CC BY
4ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№2-3 (67-68) / 2019.
УДК 539.3:534.1:519
©2019. С.В. Сторожев, С.Б. Номбре, С.А. Прийменко
НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ СКОРОСТЕЙ ВОЛН КРУЧЕНИЯ В ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЯХ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННЫХ ТЕОРИЙ
Осуществлено распространение численно-аналитической нечетко-множественной методики получения оценок для значений скоростей волн деформаций в тонкостенных конструкциях на случай анализа волн крутильного типа в прямых стержнях с неопределенными параметрами на базе использования трех вариантов уточненных теорий. Разработанный и апробированный подход позволяет учитывать разбросы величин экзогенных физико-механических и геометрических параметров в рассматриваемых моделях и основывается на использовании модифицированных версий эвристического принципа обобщения в процессе перехода в соотношениях классических моделей расчета фазовых скоростей к нечетко-множественным аргументам с различными видами функций принадлежности.
Ключевые слова: прямые однородные стержни, неопределенные физико-механические параметры, распространение волн кручения, уточненные модели,, анализ фазовых скоростей, нечетко-множественная методика, эвристический принцип обобщения.
Введение. Упругие колебания крутильного типа являются важным классом возникающих на практике динамических вибрационных деформаций для весьма широкого класса тонкостенных конструкций, к числу которых относятся однородные прямые стержни с разнообразной формой поперечных сечений [1 - 4]. Получение достоверных оценок прочностных характеристик и соответствующее обеспечение адекватности результатов предпроектных расчетов таких конструкций, используемых в качестве ответственных деталей машин приборов и строительных сооружений, сопряжено с учетом неопределенности, вносимой при исследовании как целым рядом гипотез перехода к моделям тонкостенных стержней, так и разбросами значений экзогенных параметров в выбранных прикладных либо уточненных моделях [5-7]. При этом методика учета разбросов исходных данных для расчетных схем на основе выбранных моделей, в свою очередь, должна учитывать природу информации о подлежащих учету отклонениях в значениях экзогенных параметров, которая в весьма обширном ряде случаев не носит корректного статистического характера, что, тем самым, затрудняет обоснованное применение методов вероятностно-стохастического анализа для получения искомых эндогенных оценок [8-9].
В контексте представленных соображений целью настоящей работы является разработка методики получения оценок для возможных разбросов значений эндогенных параметров скоростей крутильных волн, рассчитываемых на основе нескольких вариантов уточненных теорий динамического кручения прямых однородных тонкостенных стержней [1-7]. Для построения такой методики с учетом задачи использования в ней информации о разбросах исходных параметров,
получаемой на основе экспертных заключений и опытных оценок, могут быть применены методологические принципы теории нечетких множеств [10 - 16]. Предлагаемый в работе подход базируется на применении соотношений детерминистических вариантов анализируемых моделей с переходом в их расчетных соотношениях к нечетко-множественным аргументам путем фрагментирован-ного поэтапного применения альфа-уровневой формы эвристического принципа обобщения в сочетании с методами нечетко-интервальной арифметики.
1. Нечетко-множественные оценки для скоростей волн кручения, получаемых в рамках теории стесненного кручения С.П. Тимошенко. В рамках уточненной модели С.П. Тимошенко, описывающей распространение крутильных волн в однородном изотропном стержне с полярным моментом инерции 1Г, крутильным моментом инерции 1х, секториальным моментом инерции 1Ш, из материала с параметром плотности р, модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона V и соответствующим модулем сдвига О = Е(2(1 + V))-1, дисперсионное уравнение для волны кручения с круговой частотой ш и волновым числом к, а также представление для фазовых скоростей V^ исследуемых волн, имеют вид
ш = ш(к) = (О1х/р1г)1/2к (1 + (Е1Ш/О1х)к2)1/2, (1)
Vf = Гу(р, V, Е, 1Г, 1х, 1Ш, к) = (О1х/р1г)1/2 (1 + (Е1Ш/О1х)к2)1/2. (2)
В рамках предположения о существовании разбросов в значениях экзогенных физико-механических и геометрических параметров стержня р, V, Е, 1Г, 1х, !ш, содержащихся в представлении (2) для эндогенной характеристики Vf, осуществляется переход к описанию указанных исходных параметров нормальными нечеткими множествами р, V, Е, 1Г, 1х, 1Ш, дополняемый гипотезами о формах функций принадлежности Цр(р), (Е), а также о формах функ-
ций принадлежности для определяющих вид 1Г, 1х, 1Ш нечетко-множественных геометрических параметров стержней с рассматриваемыми конкретными формами поперечных сечений. Количественные характеристики функций принадлежности соответствующих профилей определяются на основе имеющихся статистических данных либо экспертных заключений.
