CC BY
39
№5
2007
531.80
ВЛИЯНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ОСИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРУЖИНЫ, ИЗОГНУТОЙ В ДУГУ ОКРУЖНОСТИ, НА НИЗШУЮ СОБСТВЕННУЮ ЧАСТОТУ (МОДЕЛЬ РАБОЧЕГО ЭЛЕМЕНТА
СПИРАЛЬНОГО ГРОХОТА).
Асп. Р. Я БАДЖОВ, д-р техн. наук, проф. Ф. Д. СОРОКИН
На основе известных уравнений механики стержней В.А. Светлщкого формулируется краевая задача для винтовой цилиндрической пружины с прямой осью, подверженной изгибу,; с помощью которой решается задача поиска низшей собственной частоты, а также находится приближенное выражение для зависимости низшей собственной частоты пружины от параметров изгиба,.
The equations ofthe theory of thin elastic rod was used to solve the boundary value problem which was formedfor screw cylindrical spring subjected to bending. Based on this static solution the lower own frequency was found and the equation for lower own frequency versus bending parameters was determined.
Для просеивания и измельчения сухого сыпучего материала применяются так называемые «спиральные грохоты». Это установки, рабочим органом которых являются цилиндрические пружины. Они просеивают рабочий сыпучий материал сквозь зазоры между витками, а также дробят крупные фракции рабочего сыпучего материала, захватываемые витками пружины вследствие изменения межвиткового расстояния, обусловленного деформацией пружины.
Стремление увеличить производительность и уменьшить энергозатраты привело к идее выводить систему на резонансные режимы работы, что, в свою очередь, поставило задачу поиска резонансных режимов работы с тем, чтобы управлять этими режимами путем изменения параметров системы. Так, можно управлять резонансными режимами работы путем изменения геометрии (например, поворотом концов пружины).
Получим выражение для низшей частоты изогнутой в дугу окружности пружины, заделанной по концам (рис. 1). Пружина в ненапряженном состоянии имеет такие геометрические параметры: Д, —диаметр витка пружины; #0 —высота пружины; dQ —диаметр проволоки пружины; а0 — угол подъема витка пружины; р — плотность материала проволоки пружины; г —число витков пружины.
Для цилиндрической пружины будут иметь место особенные выражения в интерпретации эквивалентного стержня для характеристик изгибной жесткости и массы единицы длины пружины в зависимости от ее параметров. Изгибную жесткость для пружины вычисляют, используя соотношение [3]
и учитывая при этом, что высота пружины #0 = 7iD0/tga0 [3],
№5
2007
Для пружины масса единицы длины эквивалентного стержня будет
_ рАЬ _
nd;
Н{) 4sina0
где --площадь сечения проволоки; L=H{) sin а0 — длина проволоки пружины.
' Рис. 1
При варьировании угла ср наклона осей концов пружины по отношению к осям не-нагруженной пружины (рис. 1), сделаем предположение о подобии пружины, изогнутой в дугу окружности, консольно-закрепленному стержню (рис. 2). Выражение для низшей частоты собственных колебаний консольно-закрепленного стержня имеет вид [4]
Ръ =3,52
Е/
]/дГ
(2)
где 1 — длина балки.
Рис. 2
Используя ранее полученное выражение для Е7н и д, получим
Е/и Ed¿¿ga0sina0 1
Подставляя в (2), найдем
Ь''
Ро - 3,52
8(2 + Д)р /
E¿02tga0 sina0 1
V 8(2 +(i)p i
(3)
Коэффициент 2 для изгибной жесткости и массы единицы длины, введенный для приведения «сложенной пополам» пружины к консольно-закрепленному стержню, в полученном выражении взаимно сократился.
Для определения приведенной длины I модели консольного стержня представим
Н0
пружину в виде равнобедренного треугольника с двумя сторонами, равными -у-, и тре-
№5
2007
тьей стороной, равной / —расстоянию между концами осевой линии пружины. Тогда I можно будет условно принять за высоту равностороннего треугольника и вычислить как катет прямоугольного треугольника (рис. 3), т.е.
Я;
/ 4
Окончательно выражение для низшей собственной частоты пружины, изогнутой в полуокружность, примет вид
Рис. з
Л =3,52,
'Е^а^тос,, 1
8(2 + ц)р
гг 2
/
(4)
Сравнение полученного соотношения низшей собственной частоты для цилиндрической пружины, параметры которой следующие:
количество витков шт.......................................................................50
диаметр проволоки ......................................................................0,006
диаметр пружины Д м ........................................................................0,059
угол подъема а0, град .........................................................................2,78
модуль упругости Е, Па........................................................................2,00Е+11
коэффициент Пуассона (I....................................................................0,33
плотность р , кг/м3 ............................................................................... 7800
высота пружины #0, м .........................................................................0,450228
с результатом, полученным с помощью уравнений малых колебаний механики стержней [2], решаемых относительно найденного с использованием нелинейных уравнений статики механики стержней [1] состояния равновесия изогнутой цилиндрической пружины, заделанной по краям (рис. 1), для разных значений угла <р поворота концов пружины, показывает, что необходимо ввести поправочные коэффициенты, используемые при
М 5
2007
Н2 f2 вычислении I: ¡2 =—$~Кн К,,
4 4
К,
_Ф 90
0,2 + 0,8
ЛГ, = 0,5 (Ф подставляется в
градусах в диапазоне от 0 до 90).
