CC BY
18
РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА
Ко о
теории электромагнитных взаимодеиствии релятивистского электронного пучка и плазмы в коаксиальном волноводе во внешнем магнитном поле
М. В. Кузелевa, Е.А. Хапаеваb
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физической электроники. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: a kuzelev@mail.ru, b e_khapaeva@mail.ru
Статья поступила 23.06.2014, подписана в печать 25.07.2014.
Рассмотрены линейные электромагнитные взаимодействия прямолинейных электронных пучков с магнитоактивной плазмой в коаксиальном волноводе. Получены дисперсионные уравнения и определены структуры полей поверхностных плазменных волн в отсутствие электронного пучка. Получены дисперсионные уравнения пучковых волн в отсутствие плазменных волн. Получены дисперсионные уравнения, описывающие взаимодействие плазменных и пучковых волн. Вычислены инкременты неустойчивостей в режимах одночастичного и коллективного эффектов Черенкова и аномального эффекта Доплера.
Ключевые слова: магнитное поле, коаксиальный волновод, трубчатая плазма, трубчатый электронный пучок, поверхностные плазменные волны, поверхностные волны электронного пучка, эффект Черенкова, эффект Доплера.
УДК: 533.9.01. PACS: 52.35.-g.
Введение
Первые релятивистские плазменные СВЧ-источни-ки электромагнитного излучения, основанные на явлении черенковской пучковой неустойчивости в плазме, были созданы в 1980-х гг. [1-3], положив начало развитию нового научного направления физики плазмы и СВЧ-электроники — релятивистской плазменной СВЧ-электроники [4]. Вплоть до настоящего времени идут активные теоретические и экспериментальные исследования плазменных СВЧ-усилителей и генераторов, основанных на черенковском возбуждении поверхностных плазменных волн [5-7] в металлических волноводах с тонкой трубчатой плазмой, пронизываемых тонким трубчатым электронным пучком. Основные преимущества данных плазменных приборов заключаются в возможности перестройки частоты генерируемого в плазме электромагнитного излучения посредством изменения плотности плазмы, в возможности использования больших токов электронных пучков, в широкополосности излучателей. Традиционно во всех действующих плазменных СВЧ-излучателях используются плазменные волноводы с односвязным поперечным сечением.
В недавних теоретических работах [8, 9] было показано, что использование в приборах релятивистской плазменной СВЧ-электроники волноводов с внутренним металлическим цилиндром (коаксиальные волноводы) может привести к увеличению используемых токов пучка (из-за увеличения предельного вакуумного тока) и к увеличению КПД плазменных СВЧ-приборов. Кроме того, в коаксиальных плазменных волноводах появляются новые типы волн, что открывает дополнительные возможности для совершенствования плазменных СВЧ-приборов. В настоящей работе обсуждаются особенности взаимодействия трубчатого релятивистского
электронного пучка с трубчатой плазмой в коаксиальном металлическом волноводе в присутствии конечного продольного внешнего магнитного поля.
Рассмотрим коаксиальный цилиндрический волновод с внутренним радиусом Й1 и внешним радиусом Л2, в котором находятся тонкая трубчатая плазма со средним радиусом гр, толщиной 5Р, причем 5Р с гр < Л2, и тонкий трубчатый электронный пучок со средним радиусом гь, толщиной 5Ь: 5Ь с гь < Л2. Вся система помещена в однородное магнитное поле, направленное вдоль оси волновода (ось г). Считаем плазму и пучок однородными вдоль оси волновода, холодными, полностью замагниченными и нейтрализованными по заряду и току. В экспериментах [4-7] использовались релятивистские электронные пучки с энергиями электронов 0.5-1 МэВ (7 = 2-3 — релятивистский фактор электронов пучка), током пучка 2-10 кА и плазма, имеющая плотность пр = (0-2) • 1014 см ~3. Именно пучки и плазму с такими характеристиками будем исследовать в настоящей работе.
