., П е к а р М. Ю., Рухадзе А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 7 (1998).
[4] К л о ч к о в Д. Н., П е к а р М. Ю., Рухадзе А. А. Физика плазмы, 25. 60 (1998).
[5] К у з е л е в М. В., Рухадзе А. А. Электродинамика плотных электромагнитных пучков в плазме. М., Наука, 1990.
[6] К л о ч к о в Д. П., П е к а р М. Ю., Рухадзе А. А. Физика плазмы, 25, 552 (1999).
[7] К у з е л е в М. В., Лоза О. Т., Пономарев А. В., Рухадзе A.A. и др. ЖЭТФ, 109, 2048 (1996).
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 12 мая 1999 г.
