CC BY
18
ЭНЕРГЕТИКА
УДК 539.3
В.А. Быстроумов, И.В. Семенова, С. Ю. Осипов, Ю. Р. Осипов
ВЛИЯНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В РОЛИКАХ ВУЛКАНИЗАЦИОННЫХ АППАРАТОВ ДЛЯ ПРОИЗВОДСТВА ГУММИРОВАННЫХ ОБЪЕКТОВ НА ИХ ПРОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
V.A. Bystroumov, I.V. Semenova, S.Y. Osipov, Y.R. Osipov
THE IMPACT OF THERMAL EXCHANGE IN ROLLERS OF VULCANIZING MACHINES FOR PRODUCTION OF GUMMED OBJECTS ON THEIR STRENGTH PROPERTIES
С привлечением математического анализа изучено распределение температурного поля в полом цилиндрическом теле. Получены формульные выражения для определения температуры, возникающей в сечении цилиндра, которые можно использовать для определения наилучшего режима вулканизации гуммировочного покрытия в аппарате с активным гидродинамическим режимом (АГР). Получены формулы для напряжений и изгибающего момента.
Термообработка, температурное поле, эластомерное покрытие, теплообмен, вулканизация, реакционная камера.
The distribution of temperature field in a hollow cylindrical body has been examined using of mathematical analysis. Formula expressions have been obtained for determining the temperature in the cylinder cross-section that can be used to estimate the best vulcanization mode of the rubberized coating in the apparatus with an active hydrodynamic regime. Formulae for stresses and the cylinder bending moment have been deduced.
Heat treatment, temperature field, elastomer covering, heat exchange, vulcanization, reaction chamber.
Для продольного перемещения резинометалли-ческого листа в реакционной камере с АГР необходимы одни из основных элементов конструкции - ролики. От их теплового режима зависит качество горячего крепления гуммировочного покрытия к металлической основе: сопротивление отрыву, сдвигу, отслаиванию и расслаиванию; возникновению остаточных температурных напряжений и деформаций. Ниже приведено общее выражение температуры для произвольных граничных условий на наружной поверхности, получены формулы для напряжений и изгибающего момента. Для цилиндра конечной длины условия на торцах удовлетворяются интегрально и полученное решение по принципу Сен-Венана справедливо в средней по длине части цилиндра. Полученные термоупругие напряжения имеют место в валках и роликах вулканизационных аппаратов c АГР, а также в аппаратах текстильной и целлюлозно-бумажной промышленности.
1. Температурное поле. Поперечное сечение
бесконечно длинного цилиндра - двусвязная область S. Цилиндр частично контактирует с поступательно движущимся слитком горячего металла, вследствие чего цилиндр вращается вокруг неподвижной оси с некоторой угловой скоростью w.
В начальный момент времени на наружной поверхности цилиндра устанавливается температура:
0(1, ф) = 0 + ¿[у„ cos (n j) + P„ sin (n ф)] ; (1)
n = 1
е(ро, j) = ei, е(р, ф, Fo)|Fo=0 = е2, (2)
г\/ т- \ (T ^min) -к (T Tmm)
где е(р, ф, Fo) = ^-; 0 = ^-;
) (Т _ Т ) (T _ T . )
V max min / V max min/
_ R0 „ (T1 _ Tmin ) „ (T2 _ Tmin )
р0 = ^T ; e1 =77-7-7 ; e2 =" '
R (Tmax Tmin) (Tmax Tmin)
r
р = — ; T- текущая размерная температура; Tmax и R
Ттш - соответственно максимальная и минимальная температуры, Бо = ах/Я2 - критерий Фурье; г - текущий радиус точки поперечного сечения, а - коэффициент температуропроводности; х -время.
