CC BY
57
Дьяков Станислав Федорович
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Аспирант Dyakov Stanislav Fedorovitch Saint-Petersburg state polytechnic university
Post-graduate student E-Mail: stass.fdyakov@gmail.com
Лалин Владимир Владимирович
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Профессор, доктор технических наук Lalin Vladimir Vladimirovitch Saint-Petersburg state polytechnic university
Professor E-Mail: lalin@cef.spbstu.ru
05.23.17 - строительная механика
Дисперсия крутильной волны, распространяющаяся в тонкостенном стержне
The dispersion of the torsion wave in the thin-walled bar
Аннотация: В настоящей работе рассматриваются три теории крутильных колебаний однородных тонкостенных стержней. Проанализированы дисперсионные зависимости и фазовые скорости крутильных волн по каждой из теорий.
Abstract: The article covers three theories of the thin-walled bar torsion oscillation. Frequency dependences and phase velocities according to all of the tree theories are analyzed.
Ключевые слова: Крутильная волна, тонкостенный стержень, частота волны, теория Тимошенко, теория Власова, теория Сливкера.
Keywords: Torsion wave, thin-walled bar, wave frequency, Timoshenko theory, Vlasov theory, Slivker theory.
***
Крутильные волны играют большую роль в формировании вибрационных полей [1,2]. Ниже анализируются дисперсионные свойства практически наиболее важных теорий крутильных колебаний однородных тонкостенных стержней.
Теория Тимошенко
В том случае если депланация неоднородна вдоль стержня, то кручение такого стержня называется стесненным. Впервые стесненное кручение стержня рассмотрел C. П. Тимошенко. Основное отличие теории Тимошенко от теории Сен-Венана состоит в том, что угол кручения в(X, t) является функцией продольной координаты X и времени t.
Чтобы вывести уравнение крутильных колебаний Тимошенко запишем выражение кинетической энергии перемещения стержня:
* - 2Ір" (?
йх, где
(1)
І - полярный момент инерции; р - плотность материала стержня; 0 - угол закручивания стержня.
Определим потенциальную энергию деформации:
1 І
ж - !г
21
ОІ,
^2 \дх у
+ ЕІ,
удх у
йх.
где
(2)
Е- модуль Юнга; 1х - крутильный момент инерции; О = -уу V -коэффициент
Пуассона; I - секториальный момент инерции.
Первое слагаемое в (2) описывает потенциальную энергию сдвиговых деформаций, второе — потенциальную энергию продольных деформаций, вызывающих неоднородную депланацию.
Уравнение движения стержня может быть получено с помощью функционала Гамильтона:
ф-|(к - ж)ж
(3)
и по теории Тимошенко примет вид [3]:
ю дх4
дх
(4)
Для изучения дисперсионных свойств системы представим вращение поперечного сечения стержня в виде бегущей гармонической волны:
0(х, і) - 0О • ехр(іюі - ікх)
(5)
Тогда после подстановки (5) в (4) и упрощения получим дисперсионное уравнение:
ЕІ к4 + ОІ к2 - рІ ю2 - 0
ю х • г
(6)
Откуда может быть получена зависимость между частотой Ю и волновым числом к, из которой следует, что крутильные волны обладают дисперсией:
2
і
2
Ю - С к •
V
С 21 1 + -0—ю. к2
—2 Іх
где
(7)
С0 = уЕ/Р - скорость распространения продольных волн в стержне;
Сг=4ОР - скорость распространения сдвиговых волн в стержне; С =
- скорость
распространения крутильных волн в стержне.
Фазовая скорость волны определяется соотношением:
Ю
V* - — - С
ф к С
V
С 21 1 + -0-ю к2
—І іх
(8)
Здесь и далее, для проведения численных расчетов используется тонкостенный стержень сечением в виде двутавра, обладающего следующими характеристиками:
'“Г У
р
•с
-»
Н - 0,40м; і - 0,022м; В - 0,2м;
Е - 206,01ГПа; у=0,3;
О - 79,3ГПа
р = 7800 кг/м3;
Геометрические характеристики стержня:
3
г2
24
I - 480 • —- - 52391см4; Іг - Іг +1у - 42706см'
я і • И2 • В5 г г У
4
Оценим предельные значения частоты (7) и фазовой скорости (8) в длинноволновом (к ^ 0) и коротковолновом (к ^да) диапазонах. В длинноволновом диапазоне:
Ю!
'О/х
р-г
• к - с к
С..
(9)
В коротковолновом диапазоне:
Ю :
р-г
• к2
—
I • к2
(10)
При малых волновых числах фазовая скорость близка к скорости распространения крутильной волны и неограниченно возрастает при стремлении к к бесконечности (см. Рис. 1).
