ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСОВ ЗНАЧЕНИЙ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ В МОДЕЛЯХ ИЗГИБНЫХ ФОРМ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СЖИМАЕМЫХ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ: НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№3 (72) / 2020.

УДК 519:539.3:534.1

©2020. В.Н. Павлыш, С.В. Сторожев

ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСОВ ЗНАЧЕНИЙ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ В МОДЕЛЯХ ИЗГИБНЫХ ФОРМ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СЖИМАЕМЫХ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ: НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД

Дается изложение численно-аналитической нечетко-множественной методики исследовании модели Эйлера, описывающей эффекты потери устойчивости прямых тонких сжимаемых изотропных стержней в рамках гипотезы линейного докритического напряженно-деформированного состояния, при дополнительном учете эффектов разброса значений исходных физико-механических и геометрических параметров. Описываемый подход базируется на применении расчетных аналитических соотношений детерминистических версий рассматриваемых вариантов модели для эндогенных параметров критических сжимающих усилий и внутренних напряжений, предполагает задание неопределенных экспериментальных и технологических экзогенных параметров модели в форме нечетко-множественных величин и дальнейшее применение процедуры перехода в расчетных соотношениях к нечетко-множественным аргументам на базе применения альфа-уровневой модифицированной формы эвристического принципа расширения. Приведены примеры применения разработанной методики и анализа получаемых результатов.

Ключевые слова: тонкие прямые стержни, осевые сжимающие усилия, эффекты потери устойчивости, прикладная модель Эйлера, влияние разбросов исходных параметров, методы теории нечетких множеств, эвристический принцип обобщения.

Введение и цели исследования. Теоретические модели анализа эффектов потери устойчивости тонкостенных стержневых конструкций, несмотря на длительный период исследования, продолжают оставаться актуальным объектом изучения в механике деформируемого твердого тела, механике строительных конструкций и сооружений, механике машин и механизмов и играют важнейшую роль в выработке оценок показателей прочности, надежности и долговечности в процессе проектных разработок по указанным направлениям [1—4]. При этом одним из первостепенных вопросов дальнейшего изучения проблем устойчивости стержневых конструкций является учет факторов неопределенности моделируемых процессов и явлений, в числе которых - разбросы экзогенных параметров исследуемых моделей, в частности их неконтрастность, обусловленная погрешностями экспериментальных измерений физико-механических характеристик материалов, технологическими отклонениями в процессах изготовления от номинальных показателей, вариативностью эксплуатационных режимов.

При наличии эффективного подхода к решению задач учета неконтрастности данных в моделях исследуемого класса [5, 6], предполагающего использование методов теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, возможности его применения не являются исчерпывающе полными в силу исходных требований к природе исходной неопределенной информации,

не всегда обеспечиваемых условий ее корректной статистической природы. В силу этих соображений представляет интерес развитие методов, дополняющих спектр инструментов исследования эффектов неопределенности в моделях механики конструкций и допускающих использование субъективных экспертных заключений о диапазонах значений исходных параметров, данных, получаемых на основе обработки маломощных неоднородных частотных выборок, и позволяющих использовать неопределенные данные, не прибегая к процедуре их предварительного усреднения. В качестве одного из возможных приемов таких исследований может рассматриваться применение методов теории нечетких множеств [7-10], использование которых в прикладных инженерных моделях технологических и деформационных процессов описывается в работах [9-12]. Данный подход основывается на применении расчетных аналитических соотношений детерминистических версий рассматриваемых теоретических инженерных моделей, предполагает задание неопределенных экспериментальных и технологических экзогенных параметров моделей в форме нечетко-множественных величин и дальнейшее применение процедуры перехода в расчетных соотношениях к нечетко-множественным аргументам на базе применения альфа-уровневой модифицированной формы эвристического принципа расширения.

