О влиянии разброса электронов пучка по скоростям на механизм черенковского пучково-плазменного взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

радиофизика, электроника, акустика

О влиянии разброса электронов пучка по скоростям на механизм черенковского пучково-плазменного взаимодействия

И.Н. Карташова, М. В. Кузелевв

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физической электроники. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а[email protected], ь [email protected]

Статья поступила 25.05.2016, подписана в печать 09.06.2016.

В линейном потенциальном приближении рассмотрена неустойчивость электронного пучка в холодной плазме для различных функций распределения электронов пучка по скоростям. Показано, что при увеличении разброса электронов пучка по скоростям происходит изменение механизма пучковой неустойчивости в плазме: гидродинамический одночастичный режим неустойчивости переходит в гидродинамический коллективный режим или в одночастичный кинетический режим. Аналитически и численно определены инкременты неустойчивости в различных режимах.

Ключевые слова: эффект Черенкова, пучково-плазменные неустойчивости, дисперсионное уравнение, инкремент неустойчивости.

УДК: 533.951. PACS: 52.35.-g.

Введение

Разброс электронов пучка по скоростям при описании явления черенковской пучковой неустойчивости в плазме может не учитываться при выполнении неравенства

\ш - k ■ и\ » kvxb, (1)

где и — скорость направленного движения электронов пучка, vTb — разброс скоростей («тепловая» скорость электронов пучка), ш и k — частота и волновой вектор волны, возбуждаемой электронным пучком в плазме, k = \k\. Поскольку при черенковской пучковой неустойчивости ш « k ■ и, неравенству (1) можно придать следующий вид:

\5ш/ш\ » v™/u. (2)

Здесь 5ш — инкремент неустойчивости, u = \и\. Неравенство (2) имеет простой смысл: за время развития неустойчивости перемещение электрона пучка за счет «теплового» движения мало по сравнению с длиной волны. При выполнении неравенств (1) или (2) пучковую неустойчивость называют гидродинамической. Если же выполнены противоположные неравенства, то говорят о кинетической пучковой неустойчивости. На самом деле, как будет показано ниже, пучковая неустойчивость может быть гидродинамической и при выполнении неравенств, противоположных неравенствам (1) или (2), — все зависит от вида функции распределения электронов пучка по скоростям. В настоящей работе рассмотрены некоторые вопросы линейной теории черенков-ских пучковых неустойчивостей в плазме в условиях, когда неравенства (1) и (2) не выполнены. Большое внимание уделено зависимости механизма

пучковой неустойчивости в плазме от функции распределения электронов пучка по скоростям.

Со времени открытия явления пучковой неустойчивости в плазме в 1949 г. [1,2] написано громадное количество работ, посвященных ее исследованию. Результаты этих исследований подытожены в известнейших учебных пособиях и монографиях [3-6]. Множество работ посвящено и кинетической теории пучково-плазменных неустойчивостей [7-10]. В частности, кинетические эффекты при развитии пучковой неустойчивости учитываются в астрофизических приложениях [11]. Пучковые неустойчивости проявляются и в неравновесной плазме газового разряда [12-13], при этом характерные тепловые скорости могут оказаться одного порядка с направленной скоростью электронов. Возникает вопрос: зачем авторы настоящей работы опять обращаются к этой, казалось бы, исчерпанной теме? Дело в том, что некоторые аспекты гидродинамического и кинетического режимов пучково-плазменного взаимодействия до сих пор не привлекли, как нам кажется, должного внимания исследователей. Кроме того, дополнительное рассмотрение взаимодействия пучка и плазмы в условиях, когда неравенства (1) или (2) нарушены, обусловлено потребностями плазменной СВЧ-электроники [14]. Исходным пунктом большинства экспериментальных и теоретических работ по плазменной СВЧ-электронике является предположение о том, что неравенства (1) или (2) выполнены с большим запасом. И это действительно так, если речь идет о плазменных СВЧ-излучателях на релятивистских сильноточных электронных пучках, работающих в сантиметровом и субсантиметровом диапазонах длин волн. Проблемы возникают в более коротковолновом диапазоне: при увеличе-

8 ВМУ. Физика. Астрономия. № 6

нии частоты ш инкремент неустойчивости может уменьшаться1, что приводит к нарушению неравенства (2).