Выражение (4) с введением поправочных коэффициентов принимает вид
Ра
= 3 52 |Еа^§ао sin ao
8(2 + |i)p ,tf,
(~Т~7
1
90
0,2 + 0,8
Г 1
4 2
(5)
Сравнение приближенного соотношения и решения по уравнениям механики стержней показано на рис. 4—8.
ф = 12 град
SO I
¥ 4S'
S 40 Н
^ 35 Н
*зо
i 25 о
5 20 ■) Л li J
X 15 ■ 10 5 0
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55
расстояние между концами пружины, м
мех. Стерж. Эмпирика
0.6
Рис. 4 ф = 24 град
45 40 -I $ 35
I30
О. 26
£ 20 О t 15 г ю
5 ^
о
0.2 0.25 0.3 0.35 OA OAS 0.S
расстояние между концами пружины, м
Мех.Стерж. Эмпирика
0.55
Рис. 5
Разница между более точным решением [1, 2] и приближенным выражением (5) для изогнутой в дугу окружности цилиндрической пружины составляет, в среднем, не более 5%, следовательно, полученное выражение для низшей собственной частоты может ус-
№5
2007
пешно использовано при конструировании пружинных мельниц с варьируемой геометрией упругого элемента, для проектирования установки с требуемой низшей частотой собственных колебаний.
ф= 45 град
50 -
45
х 40 1 Ф U 35
30 а.
н 25 1 g 20
о 15 те
т 10-5-0
Мех.Стерж. Эмпирика
0.1 0.2 0.3 0.4 05
расстояние между концами пружины, м
0.6
Рис.6 Ф в 67 град
45
40 -
$ 35-u
I30
CL 25
£ 20 Н
О
&15
? 10 5 0
fgp=йг
Мех.Стерж. Эмпирика
0.05 0.1 0,15 0.2 025 0.3 0.35 0.'
расстояние между концами пружины, м
0.45 0J5
45 40 $ 35
I30'
О. 25 •
£ 20-О
6 is-
? 10-5 -0 -
Рис.7 ф = 90 град
Мех.Стерж. Эмпирика
0-2 0,3 0.4 0.5
расстояние между концами пружины, м
Рис. 8
№5 2007
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Светлицкий В. А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. Ч. 1. Статика. — М,: Высшая школа, 1987. —320с.
2. Светлицкий В. А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. Ч. 2. Динамика. — М.: Высшая школа, 1987. — 304 с.
3. Ан др е е в а Л. Е. Упругие элементы приборов. — М.: Машиностроение, 1981. — 392 с.
4. Пономарев С. Д., Б и д е р м а н В. Л, и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Мм 1959. —Т 3. —1120 с.
539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА УПРУГОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ
Канд. физ.-мат. наук, ст. препод. Н. В, МИНАЕВА, канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Г. МОРОЗОВ
Рассматривается поведение упругой, гиарнирно закрепленной по всем краям прямоугольной пластины с начальным прогибом, поперечной и продольными нагрузками. Решение соответствующей задачи найдено методам возмущений с точностью до величины первого порядка малости.
Behavior of the elastic hinge spj-ingfixed on all edges with the initial sag, shear and longitudinal loads is examined. Task solution is found using a perturbation method within magnitude of the first order of smallness,
Функция vv(x,_y)> описывающая продольно-поперечный изгиб пластины, по линейной теории является решением следующего дифференциального уравнения [1]:
DV\w~f) + h
Ч
d2w d2w
дх:
+ Р
эу
г,
(1)
где V'
Э' +2 Э<
+
> /(*>}') — функция, описывающая начальный прогиб; h
Эх4 дх'ду1 ду4
толщина пластины; В — цилиндрическая жесткость; у) — интенсивность поперечной нагрузки; q — интенсивность продольной нагрузки, приложенной на краях при х = 0 и х = а;р — интенсивность продольной нагрузки, приложенной на краях хгри^у = 0 и у = Ь, с граничивши условиями
>40> у) =АЬуУМа, у)
0) 0); Ъ) «УСг, Ъ);
d2w _д2/ d2w э У
дх2 х=0 дх2 J дх2 дх2
д 2w _э2/ d2w _д2/
ь2 v=0 5 ^»яО By2 у-ъ ">а