В контексте изложенных соображений, целью описываемых в данной работе исследований является обобщение нечетко-множественной методики получения оценок влияния разбросов в значениях механических и геометрических исходных параметров моделей деформирования на задачи потери устойчивости при сжатии прямых тонких изотропных стержней в рамках гипотезы линейного до-критического напряженно-деформированного состояния стержневых конструкций (модели Эйлера).

1. Моделирование эффектов потери устойчивости прямых упругих стержней в рамках прикладных теорий. Результаты аналитического исследования детерминистических версий прикладных математических моделей устойчивости однородных по длине сжатых в осевом направлении тонких прямых стержней при различных вариантах задания краевых условий описаны в достаточно обширном числе публикаций, в частности в работах [1-4]. Они базируются на гипотезах деформирования стержней в пределах линейной модели упругого напряженного состояния и предполагают задание в расчетах точных значений исходных геометрических и физико-механических параметров рассматриваемых конструкций. В рамках данных исследований применительно к однородным по длине стержням с различными видами граничных условий на концах получены аналитические представления для критических значений сжимающих усилий Р* и критических уровней внутренних продольных напряжений^*, описываемые обобщенными выражениями

Р* = Е1тгпп2{п12')-1, а* = Р*Г(1)

в которых ^ - площадь поперечного сечения рассматриваемого стержня; I -длина стержня; 1тт - минимальный изгибный (осевой) момент инерции его

поперечного сечения; п - параметр, который принимает значение п = 1 в случае шарнирного закрепления обоих концов стержня; п = 4 в случае закрепления одного из концов и свободного противоположного конца; п = 0-25 для стержня, один конец которого закреплен и неподвижен, а противоположный защемлен в подвижной опоре; п = (п/$)2 ~ 0-4888, где $ ~ 4-4934 и является наименьшим корнем трансцендентного уравнения

= (2)

в случае, когда один конец стержня жестко закреплен, а противоположный имеет шарнирную опору.

Для решения поставленной задачи в соотношения расчетных алгоритмов критических усилий должны быть включены формулы вычисления моментов инерции и площадей для рассматриваемых геометрических типов сечений. В частности, при отнесении сечений отдельных типов рассматриваемых в работе однородных по длине прямых стержней к вводимым в сечениях О прямоугольным Ох 1X2 и полярным ОтО центральным координатам, описания О, величины Р и 1тп имеют следующий вид:

- для кольцевых сечений

О = {т е [Е\, В2]; о е [0,2п]}, Р = пЩ - В2), 1тт = пЩ - В\)/4; ( )

- для прямоугольных сечений

О = {XI е [-Ь/2, Ь/2]; Х2 е [-Н/2,Н/2]} (Н > Ь),

(4)

Р = ЬН, 1тгп = ЬН /12;

- для равнобедренных треугольных сечений с основанием Ь1 и высотой Н1

О = {Х1 е [-Ь1/2, Ь1 /2]; Х2 е [-Н1(1 - 2x1 /Ьъ ^(1 - 2х1/Ь1]},

•з (5)

Р = Ьф1/2, 1тт = ^Несоответственно, представления для интенсивностей критических сжимающих усилий и критических уровней внутренних напряжений применительно к стержням с указанными формами сечений имеют вид:

- для стержней концентрического кольцевого сечения

Р*г = Фг(Е,1,В1,В2,п)= П3Е(В4 - В\)(4п12)-1,

а*г = Гг(Е, I, В1, В2, п) = п2Е(Щ + В2)(4п12)-1; ( )

- для стержней прямоугольного сечения

P*s = Фэ(Е, I, Ь, Н, п) = п2ЕЬН3(12^2)-1,

а*5 = Тв(Е, I, Ь, Н, п) = п2ЕН2(12^2)-1; (7)

- для стержней равнобедренного треугольного сечения Pu = Фг(Е, l, bi,hi,n)= n2Ebik{(36Vl2)-i,

a,t = Yt(E,l,bi,hi,n)= n2Eh\ (18-ql2 )-i.

