CC BY
21
УДК 537.31
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ ЧЕРЕНКОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ И КОМПТОНОВСКОГО РАССЕЯНИЯ В ПЛАЗМЕ
М.В. Кузслсв, А. А. Рухадзс
В трехвол,новом, приближении рассмотрены вынужденные процессы в электронной плазме: черепковское излучение нерелятивистским электронным пучком продольных колебаний и комптоновское рассеяние поперечной электромагнитной волны в плазме с возбуждением квантовой моды, (волна де Бройля). Обсуждается, возможность проявления, квантовых колебаний.
Ключевые слова: вынужденное черенковское излучение, вынужденное рассеяние. КВсШТОВЫб колебания, дисперсионное уравнение, волна де Бройля.
1. Высоко-частотные квантовые колебания, в плазме. Применимость кинетических уравнений с самосогласованным полем (в классическом случае это уравнение Власова для функции распределения, а в квантовом уравнение Вигнера) было обосновано H. Н. Боголюбовым в своем знаменитом труде [1]. Условие применимости в случае электронного газа сводится к виду
где е - заряд электронов, п - их плотность, а е0 - средняя энергия их хаотического движения, равная температуре электронов Те для невырожденного газа, либо энергии Ферми ер = (3п2)3/2К2п2/3/2т в случае вырожденного газа (К- ПОСТОЯННАЯ Планка).
Исследуемые нами процессы вынужденных черенковского излучения и комптонов-ского рассеяния в квантовой плазме определяются высокочастотным диэлектрическим откликом на электромагнитное поле. Поэтому вьтпитпем здесь продольную и поперечную диэлектрические проницаемости квантовой электронной плазмы [2] (см. также [3])
Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, 119991 Москва, ул. Вавилова, 38, Россия.
(1.1)
, ,2
бг (u,k) = 1--, etr (u,k) = 1
(1.2)
Здесь ш и к - частота и волновой вектор электромагнитных возмущений,
к2
шк = — Ь (1.3)
2т
одночастичньтй спектр колебаний электронов (собственная частота уравнений Шре-дингера для электрона - спектр частот волны де Бройля), а шье = л/4пв2н/т - ленг-мюровская частота, характеризующая взаимодействие электронов посредством самосогласованного поля.
Выражения (1.2) справедливы только в высокочастотном пределе, когда выполнены условия
ш ± шк >> ки0 = кл/2б0/т. (1.4)
Их следует учитывать при анализе спектров колебаний.
Выражение для высокочастотной поперечной диэлектрической проницаемости не содержит квантового члена, а следовательно, и спектр поперечных электромагнитных волн такой же как и в классическом пределе [2. 4]. Спектр же продольных волн, определяемый нулями диэлектрической проницаемости, дается выражением
ш = ±у/ Ш2Ье + ш2. (1.5)
Именно эта формула для спектра квантовых колебаний приведена в работе [2]. Однако не указаны условия, когда квантовая поправка в виде (1.5) справедлива. Эти условия следуют из неравенств (1.1) и (1.4) и записываются в виде
6о >> ЬшЬе >> бо. (1.6)
Противоречивость (несовместимость) этих условий свидетельствует о невозможности проявления квантовых эффектов в спектре (1.5); квантовая поправка в (1.5) меньше не учтенной классической тепловой поправки.
Следует заметить, что в ряде работ (см. [5], где можно найти подробную библиографию) исследовались квантовые спектры колебаний электронной плазмы как с использованием квантового кинетического уравнения [2]. так и использованием квантовой гидродинамики [3]. В этих работах, однако, не оговорились условия применимости полученных результатов. Нам представляется, что многие результаты выходят за рамки условий их применимости. Первые работы, в которых такие условия оговорены и показано, когда квантовые эффекты могут проявиться, это работы [6 8]. В них исследованы линейная и нелинейная стадии вынужденного черенковского излучения электронных
пучков в плазме в квантовом пределе. Изложенное ниже частично заимствовано из этих работ.
