Дисперсионное уравнение излучательной неустойчивости Пирса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951

ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПИРСА

Д. Н. Клочков, М. Ю. Пекар, А. А. Рухадзе

При достаточно общих предположениях получено дисперсионное уравнение линейной теории излучательной неустойчивости Пирса. Найден инкремент неустойчивости как функция сдвига продольного волнового числа медленной пучковой волны.

Излучательная неустойчивость Пирса является по своей природе вынужденной и нерезонансной [1-3]. Как следствие этого она может проявляться в различных пучковых и плазменно-пучковых системах, имеющих произвольную геометрию. Естественно, в окончательный ответ будут всегда входить геометрические параметры в виде форм-факторов. Многообразие систем порождает многообразие ответов и поэтому вынуждает искать наиболее общую форму дисперсионного уравнения, не зависящего от данной кои кретной геометрии.

Построение линейной теории излучательной неустойчивости Пирса связано с не следованием линеаризованного по малому параметру Пирса дисперисонного уравнения [1 - 3]. В данной работе делается попытка обобщить полученные ранее результаты ¡1 получить линеаризованное дисперсионное уравнение неустойчивости наиболее общего вида.

Рассмотрим гладкий металлический волновод длины Ь, вдоль оси которого распространяется прямолинейный пучок моноэнергетических электронов, начальная скорость которых равна и. Волновод может быть как вакуумным, так и плазменным произвольного сечения, причем плазма может иметь любой профиль. Вся система помещена в однородное продольное магнитное поле, которое полностью препятствует поперечно му движению электронов пучка (и плазмы, если таковая имеется). Для азимутальь.) симметричного случая поле в волноводе может быть представлено через единственную компоненту поляризационного потенциала Герца [4]

4

^(г, 2г, г) = ^ фи(г) ехр(—+ Ис„г) (1)

и=1

по формулам

Е2 = (д2г - ф, ЕТ = дЛФ, (2)

Др = -~д{дТф. с

Индексы "1" и "2" соответствуют собственным волнам резонатора (электромагнитным или плазменным), причем первая волна прямая, а вторая обратная (отраженная). Индексы "3" и "4" соответствуют медленной и быстрой пучковым волнам, ф,,(г) - собственные мембранные функции волновода.

Рассмотрим случай бесконечно тонкого трубчатого пучка радиуса гь. Отсутствие возмущений пучка по току и заряду на входной границе г ~ О дает два условия на амплитуды волн

4 г.2 _ иЦ 4 г.2 _

Е/ /хЛЛ» = 0, ЕЛ /И» = 0- (3)

Здесь Аи = фи(гь). Если на входной границе резонатора находится металлическая сетка или фольга, то условие равенства нулю тангенциальной составляющей вектора электрической напряженности дает дополнительное условие

Е мюо = о, (4)

, и=\

которое запишем в виде

/ = /(г) - произвольная интегрируемая функция. Скалярное произведение здесь понимается в смысле

(/•*) = / ДФМ^х. (5)

Интегрирование проводится по поперечному сечению резонатора

Уравнения (3), (4) определяют коэффициенты трансформации волн на входном электроде.

В случае слаботочных пучков, когда пирсовский параметр

х^Ф«1' <в>

законы дисперсии волн в резонаторе определяются выражениями [1 - 3]

¿1,2 = ±а ± (7)

ш

кзл = — ± ¿к3. и

Параметр а совпадает с невозмущенным значением продольного волнового числа к\ для волновода без пучка и определяется из дисперсионного закона собственной волны волновода. Так для резонатора, заполненного однородным диэлектриком или плазмой, имеет место [3]

и2

а2 = е„(и)-- к2±, (8)

с1

к± - поперечное волновое число.

В формулах (7) имеет место условие = 0(х) и 6к3 = из которого следу-

ет ■фх^г) = ф2{т) + 0(х)- Поэтому для слабых пучков е^/) = е2(/) + 0(х)- При данных предположениях коэффициенты трансформации волн на входном электроде имеют вид

,1

Аз _ (у ~ "') ,и6кл

* - ? - (»)

о;" — а'и-' ш

Ял - — - -Д3.

Кроме того, предполагается, что а; ф аи, т.е. черенковский резонанс для рассматриваемых частот отсутствует.

