CC BY
12
УДК 533.9
КВАНТОВАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ЧЕРЕНКОВСКОЙ ПУЧКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В ПЛАЗМЕ
М. В. Кузелев
Изложена квантовал теория черепковской неустойчивости релятивистского электронного пучка в изотропной плазме. Получены релятивистские квантовые нелинейные уравнения черепковской пучково-плазменной неустойчивости. В линейном приближении выведено релятивистское квантовое дисперсионное уравнение и в предельных случаях определены инкременты развития неустойчивости.
В работе [1] развита квантовая теория резонансной черенковской неустойчивости нерелятивистского электронного пучка малой плотности в плотной плазме. Показано, что в зависимости от плотности пучка имеются два режима неустойчивости. При умеренной плотности пучка неустойчивость развивается в обычном классическом режиме одночастичного вынужденного эффекта Черенкова. При очень малой плотности появляется новый, чисто квантовый, режим неустойчивости. Кроме того, в коротковолновой области имеется еще одна квантовая неустойчивость, классический аналог которой отсутствует. Квантовые пучковые неустойчивости аналогичны коллективному вынужденному эффекту Черенкова [2] или неустойчивостям в условиях аномального эффекта Доплера. В настоящей работе проводится обобщение результатов работы [1] на релятивистский случай.
Для квантового описания неустойчивости релятивистского электронного пучка в плазме используем следующие уравнения для волновой функции электронов пучка г), скалярного потенциала <¿>(¿,2) и возмущения плотности электронов плазмы
2д2ф 22д2ф 24 ( дф \ д<р \
д2у
— + 4тг/эр = -4тг^е, (1)
еП ( дф ,дГ\ е2
тс4
2тс2 \ ^ ^ / дг2 ~ 4тг дг2 '
Здесь ре - плотность заряда электронов пучка, а ир - ленгмюровская частота электронов плазмы (плазма описывается гидродинамически и в линейном приближении). Первое уравнение в системе (1) есть уравнение Клейна-Гордона-Фока, линеаризованное по скалярному потенциалу [3]. Поскольку в невозмущенном состоянии электронный пучок является моноимпульсным, невозмущенную волновую функцию электрона пучка можно определить выражениями
7721*7 /» о о ТП2С4 тс2/у .
ф(1,г) — Лехр(-го;о* + гк0г), к0 = —, = у &ос2 + = ——, (2)
где и - скорость пучка, 7 = (1 — и2/с2)-1/2 - релятивистский фактор электрона пучка, а нормировочный множитель у волновой функции (2) есть А = п^е27~1//2. Волновая функция (2) является одним из начальных условий для уравнения Клейна-Гордона-Фока.
Следуя работе [1], для потенциала и возмущенной волновой функции используем следующие представления:
ср = ехр(г'А:г) + ф*{1) ехр(—гкг)), (За)
ф = А0(1) ехр(гА:02:) + ехр[г(А:о — к) г] + Л+(*) ехр[г(&0 + к)г]. (36)
Подставляя выражения (3) в уравнения (1) и полагая функции ехр(г&,г), ехр(г&02:) и ехр[г(&0 Ч1 к) г] ортогональными на некотором пространственнохм периоде Ь (Ь эо), получим следующую систему уравнений:
(I2Ао . 2 л .е . • . • ч . 1, ^
Л2 + и£Ао = -г- + ф*А+) + -(фА- + ф А+
(РА. о . .е / : _ 1
сИ2
+ из2_А. = -{€- (АоФ* +
¿2А+ о . . е / : _ 1
+ <А+ = -г- (Аоф + -Аоф , (4)
47ге2
к2ф- р + —гпое1~1(А0А*0 + + А+А:)Ф =
тс'
АяеН
= г
тс
п0е1-\(А0А*_ - А0А'_) - -
<Рр 2,2 ~ ж=
Здесь
2-4
= + (5)
Уравнения (4) описывают нелинейную динамику релятивистской квантовой пучковой неустойчивости в плазме. Мы же здесь ограничимся только линейным приближением.
В линейном приближении правая часть первого уравнения системы (4) обращается в ноль. Поэтому, с учетом (2), имеем А0{Ь) = А ехр(—го;0£). Полагая ф ~ ехр(—из второго и третьего уравнений системы (4) видим, что ~ ехр[—¿(о^Т^М- При этом из линеаризованных уравнений (4) получается следующее дисперсионное уравнение для частоты ш пучково-плазменной системы:
2 ,Х-1Г {ио-и/2)2 + (и>0 + со/2)2
а; т и> т 1--Е. + = 2 —
а;2 &2с2 /:2с2
Учитывая далее соотношения
12 . .2 _ (. .2 /2 2
(о; — о?о)2 — (а; + с^о)2 —
+ J
(6)
(ш - и>о) — ц>_ = (а;2 - к2с2) - 2а;0(и> - ки), (7)
(ш + с^о)2 - а;2 = (а;2 - к2с2) + 2и0{ш - ки), преобразуем дисперсионное уравнение (6) к виду
/ * _ Н\и2-к2с2)\ и2р е ; V с2 4ш2с472 )
1--2--»2/ 2->2 2\ = О* (8 1
^ / и \2 ( 2 1,2 1\П V~к С )
~ ~ " 4т2с472
В нерелятивистском пределе (и2 << с2, и?2 << &2с2) дисперсионное уравнение (8) переходит в дисперсионное уравнение, полученное и исследованное в работе [1], а в классическом пределе из (8) получается известное дисперсионное уравнение неустойчивости релятивистского электронного пучка в плазме [4].
