CC BY
26
№2
2008
ехрм; «PW.^'M—^^—«рм; —yj±Ml—^
Pi exp р^ exp pxt(J p2 exp exp P]ta
Заслуживают внимания иные детерминированные соотношения идентификации функциональных постоянных интегрирования при t()<tc; tc^oo в зависимости от фиксированных
значений координат и скорости: -^с+ екР^¥с = с ;
~Pi e:iP Äfc
С2 =-}'or-~yo^PPt'r-P^o-^ 0; Уос t уй ехрPitc _ exp p2t0 - Pit0 + pxtc * expp,tc;
' exp p2tr - exp p2ta - pxt0 + pxtc
Pltc Ф CO Ap2t0-pit0 + М- * С, --■" yJ-( y-u->- 0;
~P\ exP P\h: + P.2 exP /Vо - Pilо + /Vr
exp pf. Ф -p2 exp p,/0 - p2t0 + p2tc; p{tc * ооЛд/0 - + * oo
I )\c+yaP- exp PJrPJa
C, = vü(. exp1 P4C-—-—' л - 0-exp /Vr/Vr >- о
exp p2 exp /Vo/Vo + Pf<-
531.8
УСТОЙЧИВОСТЬ ИЗОГНУТОЙ В ДУГУ ОКРУЖНОСТИ
КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
Act1. Р. н. Б а дико в
С использованием решения, полученного с помощью уравнений механики стержней, находится приближенное выражение для величины критического крутящего момента цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность.
The theory of a thin elastic rod was used for screw cylindrical spring which bent in an arc to find an approximate equation for a value of the critical torsion moment
№2
2008
Существуют мельницы, измельчителем которых являются цилиндрические пружины, вращающиеся вокруг собственной продольной оси и просеивающие рабочий сыпучий материал сквозь зазоры между витками, а также дробящие крупные фракции рабочего сыпучего материала, захватываемые вследствие изменения межвиткового расстояния, обусловленного изгибом пружины. Цилиндрические пружины в подобных установках, как правило, изогнуты в дугу окружности. К одному концу пружины приложен крутящий момент от двигателя, в то время как другой конец пружины свободно вращается в подшипнике, нагруженный моментами сил трения подшипника и инерции захвата. При определенном значении (например, в момент разгона двигателя) крутящий момент достигает величины, при которой пружина теряет устойчивость (рис Л).
о
вид сбоку вид спереди
126°
вид сбоку
о
Рис Л. Форма осевой линии пружины, изогнутой в дугу окружности в момент потери устойчивости.
Ось пружины, лежащая до момента потери устойчивости в одной плоскости, деформируется, выходя из плоскости, и принимает пространственную форму. При этом, в зависимости от геометрии пружины и величины крутящего момента, может осуществиться «перехлест» пру-
№ 2 2008
жины, т.е. пружина повторит траекторию (на подобие движения скакалки) либо образуется петля.
Существует выражение, предложенное Р.Граммелем для расчета критического значения крутящего момента прямой цилиндрической пружины, закрепленной шарнирно [ Г], Оно основано на решении задачи устойчивости при кручении сжатии прямых брусьев круглого сечения
d4E я cos а /1Ч
М =--г—, (I)
кр Di 16(2 4-ц cos а)
где М - крутящий момент, после которого наступает потеря устойчивости; Е - модуль упругости первого рода; d - диаметр проволоки пружины; D - средний диаметр пружины; ¡1 -коэффициент Пуассона; /-количество витков пружины; а-угол подъема. Проверка выражения (I) показала довольно хорошее совпадение с результатами испытаний (расхождение ±15%) [1].
При малом угле подъема (а < 10°) выражение (1) можно упростить
* л d^E я .
(2)
Di 16(2 + ц)
Проведенные численные эксперименты для расчета величины критического крутящего момента цилиндрической пружины, изогнутой в дугу окружности и заделанной по краям, с использованием уравнений механики стержней [2], показали, что для пружин с количеством витков />20, критические моменты и предельные углы закручивания слабо зависят от кривизны оси цилиндрической пружины (разница порядка 4%). В ходе численного эксперимента один край пружины принимался жестко защемленным. На втором краю, после соответствующего деформирования оси пружины в дугу окружности, моделировался шарнир на котором задавался поворот пружины вокруг оси шарнира. Решение краевой задачи позволило найти зависимости реактивного момента на краю пружины от относительного угла закручивания (рис. 2) для различных величин дуговых углов оси пружины.
№2
2008
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
X
О_свободная_ось -63 -126 180
О 100 200 300 400 500
угол относительного скручивания концов пружины, градусы
Рис.2. Упругие характеристики пружин с различным углом изгиба оси в дугу окружности.
Указанные зависимости содержат точки экстремума (рис. 3), соответствующие критическому состоянию пружины.
Рис. 3 Участок потери устойчивости упругих характеристик пружин с различным углом изгиба оси в лугу окружности
Была исследована пружина со следующими параметрами:
Диаметр проволоки пружины, мм.........................2,6
Средний диаметр пружины, мм..............................26,5
Угол подъема витка пружины, град........................2,78
Количество витков, шт...............................................110
Для различных величин дуговых углов (0, 63, 126 и 180 град).