На выходе из резонатора г — Ь сопутствующие пучку волны А\,Аз и А4 частично трансформируются в обратную волну А2 и частично - в волны излучающего рупора. В общем случае данный процесс можно записать в виде

А2е">ь = X) кЖе{к"ь, (10)

1/=1

Здесь К,1у — 3,4 - коэффициенты трансформации волн на границе 2 = Ь. Для пучков малой плотности, когда х < 1, пучок учитывается как малое возмущение, и поэтому он не влияет на отражающую способность рупора. Следовательно, коэффициент можно приближенно принять равным коэффициенту отражения собственной волны резонатора от рупора в отсутствие пучка. Кроме этого, при условии \ 1 можно положить к3 = /с4 = к.ь- При этом как к,ь, так и «1 в общем случае являются функциями частоты ш. После подстановки значений (9) в уравнение (10) получаем дисперсионное уравнение линейной теории излучательной неустойчивости Пирса

£>(ц;) = Д)(ц;)+ £>!(<*>) = 0- (П)

Здесь

А,(о;) = /сге,'а£ - е~{аЬ (12)

невозмущенная часть дисперсионного уравнения. Уравнение /)0(<*>) = 0 определяет спектр собственных колебаний резонатора, а именно

7Г71 1 I

= Т ~ 21аГ§/С1 + 211п'Л1'" ^

Возмущенная часть дисперсионного уравнения

АН = —2г/сь ^ " °2) "V— (14)

определяет сдвиг частоты 6ш, создающий инкремент неустойчивости

АМ , ч

= (15)

дш

Полагая а^ <С 1, получаем из (14) и (15) окончательное выражение для инкремента излучательной неустойчивости Пирса

с , ^п 1«б| ~а)ц2 2(1ии6к3 . %в

6ш = (-1) —==——-——7 -Г-Г- 81П{Ь8к3)е Г (16)

И

Здесь

к I ш2 — а2и2 ¿а Ьш

шЬ , . 1 . . 9 = — + агё(кь) - -а^(/еа) (17)

И сл

обозначает приведенный пролетный угол.

Полученное выражение (16) остается в силе для однородной в поперечном направлении системы, т.е. для случая гр„(г) = ~ф(г).

Анализ инкремента (16) показывает, что развитие неустойчивости не зависит от за кона дисперсии волны и = о;(а), а связано со сдвигом ¿k3 продольного волнового числа медленной пучковой волны. При этом системы можно разбить на два класса: коротки* . для которых L8k3 С 1, и длинные. В коротких системах инкремент неустойчивости квадратичен по сдвигу волнового числа 8к3, т.е. пропорционален плотности электронов пучка пь- В работе [5] на основе численного моделирования неустойчивости в вакуумном волноводе найдено, что сценарий насыщения и развития неустойчивости также определяется параметром Lók3.

Аналогичная ситуация имеет место при развитии апериодической неустойчивое! и Пирса. Как было показано в работах [6,7], образование, развитие, осцилляция и хаоти-зация виртуального катода зависят от численного значения параметра а = L8k3 = ^ . Это подтверждает идею, высказанную в [5], что излучательная и апериодическая неустойчивости Пирса являются двумя разными режимами одной неустойчивости.

ЛИТЕРАТУРА

[1] К л о ч к о в Д. Н., Р у х а д з е А. А. Физика плазмы, 23, 646 (1997).

[2] К л о ч к о в Д. И., П е к а р М. Ю. Физика плазмы, 23, 650 (1997).

[3] Клочков Д. Н., П е к а р М. Ю., Рухадзе А. А. Радиотехника и электроника, 44, 386 (1999).

[4] К у з е л е в М. В., Рухадзе А. А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М., Наука, 1990, с. 336.

[5] К л о ч к о в Д. П., П е к а р М. Ю., Р у х а д з е А. А. ЖЭТФ, 115, 2037 (1999).

[6] С а г у J. R. and L е ш о u s D. S. J. Appl. Phys., 53, 3303 (1982).

[7] Priedel Н., G г a u е г R., and S р a t s с h е к К. Н. Phys. Plasmas, 5, 3187 (1998).

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 8 октября 1999 г.