Для приложений в плазменной СВЧ-электронике наибольший интерес представляют электромагнитные взаимодействия замедленных поверхностных волн коаксиального плазменного волновода с поверхностными волнами электронного пучка, рассмотрением которых в настоящей работе мы и ограничимся. В плазменных волноводах существуют два типа поверхностных замедленных волн: низкочастотная и высокочастотная плазменные волны, которые отличаются знаками зарядов на границах трубчатой плазмы. В работах [10, 11] показано, что в случае тонких трубчатых плазмы и пучка при описании поверхностных волн может быть использован метод эффективных граничных условий, позволяющий не записывать в явном виде решений уравнений поля в областях волновода, занятых плазмой и пучком. Для низкочастотных поверхностных волн
эффективные граничные условия имеют вид [10, 11]
[Ег{га)} = 0, (га)} = дах2й£\\аЕг(га), (1)
где ш — частота, кг — продольное волновое число, {X(х)} = Х(х + 0) -X(х - 0), х2 = ¿2 - ш2/с2, а — сорт частиц: а = р — плазма, а = Ь- пучок,
шр
ЯРп =__Р
0Ь\\Р ш2 '
$£ц ь = -
шЪ 3
(ш - кги)2
(2)
— вклады плазмы и пучка в продольную диэлектрическую проницаемость [12, 13], ша — ленгмюровские частоты частиц сорта а, и — скорость электронов пучка, 7 = (1 — и2/с2)-1/2, а Ег(г) — продольная компонента напряженности электрического поля в волноводе (решения уравнений поля ищутся в виде Ег(г)ехр(-1ш1 + 1кгг)). Для высокочастотных поверхностных волн эффективные граничные условия записываются следующим образом [10, 11]:
(Га)\= 0, {Ег(Га)} = ^ (Га), (3)
I аг ) х0£±а аг
где
= 1 + &
шр
ЯР . =__р_
±р ш2 - ЦТ —1
5е\ ь = —
ш2ь(ш - ¿ги)2^
(4)
((ш - ¿ги)2 - Ы2Л-2)ш2 — вклады плазмы и пучка в поперечную диэлектрическую проницаемость [12, 13], — электронная циклотронная частота, ха = - е^аш2/с2.
Вне областей, занятых пучком и плазмой, напряженность электрического поля удовлетворяет уравнению (в настоящей работе рассматриваются только азиму-тально симметричные волны Е -типа)
А±Ег - х2>Ег = 0,
(5)
где А^ — поперечная часть оператора Лапласа. На границах волновода г = Я1>2 обращаются в нуль тангенциальные составляющие напряженности электрического поля
Ег Я) = Ег(Я2) = 0. (6)
Соотношения (1)-(6) являются основными для дальнейшего исследования проблемы пучково-плазменного взаимодействия, поставленной в настоящей работе.
1. Поверхностные плазменные волны коаксиального волновода
Выясним основные свойства поверхностных волн коаксиального плазменного волновода при отсутствии в нем электронного пучка. Это именно те волны, которые могут излучаться (возбуждаться) в волноводе электронным пучком. Записывая решение уравнения (5) в виде комбинации функций Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка
Е(Г) = {А10(Х0г)+ ВК0(х0г), Я1< г < Гр, 2 {С10(х0г)+ ОК0(Х0г), гр < г < Й2,
подставляя его в граничные условия (1) (при а = р), (6) и исключая постоянные А, В, С, О, получим
следующее дисперсионное уравнение низкочастотной поверхностной волны коаксиального волновода:
ш2 2 шр
1 - Яргрх0Ср = 0,
где Ор — геометрический фактор плазмы
(8)
Ср = 12(х0гр)
М(гр, Я2)М(Яи гр)
(9)
р М(Я1, Я2) " В (9) для сокращения записи использовано обозначение К0(х0г) К0(х0Я)
М(г, Я) =
(10)
10(х0г) кЫЯ) ' Из уравнения (8) в длинноволновом приближении к2Я с 1 следует выражение для квадрата частоты низкочастотной плазменной волны
¿2с2
ш2 =
1 + ¿1 рС2/ш2;
(11)
где к2^р = 1/гр6рОр — поперечное волновое число низкочастотной плазменной волны. Строго говоря, выражение (11) не является окончательным выражением для частоты, поскольку величина Ср сама зависит от ш. В дальнейшем для исключения этой зависимости мы будем использовать условие резонансного возбуждения волны (11) пучком.