При этом, в частности, для обеспечения совпадения величин параметров F, Imin кольцевого и треугольного сечений с параметрами F, Imin прямоугольного сечения при b = h, у кольцевого и треугольного сечений соответствующие геометрические параметры должны иметь вид:

R2 = b((3-i + п-1)/2)1/2, Ri = b((3-i - n-i)/2)i/2 bi = (8/3)i/2 b, hi = (3/2)i/2 b.

(9)

Функции Фг(Е,1,К\Фз(Е,1,Ь,Н,п), Фг(Е,1,Ъ\,Н\,п), вводимые представлениями (6), (7), (8), в соответствующих областях определения обладают следующими свойствами, используемыми далее при переходе в данных функциональных отображениях к аргументам нечетко-множественного типа:

дФг(Е, l, Ri, R2, п)/дЕ > 0, ОФг(Е, l, Ri, R2, rj)/dl < 0, дФг(Е, l, Ri, R2, n)/dRi < 0, дФг(Е, l, Ri, R2, n)/DR2 > 0;

(10)

l, b, h, п)/дЕ > 0, d®s(Е, l, b, h, rj)/dl < 0, дФг (Е, l, b, h, n)/db > 0, дФг (Е, l, b, h, n)/Dh > 0;

(11)

ОФ^Е^М ,hi,n)/cm > 0, с)Ф^Е,1,Ь1 ,hi,n)/dl < 0, ст(Е, l, bi ,hi,n)/dbi > 0, ОФ^Е, l, bi ,hi ,n)/0hi > 0;

(12)

OYr(Е, l, Ri,R2,п)/ОЕ > 0, 0Yr(Е,1, Ri,R2,n)/Dl < 0, 0Yr (Е, l, Ri ,R2 ,n)/0Ri > 0, О Yr ^JRi ,R2,n)/DR2 > 0;

(13)

DYs^, l, b, h, п)/дЕ > 0, dYs^, l, b, h, n)/0l < 0, 0YS(Е, l, b, h, n)/db > 0, ОЛ3(Е, l, b, h, n)/Dh > 0;

(14)

OY^^M ,Ы,п)/дЕ > 0, OY^^M ,hi,n)/dl < 0, cYt&^bi ,hi,n)/0bi > 0, гЖ^Е,1,Ь1,^,п)/ГЛ1 > 0.

(15)

Описанный комплекс результатов анализа детерминистических версий рассматриваемых моделей позволяет перейти к формированию соотношений нечетко-множественной методики учета факторов неопределенности в рассматриваемых моделях.

2. Нечетко-множественные оценки для критических значений сжимающих усилий и внутренних напряжений. Получение нечетко-множественных описаний для величин критических уровней сжимающих усилий и внутренних осевых напряжений осуществляется на основе предварительной фаззи-фикации исходных физико-механических параметров стержней с оговоренными технологическими допусками и разбросами экспериментальных значений, и последующей реализации перехода к нечетко-множественным аргументам в аналитических соотношениях детерминистических версий рассматриваемых моделей с применением альфа-уровневой модифицированной формы эвристического принципа обобщения [13]. Получаемые при этом оценки для стержней со сходными интегральными параметрами площадей и минимальных моментов инерции поперечных сечений в весьма существенной мере зависят от конкретной геометрической формы сечений.

Исходным этапом процедуры расширения области определения функциональных соотношений (6) - (8) является замена их аргументов Е,1,В1 ,В2,Ь,Н, Ь1, Н1 на нечетко-множественные величины Е, I, В1, В2, Ь, Н, Ь1, Н1. При этом принимается гипотеза описания неопределенных исходных физико-механических и геометрических параметров стержней трапецеидальными нормальными нечеткими интервалами с заданием соответствующих кортежей из граничных значений интервалов носителей и граничных значений модальных интервалов [14,

Для дальнейшей реализации предлагаемой методики вводятся описания введенных нечетко-интервальных характеристик Е,1, В1, В2,Ь,Н,Ь1,Н1 разложениями по а - срезам

15]:

Е = (Е1Е Е3,, Е4), I = (l1,l2, к, и),,

В1 = (В1Ъ В12, В13, В14), В2 = (В21, В22, В23, В24),

Ь = (Ь1,Ь2,Ьз,Ь4), Н = (Н1 ,Н2 ,Нз,Н4), Ь1 = (Ь11,Ь12, Ь13, Ь14), Н1 = (Нц,Н12,Н13, Н14)-

(16)

Ё= и [Еа,Еа], 1= и [1а,Ц,

ае [0,1] ае [0,1]

В1 - и [В1а) В1а]) В2 - У [В2а> В2а];

(17)

ъ= и [Ьа,Ьа], ¡1= У [ка,К],

ае [0,1] ае [0,1]

ае[0,1]

ае[0,1]

(18)

в которых

Ea = (1 -a)Ei +аЕ2, Ёа = аЕ3 + (1 - а)Е4] la = {1 - a)h + al2, L = ah + (1 - a)h] Ria = (1 ~ a)Rn + aRu, R\a = aRis + (1 - a)Ru;

M.2a = (1 ~ a)R2\ + аЯ22, R2a = aR2S + (1 - a)R24;

¡¿a = (1 — a)&i + a&2, &« = а&з + (1 — a)b 4;

= (1 — а;)Л,1 + аЛ-2, ha = ahs + (1 — a)h,4;

£1« = (! - + &i« = «&13 + (1 -

hia = (1 - а)Л,ц + аЛ-12, h\a = ah\3 + (1 - а)Л,14.

Получаемые в рамках использования а - уровневой формы эвристического принципа обобщения [7-13] представления для нечетко-множественных эндогенных параметров рассматриваемых расчетных моделей соответственно записываются в виде:

P*j = У [P-*jai P*ja], <j*j = I^J [<L*jon a*ja]

«€[0,1] «€[0,1] (19)

(j = r,s,t).

При этом с учетом справедливых во всех областях определения функций Фг(E, l, R1, R2, n), &s(E, l, b, h, n), &t(E, l, b1 ,h1,n) оценок (10) - (15), выражения для величин P_*ja, P*ja, <L*ja->~v*ja могут быть записаны в виде:

Р*га = Фг(Яа,1а,Я1а,Я2а,»7) = 7Г3Да {t2a ~ R\a (4i?{2 )'-1 ;

P*sa = =

P*sa = ^s(ßa,L,ba,ha,V) = ^ËaboJliiUrjll)-1]

P*ta = ЫЕа~1а,Ь1а,к1а,т]) = ^E^hl^Grfll)-1,

P*ta = <S>t(.Ea,la,bia,hia,r]) = TT2Eabiahla(36r]l2a) °*ra = ТгШа,7а,Д1а,Л2а.»7) = ^¡L (Ma + ^1«) (4rfÙ'

C*ra = Tr(Ea,La,Rla,R2a,r]) = 7Г2£а(Е2а + B*la) (4i?|2) " Я-*за = TaiEcJoHhcV) = * ^«/¿(W«)"1 ; v*sa = T s(EaJa,ha,r]) = Tï2EJi2a{l2r]l2a)~l-,

Q-*ta = Tt(EaJa,hla,r]) =

v*ta = Tt{Ea,l_a,hia,ifi) = Tï2EoJlla{lSr]l2a)~l.

(20)

Соотношения (19), (20) являются базовыми для получения численных нечетко-множественных оценок факторов неопределенности в рассматриваемых моделях.