Причем при расчете прямой пружины (0 градусов), освобождалась координата в осевом направлении, поскольку возникающие осевые силы в прямолинейной пружине с ограничением в осевом направлении значительно препятствуют процессу потери устойчивости (рис 4, 5).
о0
500°
600°
700°
800°
900°
1000°
1100°
1286°
критическое состояние
критическое состояние
Рис. 4. Форма оси для пружины (с закрепленным в осевом направлении вторым конном) подверженной скручиванию.
№2
2008
1
0.9
0.8
2 4с 0.7
X 0.6
н»
X ш 0.5
Шя о 0.4
0.3
0.2
0.1
0
О
критическое состояние
1275
500 1000
угол скручивание градусы
1500
Рис. 5. Упругая характеристика для пружины (с закрепленным в осевом направлении вторым концом) подверженной скручиванию.
Неоднократные численные эксперименты были систематизированы, и на основе этих данных был получен поправочный коэффициент к формуле (1).
А* 1 01 ^Е 71
мк =1.31--
р а 16(2+ц)
(3)
Полученное приближенное выражение обобщает результаты для довольно большого интервала изменения параметров пружины:
В
/ - (20...500); -А = (10...60); б0 < 101
с1
(4)
В таблице приведены результаты расчета по приближенной формуле (3) и численной методике механики стержней [2].
№ 2 2008
Таблица
Параметры пружины разница, %
/, шт. мм А мм D/d угол подъема, град. дуговой угол оси пружины, град момент решения краевой задачи, ИМ прнбл. расчет, Нм
50 6 118 20 2.78 180 4.9740 4.9088 1
50 6 118 20 2.78 0 5.3300 4.9088 8
50 6 59 10 5.56 180 10.1490 9.7920 4
50 6 59 10 5.56 0 10.6861 9.7920 8
50 6 59 10 2.78 180 9.6600 9.8177 2
50 6 59 10 2.78 0 10.6538 9.8177 8
110 2.6 26.5 10 2.78 180 0.3750 0.3503 7
НО 2.6 26.5 10 2.78 0 0.3845 0.3503 9
100 6 59 10 2.78 180 5.1650 4.9088 5
100 6 59 10 2.78 0 5.3833 4.9088 9
50 1 59 59 2.78 180 0.0072 0.0076 6
50 1 59 59 2.78 0 0.0082 0.0076 8
50 3 59 20 2.78 180 0.5800 0.6136 6
20 2.6 26.5 10 3.35 0 2.034 1.9261 5
20 2.6 26.5 10 3.35 90 2.068 1.9261 7
10 2.6 26.5 10 3.35 0 3.728 3.8521 3
10 2.6 26.5 10 3.35 90 2.766 3.8521 39
1000 2.6 26.5 10 3.35 0 0.04681 0.0385 18
1000 2.6 26.5 10 3.35 180 0.04397 0.0385 12
Выводы
Показано, что величина критического крутящего момента для цилиндрической пружины с количеством витков более 20, изогнутой в дугу окружности осью, заделанной по краям, пренебрежимо слабо зависит от кривизны оси. Полученное приближенное выражение для критического момента скручивания цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность, будет полезно на этапе конструирования рабочих органов спиральных мельниц, пружинных муфт и других конструкций, содержащих цилиндрические пружины, изогнутые в полуокружность.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пономарев С.Д. Расчет и конструкция витых пружин.- М.:ОНТИ, 1938
2. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. 4.1 Статика.-М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.
№2
2008
3. Светлицкий В.Д. Механика стержней: Учеб. Для втузов. В 2-х ч. 4.2 Динамика.-М.: Высшая школа, 1987. - 304 с.
4. Андреева Л. Г. Упругие элементы приборов. - М.: Машиностроение. 1981. - 392 с
5. Пономарев С. Д., Б и дермам В. Л. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. М.,- 1959. - T.3. - 11 20 с.
5393
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН. С ДЕФЕКТАМИ В
НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ*
Канд. техн. паук, доц. Л. А. БОХОЕВА
Рассматривается задача о нелинейном поведении ¡viaeтины с круглым отслоением из слоистых материалов при потери устойчивости «смешанного» типа. Получены в явном виде характеристические уравнения для определения критической нагрузки пластины с дефектами типа отслоений в элементах ко)icтрущий, при одновременно локальной и глобальной потере устойчивости.
In the paper presents an nonlinear analysis of a plate with circular delamination from layered materials. The characteristic equations for definition of critical loading of a plate with defects of type circular delamination in elements of designs are received in an obvious kind, at simultaneously local and global loss of stability.
При проектировании конструкций из слоистых композиционных материалов весьма важно прогнозирование их поведения под нагрузкой. Дефекты типа отслоения - один из распространённых видов дефектов, которые часто считаются определяющим фактором при решении вопроса об использовании композиционных материалов. В зависимости от относительных
величин толщины и длины отслоения под действием сжимающих нагрузок наблюдаются три вида потери устойчивости элементов конструкций:
1. общая потеря устойчивости (глобальная);
2. локальная потеря устойчивости в зоне дефекта;
3. одновременно локальная и глобальная («смешанная»).
Работа выполнена в рамках целевой программы школы (2006-2008 гг.)» (проект № РНП.2.1.2.5517)
МОиН РФ «Развитие научного потенциала высшей