Дисперсионное уравнение (11) описывает не весь спектр, а только длинноволновую часть спектра, чтобы получить полный спектр, включая коротковолновую часть, следует, как показано в [4], сделать в уравнении (8) замену
22 шр ^ шр
(■ - а-
(12)
В этом случае спектр плазменных волн будет выглядеть следующим образом:
ш2 = к^рС2 + ¿У + шр -
(к\рС2 + к2с2 + ш2)2 - 4к2с2ш2). (13)
Структура поля низкочастотной поверхностной волны определяется формулами
[М(г, ЯШх0г), Ег(г) = { М(гр, Я1)М(Я2, г)
Я1 < г < гр,
I М(Я2, гр)' 10(х0г), гр < г < Я2,
(14)
а компонента поля Ег вычисляется по формуле Ег = (-1кг/ух2)(ЛЕг/йг). В длинноволновом пределе к2Я2 с 1 выражения для поля выглядят следующим образом:
( \и(Я1/г) _ < <
I , ,п , ,, Я1 < г < гр, Е = I \п(Я1/гр) '
) \п(г/Я2) г< <Я
1 ыгрщ' гр <г < Я2,
11
г ВДДр) 11
Ег = ! 11 'Ум''р
г \п(гр/Я2)'
Я1 < г < гр, гр < г < Я2.
Ег Е^ отн.ед.
0.5
Е^ Е^ отн.ед.
3.0 г, см
Рис. 1. Структура поля низкочастотной волны. Кривая 1 — компонента поля Ег, кривая 2 — Ег
Компоненты поля Ег и Ег представлены на рис. 1. Компонента Ег претерпевает скачок в области плазмы, а компонента Ег , наоборот, скачка не претерпевает. Таким образом, тонкая плазма при возбуждении низкочастотной плазменной волны волновода ведет себя аналогично простому слою [14-16].
Перейдем к рассмотрению высокочастотной плазменной волны. Подставляя решение (7) в граничные условия (3) (при а = р) совместно с условиями на границах металлического волновода (6) и исключая постоянные А, В, С, О, получим следующее дисперсионное уравнение для частоты высокочастотной поверхностной плазменной волны коаксиального волновода:
1 + 5рГр Ъ-Ое (гр)= 0,
(16)
где Ое (гр) — геометрический фактор высокочастотной плазменной волны, который определяется формулой
Г ( ) г2( ) М'(Гр, К2)М'(Гр, Я1)
Ое (гР]= 1 (х0Гр) мЩ7Ё2) • (17)
Здесь введено обозначение
М'(Г, Я) = КМ + Т7*ж.
11(Х0г) ЫХ0Ю
(18)
Из уравнения (16), учитывая малость толщины плазмы, получаем следующее значение квадрата частоты высокочастотной плазменной волны:
£2
, 22 = 02 , ,2 £г
ш = 0Н — шр£т
(19)
21
где £2р1 = 1/гр5рОЕ (гр) — поперечное волновое число высокочастотной плазменной волны, а 0^ = = + 02 — верхняя гибридная частота.
Структура поля высокочастотной волны выражается формулой
М(г, ЯШх0г), Ег(г) = { м'(гр, Я{)М(г, Я2)
М' (гр, Я2)
Я1< г < гр, 10(Х0г), гр < г < Я2.