3. Результаты вычислительных экспериментов. Описываемая методика, в качестве примера, реализована в задачах оценки показателей интенсивности критических сжимающих усилий и внутренних напряжений в стальных стержнях со следующими нечетко-интервальными физико-механическими и геометрическими исходными параметрами:

E = (19.7E*, 19.9E*, 20.0E*, 20.2E*), l = (1.95R*, 1.99R*, 2.02R*, 2.06R*), Ri = (4.3 ■ 10-4R*, 4.33 ■ 10-4R*, 4.35 ■ 10-4R*, 4.38 ■ 10-4R*), R2 = (2.83 ■ 10-3R*, 2.85 ■ 10-3R*, 2.87 ■ 10-3R*, 2.91 ■ 10-3R*), b = (4.9 ■ 10-3R*, 5.0 ■ 10-3R*, 5.05 ■ 10-3R*, 5.15 ■ 10-3R*), (21)

h = (4.9 ■ 10-3R*, 5.0 ■ 10-3R*, 5.05 ■ 10-3R*, 5.15 ■ 10-3R*), h = (8.15 ■ 10-3R*, 8.16 ■ 10-3R*, 8.18 ■ 10-3R*, 8.195 ■ 10-3R*), hi = (6.11 ■ 10-3R*, 6.12 ■ 10-3R*, 6.13 ■ 10-3R*, 6.15 ■ 10-3R*), E* = 10i0 [Па], R* = 1 [м].

Представленный вариант выбора нечетко-интервальных исходных параметров отвечает ситуации совпадения интегральных характеристик площадей и моментов инерции поперечных сечений для стержней с тремя рассматриваемыми типами геометрии сечений.

Результаты расчетов функций принадлежности для нечетко-множественных величин P*j, à*j (j = r,s,t) с использованием представлений (19), (20) в случае шарнирного закрепления обоих концов стержня (п = 1) представлены на рисунках 1, 2 для стержня кольцевого сечения, на рисунках 3, 4 - для стрежня квадратного сечения, на рисунках 5, 6 - для стрежня с равнобедренным треугольным сечением. Анализ профилей функций принадлежности позволяет сделать заключения относительно степени уверенности в возможности достижения эндогенными параметрами соответствующих значений из интервалов носителей описываемых нечетких множеств для рассматриваемого варианта неконтрастных исходных параметров расчетной модели.

При задании исходных нечетко-интервальных параметров в виде (21) их максимальные разбросы относительно медианных значений на носителях составляют не более 0.9% для исходного параметра Ri; не более 1.4% - для исходного параметра R2; не более 2.5% - для исходных параметров b и h; не более 0.3% -для исходных параметров bi и hi; не более 1.3% - для исходного параметра E; не более 2.7% - для исходного параметра l.

Рис. 1. Профиль функции принадлежности ^р (Р*т) для п = 1.

Рис. 2. Профиль функции принадлежности (а*т) П = 1.

Рис. 3. Профиль функции принадлежности ^р (Р^) для п = 1.

Рис. 4. Профиль функции принадлежности (а*е) П = 1.

Рис. 5. Профиль функции принадлежности ^р (Р*ь) для п = 1.

Рис. 6. Профиль функции принадлежности цРгЛ П = 1.

В аналогичной последовательности на рисунках 7-12 приведены результаты расчетов профилей функций принадлежности для нечетко-множественных эндогенных характеристик Р^^, применительно к случаю закрепления одного из концов стержня и его свободного противоположного конца (п = 4).

Рис. 7. Профиль функции принадлежности ур {Р*г) для п = 4.

Рис. 8. Профиль функции принадлежности у р„г {о*г) п = 4.

Рис. 9. Профиль функции принадлежности ур {Р*а) дляп = 4.

Рис. 10. Профиль функции принадлежности у р„в {о*а) п = 4.

Рис. 11. Профиль функции принадлежности ур {Р*ь) дляп = 4.

Рис. 12. Профиль функции принадлежности у РгЛ (о*ь) п = 4.

Рисунки 13 - 18 описывают результаты расчетов для стержня, один конец которого закреплен и неподвижен, а противоположный защемлен в подвижной опоре (п = 0.25).

Наконец, рисунки 19 - 24 отвечают случаю стержня, один конец которого жестко закреплен, а противоположный имеет шарнирную опору (п = 0.48).

Рис. 13. Профиль функции принадлежности ур {Р*г) для п = 0.25.