Решение задачи теплопроводности для бесконечно длинного цилиндра, удовлетворяющее условиям (1) - (2), имеет вид [1]:
0(р, j, Fo, Pd) = 1
- ln р _ (01 -0)—1- +0 ln Po
+ — 2
■X CnVo(1n P)exp (--2 Fo) +
n = 1
+ 2 X {[§n2) bein (P) - §nx) bern (р) + g^ vern (р) -
n =1
■ gn2)vein (р)]cos(nj) - [S(n2)bern (р) + (р) -
- g(n2)vern (р) - g(n1)vein (р)] sin(nj)} +
+ 2 X X W)cos [n(j- Pd • Fo)] +
n = 1 k = 1
t- sin[n(j - Pd • Fo)]} Vn (Ink P)exp (--2k Fo),
(3)
где V0 (1n р), Vn (1nk р) - комбинации функций
Бесселя I и II рода; —n и 1nk - корни характеристических уравнений V0(1) = 0 и Vn (1n) = 0; ber^),
bei^), ver^), vei^) - действительные и мнимые части бесселевых функций In(z) и Jn(z) аргумента
z = (-inP)V2 р; Pd = wR2 / a - число Предводите-
лева; значения Cn, 8Пц, 8n2), 7®, g(2), w^, w^ в
явном виде приведены в [1].
2. Термоупругие напряжения. Компоненты вектора термоупругих напряжений находятся методом суперпозиции напряжений Oj0, обусловленных термоупругим потенциалом Ф, и напряжений Oj00, определяемых через функцию F [4].
Потенциал Ф удовлетворяет уравнению Пуассона
F = a1 0(p, f, P, F); a1 = (1 + n)a(rmax - Tmin) / (1 -n), (4)
где a - коэффициент температурного расширения; п - коэффициент Пуассона.
Частное решение уравнения (4) имеет вид [3]:
F
F = a1Jq(r, f, Р, F)dF + FF1 + F0. (5)
Если в качестве Ттт принять начальную температуру, то Ф0 = 0. Произвольная гармоническая функция Ф1 определяется из условия ограниченности температуры при F ® ¥ :
F1 = -a1 lim 0(p, f, P, F)
(6)
Без существенной погрешности для напряжений при определении термоупругого потенциала в двойных суммах можно ограничиться первой гармоникой, высшие гармоники оказывают влияние только на осевое напряжение, причем вносимый ими вклад составляет доли процента.
После подстановки (3) и (6) в (5) с учетом первой гармоники получим:
F
X Я V0(ln р)(1 -F)
a1 и=1 1 n
+ 2 X V1(l1k р) (ö$ $ + <2) /f);
P
(7)
k = 1
//k1)(f, P, F) =
- e
/k (f, P, F) = \-f sin f - cos f +
—11 + P I P
„--,k z F
-2k
. Tisin f--cos f-
-1k4+P I P
-2k
sin(f - PF) + -k cos(f - PF)
P
-2k •
1k
+ e~ -2k F
-2
cos(f - PF) + -y sin(f - PF)
Отметим, что непосредственное интегрирование уравнения (4) дает отличное от (7) по внешнему виду выражение термоупругого потенциала: вместо первой суммы (7) имеем
F* = 4 00р2 +1 (01 -00 )р2(1п р- 1)/ln р0. (8)
4 4
0
+
+
Разлагая (8) в ряд по функциям ¥0 (1п р) на отрезке [р0, 1] и используя ортогональность последних, можно показать тождественность равенства
0°р2
б] — б0 + --р2(1п р — 1) =
41п р
0
С
= Е -Л го(1« р)+со^.
п = 1 ^п
(9)
Таким образом, термоупругий потенциал Ф, найденный методом Гудьера [3] и непосредственным интегрированием уравнения (4) с точностью до постоянной, не влияющей на напряжения, имеет один и тот же вид. При этом свертка суммы в правой части (9) устраняет разрыв напряжений на поверхности цилиндра (р = 1).
Напряжения от потенциала Ф вычисляются по формулам
о
(
рр
20а1
ор
1 Э2Ф ^
1 ЭФ
р Эр р2 Эф2
Оф
Э2Ф
Ющ Эр2
Э
(1 ЭФ ^
Юа1 Эр I р Эф
0 _ 0 . _ 0 Ои =Орр +Офф.
(10)
На потенциал Ф не налагается никаких условий, кроме удовлетворения уравнению (4), поэтому напряжения (10) не удовлетворяют условиям свободных поверхностей цилиндра. Боковые поверхности будут свободны от внешних нагрузок, если на (10) наложить решение бестемпературной задачи, обусловленное функцией напряжений Е соответствующего вида.