(20)
3.0 Г, см
Рис. 2. Структура поля высокочастотной волны. Кривая 1 — компонента поля Ег , кривая 2 — Ег
На рис. 2 представлена структура компонент поля высокочастотной волны, вычисленная при помощи формулы (20). В случае высокочастотной волны в области плазмы компонента Ег меняется сильно (на расстоянии 5р имеет скачок), компонента Ег в свою очередь меняется слабо, т. е. остается практически непрерывной. Таким образом, тонкая плазма при возбуждении высокочастотной плазменной волны волновода ведет себя аналогично двойному слою [14-16], т.е. на противоположных границах плазменной трубки локализуются противоположные электрические заряды.
2. Поверхностные пучковые волны коаксиального волновода
Обратимся теперь к пучковым поверхностным волнам коаксиального волновода при отсутствии в нем плазмы. Для получения дисперсионного уравнения для низкочастотной ленгмюровской пучковой волны подставим решение (5) в граничные условия (1) при а = Ь. Аналогично, исключая постоянные А, В, С, О, найдем дисперсионное уравнение для частоты низкочастотной поверхностной волны коаксиального волновода с тонким трубчатым пучком:
1
3
(ш — кгп)'2
Оь = 0.
(21)
В (21) введено обозначение для геометрического фактора электронного пучка
М(Я1, гь)М(Гь, Я2)
Оь = Ц(х0Гь )-
(22)
М(Я1, Я2)
Стоит отметить, что уравнение (21) было получено и подробно исследовано ранее [9]. Также в работе [9] были получены формулы, позволяющие определить предельный вакуумный ток и предельный пирсовский ток пучка в зависимости от рассматриваемых радиусов волновода.
Выражение для частоты низкочастотной пучковой волны имеет вид
ш = кгы ± шЬ7-5/2кг/к2Ь, (23)
где £2Ь = 1/гЬ5ЬОЬ — поперечное волновое число низкочастотной пучковой волны.
Для нахождения дисперсионного уравнения высокочастотной пучковой волны подставим решение (5)
2
в граничные условия (3) при а = Ь, в результате получим
1 + 5ьгь Се (гь )= 0,
р±Ь
где
Се (гь)= 1\(хог„)
М'(гь, Я{)М'(гь, Я2)
(24)
(25)
М(Я1, Я2)
Выражение для спектра высокочастотной поверхностной пучковой волны имеет вид
ш = к2и - Це7 1 -
Це ш2Ь^ 2
2(1 + к|/¿1Л (кги - Це
(26)
где к2±ь = 1/гЬЯЬСЕ (гЬ) — поперечное волновое число высокочастотной пучковой волны.
3. Взаимодействие поверхностных плазменных волн коаксиального волновода с поверхностными волнами электронного пучка
Наконец перейдем к основному предмету исследования настоящей работы — резонансному взаимодействию поверхностных волн коаксиального плазменного волновода с поверхностными волнами электронного пучка. Условия резонансов определяются совместным решением одного из уравнений (8) или (16), и одного из уравнений (21) или (24). Если плотность электронного пучка мала, то уравнения (21) и (24) можно заменить одночастичными условиями черенковского и циклотронного резонансов [4, 11]
к к Д. Це
ш = к2и, ш = к2и ±—.
7
(27)
А10(х0г)+ ВК0(х0г), Ф(г)= 1С10(х0г)+ ОКо(хо г), ^Е!о(хог) + РК0(х0г),
Я1 < г < гь,
гь < г < гр, гр < г < Я2
(28)
и подставить его в эффективные граничные условия (1) или (3).
Для получения дисперсионного уравнения, описывающего неустойчивость вблизи точки 1 (рис. 3), подставим решение (28) в граничные условия на металлических поверхностях волновода (6) и в граничные условия (1) при а = Ь для пучка и а = р для плазмы.