1. Основные соотношения. Случай моноскоростного пучка

Рассмотрим безграничную холодную электронную плазму, пронизываемую безграничным нерелятивистским электронным пучком малой плотности. Направим координатную ось z вдоль вектора скорости направленного движения пучка, т. е. и = {0,0, и}, и ограничимся рассмотрением потенциальных волн, распространяющихся вдоль оси z , т. е. положим k = {0,0, k}. Частотный спектр ш(К) волн

в такой плазменно-пучковой системе определяется из известного дисперсионного уравнения [15, 16]

1 - Щ- + шв

ш

2 k

9[0ь(у) 1

dvz ш — kvz

dv = 0.

(3)

Здесь шр — ленгмюровская частота электронов плазмы, шЬ — ленгмюровская частота электронов пучка, [0Ь(v) — нормированная на единицу невозмущенная функция распределения электронов пучка по скоростям v = {vx, Vy, vz}, dv = dvxdvydvz. Заметим, что разброс электронов плазмы по скоростям можно учесть без труда, но здесь в этом нет необходимости. В отличие от пучка условие, при котором тепловым движением электронов плазмы можно пренебречь, имеет вид |ш| ^ kvTp (vTp — тепловая скорость электронов плазмы), что при черенковской пучковой неустойчивости в плазме сводится к легко выполнимому неравенству vTp/u с 1. В соответствии с правилом Ландау [17] интегрирование по dvz в уравнении (3) осуществляется по контуру на комплексной плоскости vz = v'z + iv'J, обходящему особую точку ш/k снизу. Малость плотности электронов пучка означает, что выполнено неравенство

шЬ с ш2р. (4)

В случае моноскоростного электронного пучка с функцией распределения

h(v) = S(vx) S(vy) S(vz — и) (5)

дисперсионное уравнение (3) приводится к следующему виду [15]:

шр Шь

1- -р-

ш2 (ш — ku)2

= 0.

(6)

При выполнении неравенства (4) решения дисперсионного уравнения (6) определяются извест-

ными формулами [15] (для определенности полагаем k >0)

Шь

Ш1 2 = ku i <

•у/шр — k2u2

ku, ku < шр,

ku = Шр'. <

шь

.sJk2u2 — шр

ku ku > шр

ш3 = шр ш4 = — шр

(7)

Ш12 = ku + (— 1 i

ku = Шр. <

2 \ */3

ш3 =

ku +(2|)

шр,

ш4 = — шр .

(8)

Формулы (8) описывают резонансную черенков-скую пучковую неустойчивость в плазме (Im ш; > 0). Ее также называют неустойчивостью при одночастичном вынужденном эффекте Черенкова [18]2. Формулы (7) при ku < шр описывают апериодическую (нерезонансную) пучковую неустойчивость в плазме. Согласно известной классификации [19] она относится к неустойчивостям типа неустойчивостей отрицательной массы.

Дисперсионное уравнение (6) можно переписать в виде

(ш2 — шр)[(ш — ku)2 — шр] = шршр. (9)

При такой форме записи явно выделены две взаимодействующие подсистемы: пучковая — с дисперсионным уравнением (ш — ku)2 — ш2 = 0 и плазменная — с дисперсионным уравнением ш2 — ш^ = 0. В точках резонанса пучковых и плазменной волн решение уравнения (9) следует искать в виде

ш = шр + 5ш = ku i шь + 5ш, (10)

где 5ш — поправка к частоте, обусловленная взаимодействием волн. Оказывается, что при выполнении неравенства (4) будет шЬ с |5ш|. Поэтому условие резонанса волн сводится к условию че-ренковского резонанса ш = ku, а 5ш берется из формул (8). Таким образом, в случае моноскоростного пучка малой плотности (4) возможен только одночастичный вынужденный эффект Черенкова. Ниже будет показано, что при наличии разброса электронов пучка по скоростям оказывается возможным и коллективный вынужденный эффект Черенкова.

1 В случае черенковских излучателей на поверхностных (кабельных) плазменных волнах при увеличении частоты экспоненциально уменьшается связь между пучком и плазменной волной, что приводит к изменению режима пучковой неустойчивости в плазме — одночастичный (комптоновский) режим трансформируется в коллективный (рамановский), что и влечет резкое уменьшение инкремента.

2 В иностранной литературе эту неустойчивость называют также вынужденным эффектом Комптона.

2. Пучковая неустойчивость в гидродинамическом приближении с учетом газокинетического давления

Зададим функцию распределения электронов пучка по скоростям в виде

с медленной пучковой волной — нижний знак в уравнении (15). При этом

^1,2

= i i-

шьшр

1/2

Ч k4b + w2)1/4

(17)

A(vz

[ob(v)= 5(vx) 5(vy)A(vz — u), (11)

u) = {2vTb)-4f1’ vz £ |u - VTb- u + "Tbl-

IQ, Vz £ [u - VTb, U + VTbl.