Рис. 14. Профиль функции принадлежности уРгг {о*г) п = 00.25.

Рис. 15. Профиль функции принадлежности ур {Р*а) для п = 0.25.

Рис. 16. Профиль функции принадлежности у Р„3 {о*а) п = 0.25.

Рис. 17. Профиль функции принадлежности ур {Р*ь) для п = 0.25.

Рис. 18. Профиль функции принадлежности у РгЛ (о*ь) п = 00.25.

В результате расчетов получены данные об оцениваемых максимальных (предельно возможных) разбросах для эндогенных параметров рассматриваемых вариантов моделей относительно соответствующих средних значений на носителях и данные о максимальных разбросах для анализируемых характеристик относительно соответствующих средних значений на модальных интервалах (в

Рис. 19. Профиль функции принадлежности ур г {Р*г) для п = 0.48.

Рис. 20. Профиль функции принадлежности у Р„г {о*г) п = 0.48.

Рис. 21. Профиль функции принадлежности ур {Р*а) для п = 0.48.

Рис. 22. Профиль функции принадлежности у Р„в {о*а) п = 0.48.

Рис. 23. Профиль функции принадлежности ур {Р*ь) для п = 0.48.

Рис. 24. Профиль функции принадлежности у РгЛ (о*ь) п = 0.48.

диапазонах наиболее достоверных значений). Найденные оценки не зависят от значений параметра краевых условий п

Так, эндогенный параметр критического сжимающего усилия Р„ для стержня кольцевого сечения имеет максимальный разброс на интервале носителя порядка 12.3%, а на модальном интервале - порядка 3.1%; параметр Р*8 для стерж-

ня квадратного сечения имеет максимальный разброс на интервале носителя порядка 16.5%, а на модальном интервале - порядка 3.7%; параметр P*t для стержня треугольного сечения имеет максимальный разброс на интервале носителя порядка 7.9%, а на модальном интервале - порядка 1.1%. Для эндогенных параметров критических значений внутренних осевых напряжений в стержне определяемые разбросы таковы: параметр для стержня кольцевого сечения имеет максимальный разброс на интервале носителя порядка 9.5%, а на модальном интервале - порядка 2.4%; параметр a*s для стержня квадратного сечения имеет максимальный разброс на интервале носителя порядка 11.7%, а на модальном интервале - порядка 2.7%; параметр для стержня треугольного сечения имеет максимальный разброс на интервале носителя порядка 7.4%, а на модальном интервале - порядка 1.9%.

На основании приведенных данных можно сделать заключение о формировании максимальных разбросов анализируемых характеристик для стержня квадратного сечения и минимальных - для стержня равнобедренного треугольного сечения.

Выводы. Результатом описанных в работе исследований является разработка нечетко-множественной численно-аналитической методики учета обусловленных погрешностями экспериментальных данных и технологическим допусками ошибок разбросов в значениях исходных физико-механических и геометрических параметров при анализе модели Эйлера, описывающей эффекты потери устойчивости для подверженных сжатию в осевом направлении прямых тонких изотропных стержней в рамках гипотезы линейного докритического напряженно-деформированного состояния. Получены нечетко-множественные описания для параметров критических сжимающих усилий и критических уровней внутренних осевых напряжений. Предложенный подход базируется на применении расчетных аналитических соотношений для эндогенных параметров рассматриваемых вариантов модели, полученных при исследовании ее детерминистических версий, на задании неопределенных экспериментальных и технологических экзогенных параметров модели в форме нечетко-множественных величин и дальнейшем применении процедуры перехода в расчетных соотношениях к нечетко-множественным аргументам на базе применения альфа-уровневой модифицированной формы эвристического принципа расширения. Приведены примеры применения разработанной методики с расчетами функций принадлежности для эндогенных нечетко-множественных характеристик и анализа получаемых результатов оценивания уровней их разбросов по данным о погрешностях исходных параметров.

1. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. - М.: Наука,1976. -984 с.