Рис. 3. Схема дисперсионных кривых низкочастотной (кривая а) и высокочастотной (кривая Ь) поверхностных плазменных волн: с — линия черенковского резонанса ш = к2и; й, е — линии доплеровских реза-нонсов ш = к2и ± Це7
Исключив неизвестные А, В, С, О, искомое дисперсионное уравнение
^ - Яргрх2ЩЦ -
ш27 3
(ш - кги)2
Е, ^,
Сь\ +
получим
= 5ргрх2 Щ§^„ш2 ш-1^)2
Сь©1. (29)
Получается, что имеется 6 точек резонансного взаимодействия плазменных волн с электронным пучком, что схематически представлено на рис. 3. В точках 1, 2 пересекаются дисперсионные кривые высокочастотной и низкочастотной плазменных волн с прямой ш = к2и (черенковский резонанс); в точках 3, 4 пересекаются дисперсионные кривые низкочастотной и высокочастотной плазменных волн с прямой ш = к2и + Це/7 (аномальный доплеровский резонанс); в точках 5, 6 пересекаются дисперсионные кривые низкочастотной и высокочастотной плазменных волн с прямой ш = к2и - Це/7 (нормальный доплеровский резонанс).
Для получения дисперсионных уравнений, описывающих взаимодействия пучка и плазмы, следует взять решение уравнения поля в вакуумных областях
В (29) параметры Ср, СЬ определены формулами (9), (22) и введено обозначение ©1 для коэффициента связи плазменных и пучковых волн
М(ЯЬ г„)М(гр, Я2)
©1 =
(30)
М(г„, Я2ШЯ1, гр)'
Для получения дисперсионного уравнения, описывающего неустойчивость вблизи точки 2 используем для плазменной волны условия (3) и для пучковой волны условия (1), дополняя их условиями на металлических стенках волновода (6). Дисперсионное уравнение в этом случае имеет вид
Гх2
1 + Яргр рСЕ (гр)
1-
шЬ 3
(ш - кги)2
Сь) =
= Яргр -х—Се (гр)6„гьх0
р±р
ш2ь1 3 (ш - кги)2
Сь©2. (31)
В уравнении (31) параметр СЕ (гр) определен формулой (17), выражение для коэффициента связи ©2 имеет вид
М'(гр, Я2)М(Я1, г„)
©2 =
(32)
М'(гр, Я\)М(г„, Я2У
Для получения дисперсионного уравнения, описывающего неустойчивость вблизи точек 3 и 5 потребуется условие (3) для пучковой волны и условие (1) для плазменной волны, дополненные условиями на металлических стенках волновода (6). Уравнение оказывается следующим:
2
2
- (1 +
^-Св Ц =
£± ь
, 12 2 Шр
= 5рГрХощ2 °р
^ С в (гь)©8. (33)
ь
В (33) Св (гь) определяется по формуле (25), коэффициент связи ©3 выглядят следующим образом:
М(Гр, Я2)М'(гь, Я1)
©3 =
(34)
М(Яи Гр)М' (гь, Я2)'
Уравнение, описывающее неустойчивости вблизи точек 4 и 6, находится при помощи условий сшивки (3) как для пучковых волн, так и для плазменной волны, дополненных условиями сшивки на металлических поверхностях волновода (6). Уравнение имеет вид
1 + 5рГр—Св (гр)
1 +
X
^ Св (гь)) =
ь
= брГр—^Св (Гр)бьгь-Св (гь)©4. (35)
X2
©4 =
М'(гь, Я1)М'(гр, Я2)
(36)
М'(гр, Я1)М'(гь, Я2У Перейдем к анализу полученных дисперсионных уравнений. Начнем с дисперсионного уравнения для неустойчивости в точке 1. Для удобства приведем уравнение (29) к виду
-1