Подставляя распределение (11) в уравнение (3) и выполняя элементарное интегрирование, получаем следующее дисперсионное уравнение:

ш2 (ш — ku)2 — k2vTT

= Q.

(12)

Tb

При vTb = Q уравнение (12) переходит в уравнение (6) и эффекты, связанные с разбросом электронов пучка по скоростям, исчезают. Перепишем уравнение (12) в виде, аналогичном (9):

(ш2 — ш2р) [(ш — ku)2 — k2vTb — ш2ь] = ш2рш2ь. (13)

Такая форма записи позволяет рассматривать пучково-плазменную неустойчивость как неустойчивость в системе связанных волн плазмы и пучка. Правую часть в (13) можно трактовать как коэффициент связи между этими волнами. Если связи нет (шь ^ Q), то уравнение (13) сводится к произведению двух независимых сомножителей. Равенство нулю первого сомножителя определяет спектр плазменных волн, равенство нулю второго сомножителя — спектр пучковых волн. В условиях резонанса плазменных и пучковых волн, т. е. при ш и k, удовлетворяющих системе

Ш = Шр,

ш = ku±

^vTb

+ Шр

(14)

решение уравнения (13) следует искать в виде ш = шр + 5ш (см. (10)), что после подстановки в (13) приводит к следующему уравнению:

5ш2 5ш ± 2yJk2vpb + шр^ = ШьрШр. (15)

Верхний знак в (15) должен быть взят при резонансе плазменной волны с быстрой пучковой волной, нижний знак — при резонансе плазменной волны с медленной волной пучка. При выполнении неравенства

|ЙШ| » \Jk2vpb + Шр (16)

решения уравнения (15) ^ш12,3 приведены в формулах (8) — поправки к основному слагаемому ku в выражениях для ш1>2,3. Если выполнено неравенство противоположное (16), то неустойчивость возникает только при резонансе плазменной волны

Неустойчивость с инкрементом 5ш1 (17) соответствует неустойчивости при коллективном вынужденном эффекте Черенкова [18]1. Условие применимости решения (17) — неравенство, противоположное (16), — сводится к условию

шрШр < (k2vTb + Ш2ь)3/2. (18)

При отсутствии разброса электронов пучка по скоростям, при выполнении неравенства (4), условие (18) удовлетворено быть не может. Однако если разброс по скоростям велик, то (18) сводится к неравенству шршр с k3vTb, которое вполне выполнимо. Таким образом, при увеличении разброса электронов плазмы по скоростям происходит изменение механизма резонансной черенковской пучковой неустойчивости в плазме — одночастичный режим неустойчивости трансформируется в коллективный режим.

Результаты численного решения дисперсионного уравнения (13) представлены на рис. 1, 2. Для расчетов здесь и далее взято следующее отношение плотностей электронного пучка и плазмы: шр/шр = 0.01. В случае рис. 1 vTb/u = 0.02, а в случае рис. 2 vTb/u = 0.2. Сплошными кривыми показаны вещественные значения частоты (шкала на левой вертикальной оси), штриховыми (шкала на правой оси) — мнимые части частоты (инкременты неустойчивости), пунктирная прямая — линия черенковского резонанса ш = ku. Между рис. 1 и 2 имеется кардинальное различие. Значение vTb/u = 0.02 соответствует почти моноскоростному пучку: неравенство (16), хотя и не сильное, выполнено, а поэтому в резонансе реализуется одночастичный вынужденный эффект Черенкова. При этом область неустойчивости простирается от k = 0 до значения, несколько превосходящего k = шр/и. Дисперсионные кривые на рис. 1 хорошо согласуются с формулами (7) и (8). Структура дисперсионных кривых на рис. 2 качественно иная: область неустойчивости сузилась, поскольку длинноволновые возмущения являются устойчивыми. При vTb/u = 0.2 выполнено неравенство, обратное (16), поэтому реализуется коллективный вынужденный эффект Черенкова, что и сказывается на структуре дисперсионных кривых. Максимум инкремента по рис. 2 неплохо согласуется со значением (17).

Неустойчивости, которые мы рассмотрели выше, являются гидродинамическими неустойчивостями. Это относится и к неустойчивости с инкрементом (17), хотя для развития данной неустойчивости требуется наличие достаточно большого разброса

1 В иностранной литературе эту неустойчивость называют также вынужденным эффектом Рамана.