г
И
Рис. 1. a - дисперсионная кривая: 1 - угловая частота по формуле (7), 2 - угловая частота по формуле (9), 3 - угловая частота по формуле (10). б - зависимость
фазовой скорости ^ от волнового числа к: 1 - фазовая скорость по формуле (8), 2 -фазовая скорость по формуле (9), 3 - фазовая скорость по формуле (10).
Теория Власова
Отличие теории Власова от теории Тимошенко заключается в том, что в выражении для кинетической энергии учитывается не только кинетическая энергия вращения, но и кинетическая энергия депланации:
р—г
^2 V ді у
+ р—ю
ґ д20 Л 2 vдxді у
йх
(11)
Выражение для потенциальной энергии по теории Власова остается аналогичным теории Тимошенко (2). Уравнение динамики стержня может быть получено с помощью принципа Гамильтона и будет иметь вид:
Е—
д 40
ю дх4
- ОІ
д 20
дх2
д20
ьр—г^тт - р—
д 40
ді
а дх2 ді2
0
(12)
Выполнив подстановку (5) в (12) получим дисперсионное уравнение Власова [4]:
ЕІ к4 + О— к2 - р— ю2 - р— к2ю2 - 0
Ш х Гг " й
(13)
Тогда зависимость между частотой Ю и волновым числом к будет иметь вид:
Ю = к.
с2 + с02 (I ю/ !г к2
1+ I 8 Г к2
(14)
Фазовая скорость волны определяется соотношением:
уф =т
с,2 + со (и !г) к2
1+ (Ш !г) к2
(15)
Оценим предельные значения частоты (14) и фазовой скорости (15) в длинноволновом и коротковолновом диапазонах. В длинноволновом диапазоне:
Ю!
У
01.
Р1г
• к = с к
(16)
В коротковолновом диапазоне:
Ю!
/— • к = с^к
с
(17)
При малых волновых числах фазовая скорость распространения волн близка к скорости распространения крутильной волны, а при к фазовая скорость стремится к скорости
распространения продольной волны (см. Рис. 2).
250000-
200000 -
150000 -
СО
100000-
50000 -
/у\
/
у /
3/ , /
/
/ / г
/
■ .♦* /1
' .* 7 І
0 1 ' 0 2 > і 1 0 30 4 1 1 0 50
5000
4000
3000
Ф
2000
1000
3
1 /
■ ■
10
20 30
к
40
50
а.
б.
Рис. 2. a - дисперсионная кривая: 1 - угловая частота по формуле (14), 2 - угловая частота по формуле (16), 3 - угловая частота по формуле (17). б - зависимость
фазовой скорости V, от волнового числа к: 1 - фазовая скорость по формуле (15), 2
фазовая скорость по формуле (16), 3 - фазовая скорость по формуле (17).
Теория Сливкера
Обе рассмотренные в предыдущих пунктах теории пренебрегают энергией деформации сдвига. Сливкер В. И. в своей монографии [5] предложил теорию, которая позволяет частично учесть деформацию сдвига. Главная его мысль заключается в том, что он предлагает представить касательные напряжения как сумму двух слагаемых: касательных напряжений изгиба, порожденных поперечными силами и ^ и касательных напряжений кручения,
вызываемых моментом стесненного кручения М . Далее предлагается пренебречь
касательными напряжениями изгиба, отнеся их в разряд второстепенных, в тоже время сохранив касательные напряжения кручения. Теория с таким разделением называется полусдвиговой теорией тонкостенных стержней.
В рамках полусдвиговой теории, когда угол закручивания 0( х) и мера депланации в( х) являются независимыми функциями, выражение для кинетической энергии имеет вид:
РІг
ае
і у
+ РІи
ар
Vа І у
дх, где
(18)
в - функция меры депланации.
Определим выражение для потенциальной энергии:
1 ^
Ж = 1і
2 і
ОІ
удх у
+ ЕІ,
удх у
+ ОІ
ае - в
чдх .