Реализация описываемого подхода применительно ко всем вариантам рассматриваемых в работе моделей осуществляется для частного случая однородного изотропного стержня двутаврового сечения [5]. В рассматриваемом варианте представленная на рисунке 1 форма сечения определяется тремя параметрами В, Н, Ь, через которые три геометрические характеристики 1Г, 1х, 1Ш выражаются формулами [5]
1г = (В(Н + Ь)3 + 2ЬВ3 + (Н - Ь)Ь3 - (Ь - Ь)(Н - Ь)3)/12,
1х = (2В + н)ь3/З, 1Ш = в3н2ь/24. (3)
Соотношения (3) могут интерпретироваться как преобразования независимых переменных. В дальнейшем для параметров В, Н, Ь также вводятся их обоб-
щенные учитывающие разбросы представления в виде нормальных нечетких множеств В, Н, { с функциями принадлежности ¡в(В), (Н), ¡¿(¿).
Рис. 1. Геометрические параметры двутаврового сечения.
В рассматриваемом варианте методики оценивания разбросов для значений фазовых скоростей волн кручения в стержневой конструкции вводится предположение возможности описания нечетко-множественных физико-механических р, V, Е и геометрических В, Н, Ь параметров нормальными трапецеидальными нечеткими интервалами [17 - 20] с кортежами реперных точек
р = (р1, р2, рз, р4), V = (уь Уз, щ), Е = (Е\, Е2, Е3, Е4),
В = (Bl, B2, В3, B4), Н = (Н1, Н2, Н3, Н4), Л = (tl, ¿2, tз, ¿4).
(4)
Введенные нечетко-интервальные величины р, V, Е и В, Л,, £ могут быть представлены суперпозициями множеств а — уровня в виде
р= и и [^'^Ь Ё= и
«€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]
В= и [£«3«], Л = и 1каЫ * = и [¿«Д«],
«€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]
где
р = (1 - а)р1 + ар2, ра = арз + (1 - а)р4,
¡¿а = (1 - а)ь> 1 + аь>2,
Еа = (1-а)Ег +аЕ2, йа = (1-а)В1+аВ2,
Vа = оа>ъ + (1 - а)ь>4, Ёа = аЕ3 + (1-а)Е4, Ва = аВ3 + (1 - а)В4,
(6)
йа = (1 — а)к 1 + аЛ-2, Л» = аЪ з + (1 — а)к 4,
= (1 — 1 + «¿2, 1а = «¿з + (1 — 4.
Соответственно нечетко-множественные геометрические характеристики Iг, Iш, получаемые на основе перехода к нечетко-интервальным аргументам в соотношениях (3) и использования правил арифметики нечетких интервалов, также являются нечетко-интервальными величинами с кортежами реперных точек
1г — (1г1, 1г2, 1г3, 1та], i х — (1x1, 1x2, 1x3, 1x4), 1ш — (1шЪ 1ш2, Iш3, 1ш4),
(7)
где
1г1 — (Б1(Нг + Ь)3 + 2ЬВ3 + (Нг - и)г3 - (В4 - ^(Н^ - Ь)3)/12, 1г2 — (В2(Н2 + Ь2)3 + 212В3 + (Н2 - г3)4 - В - 12^3 - Ь2)3)/12, 1г3 — (В3(к3 + Ь3)3 + 2Ь3В3 + (Н3 - 12^3 - В - 1:^2 - Ь3)3)/12, 1г4 — (В4(к4 + г4)3 + 2Ь4В1 + (Н4 - ^ - (Вг - г4)(Нг - г4?)/12;
1x1 — (2Вг + Нг)Г{/3, 1x3 — (2В3 + Н3)г3/3, 1шг — В\к\г г/24, 1ш3 — В3^Н2313/24,
1x2 — (2В2 + Ь2)г3/3,
1x4 — (2В4 + Н4)й/3; 1ш2 — В3Н112/24,
1ш4 — В3Н2414/24.