Рис. 1. Дисперсионные кривые пучково-плазменной системы с учетом газокинетического давления в пучке при vTb/u = 0.02: вещественная часть частоты (сплошные линии, левая ось) и инкремент неустойчивости (штриховая линия, правая ось). Пунктирная линия — прямая и = ku

Рис. 2. Дисперсионные кривые пучково-плазменной системы с учетом газокинетического давления в пучке при vTb/и = 0.2: вещественная часть частоты (сплошные линии, левая ось) и инкремент неустойчивости (штриховая линия, правая ось). Пунктирная линия — прямая и = ku

электронов пучка по скоростям. Дело в том, что интеграл по Dvz в дисперсионном уравнении (3) из-за наличия особой точки, вообще говоря, является комплексным. Поэтому и дисперсионное уравнение (3) может в явном виде содержать мнимую часть. О кинетической неустойчивости следует говорить только тогда, когда инкремент неустойчивости получается именно из мнимой части дисперсионного уравнения1. В противном случае неустойчивость следует считать гидродинамической. Легко видеть, что в случае распределения (11) особая точка вклада в интеграл не дает. В результате дисперсионное уравнение (12) оказывается алгебраическим уравнением с вещественными коэффициентами.

К дисперсионному уравнению (12) можно также прийти, если взять следующую функцию распреде-

ления электронов пучка по скоростям:

Ы (v) =

т

4поть

S

{ m[v% + v2 + (ог

V 2

u)2]

2

mvT ь 2

.

(19)

Функция распределения (19) соответствует ситуации, когда пучок получается в результате ускорения изотропно распределенных электронов, имеющих одинаковую энергию mvTb/2. Более того, дисперсионное уравнение (12) получается и в гидродинамической модели, когда для описания электронов пучка используются уравнения гидродинамики с газокинетическим давлением Р = pvTь, где р — плотность электронного газа.

3. Неустойчивость пучка с максвелловской функцией распределения электронов по скоростям

Рассмотрим теперь электронный пучок со «сдвинутой» максвелловской функцией распределения электронов по скоростям

f() (2 2 3/2 ( vX + vY + (vz - u)2\

fob(v) = (2nvTb) exp I------^2---------- ) •

(20)

Подстановка распределения (20) в общее уравнение (3) приводит к следующему дисперсионному уравнению:

1 -42 +

и

k2 D2

k vTb

(1 - < ^))

=0.

Здесь введена известная функция [15, 20]

J+(x) =

exp(42/2)

x - £ £

(21)

(22)

а контур С начинается и заканчивается на вещественной оси £ при £ = и проходит ниже особой точки £=х.

Исследуем с помощью дисперсионного уравнения (21) переход к пределу моноскоростного электронного пучка (vTb ^ 0). Воспользуемся известным асимптотическим разложением [15, 20]: при \х\ ^ 1 и Im х >0 имеем

J+(x) « 1 + 1/x2. (23)

Если же Im х < 0, то формула (23) верна только, если \ Reх\ > \ Imх\. С учетом формулы (23) несложно видеть, что при выполнении неравенства (1) дисперсионное уравнение (21) переходит в уравнение (6). Однако не все решения уравнения (6) могут быть получены из решений уравнения (21) предельным переходом к моноскоростному пучку. В случае решений с положительной и нулевой мнимой частью (и1?3,4 в формулах (7) и (8)) никаких сложностей нет: эти решения получаются из уравнения (21) при vTb ^ 0 (см. далее). Для применимости решения и1

1 Не следует путать с диссипативными неустойчивостями, типа неустойчивости системы с отрицательным трением.

из формул (8) требуется выполнение неравенства (см. (2))

Уть/и < (ш);/2шр)1/3 , (24)

а условие применимости решения ш1 из формул (7) оказывается более жестким:

Уть/и < шь/шр. (25)

Что касается решений с отрицательной мнимой частью (ш2 в формулах (7) и (8)), то они в пределе уть ^ 0 из уравнения (21) не следуют. Действительно, если положить x = (ш2 — ku)/kvTb, то будет | Reх\ < | Imх|, а потому асимптотическая формула (23) неверна. Таким образом, применительно к решениям дисперсионных уравнений, описывающих нарастающие при пучковой неустойчивости волны, никаких проблем нет. Проблемы возникают только в отношении решений, описывающих затухающие волны. Казалось бы, проблемы теории, связанные с затухающими волнами, вообще не стоит обсуждать. Это не совсем так, поскольку при решении начальных и граничных задач, для удовлетворения начальных и граничных условий требуется корректный учет всех волн как нарастающих, так и затухающих [21]. Понятно, что определенная нестыковка при переходе от кинетического к гидродинамическому описанию пучка заслуживает дополнительного исследования, что в задачи настоящей работы не входит.