дх, где
(19)
^_ ^, V - геометрический параметр (подробнее см. [6])
Система уравнений крутильных колебаний стержня может быть найдена с помощью принципа наименьшего действия и будет иметь вид:
Е1Ю Р + ^
оіх 8+оі*
Г|^ - в VРІЮ д2в = 0
V дх у
гз 2е арЛ
дх2 дх
г д 2Є п - ^ = 0
(20)
Представим вращение поперечного сечения стержня и перемещение продольных точек стержня в результате депланации в виде бегущей гармонической волны:
0(х, і) = 0О • ехр(іюі - ікх) в(х, і) = в • ехр(іюі - ікх)
(21)
Выполнив подстановку (21) в (20) получим однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд в и 0О :
—к2- 01§р0 + р^ю2р0 - Ю1§к0о = 0 —к 2О1х0о — О! як 20о + р!г ю20о + ¡О1 Якро = 0
(22)
Приравнивая определитель системы (22) нулю, находим дисперсионное уравнение:
рЧу, ю4 — (рО!,!г + Ср¥!„!8к2 + Ер!ш!,к2) ю2 +
г Я г т ю я
+О21§1хк2 + Еву! ю 1вк4 = 0
(23)
ю я
Дисперсионное уравнение (23) представляет собой уравнение, имеющее четвертый порядок относительно ю; решая его как биквадратное уравнение, получим зависимость частоты волны ю от волнового числа к :
ю
—(В + Ск2) ±\1 ^( В + Ск2) 2 — 4 А (Бк2 + Гк4)
2 А
где
(24)
А = р21ю/ ; В = — рО1г1§; С = — Ор^ 1§ — Ер1а 1г; В = в21^х; Г = Еву!а1§
Соотношение (24) дает две дисперсионные ветви. При этом знак минус соответствует акустической (первой), а знак плюс - оптической (второй) ветви дисперсии.
Фазовая скорость волны определяется соотношением:
— (В + Ск2) ±>/ ( В + Ск2) — (Бк2 + Гк4)
2 Ак2
(25)
Оценим предельные значения частоты (24) и фазовой скорости (25) в длинноволновом ( к ^ 0) и коротковолновом (к ^да) диапазонах. Для акустической ветви в длинноволновом диапазоне:
ю
О!
Р!г
• к = с к
ю
Уф1 = ~к ~
(26)
В коротковолновом диапазоне:
юп
V
• к = С
Р!г С
V — 1
•к
ю
V
Уф2 = , = Сз*1 л
к Л/ V — 1
(27)
Для оптической ветви в длинноволновом диапазоне:
О/
рК
1+
I
ЕІ +
ОТ
2ОТ
I.
Т
1+
V -1
2І с2
я *
Ю
Уф! = к - СГЦ I
т
Со +
с
2 Л
+ ■
V -1
21 с2
я *
к2
(28)
В коротковолновом диапазоне:
Ю
^ = к= С°
(29)
Для первой дисперсионной ветви при любом значении волнового числа к фазовая скорость распространения волны близка к скорости распространения крутильной волны стержня Сен-Венана. (см. Рис. 3).
а.
б.
Рис. 3. a - дисперсионная кривая (акустическая ветвь)): 1 - угловая частота по формуле (24), 2 - угловая частота по формуле (26), 3 - угловая частота по формуле (27). б - зависимость фазовой скорости Уф от волнового числа к : 1 - фазовая
скорость по формуле (25), 2 - фазовая скорость по формуле (26), 3 - фазовая скорость
по формуле (27).
Для второй ветви дисперсии на высоких частотах фазовая скорость распространения волны близка к скорости продольной волны в стержне Бернулли (см. Рис. 4).
а.
б.
Рис. 4. a -дисперсионная кривая (оптическая ветвь): 1 - угловая частота по формуле (24), 2 - угловая частота по формуле (28), 3 - угловая частота по формуле (29). б -зависимость фазовой скорости ^ от волнового числа к: 1 - фазовая скорость по
формуле (25), 2 - фазовая скорость по формуле (28), 3 - фазовая скорость по формуле
(29).
Выводы:
1. Независимо от рассматриваемой теории, для акустической ветви дисперсии фазовая скорость распространения волны в длинноволновом диапазоне близка к скорости крутильной волны стержня Сен-Венана.
2. В коротковолновом диапазоне фазовые скорости крутильной волны по теориям Тимошенко и Власова пропорциональны скорости распространения продольной волны, но при этом довольно значительно разнятся. При этом акустическая ветвь по теории Сливкера в коротковолновом диапазоне пропорциональна скорости крутильной волны.
3. Теория Сливкера обладает тем преимуществом, что позволяет обнаружить оптическую ветвь дисперсии, фазовая скорость которой в коротковолновом диапазоне близка к скорости продольной волны.
ЛИТЕРАТУРА
1. Артоболевский И.И. Введение в акустическую динамику машин/ И. И. Артоболевский, Ю. И. Бобровницкий, М. Д. Генкин. - М.: Наука, 1979. -296с.
2. Ерофеев В.И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность/ В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, Н. П. Семерикова. - М.: Физматлит, 2002. - 2008с. -КБК 5-9221-0294-Х.
3. Джанелидзе Г.Ю. К теории тонких и тонкостенных стержней/ Г.Ю. Джанелидзе // Прикладная математика и механика. - 1949. - т.13 - вып. 6.
4. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. - М.:Физматгиз, 1959. - 568 с.
5. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.
6. Дьяков С.Ф. Сравнительный анализ задачи кручения тонкостенного стержня по моделям Власова и Сливкера/ С.Ф. Дьяков// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2013. - №1. - с.24-32. - Библиограф. :5