2. Вынужденное черепковское излучение нерелятивистского электронного пучка в плазме с возбуждением квантовой моды. Рассмотрим задачу возбуждения нерелятивистским моноэнергетическим электронным пучком продольных колебаний в плотной холодной электронной плазме. Плотную плазму будем рассматривать классически, а электронный пучок, учитывая его малую плотность, квантово. В этих условиях дисперсионное уравнение плазма-пучкового взаимодействия, или. что тоже самое, вынужденного черенковского излучения электронным пучком продольных плазменных волн, записывается в виде
2 2
1 + 5tlb + =1--U--^ = 0- (2.1)
b p (и -ku)2 - и2 и2
Здесь u - скорость электронов пучка, иь и ир - ленгмюровские частоты электронов пучка и плазмы, соответственно, причем считается, что np >> nb. Величина ик - определена выше»
Уравнение (2.1) по виду совпадает с дисперсионным уравнением плазма-пучкового
взаимодействия в классическом случае в условиях, когда пучок замагничен ^ = eB
-, где B0 - продольное магнитное поле), а плазма нет (см. [41). При этом отсюда
mc
следует два механизма резонансного взаимодействия пучка с плазменной волной
и = ир = ku ± , (2.2)
отвечающие нормальному и аномальному эффектам Доплера, соответственно. Неустойчивость с возбуждением продольной плазменной волны имеет место при аномальном эффекте Доплера (нижний знак в (2.2)). При этом уравнение (2.2) определяет два резонансных значения волнового вектора
ki = 2mu\\/h, k2 = Шр/щ\, (2.3)
где My - составляющая скорости пучка вдоль волнового вектора к. При получении (2.3), также как и в [5], предполагалось выполненным неравенство
/ = Щ << 1. (2.4)
muy
Как следствие, первый корень (квантовый) большой, а второй (классический) маленький. Заметим, кстати, что неравенство (2.4) с учетом (1.1) для плотной плазмы эквивалентно требованию, чтобы скорость пучка превосходила скорость теплового разброса электронов плазмы.
¿1,2 = ( ) • (2-5)
Далее, из уравнения (2.1) при выполнении резонанса аномального эффекта Доплера
находим инкременты развития неустойчивости (и ^ и + 5)
.2, , \ 1/2 ь
Лик1,2,
При получении этого выражения предполагалось, что 51}2 << ик1,2 и в этом проявление кв&нтовости. Очевидно, что возбуждаться будет квантовая мода с меньшим волновым числом к2 = &р/и\\ и, соответственно, с меньшей частотой ик2 = Кш^/ти^. Как следствие ик2/ир = / << 1, что и было замечено при выводе уравнения (2.1).
Перейдем теперь к вопросу о применимости полученных в этом разделе результатов. Заметим, что условие (1.1) сохраняет вид и в рассматриваемом случае, а условия (1.4) записываются в виде
Шк1,2 >> ¿1,2 >> к1,2л/2ео/т- (2.6)
Неравенства (1.1) и (2.6) при учете выражений (2.5) сводятся к виду
1 >> /л3п >> ^г (2.7а)
И пр ир 1 ;
для коротковолновой моды неустойчивости (к = к1), и
3
1 >>/3 >>Пь >>№ (2.7Ь)
пр Щ
для длинноволновой моды (к = к2). Здесь ь0 - скорость теплового разброса электронов пучка.
Неравенства (2.7а) несовместимы, а поэтому возбуждение коротковолновой квантовой моды со спектром шк1 в газовой электронной плазме в результате развития черен-ковской плазмы пучковой неустойчивости невозможно. Длинноволновая же квантовая мода со спектром шк2, которая может возбуждаться при условиях (2.7Ь), вполне реализуема, правда при очень малых плотностях пучка и больших плотностях плазмы.
3. Вынужденное комптоновское рассеяние электромагнитной волны, в плазме с возбуждением квантовой моды,. Перейдем теперь к рассмотрению вынужденного комп-тоновского рассеяния поперечной электромагнитной волны на продольных колебаниях плотной плазмы с возбуждением квантовой моды. В линейном приближении такой процесс описывается дисперсионным уравнением трехволнового процесса распада падающей поперечной волны на рассеянную поперечную волну и плазменную волну [4]
1
г. 5е1 (и,к)к2
[(к0 -к) X Уе)} г м с (к0 -к)2
--=т- е (ио - и, ко - к)--?--(ко - к)2 I (ио - и)2
(3.1)
Здесь б1'*г (ш, к) - даются выражениями (1.2), причем ш0жк0 частота и волновой вектор падающей волны, ш3 = ш0 — ш и к3 = к0 — к - то же для рассеянной волны, ш и к -частота и волновой вектор продольной плазменной волны, возбуждаемой в процессе рассеяния, а = вЕ0/тш0, где Е0 - амплитуда падающей волны накачки.