2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем / Н.А. Алфутов. - М.: Наука, 1978. - 312 с.

3. Atanackovic T.M. Stability Theory of Elastic Rods / T.M. Atanackovic. - Singapore: World Scientific Publishing, 1997. - 440 p.

4. Chamekh M. Stability of elastic rods with self-contact / M. Chamekh, S. Mani-Aouadi, M. Mo-akher // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2014. - V. 279. - P. 227246. doi:10.1016/j.cma.2014.06.027

5. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений / В.В. Болотин. - М.: Стройиздат, 1982. - 352 с.

6. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. - М.: ЛЕНАНД, 2014. - 144 с.

7. Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Н.В. Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов. - М.: Издательство Машиностроение - 1, 2004. - 397 с.

8. Ротштейн А.П. Моделирование и оптимизация надежности многомерных алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба, А.Н. Козачко. - Винница: УНИВЕРСУМ, 2007. - 215 с.

9. Нгуен Куок Ши Исследование моделей высокотемпературной термостабилизации с нечеткими параметрами / Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг, С.В. Сторожев. - Yelm, WA, USA: Science Book Publishing House, 2019. - 216 с.

10. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic / M. Hanss // An introduction with Engineering Application. - Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 253 p.

11. Сторожев С.В. Нечетко-множественные оценки скоростей волн кручения в тонкостенных стержнях на основе уточненных теорий / С.В. Сторожев, С.Б. Номбре, С.А. Прийменко // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2019. - № 2-3 (67-68). - С. 32-53.

12. Storozhev S. V. Fuzzy estimates оf resonance frequencies for three-layer composite cylindrical panels in smart aerospace and industrial structures / S.V. Storozhev, V.I. Storozhev, V.E. Bol-nokin, Duong Minh Hai, D.I. Mutin // Journal of Physics: Conference Series. - 1399 (2019). -033044. - doi:10.1088/1742-6596/1399/3/033044

13. Болнокин В.Е. Нечеткие оценки в моделях устойчивости стержневых конструкций / В.Е. Болнокин, С.Б. Номбре, С.В. Сторожев // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XIV Всероссийской школы-семинара, пос. Дивноморское, 27 - 31 мая 2019г. - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2019. - С. 15.

14. Grzegorzewski P. Trapezoidal approximations of fuzzy numbers / P. Grzegorzewski, E. Mrfowka // Fuzzy Sets Syst. - 2005. - Vol. 153. - P. 115-135.

15. Ban A.I. Trapezoidal approximation and Aggregation / A.I. Ban, L.C. Coroianu,P. Grzegorzew-ski // Fuzzy Sets Syst. - 2011. - Vol. 177. - P. 45-59.

V.N. Pavlysh, S.V. Storozhev

Influence of scatter errors in the values of the initial parameters in models of bending forms of the instability of compressible straight bars: a fuzzy-set approach.

The paper presents a numerical-analytical fuzzy-set methodology for studying the Euler model, which describes the effects of buckling of thin isotropic rods in the framework of the hypothesis of a linear subcritical stress-strain state, with additional consideration for the effects of influence of the scattering errors in the values of the initial physical, mechanical and geometric parameters. The described approach is based on the application of calculated analytical relationships of deterministic versions of the considered model variants for endogenous parameters of critical compressive forces and internal stresses and assumes setting uncertain experimental and technological exogenous parameters of the model in the form of fuzzy-set values. Then the procedure of transition in design relationships to fuzzy-set arguments based on the application of a modified form of the heuristic principle of generalization is applied. Examples of the application of the developed technique and

the analysis of the results obtained are given.

Keywords: thin straight rods, axial compressive forces, buckling effects, applied Euler's model, influence of scatter errors of initial parameters, methods of the theory of fuzzy sets, heuristic principle of generalization..

ГОУ ВПО "Донецкий национальный технический университет", Получено 22.10.2020

Донецк

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства

и архитектуры", Макеевка

s.v.storozhev@donnasa.ru