Для осесимметричной составляющей Ф дополнительное напряженное состояние может быть выбрано в форме решения задачи Ламе, для остальных слагаемых Ф функция напряжений принимается в виде
Е = ЕЕ (Ак р—1 + Вк р3)« $ + ю(2) /к2). (11)
к = 1
Видно, что каждое слагаемое уравнения (11)
удовлетворяет бигармоническому уравнению; следовательно, функция Е бигармоническая. Постоянные А1к и В1к определяются из условия
Орр0 +Орр00 = 0, Орф0 +Орф00 = 0 при р = р0,
р = 1.
Для коэффициентов (11) имеют место выраже-
ния:
А1к =
1|к [^2 (1к р0 ) —р02 V) (1 1к ) I р0
1 — р04
В =
1к [р02У>(11к р0) — У>(11к ) 1—р0 :
Теперь все компоненты вектора напряжения могут быть записаны в явном виде, например, осевое напряжение
о.
0 "1
20щ
= —00 —
е, —е°. ур02
1п р0
1п р +
1 — р02
— 01 +
01 — 0
0
р0
— Е Сп V (1 п р) —-
21п р0 4у
1—
р0
0
-п У 0 VЪИ V) «2,1 2\ п = 1 I Р1п (1 — р02)
1—
•0(1п р0) •0(1 п)
ехр (—1п2Е) + 2Е 11к 1«(^к р) + -к=1 [ 1
4ур
X |^р02^2 (11кр0 ) — V2 (11к )]}[<> /(1 + «1? /к2) ] .
(12)
Полученным методом суперпозиции напряжения удовлетворяют свободным боковым поверхностям бесконечно длинного цилиндра и характеризуют плоскую деформацию последнего. Для практических приложений наибольший интерес представляет рассмотрение цилиндра конечной длины со свободными от внешних нагрузок торцевыми сечениями.
В любом поперечном сечении цилиндра напряжение (12) дает результирующую силу N и изгибающий момент М:
4
0
0
X
0
А
1
X
0
X
X
X
N
2Ga1
= 2pR2(1 -n) <
01 р02 - 00 ,(01-00)(1 -р0) + x X -1k[V2(-1k)-^(^k^[w^/г + <f™]-
2 2 4ln P _ k = 1
2 " C
p ¿1 -7
1-
J0(-nP0) J0(-n )
4ln P0
exp (--n2 F )j;
M
2Ga1
2pR3 (1 - П) X -1k V (-1k) - P02V2(-1kP0)] x
k = 1
X [< /(k1)0 +w(k /f0 ];
f (1)0 =_
/1k =-1k4 + P2
P
x <1 - exp(--1k 2 F)
-12
cos(PF) + -k- sin(PF)
f(2)0 = f1k =
x <1 + exp(--1k 2 F)
P
-1k4 + P2
x
-1k2
sin(PF) —y- cos(PF)
Если на осевое напряжение (12) наложить напряжения от N и М, взятые с обратным знаком N м) 4М г f
—п-уТ , ' = —^-^ , то осевое
пЯ2 (1 -г2) пЯ3 (1 -Го4)
напряжение будет определяться формулой
o(N ) =
O z
2Ga,
= (00 -01)
(2ln р +1 + р02 ^
2ln P0 1-P0
- XCn |V.(-nP)-
-n < 0V Sr/ ' 2n „ 2ч n=1 [ n (1 -P0 )
1-
J0(-nP0) J0 (-n )
'X
2
с exp (--n2F)--1
8р(1 -n)sin f
-X
P0
2 X -
k=1
1k '
X|-1kV1(-1kP) + 1-P4[P02V2 (-1kP0 ) - V2(-1k)]|x
X [< $ +w(2) f™ ]. (13)
При этом остальные компоненты вектора напряжения не изменятся, а (13) интегрально удовлетворяет свободным торцевым сечениям цилиндра конечной длины и будет справедливо по принципу Сен-Венана в средней по длине части цилиндра. Следует отметить, что в этом случае деформация цилиндра, вообще говоря, уже не будет плоской и при некоторых условиях первоначально прямолинейная ось цилиндра изменит свою форму.