Пусть теперь выполнено неравенство, противоположное неравенству (1). Тогда, используя асимптотическое разложение [15, 20]

J+(x) & —i\Jп/2х, \х\^ 1, (26)

преобразуем дисперсионное уравнение (21) к следующему виду:

шр

1_________С +

А 2 ^

k2 у2

k уть

+ i

п ш2 (ш — ku) = 0 2 k3 ут ь

(27)

Решая уравнение (27) методом последовательных приближений, находим ш = ш0 + 5ш, где

ш0 =

шр

1 + ш2/ (k2 У

2 УТ ь)

23

Su = п (шо — ^

р ть (28)

Видно, что при ku > ш0 мнимая часть частоты положительна, т. е. имеет место пучковая неустойчивость. Неустойчивость эта кинетическая, что следует из того, что дисперсионное уравнение (27) является алгебраическим уравнением с комплексными коэффициентами (в отличие, например, от уравнений (6) и (12)).

Уравнение (27) и формулы (28) применимы только при выполнении неравенств, противоположных (1) и (2). В общем случае получение аналитических результатов не представляется возможным. Поэтому проанализируем численные решения уравнения (21) для ш2/ш2 = 0.01, варьируя отношение уть/и. На рис. 3 представлены численные решения

Рис. 3. Дисперсионные кривые пучково-плазменной системы с максвелловским распределением электронов пучка по скоростям при уть/и = 0.02: вещественная часть частоты (верхний график) и мнимая часть частоты (нижний график). Пунктирная линия — прямая ш = ku

дисперсионного уравнения (21) при малом значении уть/и = 0.02. Эти решения согласуются с предельными решениями ш1?2,3, представленными в формулах (7) и (8). Максимум инкремента достигается при условии резонанса шр & ku и соответствует значению, даваемому формулами (8). В целом численные результаты при уть/и = 0.02 совпадают с аналитическими результатами в пределе холодного электронного пучка. Исключение составляет ветвь с Im ш < 0, соответствующая затухающим колебаниям (штриховой линией на рис. 3 изображено решение дисперсионного уравнения (6) с Im ш <0). Это отличие сохраняется при любом сколь угодно малом отличии Уть/и от нуля и связано с невозможностью использования асимптотического разложения (23) при Imх <0 и | Reх\ < | Imх|.

При дальнейшем увеличении разброса по скоростям в пучке, начиная со значений уть/и = 0.1, дисперсионное уравнение (6) уже неприменимо. На рис. 4 представлены зависимости инкремента неустойчивости от волнового числа для различных значений уть/и. С увеличением разброса по скоростям максимум инкремента понижается и сдвигается в коротковолновую область. При этом область

Рис. 4. Инкремент пучковой неустойчивости системы с максвелловским распределением электронов пучка по скоростям для различных значений vTb/u : 0.02 (кривая 1), 0.1 (2), 0.2 (3), 0.3 (4), 0.4 (5)

неустойчивости расширяется и также смещается в область больших значений волнового числа, а при малых значениях Ku/up неустойчивость исчезает.

4. Неустойчивости пучка с модифицированными максвелловскими функциями распределения электронов по скоростям

Из экспериментальных работ по плазменной СВЧ-электронике трудно извлечь достаточную информацию о функции распределения электронов пучка по скоростям. Однако для дальнейшего развития теории пучковых неустойчивостей в плазме такая информация весьма желательна. Дело в том, что комплексные частоты волн в пучково-плазменной системе сильно зависят от вида функции распределения электронов пучка. Это подтверждается вышеизложенными результатами, а также видно из следующих двух примеров. Рассмотрим вначале электронный пучок с «полумаксвелловской» функцией распределения электронов по скоростям

fob (v) = 2 (2от|ь)—3/2 X

( VX + v2y + &г - u)2 ) )

X exp I------^2--------- I °(Vz - u), (29)

где 6(£) — ступенчатая функция Хевисайда (она равна единице при £ >1 и нулю в противном случае). В системах, основанных на взаимодействии ускоренного потока электронов с плазмой, длина свободного пробега электронов пучка может оказаться больше, чем характерные продольные размеры системы. В этом случае реализуется бесстолк-новительный режим пролета электронов и вполне обоснованным является предположение о том, что функция распределения электронов имеет вид (29). Вопросы, связанные с развитием пучковых неустойчивостей в космосе, в частности, когда функция распределения содержит особенности типа ступеньки, рассматривались в [22].