В свою очередь нечетко-интервальные величины Iг, 1Х, Iш также могут быть представлены суперпозициями множеств а - уровня
и- [£га,^га\, 1х — [£ха, 1ха],
«€[0,1] «€[0,1]
а€[0,1]
(9)
где
1га = (! - Ос)1г1 + а1г2, 7г
Еса = (1- а) 1Х1 + а1х2, 1х 1ша = (1 - а)!ш 1 + а1ш2, 7и.
— а1г3 + (1 - а)1г4,
— а1х3 + (1 - а)1х4,
— а1ш3 + (1 - а)1ш4.
(10)
Непосредственно процедура получения параметрических нечетких оценок Vу (к) для значений фазовых скоростей упругих волн кручения в рассматриваемой модели динамического крутильного деформирования стержня заключается в применении модифицированной а—уровневой формы эвристического принципа расширения [21 - 22] к функциональной зависимости (2). При этом в качестве элемента применения данного приема используется возможность получения оценок, справедливых во всей области определения аргументов функции У у = Еу(р, у, Е, 1г, 1х, 1Ш, к):
дЕу(р, у, Е, 1г, 1х, 1Ш, к)/др < 0; дГу(р, у, Е, 1г, 1Х, 1Ш, к)/дЕ > 0;
дГу (р, у, Е, 1г, 1х, 1Ш, к)/д1г < 0; ()
дГу(р, у, Е, 1г,1х,1ш, к)/д1ш > 0.
В результате для эндогенной нечетко-множественной характеристики У у (к) записывается параметрическое представление вида
ад= и о]. (12)
«€[0,1]
где
а 1 ^, Е^ , 1га 1 1х 1 1 к)},
1ха]
= вир {Ру{рп, V,
Еа 1 1-га 1 1 1
к)}.
1х£\£ха, 1ха]
(13)
Пример численной реализации описанной методики относится к задаче описания разбросов в получаемых количественных оценках при анализе параметрической зависимости У у (к) для стержневого элемента двутаврового сечения со следующими нечетко-интервальными экзогенными параметрами:
р = (7.72р*, 7.78 р*, 7.81р*, 7.84р*),
V = (0.29, 0.297, 0.301, 0.307), Е = (202Е*, 205Е*, 207Е*, 209Е*),
В = (0.195/*, 0.2/*, 0.204/*, 0.206/*), (14)
Н = (0.374/*, 0.377/*, 0.378/*, 0.38/*), V = (0.02/*, 0.022/*, 0.0225/*, 0.023/*), р* = 103 [кг/м3], Е* = 1[ГПа], /* = 1 [м].
Для данного набора нечетко-интервальных параметров с использованием соотношений (8) определяются величины нечетких геометрических характеристик
1 Г , 1х} 1 ш:
V = (2.9571*, 4.0401*, 4.6531*, 5.3761*),
1х = (2.0371**, 2.7581**, 2.9841**, 3.2121**), / ч
(15)
1Ш = (0.8641***, 1.0421***, 1.1371***, 1.2101***), I* = 10"4 [м4 ], I** = 10"6 [м4], I*** = 10"6 [м6].
Формы функций принадлежности для рассматриваемого ряда нечетко-множественных исходных параметров представлены на рисунках 2 - 10.
Результаты расчетов для описываемой соотношениями (12), (13) нечетко-множественной эндогенной характеристики У у (к) рассматриваемой модели соответственно представленному варианту задания неопределенных исходных параметров приведены на рисунках 11 - 14.
Рис. 2. Функция принадлежности р.
Рис. 4. Функция принадлежности Е.
0.200 0.205 0.210
Рис. 5. Функция принадлежности В.
Рис. 7. Функция принадлежности Ь.
Рис. 8. Функция принадлежности 1Г
Рис. 10. Функция принадлежности .
Так на рисунке 11 представлены параметрические зависимости для границ ц = 0 носителей и границ ц = 1 модальных областей максимальной достоверности нечетко-множественных оценок эндогенных параметров V; (к) от параметра волнового числа к крутильной волны (связанного соотношением Л = 2п/к с относительной длиной Л волны кручения), а на рисунках 12, 13 и 14 - соответственно формы функций принадлежности для нечетко-множественных оценок V;(0.1), V;(1.8) и V;(3.6).