Полученная зависимость позволяет выполнить расчет температуры в полом цилиндре вулканиза-ционного аппарата с АГР, что дает возможность выбрать оптимальный режим вулканизации и приводит к повышению качества выпускаемой продукции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Быстроумов, В.А. Нестационарные термоупругие напряжения вращающегося цилиндра / В.А. Быстроумов, И.А. Игнатов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. - № 1. -С. 102 - 108.
2. Быстроумов, В.А. Теплообмен в роликах реакционных камер вулканизационных аппаратов для производства гуммированных объектов / В.А. Быстроумов, И.В. Семенова, С.Ю. Осипов, Ю.Р. Осипов. - Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ. - 2010. - № 2. - С. 103 - 107.
3. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, В.В. Шабат. -М.: Наука, 1973. - 734 с.
4. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М.: Высш. шк., 1966. - 600 с.
+
x
4
Быстроумов Валерьян Аркадьевич - кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Вологодского государственного технического университета. Тел.: 8 (8172) 72-50-93 доб. 118.
Осипов Сергей Юрьевич - кандидат технических наук, доцент кафедры менеджмента Тверского государственного технического университета, докторант Череповецкого государственного университета.
Тел.: В (0В22) 44-33-90; 32-67-00; В-910-533-46-66.
Семенова Ирина Викторовна - преподаватель кафедры высшей математики Вологодского государственного технического университета.
Тел.: В (В172) 72-50-93 доб. 11В; 75-20-47.
Осипов Юрий Романович - заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор технических наук, профессор кафедры теории и проектирования машин и механизмов Вологодского государственного технического университета.
Тел.: В (В172) 72-47-70 доб. 169; 53-1В-22; В-921-121-53-7В.
Bystroumov, Valerian Arkadievich - Candidate of Science (Technology), Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Vologda State Technical University.
Tel.: В (В172) 72-50-93 extention 11В.
Osipov, Sergey Yurievich - Candidate of Science (Technology), Associate Professor, Department of Management, Tver State Technical University, Cherepovets State University Doctorate.
Tel.: В (0В22) 44-33-90; 32-67-00; В-910-533-46-66.
Semenova, Irina Victorovna - Lecturer, Department of Higher Mathematics, Vologda State Technical University.
Tel.: В (В172) 72-50-93 extention 11В; 75-20-47.
Osipov, Yury Romanovich - Honored scientist of the Russian Federation, Doctor of Science (Technology), Professor, Department of Theory and Design for Machines and Mechanisms, Vologda State Technical University.
Tel.: В (В172) 72-47-70 extention 169; 53-1В-22; В-921-121-53-7В.
УДК 621.311.22
В.И. Игонин, О.В. Стратунов
МАКРОУРОВНЕВАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЭНТРОПИЙНОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОТЕПЛОГИДРАВЛИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ЭНЕРГИИ
V. I. Igonin, O. V. Stratunov
MACRO-LEVEL PARAMETRICAL
IDENTIFICATION OF ENTROPY MODEL OF ELECTRIC-THERMAL-HYDROLIC
ENERGY CONVERTER
В настоящее время вопросы преобразования электротеплогидравлических форм энергии в электротеплогенераторах трансзвукового типа изучены недостаточно. Методики расчета подобных устройств, как правило, не публикуются и поэтому все это делает актуальными вопросы разработки моделей диссипационного типа, которые учитывают все формы энергопреобразования энергии в явном виде. В данной работе отражена реализация разработанной методики, определяются дис-сипационные составляющие потока энтропии и коэффициенты преобразования, трансформации и полезного действия.
Формы энергии, методики расчета, диссипация, диссипационные составляющие потока энтропии, коэффициенты преобразования, трансформации, коэффициенты полезного действия.
At present, the problems of transformation electric-thermal-hydraulic energy in electric-thermal-hydraulic generators of transonic type are studied insufficiently. Design procedures of similar devices, as a rule, are not published and, consequently, this makes the problems of developing models of dissipation type that consider all forms of power transformation of energy in an explicit form very urgent. The paper presents the realization of the worked out method, discusses dissipation components of an entropy flow and the factors of conversion, transformation and efficiency.
Forms of energy, design methods, dissipation, dissipation components of entropy flow, factors of conversion, transformation and efficiency.