В одночастичном пределе о;е —> 0 из (8) находим релятивистские квантовые условия черенковского резонанса между электроном и продольной волной
К2(ш2 - к2с2)2 Ь
(ш - ки)2 - * ^ = 0 - а; = ки ± (и;2 - к2с2)-——. (9)
v 1 4т2с472 v , 7 2тс27
Если квантовый член в (9) мал, то, полагая в нем и — ки, запишем следующие условия:
Пк2
и — ки ^
2т73'
(10)
обобщающие классическое условие черенковского резонанса и = ки на квантовый релятивистский случай.
Подставляя в условия (9) частоту плазменной волны ш = определяем точки од-ночастичного черенковского резонанса пучка с плазменной волной
к - ти1 и Л1,2 — —Г- +
/ 7711X7 и)р
V Н и
и2 72
(П)
^3,4 =
ти'у
±
/ тшгу и^ \ Н и
ил
и2 72
Линии черенковских резонансов (9) и возможные расположения резонансных точек (11) на плоскости (и>, к) показаны на рис. 1 - точки 1-4. Горизонтальными прямыми "р" показаны линии и = ±о;р при умеренной плотности плазмы, а горизонтальные прямые "б" изображают линии и — ±о;р в случае плазмы большой плотности.
со \ V V-/ /
X \ к
/ \
Рис. 1. Линии черенковского резонанса и резонансные точки в релятивистской квантовой теории.
Рис. 2. Дисперсионные кривые при релятивистском пучково-плазменном взаимодействии.
Анализ дисперсионного уравнения (8) показывает, что неустойчивость пучка малой плотности в плазме имеется только в окрестностях резонансных точек к.\у2 (как и в нерелятивистском случае, см. [1]), причем только при умеренной плотности плазмы, а именно:
Нир < шс2(7- 1). (12)
Условие (12) обобщает полученное в работе [1] условие черенковской пучково-плазменной неустойчивости на релятивистский случай. Физический смысл неравенства (12) в том, что при излучении плазмона электрон теряет энергию Нир. Но это возможно, только если энергия плазмона меньше кинетической энергии электрона. Таким образом, неравенство (12) является принципиальным квантовым порогом по энергии электрона для развития черенковской пучковой неустойчивости в плазме. При выполнении условия (12) расположение резонансных точек на плоскости (о;, к) такое, как показано на рис. 1 в случае, когда линии ш = ±о;р изображаются прямыми "р". Полная картина дисперсионных кривых, построенных по уравнению (8) при выполнении неравенства (12), представлена на рис. 2. Области неустойчивости на этом рисунке как раз приходятся на окрестности точек А:12.
Для вычисления инкрементов предположим, что выполнены неравенства
Ч27"3 « ^р, Ьи>р « тс2(7 - 1). (13)
Тогда, полагая ш = и>р + 6и> и к = &1>2, преобразуем дисперсионное уравнение (8) к виду
¿с2 (би> + К2 - = ¿«6-4, (14)
где к\г2 ~ резонансные волновые числа, приведенные в (11). В ультрарелятивистском случае 7 >> 1 имеем кл « ир/и, А;2 ~ 2ти^/Н. При этом из (14) получаются следующие формулы для инкрементов 6и>:
-1 + г'л/З П
к = к\ : 8со = <
(15)
<< Цн,
где
к = к2 : 6и = г^у/рп^е^р,
и;2 7 3 2Нсир
= "73". Яа = —(16)
и;* ти2 73
Формулы (15) и (16) обобщают соответствующие формулы работы [1] на релятивистский случай. Два инкремента из приведенных в (15) очевидно являются чисто квантовыми. При k —> 0 второй инкремент переходит в первый, а третий - обращается в ноль. Первый инкремент в (15) совпадает с известным классическим инкрементом обычной резонансной черенковской неустойчивости релятивистского пучка в плазме. Заметим,
что в случае, когда инкремент неустойчивости определяется второй формулой (15), т.е.
1/3 ^ ^
выполнено неравенство иь << топология дисперсионных кривых не соответствует тому, что изображено на рис. 2.
Автор благодарит A.A. Рухадзе за сделанные им при обсуждении работы ценные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
[1] М. В. Кузелев, Краткие сообщения по физике ФИАН, 36(8), 13 (2009).
[2] М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, УФН 152(2), 285 (1987).
[3] А. С. Давыдов, Квантовая механика (М., Наука, 1973).
[4] А. Ф. Александров, Л. С. Богданкевич, А. А. Рухадзе, Основы электродинамики плазмы (М., Высшая школа, 1988).
Учреждение Российской академии наук Институт общей физики
им. А.М. Прохорова Поступила в редакцию 12 июня 2009 г.