Рис. 11. Распределения Vf (к) с показателями (к) (Vf (к)).
Как следует из этих распределений, степень неопределенности эндогенной характеристики V; (к) при рассматриваемых значениях заданных с разбросами исходных параметров возрастает с увеличением к.
260 280 300 320
Рис. 12. Функция принадлежности Vf (0.1).
450 500 550 600 650
Рис. 13. Функция принадлежности Vf (1.8).
900 1000 1100 1200 ' ТУ
Рис. 14. Функция принадлежности Vf (3.6).
2. Нечетко-множественные оценки для скоростей волн кручения, получаемых в рамках модели учета кинетической энергии деплана-
ции. Вторым рассматриваемым вариантом анализируемой уточненной модели распространения крутильных волн в однородном изотропном стержне является модель В.З. Власова, особенностью которой является учет кинетической энергии депланации [4 - 5]. В рамках этой модели дисперсионное соотношение и представление для фазовой скорости исследуемых волн [5] имеют вид
и = и(к) = к(((С1х/р1г) + (Е1ш/р1г )к2)/(1 + 1ш 1-1к2))1/2, (16)
Уу 1 = Еу 1(р, V, Б, Б, IX, ^, к) = (17)
= (((СЬ/рЪ) + (Е^/рЕ )к2 )/(1 + ^ I-1k2))1'2. (1 }
В этом случае в рамках всех принятых в процессе анализа предшествующей рассмотренной модели предположений, а также с учетом оценок
дЕу 1(р, V, Е, Б, IX, ^, к)/др < 0, дЕу 1(р, V, Е, Б, IX, ^, кк)/с^ < 0,
(18)
дЕу 1(р, V, Е, Б, IX, ^, к)/дЕ > 0, дЕу(р, V, Е, Б, IX, ^, к)/дIX > 0,
для эндогенной нечетко-множественной характеристики У у 1(к) записывается параметрическое представление вида
Ык)= и Ю1а(к),УМк)\, (19)
ае [0,1]
в котором
УПа{к)= {^(р
к)},
1га]
У/1а(к) = вир {БуЬ, Еа,
Еа, Е, -¡-X а,
^, к)}.
1г€.\1_ГОс-, 1га]
/ соа]
(20)
Численная реализация методики нечетко-множественного анализа данного варианта модели распространения волн кручения в стержневом элементе двутаврового сечения осуществляется для случая задания экзогенных параметров в виде (14), (15).
Результаты расчетов для описываемой соотношениями (19), (20) нечетко-множественной эндогенной характеристики У у 1(к) рассматриваемой модели соответственно варианту (14) задания неопределенных исходных параметров приведены на рисунках 15 - 22.
Диапазоны изменения и отдельные значения к в расчетах, иллюстрируемых на рисунках 15-18, идентичны выбранным ранее при расчетах с использованием модели С.П. Тимошенко. Так, на рисунке 15 для данного варианта уточненной модели представлены параметрические зависимости для V/\(к), отвечающих границам ц = 0 носителей и границам ц = 1 модальных областей максимальной достоверности нечетко-множественных оценок эндогенных параметров V/ 1(к) от параметра волнового числа к крутильной волны (параметра, связанного соотношением Л = 2п/к с относительной длиной Л волны кручения). На рисунках 16, 17 и 18 даны отвечающие рассматриваемому варианту уточненной модели В.З. Власова формы функций принадлежности для нечетко-множественных оценок Vг/1 (0.1), V/1(1.8) и V/1(3.6). Сопоставление результатов, получаемых соответственно двум рассматриваемым моделям, указывает на крайне незначительное уменьшение значений к, соответствующих границам диапазонов получаемых нечетко-множественных оценок при использовании модели В.З. Власова. Как и в случае ранее проанализированной модели С.П.Тимошенко, степень неопределенности эндогенной характеристики V/ 1(к) при рассматриваемых значениях заданных с разбросами исходных параметров в исследуемом диапазоне изменения волнового числа возрастает с увеличением к.
На рисунках 19 - 22 приведены аналогичные результаты расчетов в более широком диапазоне изменения волнового числа крутильной волны. При этом на основании расчетов, отраженных на рисунке 19, можно заключить, что изменение степени неопределенности для нечеткой оценки V/1 (к) не является монотонным; мера неопределенности нарастает к средине диапазона изменения к € [0, 36], однако при дальнейшем росте к возникает тенденция к снижению степени разбросов эндогенного параметра фазовой скорости.