Подставляя функцию (29) в дисперсионное уравнение (3) и проделывая вычисления аналогичные проделанным при получении уравнения (21), получаем следующее дисперсионное уравнение:

и2 k2vTb

X

X

1

2

— x п

гою

0

exp(-£2/2) x - £

d £ +

21

п X

= 0, (30)

где X = (и — ku)/(kvTb), а интегрирование подразумевается по контуру, проходящему вдоль положительной полуоси и огибающему особую точку £ = х снизу. Преобразуя интеграл в уравнении (30), имеем

ГО ( О )

' exp(-£2/2)

. х - £

0

d £ =

- X п

exp(-£2/2)

х2 - £2

d£ +

+

2

- х п

го

0

£ exp(-£2/2)

х2 - £2

d£.

(31)

Как легко проверить, первое слагаемое в правой части соотношения (31) есть функция J+(x) . Второе слагаемое с помощью замены переменной интегрирования может быть выражено через интегральную экспоненциальную функцию

го

E1(x) = -V.p.

£ 1 exp(-£) d£.

—X

(32)

В результате дисперсионное уравнение (30) перепишется в виде

1 -4 +

и

k2 V2 k VTb

1 - J+(x) -

х exp(-x2/2) , ( 2 . ) j~2 1 \ ^

VS “ <E1(x /2 Чп х) = °.

(33)

При больших значениях |х|, т. е. в пределе моноскоростного пучка (1), дисперсионное уравнение (33) переходит в уравнение (6). В обратном предельном случае доминирующим является последнее слагаемое в круглых скобках в (33) и дисперсионное уравнение принимает вид

1 - + J 2_________ub_____

и2 V п (и - ku)kvTb

= 0.

(34)

Последнее уравнение можно представить в форме взаимодействия пучковой и плазменной волн

(<2 - и) f- ku d <b) =-■d KVTb

(35)

Решения уравнения (35), описывающие нарастающие при неустойчивости волны, следует искать в виде

и = ир + 5и, IS<I < ир. (36)

Причем неравенство в (36) означает, что при неустойчивости пучком возбуждается (излучается)

плазменная волна, а не какое-то сложное плазменно-пучковое возмущение. На языке теории связанных волн это неравенство означает, что связь между плазменной волной и волной пучка является слабой [21, 23].

Подставляя (36) в уравнение (35), преобразуем его к виду

6ш(5ш + Д) + -L = 0, (37)

где

Д = Шр — ku + \ - (38)

V п Kvtb

— расстройка резонанса волн. Из уравнения (37) имеем

* д , /Д 1 Ш

2 у 4 лДЛ PkvTb

Максимальный инкремент

=i (Р-)

&2Л\ kvь/

1/2

(39)

(40)

реализуется при нулевой расстройке, причем неравенство в (36) сводится к следующему:

( kvTb Шр

f kvTb ^ ( Vjb \

\ Шр ) V и )

1/2

(41)

При написании оценки (41) было использовано неравенство (4).

Согласно принятой нами классификации неустойчивость с инкрементами (39) и (40) относится к гидродинамическим неустойчивостям. Она обусловлена тем, что взаимодействующая с плазменной волной волна пучка ш = ku — ^/PП—1ш<2/(kvTь) имеет отрицательную энергию. Вместе с тем следует отметить, что для описания волны пучка использовалось кинетическое описание.

Результаты численного решения дисперсионного уравнения (33) для ш2)/Ш2р = 0.01 представлены на рис. 5. При vTb/и = 0.02 инкремент неустойчивости (кривая 1) практически не отличается от инкремента неустойчивости при взаимодействии холодного пучка с плазмой. С увеличением разброса скоростей электронов в пучке область неустойчивости сужается, положение максимума инкремента практически не меняется, а его величина незначительно понижается. При достаточно большом разбросе vTb/и >0.4 результаты численного решения совпадают с тем, что получается из аналитических формул (39), (40).

Наконец, рассмотрим развитие пучково-плазменных неустойчивостей в бесстолкновительных системах, в которых эмитированный с поверхности катода электронный пучок ускоряется приложенной разностью потенциалов. Эмитированный пучок имеет функцию распределения

fob (v)= a exp —

(— ^)• (42)

Рис. 5. Инкремент пучковой неустойчивости системы с полумаксвелловским распределением электронов пучка по скоростям для различных значений vTb/и: 0.02 (кривая 1), 0.1 (2), 0.2 (3), 0.3 (4), 0.4 (5)

в которой нормировочную постоянную определим позже, исходя из параметров пучка в пространстве взаимодействия с плазменной волной. Проходя ускоряющий промежуток с разностью потенциалов V, электрон приобретает дополнительную энергию mu2/2 = eV и функция распределения трансформируется к виду

fob (v)= a exp —

—

v2 + Vl + Vz2 — U2

2vTb ,

0(vz

u). (43)