Из уравнения (3.1) видно, что резонансное рассеяние имеет место при выполнении условий трехволнового распада
ш0 = ш8 + ш, к0 = к8 — к. (3.2)
В дальнейшем мы ограничиваемся высокочастотным рассеянием, когда ш0 и ш3 намного превосходят плазменную частоту шЕе и плазма прозрачна для падающей и рассеянной волн. Именно такой случай вынужденного рассеяния изложен в [4] для классического
ш >> шк рассеяния записывается в виде
к2и 2
(ш2 — шк — ш|е)(ш2 — С2к2) = ^ ш1. (3.3)
Это уравнение отличается от рассмотренного в работе [4] наличием квантовой часто-шк
при учете этой частоты. Именно, рассмотрим корень уравнения (3.3) в резонансных условиях
ш = шк + 15, ш8 = ек3 + 15, шк5 >> ш2Ье. (3.4)
При выполнении условий (3.4) для инкремента развития неустойчивости, соответствующей вынужденному комптоновскому рассеянию высокочастотной поперечной волны5 на одночастотных квантовых колебаниях плазмы из (3.3) получим
ш2 к2у2
52 = (3.5)
16шкш0
Отсюда видно, что инкремент 5 не зависит от волнового вектора к и является чисто квантовой величиной (не допускает переход к классическому пределу к ^ 0).
Наконец, обсудим условия применимости полученных в этом разделе результатов. Из неравенств шк >> 5 >> кь0 с учетом (2.4) получаем окончательное условие реализации вынужденного комптоновского рассеяния с возбуждением квантовой моды ^волны де Бройля)
1 »V0. Ж. (3.6)
V б0 иву шЬе
Эти условия довольно жестки, но вполне выполнимы в случае сильных полей, когда vE >> v0, плотность плазмы довольна высока, так что и0 не намного превосходит uLe, а идеальность (т.е. условие (1.1)) на пределе.
4- Обсуждение результатов. Из приведенного выттте анализа можно сделать следующие выводы i
1. В электронной плазме в отсутствие внешнего воздействия наблюдение квантовой моды колебаний (волны де Бройля) исключается условиями применимости (1.1) и (1.4). которые сводятся к взаимоисключающим неравенствам (1.6).
2. При инжекции в изотропную электронную плазму нерелятивистского электронного пучка возможно наблюдение вынужденного черенковского излучения с возбуждением квантовой моды. Условия реализации (2.7Ь) вполне выполнимы при малом отношении плотности пучка и плотности плазмы.
3. Реализуемы условия вынужденного комптоновского рассеяния высокочастотной поперечной электромагнитной волны с возбуждением квантовой моды в изотропной электронной плазме. Но и в этом случае плотность плазмы должна быть высокой, а поле падающей волны достаточно сильным.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Н. Н. Боголюбов. Проблемы динамической теории в статистической физике (М.. Гостехиздат. 1946).
[2] В. П. Силин. А. А. Рухадзе. Электромагнитные свойства плазмы, и плазмоподоб-ных сред (М.. Атомиздат. 1961).
[3] М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, УФН 169(6), 400 (1999).
[4] А. Ф. Александров, Л. С. Богданкевнч, А. А. Рухадзе, Основы электродинамики плазмы, (М., Высшая Школа, 1988); англ. издание: Spriuger,1984.
[5] П. К. Шукла, Б. Эльясон, УФН 180(5), 55 (2010).
[6] М. В. Кузелев, Краткие сообщения по физике ФИАН, 36(8), 13 (2009).
[7] М. В. Кузелев, Физика плазмы 36(1). 132 (2010); Квантовая электроника 40, 83 (2010).
[8] М. В. Кузелев, Квантовая электроника 40, 33 (2010).
Поступила в редакцию 2 октября 2009 г.