Рис. 15. Распределения Vf (к) с показателями (к)(^ (к)).
Рис. 16. Функция принадлежности Vf 1 (0.1).
450 500 550 600 650 Vf\( I-8) [л//с]
Рис. 17. Функция принадлежности Vf 1(1.8).
Рис. 19. Распределения V/ 1(к) с показателями (к) (V/1(к)).
Рис. 20. Функция принадлежности V/1(10).
Мк^О^Я™
3200 3400 3600 3800 4000
Рис. 21. Функция принадлежности V/1(20).
% (зо)(^1 m
.4 /-ч
о.к 0.6 0.4 0.2
W----■-■-----■-А- Уп(Щ[м/с]
4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 1
Рис. 22. Функция принадлежности Vf i(30).
3. Нечетко-множественные оценки для скоростей волн кручения, получаемых в рамках модели частичного учета энергии деформаций сдвига. Третьим рассматриваемым вариантом уточненной модели распространения волн кручения в стержневом элементе двутаврового сечения, для которого разрабатывается методика нечетко-множественного обобщения с целью учета влияния разбросов значений исходных физико-механических и геометрических параметров, является описываемая в работах [5 - 7] модель И.В. Сливкера. Специфика уточнения в картине анализируемых деформационных процессов, вносимого данной моделью, заключается в частичном учете энергии деформаций сдвига при описании эффектов закручивания прямых тонких стрежней с депла-нацией [5-7].
В рамках данной модели наряду с экзогенными физико-механическими характеристиками, введенными в вышерассмотренных уточненных моделях С.П. Тимошенко и В.З. Власова, учитывается [5 - 7] специальный геометрический параметр ф и вводится в рассмотрение геометрическая характеристика
Ig = 480I2 • (B5h2t)-1, g Ш (21) Ig = (ф - 1)-1IX = (ф - 1)-1(2B + h)t3/3.
Дисперсионное уравнение для бегущих крутильных волн и представление для их фазовых скоростей согласно данной версии уточненной модели описывает две ветви [5] («акустическую» j = 1 и «оптическую» j = 2) с аналитическими описаниями
ш = Uj(k) = [(-(6 + ck2) + (-1)j((b + ck2)2 - 4a(dk2 + fk3)))/(2a)]1/2, (22)
V%) = fVI(p, v, E, B, h, t, ф, k) = f 2 V 2 (23)
= (kp)-1[(-(b + ck2) + (-1)j((b + ck2)2 - 4a(dk2 + fk3))1/2)/(2a)]1/2,
где [5]
а = 1г 1ш , Ь = -С1ГIд , С = -Сф 1ШIд - Е1Ш 1г ,
(24)
й = С21Х1д , / = ЕСф 1Ш 1д .
При нечетко-множественном обобщении рассматриваемого варианта модели используются все гипотезы и предположения, принимавшиеся выше в отношении природы и способа представления нечетких исходных параметров рассматриваемой конструкции в процессе анализа скоростей волн кручения на базе уточненных моделей С.П. Тимошенко и В.З. Власова и дополняемые введением нечетко-интервальных геометрических параметров
ф = (ф1, Ф2, Фз, фа),
и
-а'
«€[0,1]
(25)
ф = (1 - а)ф\ + аф2, фа = афз + (1 - а)ф^
С = (С1, С2, Сз, С4), С1 = Е1(2(1 + ^а))"1, С2 = Е2(2(1 + из))-1, (26)
Сз = Ез(2(1 + ^2))"1, С4 = Еа(2(1 + ^))-1;
(27)
1д = (1д1, Ig2, 1дз, Ig4),
1д1 = 1x1/(Ф4 - 1), 1д2 = 1x2/(Фз - 1),
1дз = 1хз/(ф2 - 1), 1д4 = 1х4/(ф1 - 1);
1да = (! - + а1д2, Тда = 01.1 д3 + (1 - а)1д4.
С учетом оценки
дРу2 (Р, V, Е, В, Н, г, ф, к)/др < 0, (28)
для эндогенной нечетко-множественной характеристики У^ (к) записывается параметрическое представление вида
У%\к)= и [У%(к),У%(к)}, (29)
«€[0,1]
в котором
= Г1П!- п (Ра, Е, В, К I, ф, к)}, ееШо Ёа]
ве\ва, ва] (30)
У%(к) = 8ПР_ V, Е, В, 1г, I, ф, к)}.