В реальных системах плазменной СВЧ-электрони-ки выполняется соотношение vTb u, что означает

сильную локализацию функции распределения вблизи vz = u и позволяет приближенно записать (43) в виде

Fэь (v) = a exp I—

V2 + V2 + 2u(vz — u)

2vT b ,

0(vz — u). (44)

Считая, что в области взаимодействия пучка с плазменной волной концентрация электронов в пучке равна nb, определяем нормировочную постоянную А и окончательно записываем функцию распределения электронов пучка в виде

fob (v) = ^/2п

х exp

u , 2 \ -3/2

vTb (2nVTb) х

( V2 + vl + 2u(Vz

\ 2vTb

—^ 0(V;

u). (45)

Подставляя функцию (45) в дисперсионное уравнение (3) и проделывая вычисления, аналогичные проделанным при получении уравнения (30), получаем следующее дисперсионное уравнение:

1 — 42 + —e

Ш

k2V2 v2 Tb Tb

(—e x(Ei(x) — in) +

X) = 0, (46)

2

где x = (ш — ku)uj (kvTь), а функция Ei(x) определена соотношением (32).

В пределе моноскоростного пучка, т. е. при больших значениях |х|, дисперсионное уравнение (46)

переходит в уравнение (6). В обратном предельном случае доминирующим является слагаемое 1/х в (46), и дисперсионное уравнение принимает вид

wp u

1 --4 + —

W2 VTb (w — ku)kvTB

— 0.

(47)

W

С точностью до обозначений (47) совпадает с проанализированным выше уравнением (34). Отличие состоит в эффективном увеличении плотности пучка за счет фактора u/vTb. Фактически повторяя приведенные выше рассуждения, получим в условиях (36) значение инкремента неустойчивости

^=4 4—w

Wt

2vTb kvTb

с расстройкой

Д — Wp — ku +----

u w

(48)

(49)

vTb kvTb

Максимальный инкремент реализуется при Д — 0

и составляет

5w — iwp

f u Wp \

\2vTb kvrbj

1/2

(50)

4 2vTb kvTb,

Условие (36) при этом сводится к более жесткому неравенству

" V (51)

W^^Vjb Wp u

Сравнивая дисперсионные уравнения (34) и (47), а также выражения для инкрементов (40) и (50), видим, что в случае пучка с функцией распределения (45) тепловые эффекты проявляются при меньшем значении плотности электронного пучка .

u

Заключение

В работе проведен анализ влияния разброса электронов пучка по скоростям при его неустойчивости в плазме. Традиционным для плазменной СВЧ-электроники является приближение моноскоростного электронного пучка, справедливое при выполнении условия (2). При нарушении указанного условия необходим учет отличия функции распределения электронов от 5-образного вида. Точный вид функции распределения в большинстве случаев неизвестен, поэтому нами проведен сравнительный анализ различных функций распределения, построенных из простых физических соображений. В частности, описание моноскоростного электронного пучка модифицировано посредством учета газокинетического давления. Кроме того, рассмотрены полностью термализованный электронный пучок с максвелловской функцией распределения и пучок с модифицированными максвелловскими распределениями электронов по скоростям. Последнее приближение является более адекватным для описания бесстолкновительных пучково-плазменных систем плазменной СВЧ-электроники.

Во всех рассмотренных приближениях можно выделить два режима пучковой неустойчивости: одночастичный и коллективный. Одночастичный режим неустойчивости реализуется при малом разбросе электронов пучка по скоростям и характеризуется широкой областью волновых чисел (от нуля до значения вблизи wp/u), где проявляется неустойчивость. При увеличении разброса по скоростям область неустойчивости локализуется вблизи резонансного значения волнового числа (~wp/u), длинноволновые возмущения стабилизируются и режим неустойчивости становится коллективным. С увеличением разброса электронов пучка по скоростям значения инкрементов неустойчивости понижаются. Однако их зависимости от параметров системы существенно различны для различных функций распределения. Так, в полностью термализованном электронном пучке при увеличении температуры значения инкремента неустойчивости убывают существенно быстрей, чем в случае пучка с полумаксвелловским распределением. Более того, механизмы неустойчивостей пучков с максвелловским и полумаксвелловским распределениями при большом разбросе электронов пучка по скоростям существенно различаются. Если в первом случае неустойчивость кинетическая (взаимодействие волна-частица), то во втором механизмом неустойчивости является коллективное взаимодействие волна-волна.