[ш2 -ш2(кг)] [(ш-кги)2 -Ш2«2] = Ш4 1 +
('+
2©1
(37)
В (37) функция ш2(кг) определяется из уравнения (13) (в длинноволновом пределе ш2(кг) дается формулой (11)) и введен параметр плотности пучка
а2 =
к2
ь
2
(38)
Решение уравнения (37) вблизи точки 1 будем искать в виде
ш = шО + 6 = кои ± шоа + 6, (39)
где ш0, к0- координаты точки 1 на плоскости (ш, кг) (их можно определить численно), а 6 — комплексный инкремент. Подставляя (39) в дисперсионное уравнение (37), получим уравнение третьей степени для 6:
2ш06(62 ± 2ш06а) = ш4а2 1 +
к2
1
©1
(40)
Решение уравнения (40) зависит от соотношения между комплексным инкрементом 6 и частотой пучковой ленг-мюровской волны, т.е. от ш0а. При |6| ^ ш0а развивается неустойчивость в режиме одночастичного эффекта Черенкова и уравнение (40) преобразуется в кубическое уравнение относительно 6, из которого находим значение инкремента (см. таблицу). При обратном соотношении в системе имеет место коллективный эффект Черенкова и уравнение (40) преобразуется в квадратное уравнение относительно 6 (инкремент приведен в таблице), причем неустойчивость развивается только при резонансе плазменной и медленной пучковой волн (знак минус в соотношении (39) и уравнении (40)). Таким же способом из уравнения вида (37) получаются и значения инкрементов для точки 2, только в этом случае ш(кг) определяется формулой (19).
2
а
Условие резонанса Инкремент
1 ш = кои ± Шоа, |6| ^ Шоа Одночастичный эффект Черенкова на низкочастотной волне _ / ,2 2 \ —1/3 ( 1 + ы3\ 1/3 / 1 + к±р° \ „1/3 6 =(,2 + 2 )Шоа ^ + ) ©1
1 ш = кои ± Шоа, |6| ^ Шоа Коллективный эффект Черенкова на низкочастотной волне 2 2 —1/2 6 = - 1шоа1/2(1 + ©1/2
2 ш = кои ± Шоа, |6| ^ Шоа Одночастичный эффект Черенкова на высокочастотной волне 6 ( 1 + ^ \( 2 2 к2 © ) 1/3 6 = (р 2 + рШра ^ву
2 ш = кои ± Шоа, |6| ^ Шоа Коллективный эффект Черенкова на высокочастотной волне С -1 1/2 к0 ,—.1/2 6 = 12 Шра' к-©2 2 к±р1
3 ш = кои — Пе 7-1 Аномальный эффект Доплера на низкочастотной волне 6 . 1 (ш0/С2 — к2)1/2 шь —1 /ПТ (1 , к 1/2 /© 6 = ' 2 шр к±ы шО 7 ^шоу + к1ь1) ^
4 Ш = кои — Пе 7-1 Аномальный эффект Доплера на высокочастотной волне 1 1- / 2 \ —1/2 с . 1 ко Шь7 Пе 1 . ко \ ЦТ- 6 = 12Шрк±т кхы ^ шО^1 + к^)
5 ш = кои + Пе 7-1 Нормальный эффект Доплера на низкочастотной волне . 1 (ш0/с2 — к0)1/2 шь —1 /ПТ (1 , к \—1/2 6 = 2 шр кхы шо 7 ^шоу1 + к^) ^^
6 Ш = кои + Пе 7—1 Нормальный эффект Доплера на высокочастотной волне 6=1 шркко и+к у1/2 ^^ 2 к^р! к±ы с2 \ шО у к\ь^)
Для точек 3, 5 и 4, 6, описывающих нормальный и аномальный доплеровский резонанс, решение ищется в виде
ш = ш0 + Я = к0и ± Це7-1 + Я. (41)
Для точек 3 и 5 в качестве ш0 выбрана величина, определяемая формулой
ш0 = (ЯрО2 + к0с2 + ш2) - (42)
Используя решение (41), получим квадратное уравнение для нахождения инкрементов Я. Значения инкрементов представлены в таблице.