ееШо Я«] веЩ^, ва]
'Фа\
Численная реализация методики нечетко-множественного анализа данного варианта модели распространения волн кручения в стержневом элементе двутаврового сечения осуществляется для случая задания экзогенных параметров в виде (14), (15) а также соответствующего задания ф в на основе соотношения (21).
Некоторые результаты расчетов для описываемой соотношениями (23), (24), (29), (30) нечетко-множественной эндогенной характеристики Vf2 (к) в рассматриваемой уточненной модели приведены на рисунках 23 - 30. Диапазон изменения к € [0, 36] и отдельные значения к из этого диапазона в представляемых расчетах идентичны выбранным при расчетах с использованием модели В.З. Власова. При этом распределения на рисунках 23 - 26 относятся к частному случаю, когда физико-механические параметры материала стержня являются нечетким величинами с описаниями (14), а геометрические параметры двутаврового сечения рассматриваемого стержня полагаются четкими величинами со значениями
В = 0.21*, Н = 0.3781*,
(31)
г = 0.0221*.
В качестве отдельных выводов, следующих из анализа результатов расчетов, можно отметить существенно более низкий уровень неопределенности эндогенного параметра Vf2(к), определяемого на основании нечетко-множественного варианта модели И.В. Сливкера по сравнению с уровнем неопределенности параметра Vf2(к), определяемого в рамках модели В.З. Власова. Также установлено достаточно существенное уменьшение значений к, соответствующих границам диапазонов нечетко-множественных оценок Vf2(к) при использовании модели И.В. Сливкера, в сравнении с результатами, получаемыми на основе модели В.З. Власова. Изменение степени неопределенности для нечеткой оценки Vf2(к) при использовании модели И.В. Сливкера является монотонным с нарастанием меры неопределенности при росте к в диапазоне к € [0, 36].
Следует также отметить, что результаты расчетов с применением всех трех рассмотренных вариантов уточненных моделей с высокой степенью корректности согласуются с оценками, получаемыми в работе [5] на основе детерминистических вариантов соответствующих моделей.
Рис. 23. Распределения Vf 2(к) с показателями (к) (V2 (к))
1950 ] 960 1970 1980 1990
Рис. 24. Функция принадлежности Vf 2(10).
2710 2720 2730 2740 2750 2760 2770
3040 3060 3080 3100
Рис. 26. Функция принадлежности Щ2(30).
Рис. 27. Распределения Vf2(к) с показателями 2(к))
1920 1940 1960 1980 2000 2020 2040 Рис. 28. Функция принадлежности ^2(10).
Рис. 29. Функция принадлежности ^2(20).
3020 3040 3060 3080 3100 3120 3140
Рис. 30. Функция принадлежности Vf 2(30).
Выводы. Итогом представленных исследований является разработка нечетко-множественной численно-аналитической методики учета разбросов исходных значений физико-механических и геометрических параметров при получении оценок для значений скоростей волн деформаций крутильного типа в прямых стержнях на базе использования трех вариантов уточненных теорий. Разработанный и апробированный подход основывается на использовании модифицированных версий эвристического принципа обобщения в процессе перехода в соотношениях классических моделей расчета фазовых скоростей к нечетко-множественным аргументам в виде нормальных трапецеидальных нечетких интервалов. Оценки, получаемые на основе применения разработанной методики, позволяют установить диапазоны наиболее достоверных отклонений в значениях анализируемых скоростей при заданных разбросах исходных физико-механических и геометрических параметров стержня, а также границы предельных достижимых разбросов значений анализируемых характеристик на минимальном уровне уверенности.
1. Артоболевский И.И. Введение в акустическую динамику машин / И. И. Артоболевский, Ю. И. Бобровницкий, М. Д. Генкин. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
2. Ерофеев В.И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность / В.И. Ерофеев,
B.В. Кажаев, Н.П. Семерикова. - М.: Физматлит, 2002. - 208 с.
3. Джанелидзе Г.Ю. К теории тонких и тонкостенных стержней / Г.Ю. Джанелидзе // Прикладная математика и механика. - 1949. - Т. 13 - Вып. 6. - С. 44-57.
4. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни / В.З. Власов. - М.:Физматгиз, 1959. - 568 с.
5. Дьяков С. Ф. Дисперсия крутильной волны, распространяющейся в тонкостенном стержне / С.Ф. Дьяков, В.В. Лалин // Интернет-журнал «Науковедение». - 2013. - № 5. - http:// naukovedenie.ru - 24TBH513.
6. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие / В.И. Сливкер. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.
7. Дьяков С.Ф. Сравнительный анализ задачи кручения тонкостенного стержня по моделям Власова и Сливкера / С.Ф. Дьяков // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2013. - № 1. - С. 24-32.
8. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. - М.: Наука, 1970. - 139 с.
9. Ларин В.Б. Статистические задачи виброзащиты / В.Б. Ларин. - Киев: Наукова думка, 1974. - 128 с.
10. Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Дилигенский Н.В., Дымова Л.Г., Севастьянов П.В. - М.: Издательство Машиностроение -1, 2004. - 397 с.
11. Ротштейн А.П. Моделирование и оптимизация надежности многомерных алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба, А.Н. Козачко. - Винница: УН1ВЕРСУМ, 2007. - 215 с.
12. Алтунин А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях / А.Е. Алту-нин, М.В. Семухин. - Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2002. - 352 с.
13. Kaufmann A. Introduction to fuzzy arithmetic-theory and applications / A. Kaufmann, M. Gupta. - New York: Van Nostrand Reinhold, 1985. - 349 p.
14. Anastassiou G.A. Fuzzy Mathematics: Approximation Theory / G.A. Anastassiou. - Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. - 444 p.
15. Kandasamy W.B.V. Special set linear algebra and special set fuzzy linear algebra / W.B.V. Kandasamy, F. Smarandache, K. Ilanthenral. - Slatina, Judetul Olt, Romania: Editura CuArt, 2009. - 469 p.
16. Sonbol A.H. TSK Fuzzy Function Approximators: Design and Accuracy Analysis / A.H. Sonbol, M.S. Fadali // IEEE Trans. Syst. Man and Cybern. - 2012. - Vol. 42 - P. 702-712.
17. Ban A.I. Trapezoidal approximation and Aggregation / A.I. Ban, L.C. Coroianu, P. Grzego-rzewski // Fuzzy Sets Syst. - 2011. - Vol. 177. - P. 45-59.
18. Bede B. Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic / B. Bede. - Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2013. - 276 p.
19. Grzegorzewski P. Trapezoidal approximations of fuzzy numbers / P. Grzegorzewski, E. Mrfowka // Fuzzy Sets Syst. - 2005. - Vol. 153. - P. 115-135.
20. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Application / M. Hanss. - Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 253 p.
21. Сторожев В.И. Нечетко-множественные оценки в моделях теории объемных волн деформаций / В.И. Сторожев, С.В. Сторожев // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. -
C. 103-111.
22. Storozhev S. V. Uncertainty in the models of the theory of volume elastic waves through the use of the theory of fuzzy sets / S.V. Storozhev // Modeling and information technologies: selected papers of the international scientific school "Paradigma"(Summer-2015, Varna, Bulgaria) / Compiling editor dr. sc., prof. O. Ja. Kravets. - Yelm, WA, USA: Science Book Publ. House,
Нечетко-множественные оценки скоростей волн кручения 2015. - P. 45-52.
S.V. Storozhev, S.B. Nombre, S.A. Priymenko
Fuzzy-multiple estimates of the velocities of torsion waves in thin-walled rods based on refined theories.
Dissemination of numerical-analytical fuzzy-set methods for obtaining of estimates of values of strain wave velocities in thin-walled structures to the case of analysis of torsion-type waves in straight rods with uncertain parameters based on the use of three variants of refined theories are realized. The developed and tested approach makes it possible to take into account the scatter errors of exogenous physical-mechanical and geometric parameters in the models under consideration and is based on the use of modified versions of the heuristic principle of generalization by the transition to fuzzy-set arguments with various types of membership functions in the ratios of classical models for calculating phase velocities.
Keywords: straight homogeneous rods, uncertain physical-mechanical parameters, propagation of torsion wave, refined models, analysis of phase velocities, fuzzy-set technique, heuristic principle of generalization..
ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 08.04.2019
и архитектуры", Макеевка
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк s.storozhev@donnu.ru