Список литературы

1. Ахиезер А.И., Файнберг Я.Б. // ДАН СССР. 1949. 69, № 4. С. 555.

2. Bohm D., Gross Е.Р. // Phys. Rev. 1949. 75, N 12. P. 1864.

3. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1. М.: Атомиздат, 1975.

4. Иванов А.А. Физика сильнонеравновесной плазмы. М.: Атомиздат, 1977.

5. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М.: Наука, 1990. (Kuzelev M.V., Rukhadze А.А. Basics of Plasma Free Electron Lasers. Paris: Editions Frontieres, 1995.)

6. Кузелев M.B., Рухадзе А.А., Стрелков П.С. Плазменная релятивистская СВЧ-электроника. М.: Изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.

7. Misra K.D., Singh B.D., Mishra S.P. // Plasma Physics. 1978. 20. P. 1113.

8. Amein W.H,. Sayed Y.A. // Physica Scripta. 1994. 50. P. 147.

9. Sauer K., Sydora R.D. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2012. 54. P. 124045.

10. Bret A., Gremillet L. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2006. 48. P. B405.

11. Karlicky M. // The Astrophysical Journal. 2009. 690. P. 189.

12. Berezina G.P., Us V.S. // Plasma Physics Reports.

2011. 37, N 13. P. 1156.

13. Клыков И.Л., Тараканов В.П., Шустин Е.Г. // Физика плазмы. 2012. 38, № 3. С. 290. (Klykov I.L., Tarakanov V.P., Shustin E.G. // Plasma Physics Reports.

2012. 38, N 3, P. 263.)

14. Стрелков П.С., Тараканов В.П., Иванов И.Е., Шумейко Д.В. // Физика плазмы. 2015. 41, № 6. С. 533. (Strelkov P.S., Tarakanov V.P., Ivanov I.E., Shumei-ko D.V. // Plasma Physics Reports, 2015. 41, N 6. P. 492.)

15. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978. (Aleksandrov A.F., Eogdankevioh L.S., Rukhad-ze A.A. Principles of Plasma Electrodynamics. Heidelberg: Springer-Verlag, 1984.)

16. Ахиезер А.И. и др. Электродинамика плазмы. М.: Наука, 1974.

17. Ландау Л.Д. // ЖЭТФ. 1946. 16. С. 574. (Landau L.D. // J. Phys. USSR. 1946. 10. P. 25.)

18. Кузелев M.B., Рухадзе А.А. // УФН. 1987. 152. С. 285. (Kuzelev M.V., Rukhadze A.A. // Sov. Phys. Usp. 1987. 30. P. 507.)

19. Богданов B.B., Кузелев M.B., Рухадзе А.А. // Физика плазмы. 1984. 10, № 6. С. 548.

20. Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. М.: Атомиздат, 1961.

21. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Методы теории волн в средах с дисперсией. М.: Физматлит, 2007. (Kuzelev M.V., Rukhadze A.A. Methods of Waves Theory in Dispersive Media. Zurich: World Publisher, 2009.)

22. Трахтенгерц В.Ю, Райкрофт М.Дж. Свистовые и альфвеновские циклотронные мазеры в космосе. М.: Физматлит, 2011. (Trakhtengerts V.Yu., Ryoroft M.J. Wistler and Alfven Mode Cyclotron Masers in Space. Cambrige University Press, 2008.)

23. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. (Lifshitz E.M., Pitaevskii L.P. Physical Kinetics. Pergamon Press, 1981.)

On the influence of the electron-velocity spread in a beam on the mechanism of Cherenkov beam-plasma interaction

I.N. Kartashova, M.V. Kuzelevb

Department of Physical Electronics, Faculty of Physios, Lomonosov Moscow State University,

Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], b [email protected].

The instability of an electron beam in cold plasma is considered in the linear potential approximation with different velocity-distribution functions of beam electrons. It is demonstrated that the mechanism of beam instability in plasma changes as the electron-velocity spread is increased: the hydrodynamic singleparticle instability mode evolves into the hydrodynamic collective mode or the single-particle kinetic one. Instability growth rates in different modes are determined analytically and numerically.

Keywords: Cherenkov effect, beam-plasma instabilities, dispersion equation, instability growth rate.

PACS: 52.35.-g.

Received 25 May 2016.

English version: Moscow University Physios Bulletin. 2016. 71, No. 6. Pp. 537-544.

Сведения об авторах

1. Карташов Игорь Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент; тел.: (495) 939-25-47, e-mail: [email protected].

2. Кузелев Михаил Викторович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-25-47, e-mail: [email protected].