Таким образом, видно, что в рассматриваемой пучко-во-плазменной системе развиваются резонансные взаимодействия между различными пучковыми и плазменными волнами. Полученных результатов достаточно, чтобы в дальнейшем можно было сравнить и установить, в какой из точек неустойчивость развивается сильнее.
Заключение
Получены дисперсионные уравнения высокочастотных поверхностных волн (16), (24) и низкочастотных поверхностных волн (8), (21) пучка и плазмы, найдена структура поля этих волн.
В статье представлена подробная классификация процессов взаимодействия волн пучка и плазмы. Получены дисперсионные уравнения, описывающие взаимодействия поверхностных волн коаксиального плазменного волновода с поверхностными волнами электронного пучка.
В результате анализа дисперсионных уравнений (29), (31), (33) и (35) получены выражения для инкрементов неустойчивостей в режимах эффекта Черенкова
и эффекта Доплера для коаксиальной пучково-плазмен-
ной системы.
Список литературы
1. Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С и др. // Доклады АН СССР. 1982. 267. С. 829.
2. Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С. и др. // ЖЭТФ. 1982. 83. С. 1358.
3. Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С. и др. // ИПФ АН СССР. 1983. Вып. 3. С. 160.
4. Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С. Плазменная релятивистская СВЧ-электроника. М., 2002.
5. Иванов И.Е., Стрелков П.С., Шумейко Д.В. // Радиотехника и электроника. 54, №9. С. 1091.
6. Стрелков П.С., Иванов И.Е., Шумейко Д.В. // Физика плазмы. 38, №6. С. 536.
7. Богданкевич И.Л., Лоза О.Т., Павлов Д.А. // Физика плазмы. 2009. 35, №3. С. 183.
8. Карташов И.Н., Кузелев М.В., Хапаева Е.А. // Радиотехника и электроника. 2010. 55, № 12. С.1488.
9. Кузелев М.В., Хапаева Е.А. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2011. №3. С. 35 (Kuzelev M.V., Khapaeva E.A. // Moscow University Phys. Bull. 2011. 66, N 3. P. 242).
10. Кузелев М.В. // Физика плазмы. 2002. 28. С. 501.
11. Карташов И.Н., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. // Физика плазмы. 2009. 35. №2. С. 194.
12. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М., 1978.
13. Энциклопедия низкотемпературной плазмы. В 4 т. // Под ред. В.Е. Фортова. М., 2000.
14. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М., 2004.
15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 2004.
16. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 2. М., 1974.
On the theory of electromagnetic interactions of a relativistic electron beam and plasma in a coaxial waveguide in an external magnetic field
M.V. Kuzeleva, E.A. Khapaeva6
Department of Physical Electronics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a kuzelev@mail.ru, b e_khapaeva@mail.ru.
Linear electromagnetic interactions of rectilinear electron beams with magnetoactive plasma in a coaxial waveguide are considered. Dispersion equations are derived and field structures of surface plasma waves in the absence of the electron beam are determined. Dispersion equations of beam waves in the absence of plasma waves are derived. Dispersion equations that describe the interaction of plasma and beam waves are derived. Instability increments in regimes of single-particle and collective Cherenkov effects and irregular Doppler effect are calculated.
Keywords: magnetic field, coaxial waveguide, annular plasma, annular electron beam, surface plasma waves, surface beam waves, Cherenkov effect, Doppler effect. PACS: 52.35.-g. Received 23 June 2014.
English version: Moscow University Physics Bulletin 6(2014). Сведения об авторах
1. Кузелев Михаил Викторович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-25-47; e-mail: kuzelev@mail.ru.
2. Хапаева Екатерина Андреевна — аспирант; e-mail: e_khapaeva@mail.ru.
